双対曲線を求める問題

【問】

上の式１があらわす曲線の双対曲線を求めよ。

（コメント）この問題は大学の数学科に入学した学生用の問題です。そのため、この問題は、医学部をめざす受験生も、無視してください。

【双対曲線とは】
　双対曲線とは、以下に説明する曲線です。
正式な定義は、以下の通りです。
（双対曲線の定義）

上記のように、射影空間における、（Ｚ，Ｘ，Ｙ）の（連比の）点の集合
Ｆ（Ｚ，Ｘ，Ｙ）＝０　　（２）
で曲線を定義する。
その曲線上の点毎に、関数Ｆの偏微分係数（の連比）

を求める。
その偏微分係数の連比であらわした、射影空間上の点の集合が双対曲線である。

この双対曲線は、以下の曲線であると言い換えることができる。

（双対曲線の定義の言い換え）
曲線１の点（ｘ，ｙ）に以下の直線８（接線）が接すると：

この接線の係数（Ｕ_０，Ｕ_１，Ｕ_２）は、
この接線８を、
Ｆ（Ｚ，Ｘ，Ｙ）＝Ｕ_０Ｚ＋Ｕ_１Ｘ＋Ｕ_２Ｙ＝０
という形であらわした時の、
関数Ｆの偏微分係数

に等しい。
その（Ｕ_０，Ｕ_１，Ｕ_２）ベクトルの要素の連比を、射影空間（無限遠直線を加えた空間）の点とする。
その点の集合を双対曲線と呼ぶ。
もっと具体的には、その点の集合をあらわす曲線の式：
Ｐ（Ｕ_０，Ｕ_１，Ｕ_２）＝０
を双対曲線の式と呼ぶ。

射影空間から無限遠直線を除外した空間を考えると、 
u_x＝Ｕ_１／Ｕ_０，
u_y＝Ｕ_２／Ｕ_０，
であらわした、ベクトル（u_x，u_y）の集合をあらわす
曲線
Ｐ（１，ｕ_ｘ，ｕ_ｙ） ≡ ｐ（ｕ_x，ｕ_y）＝０
が、無限遠直線を除外した空間における双対曲線です。
（無限遠直線を除外しても、なお、複素数座標で双対曲線を考える）

【解答１】
　式１のような２次曲線に限って通用する、以下の方法で双対曲線を計算することができる。

　先ず、式１を射影空間の座標であらわした式２に変換する。

 上の式３のように、式２を対称行列Ｔを使ってあらわす。
式３の行列Ｔの各要素は以下の通りである。

式３であらわした曲線に接する接線の係数Ｕは以下の式５で計算できる。

式５から式６が得られる。
この式６を式３に代入すると係数Ｕのベクトルがあらわす曲線（双対曲線）７が計算できる。

ここで使っている行列Ｔの逆行列は、以下のようにして計算できる。

こうして、双対曲線７’（又は７’’）が得られた。
（解答おわり）

【解答２】
　２次曲線にしか使えない方法はつまらないので、３次以上の曲線の双対曲線の計算にも使える以下の方法で双対曲線を計算する。

 この曲線１に点（ｘ，ｙ）で接する直線を、以下の式８であらわす。

 この式１に式８を代入してｙを消去する。

 式８が式１に接するので、式８を式１に代入して得た式９では、接点のｘ座標が重根になっているハズである。その重根をｇｘとすると、
（ｘ－ｇｘ） の２乗の式が式９の左辺にある。
その２乗の式を微分しても、なお、（ｘ－ｇｘ）が消えずに左辺に残る。
そのため、式９を微分した式１１も、（ｘ－ｇｘ）を左辺に持つのでその重根ｇｘを根の１つに持つ。

式９と式１１が共通する根ｇｘを持つので、
式９の係数と式１１の係数で作るシルベスターの行列式が０になる。
それを計算することで、ベクトルＵの要素の関係をあらわす式（双対曲線の式）が計算できる。

先ず、ｆをあらわすｘの多項式１２を計算し、それを微分してｆ’をあらわす多項式１３を計算する。

 この式１２と式１３の係数を使ったシルベスターの行列式を計算する。

 これで、求める双対曲線１６が計算できた。
（解答おわり）

【解答３】
解答２でシルベスターの行列式を使ったが、
その解答の本質は、与えられた曲線１に接する直線８の係数を求めることにあります。
その解答の本質を見るため、シルベスターの行列式の助けを借りずに、以下の様にしてこの問題を解きます。

