勉強しよう数学

2020年11月4日水曜日

センター試験向け数学の勉強をすると二次試験の問題が解けなくなる

　そもそも二次試験の数学とセンター数学で求められている力は違います。
　二次試験の数学で高得点を取りたいのに、センター数学で求められている能力を伸ばしても全く意味がないわけです。

《センター試験で求められる力》
①誘導に乗る力
②誘導から逸れたら軌道修正する力

《二次試験数学で求められる力》
①解答の流れを自分で作り出す力
②計算が途中で間違っていると気がつく力
③部分点をもぎとる力

《二次試験の数学ができない人の共通点》
　二次試験が苦手な人に共通する特徴は、わからない問題をすぐに丸暗記する点です。
　というのも、解答という完璧な答案を丸暗記しても、
二次試験で求められる力が一切つかないからです。

数学ができない受験生必見！数学が苦手な受験生の共通点とその克服法
https://mrstepup.jp/math-dekinai/
のサイトが参考になる。
「1-3.レベルにあっていない難しい参考書を選んでいる
レベルにあっていない難しい参考書を背伸びして使っているがゆえに、消化不良になっている受験生もよく見かけます。

人気の教材である青チャートや、大学への数学などの難易度の高い問題集を、完璧に解ける訳でもなくただただ解き散らかしているのです。

自分の実力に見合わず背伸びする受験生は、最初から難しい問題集に手を出しますが、途中で挫折してしまう人がほとんどです。

《対策》
〇毎日手書きの勉強をする
〇計算ミス克服ノートを作る
〇タイムプレッシャーをかける
〇計算回避の術を学ぶ
」

　共通テスト＝センター試験の点数が高すぎる人は、（その人の大学での成績との相関関係から）それは、数学センスが無い証拠だと判定されるかもしれない。「共通テストの点数が高いと大学入試の総合評価が悪くなる」ぐらいに考えて、共通テストの成績を上げ過ぎないようにした方が良いだろうとも思います。

《共通テストの問題の解き方》
　共通テスト向けの「勉強？」は、数学の基本的問題の解き方の形を崩すので、数学の力を低下させていくと思います。
　共通テストの問題の解き方も、数学の基本の形に合わせて問題を解く方が計算ミスが少なく解けると思います。

　共通テストというのは計算用紙が配布されない、
おかしい試験です。
　数学的センスのある人にはとても嫌われる形の試験と思います。

　共通テストは、計算用紙が使えない結果、解答者自身が計算を進める正しい数学の解き方を止めさせます。そして、共通テストの問題用紙の式に数値を書き加えた見ずらい式を解答者が見て計算を進めるような（計算が遅く、ミスも多くなる）解き方に計算パターンを変えさせる誘導をしています。共通テストは、そのようなミスが多い解き方に受験者を誘導することによって、共通テストの平均点が下がるようにしています。そういうテストは、受験者の数学の力を測るテストとは到底言い難いテストだと思います。

　計算用紙が無いので、問題用紙のスペースを計算用紙として使って計算します。
　その際に、大きな字で計算式を書き込むようにしてください。
　以下のタイプのセンター試験の計算問題は、以下のように、なるべく広い空きスペースを使って計算するようにしましょう。
　その際に分断された計算式は、線で結んで、スペースの島から遠くの島まで自由に計算式が行き来できるようにしましょう。
　スペースが無くても、計算式の字は大きな字で書きましょう。
計算式の続きを別のページに飛んで行って行なわせるときは、ジャンプ点の番号①、②等の目印で別のページの計算式と結びつけましょう。

　以下のセンター試験の計算問題があります。

この問題は、先ず、問題を以下の図に写し取る。
この図を見るだけで、もはや問題の文章を読まないでも問題が把握できるようになります。
「問題をやさしくする」ことが問題を解く秘訣ですが、
その第１歩が、問題文を図に書き写すことで、問題文を読み直す作業を無くして問題をやさしくすることです。

　共通テストの問題用紙の計算式を見ながら自分の計算を進めると自分の計算のリズムが乱れます。そのため、そうせずに計算します。
　すなわち、
以下の様に計算式を全て計算用紙（問題用紙）に書いて、その自分で書いた計算式を見て計算する。そうすれば、計算ミスが少なく速く問題を解くことができます。
（計算用紙が配布されないので、問題用紙の空きスペースに書きます）

（ⅰ）

（ⅱ）

（式の左右に共通項が掛かっているときは、共通項を早めに割り算して無くすとミスが少なくなる）

このように計算した、３点を通る放物線の式を求める式は連立方程式を解くことで放物線の式を求めます。しかし、連立方程式は、計算ミスし易いので、連立する式の数が少ない方が良い。
　以下で、連立する式の数を減らす、微分を利用する方法を説明します。

