複素数平面のベクトル方程式での外心の導出

【問題】
　複素数平面上で、原点0と点A(a)と点B(b)とを通る円の中心の位置をMとする。線分OAの中点をHとしたとき、ベクトルHMを複素数ａとｂとであらわす式を求めよ。


この問題の解答はここをクリックした先にあります。

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複素数平面で三角形の外心を求める

複素数平面のベクトル方程式での垂心の導出

　複素数平面であらわした複素数はベクトルです。
（実際、ベクトルＰを複素数ｘ＋ｉｙと等号で結ぶ表現をすることもあります。)

以下では、複素数平面上の複素数を用いてベクトルの内積の計算式をどの様に書けば良いかを、以下の問題を例にして説明します。

【問題１】
　複素数平面上で、原点0を中心にした半径Rの円がある。その円上の３点の座標を、複素数でα、β、γとすると、その３点が作る三角形の垂心の位置を表す複素数ｈを求めよ。 

【問題２】
　複素数平面上で、原点0を中心にした半径１の円がある。その円上の異なる3点A(α)、B(β)、C(γ)が作る三角形の点Aから直線BCへ下ろした垂線の足をH(ε)とする。点Hの位置をあらわす複素数εを、点A,B,Cの位置から導き出す式を求めよ。 

　先ず、この問題を、ベクトル方程式を使ってベクトルで解を求めて、その解を複素数であらわす解を求めてください。

次に、ここをクリックした先の、解答を見てください。

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垂線の足までのベクトルの複素数の公式
複素数平面で三角形の外心を求める

任意の整数nに対するxの方程式が整数解を持つ問題

　任意の整数ｎに対するｘの方程式が整数解を持つ問題は、ｎの絶対値が十分大きい場合を考えて解くと問題が解き易くなります。

【問題１】
ａは実数の定数とする。任意の整数nに対する次のxの方程式が整数解を持つようなａの値をすべて求めよ。

（問題おわり）

【問題２】
ａは実数の定数とする。以下の式(1)が任意の自然数nに対して自然数Bになる場合、

以下の式(2)が成り立つことを証明せよ。

（問題おわり）

【問題３】
ａは実数の定数とする。以下の式(1)が任意の自然数nに対して自然数Bになる場合、

以下の式(4)が成り立つことを証明せよ。

（問題おわり）

この問題の解答はここをクリックした先にあります。

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未知数が２つ以上ある連立不等式

　未知数が１つだけの連立不等式は同値変形にかかわる式変形ができます。
　未知数が２つ以上ある連立不等式の正しい解き方も、問題を同値変形して解くのが正しい解き方です。同値変形して解く正しい解き方は、図を描いて解く解き方です。

【問】
-4＜a＜4.........①
-4＜b＜4.........②
6＜2a-b..........③
0＜a+b...........④
であるとき、aの範囲とbの範囲とを求めよ。
（問題おわり）

【解答】
以下の図を書いて問題を解く。

図の斜線の範囲が、同値変形した連立不等式の解です。
その斜線の図形の形から、
2＜a＜4,
-4＜b＜2,
がわかる。
（解答おわり）

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空間図形の面と直線の交点を求める解き方のバラエティ

大学への数学「ベクトル」編の勉強

【問１】以下の空間図形の線分ＯＢと、三角形ＤＥＦが張る面βとの交点Ｇの位置ベクトルをもとめよ。
　なお、ベクトルＯＡをベクトルａとし、ベクトルＯＢをベクトルｂとし、ベクトルＯＣをベクトルｃとする。
　そして、点Ｄは線分ＯＡを２：３に内分する点、点Ｅは線分ＡＣを２：１に内分する点、点Ｆは線分ＢＣを１：２に内分する点である。


【問２】
四面体OABCがあり、

とし、点Ｄを、以下の式(1)で定める。

点Xは、三角形ABCの辺上または内部にあるものとして、以下の式(2)で定める。

このとき、直線DXと平面OABとの交点Pの位置をあらわすベクトルＯＰを求めよ。

この問題を自力で解いた後で、ここをクリックした先の解答集を見てください。この問題の解き方が種々あるので参考になると思います。

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ベクトルを境界面まで延長する問題

ベクトルを境界面まで延長する問題

以下の問題を例にして、ベクトルを境界面まで延長する問題をやさしく解く方法を（この問題の解答にて）紹介する。

【問】以下の図の四面体OABCでベクトルOPを延長して面ABC上の点Qで交差するベクトルOQをベクトルａとｂとｃであらわす式(1)を求めよ。また、ベクトルＡＱを延長して直線ＢＣ上の点Ｒで交差するベクトルＡＲをベクトルＡＢとベクトルＡＣであらわす式(2)を求めよ。

この問題を、自力で解いたあとで、ここをクリックした先にあるこの問題の解答も参考にしてください。

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空間図形の面と直線の交点を求める解き方のバラエティ