 この曲線１に点（ｘ，ｙ）で接する直線を、以下の式８であらわす。

 この式１に式８を代入してｙを消去する。

 式８が式１に接するので、式８を式１に代入して得た式９では、接点のｘ座標が重根になっているハズである。その重根をｇｘとすると、
（ｘ－ｇｘ） の２乗の式が式９の左辺にある。
その２乗の式を微分しても、なお、（ｘ－ｇｘ）が消えずに左辺に残る。
そのため、式９を微分した式１１も、（ｘ－ｇｘ）を左辺に持つのでその重根ｇｘを根の１つに持つ。

式９と式１１が共通する根ｇｘを持つので、式９と式１１を、ユークリッドの互除法を用いて加減乗除することで、その共通する根ｇｘを解に持つ最大公約多項式（それはｘの一次式になるだろう）を計算する。

先ず、ｆをあらわすｘの多項式１２を計算し、それを微分してｆ’をあらわす多項式１３を計算する。

この式１２と式１３の最大公約多項式（ｘの１次式になるだろう）を、ユークリッドの互除法で、以下の様に計算する。

ここで得た式１７と、先に得ていた式１３とは、
ともに１次式であるが、 
共通する根ｇｘを持つ。
そのため、式１７と式１３は係数だけ違う同じ式である。
それゆえ、以下の式１８が成り立つ。

以上の計算のように、式１８を変形することで、再び式１６が得られた。
（解答おわり）

（コメント１）
　数学の専門家は、ミルナー数μ等を駆使して双対曲線を計算するらしい。しかし、それをどのようにして行なうかは、私は勉強不足のため、分からない。

（コメント２）
　式２の代数曲線
Ｆ＝０
のＦを各Ｘ_ｉ（ｉ＝０～３）で微分した値Ｕ_ｉが全て０になる点が「特異点」と呼ばれていて、注目すべき重要な点です。
すなわち、（Ｘ_０，Ｘ_１，Ｘ_２）が（０，０，０）以外の点で
０＝Ｕ_０＝Ｕ_１＝Ｕ_２　　　　（１７）
となる点が特異点で、それは、双対曲線の原点となっているので分かり易いです。
式５で、行列Ｔを使って値Ｕ_ｉが計算できます。
Ｕ_０＝－２Ｘ_０，
Ｕ_１＝２Ｘ_１，
Ｕ_２＝２Ｘ_２／９
ですので、
その値Ｕ_ｉが全て０になる点は、
０＝Ｘ_０＝Ｘ_１＝Ｘ_２　　　　（１８）
となる点です。これは（０，０，０）なので特異点ではありません。
特異点が有るか無いかを含め、特異点を詳しく調べることで代数曲線の特徴が分かるようです。

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実数に関する問題

【問】
「任意の実数xに対して、

を成り立たせる整数 p,qが存在する」 
なる条件を満たす実数yをすべて求めよ。

【解答】
　実数ｘに関しては、以下の式２を満足する整数ｐとｑが存在する。

（ディリクレの原理）
更に、この式２の右辺をもっと小さくした以下の式３を満足するｐとｑが存在することも分かっている。

この式３は、参考文献：「無理数の話」ジュリアン・ハヴィル著：松浦俊輔訳（青土社）の２１７ページにある。

　この問の趣旨は、この文献を探し当てるまで実数論を勉強し、更にこの文献を発見したら、この文献を読了することではないかと考えます。それこそが、この問に対する真の解答だと考えます。

この式３を満足する限界を与える以下の式４を式１に代入する。

その結果、以下の式が得られる。

そのため、
任意の実数ｘに関して式１を満足する実数ｙは、
その実数ｘ毎に、 式３を満足する整数ｐ，ｑの組を求めた後に、そのうちの整数ｑによって以下の式６であらわされる式である。

　一方、ｙ＝０に固定して、あらゆる実数ｘについてｐとｑを選んで式１を満足させるということはできない。
　その理由は、整数ｐ、ｑを使ってｐ／ｑとあらわすことができるのは有理数だけであり、実数の中の無理数は、有理数では無く、無理数と有理数の差の二乗は０にはならないからである。
（解答おわり）