放物線の点の傾きΔｙ’は、その点のｘ座標がΔｘずれると以下の式のようにずれる。

また、上図の放物線で、線分ＯＰと同じ傾きの放物線上の点のｘ座標は、線分ＯＰの中点のｘ座標であることがわかっている（覚えておいてください）。
　そのため、以下の式が成り立つ。

これでｔの値がわかったので、このｔの値を放物線の点Ｑでの式に代入して放物線の式を以下のように求める。

「共テ数学が全く得点できません」
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10291367635
のページの質問者のコメントが参考になります。

「先ほど回答者様のおっしゃっている、問題を見て進めるのではなく自身で計算を進めるようにして先ほど解いてみたのですが、

2021の第1日程がIA88/100、
ⅡB89/100になりました！！！

前回やったのが2022だったのもあってか、驚くほど点数伸びました。
共テのペースに足掬われてただけみたいです。
これで何とかなりそうです本当にありがとうございました！」

リンク：
計算ミス対策：センター試験の計算問題（２）
高校数学の目次

2020年8月24日月曜日

対称性を利用した定積分（その２）

【問１】以下の定積分を求めよ。

この問題の解答はここをクリックした先にあります。

リンク：
高校数学の目次

2020年7月26日日曜日

指数関数の爆発性

【問１】
ｎが大きい数の場合に、以下の関数の極限を求めよ。

この問題の解答は、ここをクリックした先にある。
自力でこの問題を解いた後で、解答と補足説明を読んで欲しい。

リンク：
高校数学の目次

2020年6月26日金曜日

三角関数の逆関数の不定積分

【問１】以下の不定積分を求めよ。

（注意）tan^-1という記号は逆関数を表し、−１乗という意味の記号では無いことに注意すること。

この問題の解答はここをクリックした先にあります。

リンク：
高校数学の目次

2020年6月23日火曜日

かろうじて初等関数で表される積分（その２）

以下の問題の問３の方が問２より易しい（問１よりも易しいと言えるかもしれない）ので、それを先に解いてください。

【問１】ｘ＞０の区間での以下の不定積分を求めよ。

【問２】ｘ＞０の区間での以下の不定積分を求めよ。

【問３】ｘ＞０の区間での以下の不定積分を求めよ。

この問題の解答はここをクリックした先にあります。この問題を自力で解いた後で、解答のページも見てください。問題を解く上での大切な注意事項を書きましたので、、

リンク：
高校数学の目次

2020年6月20日土曜日

不定積分の不思議な解き方

ページ内リンク：
▷問１と問２
▷問１（ｂ）の解のバラエティ

【問１】
ａとｂが実数のとき、変数ｘの、ｘ＞ａ、かつ、ｘ＞ｂの区間で、以下の不定積分を求めよ。

【解答】
以下の解答は、あまりに単純なので覚えておいて使った方が良いと思う。

（解答おわり）

　この問題の場合は、根号の中のｘの二次関数のｘの二乗の項の係数が正であるので、積分結果が対数関数になった。
次に、根号の中のｘの二次関数のｘの二乗の項の係数が負の場合を求める。

【問２】
ｂ＞ａのとき、変数ｘのａ＜ｘ＜ｂの区間で以下の関数の不定積分を求めよ。

【解答１】

（解答１おわり）

【解答２】
この問題は、複素数の対数関数を使った以下の解き方で解く事もできます。

ここで、以下のオイラーの公式を使う。

（解答２おわり）

なお、この計算では、三角関数の逆関数の不思議な公式：

を使いました。
詳しくは、以下の公式が成り立つ。

（大学数学について）
　高校数学を十分に学んで高校数学を早く卒業して、大学数学を、基礎（これが大事）からしっかり学んで欲しいと思います。
　大学数学の概念を正しく使って、問題を誤りなく融通を利かせて解けるようになって欲しいと思います。
複素数の関数の概念を（しっかり理解して誤りなく）融通性を持たせて扱えるようになって欲しいと思います。
大学数学では、解答２の様に、オイラーの公式を使って、三角関数の逆関数も、複素数を扱った対数関数で表す事ができます。
解答２の様な解き方は、大学数学で、複素数を扱う関数の基礎をしっかり學んだ上で使うべきであって、基礎をおろそかにして使って良い手法では無いと考えます。早く、正規な大学数学を学べるレベルに到達するように、しっかり学んで行って欲しいと思います。

【問１（ｂ）】
ｘ＞０の区間で以下の積分を求めよ。