三角比の分数式の変換

　三角比は、角度θをあらわすのに、cosθとsinθとの２つの表し方があり、複雑です。
　また、三角比は、以下の公式の様に、同じ値が、２つ以上の三角比の式で表されるという複雑な性質を持っています。そのため、その同じ値の２つの三角比の式同士を相互に変換できるように頭を整理しておきましょう。

【公式１】
分数式の分母が０になる場合を除き、
以下の式１及び１’：

が成り立つ事を証明せよ。

【公式２】 
分数式の分母が０になる場合を除き、
以下の式２及び２’：

が成り立つ事を証明せよ。

【公式３】
分数式の分母が０になる場合を除き、
以下の式４：

及び、

が成り立つ事を証明せよ。

【公式４】
分数式の分母が０になる場合を除き、
以下の式５：

及び、

が成り立つ事を証明せよ。

この問題の解答はここをクリックした先にあります。
これらの問題を解いたら解答も見てください。補足したコメントも書きましたので。 

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ＸＹ座標系と二等辺三角形に関する問題

【問１】 

上図のように、ＸＹ座標軸の原点Ｏを頂点にする二等辺三角形ＯＡＢがあり、
ＯＡ＝ＯＢ
である。
辺ＡＢの中点をＭとする。
ＭからＹ軸に平行に引いた直線と、
ＢからＸ軸に平行に引いた直線の交点をＮとする。
ＭからＹ軸に引いた垂線の足をＱとする。
Ｂから辺ＯＡに引いた垂線の足をＨとする。
このとき、
三角形ＱＭＮと三角形ＢＨＡが相似であることを証明せよ。

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三角関数の分数式の変換公式

【公式１】 
分数式の分母が０になる場合を除き、
以下の式１：

が成り立つ事を証明せよ。

なお、角度ＣをーＣに置き換えれば、式１は：

になる。
更に角度Ｃを（π／２）ーＣに置き換えれば、式２は：

になる。

【公式２】
分数式の分母が０になる場合を除き、
以下の式４：

及び、

が成り立つ事を証明せよ。

【公式３】
分数式の分母が０になる場合を除き、
以下の式５：

及び、

が成り立つ事を証明せよ。

【公式４】
分数式の分母が０になる場合を除き、
以下の式６：

及び式７：

が成り立つ事を証明せよ。

この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。
これらの問題を解いたら解答も見てください。補足したコメントも書きましたので。

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三角形の垂心の周りの角度

【問１】 

上図の角度の関係、すなわち、
三角形の垂心Ｈの周りの角度が、上図の様に、三角形の頂角と同じ角度になっていることを証明せよ。

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三角関数の積を２乗の差へ変換する公式

　計算問題が易しく解ける近道を示す道しるべが公式だと思います。
　そういう計算の道しるべの以下の公式を速やかに導き出せるよう、計算練習をしておくと良いと考えます。

【公式１】  角度Ｂと角度Ｃに関して、以下の式：

又は、

又は、

が成り立つ事を証明せよ。

【公式２】 
 角度Ｂと角度Ｃに関して、以下の式：

又は、

又は、

が成り立つ事を証明せよ。

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余弦定理に類似した公式の多さの解決策はベクトル

下のような平行四辺形を考えます。
 
この平行四辺形の一部の三角形ＡＢＣに関して、余弦定理は、平行四辺形の対角線２ｓ＝ａに関して、以下の式１であらわせます。

【問題１】
ここで、上の平行四辺形のもう１つの対角線（２ｍ）に関して、以下の式２が成り立つ事を証明しなさい。

【問題２】
また、上の平行四辺形の対角線（２ｍ）と（２ｓ）＝ａに関して、以下の式３が成り立つ事を証明しなさい。

（解説）
これらの証明は各自で自力で証明してください。

（ベクトルの学びの勧め）
　ここで、この公式２を学んだ学生は、余弦定理に類似した公式が多すぎて、どのように頭を整理したら良いかという課題がある事に気づき、悩む学生もいるかもしれません。
　その、公式をどう整理して秩序付けたら良いかという悩みは、ベクトルの内積を学ぶ事で解決します。
　公式の多さに悩んだ学生は、ベクトルの内積まで学べば、余弦定理に類似した多くの公式を整理するのに十分な手段を学ぶことができます。是非、ベクトルの内積を学んで下さい。

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