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ペル方程式だけでは解けない不定方程式（難問）

【問】（ペル方程式だけでは解けない難問）

以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。

【解答】

ここで、この式２の項の整数１２による剰余を考える。

この式３を式２に代入して、以下の式４を得る。

ここで、新たに導入したｓ，ｔとｘ，ｙの関係を、以下のようにして整理する。
先ず、式３’の不定方程式を解く。

また、式５に式８を代入して式９を得る。

ここで、このペル方程式４を、以下の簡単なペル方程式１０にした方が解き易いので、それで解く。
後で適切な解を選別することにする。

上の式１２でペル方程式の基底の解を得て、式１３で第１の解を得た。これを使って、以下のようにしてペル方程式を解く。

式１６の漸化式を得た。
この漸化式を使って、解を求める。
その解から、式９（それを遡った式５）から得る以下の式１７を満足する解を抽出する。

この式１７の関係を満足する解を抽出する。先ず、基底の解から、以下の解が選別できる。

第１の解からは、以下の通り、適切な解が抽出できない。

 第２の解からは、適切な解が抽出できる。
 
以下は、同様にして、偶数番目の解からは、適切な解が抽出でき、奇数番目の解には適切な解が無い。
そのため、適切な解（偶数番目の解）を求める漸化式を以下の様にして作ることができる。

この式２６で得た解のｓを式５に代入してｙを求める。
そのｙと、ｕ／２＝ｔを式３に代入してｘを求める。

ｘが整数になる解は（Ｓ_１２，ｕ_１２） になって初めて現われるように思ったが、その値が大きいので、それは計算誤差だと考える。

なぜならば、
式８（更に遡り式３）に従ってｙは奇数にならなければならない。
しかし、式２６の漸化式によると、
（４９＝１２×４＋１
と置き換えて計算すると）
Ｓ_２＝－（１２×４＋１）
Ｓ_４＝－（１２×４＋１）^２＋１２０Ｃ_４
Ｓ_６＝－（１２×４＋１）^３＋１２０Ｃ_６
・・・
Ｓ_２ｎ＝－（１２×４＋１）^ｎ＋１２０Ｃ_２ｎ
になる。
（ここでＣ_４やＣ_６等は、ある整数である。）
そのため、ｙは、
ｙ＝（１＋Ｓ_２ｎ）／１２
＝（１－（１２×４）^ｎ・・－ｎ・（１２×４）－１＋１２０Ｃ_２ｎ）／１２
＝ － ４（１２×４）^ｎ－１－・・・・－ｎ・（４）＋１０Ｃ_２ｎ
になり、
ｙは偶数になってしまう。

漸化式によってｙが偶数と計算されるので、式３によってｙが奇数でなければならないことと矛盾する。
そのため、式１は整数解を持つことができない。
（解答おわり）

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不定方程式の解き方

（補足）
 一次不定方程式の正しい解き方は、ここをクリックした先のサイトにあるように：
１．先ず整数解を１つ求める。
２．もとの方程式と引き算する。
３．一般解を求める。
という計算方法が一番すぐれた解法だと考えます。

【問１】

以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。

【問２】
以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。

【問３】
以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。

【問４】
以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。

【問５】
以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。

これらの問題の解答は、ここをクリックした先にあります。

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整数解が無い不定方程式

【問１】（超難問）
以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。

（コメント）
　この問題はとても難しいので、理系最難関大学か医学部を受験する大学受験生も含め、大学の数学専門コース専攻者以外は、この問題を無視して良いと考えます。

【解答】
　この問題の解として、正の整数ｘ＝ｚ_１とｙ＝ｚ_２を求める。以下で扱うｘ，ｙは全て正であるものとする。
　先ず、この問題の解が１つでもあれば、それ以外の解を１つ求めるための漸化式を以下の様にして求めます。
（その漸化式は、残りの解のうちの一部を導き出せるだけの漸化式が見つかれば、それで十分である。）
以下の式２の行列Ｍで定義される漸化式を求めます。
なお、問１の式１は、以下の式３（及び４）に一般化します。

