【問１】
以下の関数ｆ（ｘ）が全ての実数ｘで恒等的に０になる事を証明せよ。
g(x)=0, (x≠0)
g(x)=100, (x=0)
とした場合の
f(x)=xg(x),
について：
f(x)=0,
この式は恒等式であるか。
【証明】
(A) x=0 の場合：
f(x)=(0・100)=0,
(B) x≠0 の場合：
f(x)=(x・0)=0,
(C)
ゆえに、全ての実数ｘで
f(x)=0,
f(x)=0は恒等的に成り立つ恒等式である。
（証明おわり）
【問２】
問１の恒等式 f(x)=0 をｘで割り算した式は恒等式になるか。
【解答】
f(x)=0,
f(x)=xg(x)=0,
(A) x≠0 の場合：
式 f(x)=0 をｘで割り算でき、
g(x)=0,
になる。
この式は成り立つ。
(B) x=0 の場合：
式 f(x)=0 をｘで割り算した式はg(x)になり、g(x)はx=0でg(0)=100≠0である。よって、
恒等式 f(x)=0 をｘで割り算した式は、恒等式にならない。
すなわち：
xg(x)=0,
は恒等式であるが、
g(x)=0,
は、ｘ＝０の場合には成り立たたず、恒等式ではない。
（解答おわり）
【恒等式を因数ｘで割り算した式が恒等式になる場合】
恒等式：
ｘｇ(ｘ)＝０,
がある場合に、
その恒等式を共通因数ｘで割り算すると、
ｇ（ｘ）＝０，
が得られる。
もし、この式ｇ（ｘ）がｘ＝０の点で連続であるならば、この式は恒等式になる。
（証明開始）
ｘ≠０の場合、
ｘｇ(ｘ)＝０,
の両辺をｘで割り算して、
ｇ（ｘ）＝０，
が得られる。
一方ｇ（ｘ）がｘ＝０の点で連続であれば、
ｘ→０のｇ（ｘ）の極限値がｇ（０）に等しい。
また、ｘｇ（ｘ）が恒等式であるので、ｘ≠０でｇ（ｘ）＝０。
そのため、ｘ→０でのｇ（ｘ）の値は、いつもｇ（ｘ）＝０である。
ゆえに、ｘ→０でのｇ（ｘ）の極限値は０である。
ｇ（ｘ）がｘ＝０で連続であるので、ｇ（０）＝０，
である。
ゆえに、
ｘの全ての値において、
ｇ（ｘ）＝０，
すなわち、この式は恒等式である。
（証明おわり）
（補足）
ｇ（ｘ）が整式（単項式や多項式）の場合には、ｇ（ｘ）は連続関数です。
ｓｉｎ(ｘ)やｃｏｓ(ｘ)も連続関数です。
リンク：
恒等式の定義
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以下の問題で言う連続関数とは、１つながりに連続な関数の事を意味するものとする。
【問１】
x≠0のときF(x)が微分可能であって、
F '(x)=0, (1)
が成り立つものとする。
x=0の点でF(x)が連続とは限らないとき、
F(x)を求めよ。
【問２】
f(x)が連続関数である場合で、
f(x)は微分可能とは限らないとき、
を満足するf(x)を求めよ。
【問３】
関数f(x)が、関数値が無限大には発散しない関数である場合で、
f(x)は連続関数とは限らないとき、
を満足するf(x)を求めよ。
【問４】
f(x)が連続関数である場合で、
f(x)は微分可能であるとは限らないとき、
を満足する関数f(x)を求めよ。
【問５】
関数f(x)が連続関数である場合で、
f(x)は微分可能とは限らないとき、
を満足するf(x)を求めよ。
【問６】
関数f(x)が連続関数であり、かつ、微分可能なとき、
を満足するf(x)を求めよ。
この問題の解答はここをクリックした先にある。
リンク：
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三角形をずれ変形させて面積を求めた様に、立体もずれ変形させて体積を求めることができる。
上図のように頂点の１つが原点Ｏにあり、他の３頂点が、Ａ，Ｂ，Cである三角錐OABCの体積Vを求める。
以下の図の様に、図形のX座標を、Y座標に比例させて変化させる「ずれ変形」をさせる。このずれ変形によって、図形は歪むが、各部分の体積は変わらない。
この変形により、以下の様に図形がX方向に歪んで：
以下の図形に変わる。
更に、以下の図の様に、図形のZ座標を、X座標に比例させて変化させる「ずれ変形」をさせる。
この変形により、立体がZ方向に歪んで、以下の図形に変わる。
この変形した三角錘OABCの体積Vは、以下の式で計算できる。
（計算おわり）
（補足）
なお、以上の計算で、図形のずれ変形操作は、横にしたベクトルAとBとCを縦に並べて、それらのベクトルのｘ座標の列を定数数倍して、ｙ座標の列やｚ座標の列に加える操作であるとわかりました。
そのずれ変形操作によっては、それらのベクトルの張る立体の体積が変わりません。
また、一方で、ベクトルAを、定数倍にして他のベクトルBやベクトルCに加える操作も行えます。その操作は、立体図形OABCの点Bや点CをベクトルAに平行に移動させる操作になります。その操作でも、ベクトルの張る立体の体積が変わりません。
結局、
（１） 横にしたベクトルAとBとCを縦に並べた数字の行列を作る。
（２）その行列の縦の列を定数倍して他の列に足し算しても、ベクトルの張る立体図形の体積が変わらない。
（３）また、行列の横の行を定数倍して他の行に足し算しても、ベクトルの張る立体図形の体積が変わらない。
（結論）
これらの（２）や（３）の操作を繰り返して、ベクトルA，Ｂ，Ｃを計算に都合の良いベクトルに変形できます。そうして、立体の体積を計算する事ができます。
この事は大学に入学した後で線形代数で学びます。
リンク：
三角形をずれ変形させて面積を求める
三角形の面積をベクトルで分解して計算する
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上図のように頂点の１つが原点Ｏにあり、他の２頂点が、Ａ（ａ１，ａ２）とＢ（ｂ１，ｂ２）である三角形ＯＡＢの面積Sを求める。
以下の図の様に、図形のY座標をX座標に比例させて変化させる「ずれ変形」をさせる。このずれ変形によって、図形は歪むが、各部分の面積は変わらない。
この変形により、以下の図形に変形される。
この変形した三角形A’B'Oの面積Sは、以下の式で計算できる。
（補足）
なお、以上の計算で、図形のずれ変形操作は、横にしたベクトルAとBを縦に並べて、それらのベクトルのｘ座標の列を定数数倍して、ｙ座標の列に加える操作であるとわかりました。
そのずれ変形操作によっては、それらのベクトルの張る三角形の面積が変わりません。
また、一方で、ベクトルAを、定数倍にしてベクトルBに加える操作も行えます。その操作は、三角形OABのベクトルBの点ＢをベクトルAに平行に移動させる操作になります。その操作でも、ベクトルの張る三角形の面積が変わりません。
結局、
（１） 横にしたベクトルAとBを縦に並べた数字の行列を作る。
（２）その行列の縦の列を定数倍して他の列に足し算しても、ベクトルの張る三角形の面積が変わらない。
（３）また、行列の横の行を定数倍して他の行に足し算しても、ベクトルの張る三角形の面積が変わらない。
リンク：
三角形の面積をベクトルで分解して計算する
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