 式３及び４は以下の式５で代表させる。
そして、式５に漸化式Ｍの行列を導入し易くするために、行列ａを使って式５の左辺をあらわします。

式８に行列Ｍを導入して変形すると以下の式９が得られます。

ここで、行列Ｍが以下の式１０を満足するものとします。そうすれば、この行列が漸化式をあらわす行列になります。

式１０を成り立たせる行列Ｍであれば、以下の式１１が成り立つからです。

式１０が成り立てば、行列Ｍの行列式の絶対値が１になります。ここで、行列式の値が１とした式１２も、行列Ｍを限定する条件に加えます。

式１１が式１３に変形でき、更に式１４に変形できる。

式１４を具体的に以下の式に書く。

 この式の左右の項を計算し以下の式１５が得られる。

 この式を解き、変数ｃとｄで表した以下の式１６が得られる。

 ここで、行列式１２によって、以下の式１７が得られる。

 この式１７はペル方程式である。
この式１７の最小の解を探し、以下の解１８を得た。

 この解を使って以下の式１９の行列Ｍが得られ、漸化式２０が得られる。

これで、解が１つ見つかれば、それ以外の解を計算できる漸化式が得られた。

　次に、この行列Ｍの逆行列が以下の式２１で得られ、漸化式２０の逆に、解の値を小さくしていく式２２が得られた。

 この式２２があらわす逆漸化式を使うことで、もし解があれば、その解を小さくしていくことが可能である。
　ただし、この逆漸化式２２は、正の値のｘ＝ｚ_１とｙ＝ｚ_２に適用して、正の値のｘ＝ｚ_１と負の値のｙ＝ｚ_２を導き出すことが可能であるという特徴がある。
　また、そうして得た正の値のｘ＝ｚ_１と負の値のｙ＝ｚ_２にこの逆漸化式を適用する場合を考えると、ｘと（－ｙ）に対する漸化式に書き直すと、式２０になる。すなわち、ｘと（－ｙ）の解の絶対値を大きくしていく漸化式であるとも言える。

（漸化式によって得られる解の大きさ）
　漸化式２０のうちの１つは以下の式２３である。

ここで、式１から、解のｘ＝ｚ_１とｙ＝ｚ_２とは以下の式２４であらわされ、概ね比例する。

式２３を変形して以下の式２５が得られる。

 また、式１８から、以下の式２６が得られる。

 この式２６を式２５に代入して以下の式２７が得られる。

 この式２７の関係により、漸化式は、解のｘ＝ｚ_１とｙ＝ｚ_２の大きさを概ね８９×２≒１８０倍に大きくする。
その逆に、行列Ｍの逆行列による逆漸化式は、解の大きさを概ね１８０分の１程度に小さくする。

例えば、この漸化式は、
（ｘ，ｙ）の、
（１，１）を（１５５，２０９）にし、
（１，２）を（２２１，２９８）にし、
（２，３）を（３７６，５０７）にする。

　もし式１に１８０以上の解があれば、その解は、その解から逆漸化式によって１８０分の１になる小さな正値の解にリンクしている。

逆漸化式２２のうちの１つは、以下の式２８である。

ここで、式１から、解のｘ＝ｚ_１はｙ＝ｚ_２で、以下の式２９であらわされる。 

式２９を式２８に代入して計算する。

（この式３０からも、ｙが逆漸化式によって１８０分の１以下に小さくなることが言える） 
なお、 ｘ＝ｚ_１は、以下の式で与えられる。

式３０は、ｙ＝ｚ_２がある値よりも小さければ、逆漸化式２２で得られるｙの値は負の値になってしまうが、その値よりも大きければ正の値になることを示している。
これが、逆漸化式２２によってより小さな正の解を導く限界を与える。
　この限界値以上のｙの解は、逆漸化式２２によって、より小さな正の値の解が導き出され、その小さな解に漸化式２０を適用することで導き出すことができる解なので、調べる必要は無い。
　一方、その限界値未満の解は、逆漸化式２２によってはより小さい正の解が得られないので、正の値の解に漸化式２０を適用することでは得られない。 
　そのため、その限界値未満の解については、それが解であるかを直接に計算して調べる必要がある。

　以下で、解を調べるべき限界値を計算する。
式３０が正になる条件がその限界の条件である。それは、以下の式で与えられる。

式３２により、ｘ＝ｚ_１≧２０が、式３０が正になる条件である。よって、ｘが２０以上の範囲の解を除外した、ｘが２０未満の解を調べるだけで、全ての解の存在の有無を確認することができる。
　その範囲内の全ての値のｘが解にはなら無いことを計算して確認した。
　そのため、 式１には、どのように大きな解も存在し得ず、解が存在しないことがわかった。

【問２】（超難問）
以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。


【解答】（途中まで）
　この問２は、更に難問ですが、以下の式に変形できるので、同様に「無限降下法」を使うことで、限定された値の範囲に解が存在しなければ、全く解が無いことが証明できる。
（その限定された値の範囲で解を発見できれば、漸化式を適用することで得られる無限個の解がある。）

 

この式２は、以下のように変形できる。

 この式４は、
解が無さそうであるが、
解が無いことが簡単には証明できない。
しかし、問１と同様に漸化式Ｍを求めて「無限降下法」を使うことで解が存在しないことを証明できると考える。
　そのためには、ある限定された値の範囲内で解が存在しないことを確認する。
（あるいは、その限定された値の範囲内で、１つ以上の解を発見するかもしれない）
その、有限の範囲内の確認を行なえば解が存在するかしないかの決着をつけられると考える。
・・・
（解答の途中）

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