連続関数の積分の場合では、微分と積分とが逆操作になる

〔前のページ〕 〔次のページ〕〔微分積分の目次〕

やさしい微分積分
《微分積分学の基本定理》
微分型で表現した微分積分学の基本定理は：
連結区間内で１つながりに連続な関数f(x)がある場合：

 が成り立つというものです。


 　この式が成り立たない場合などあり得ないのではないか？と考える人もいるかもしれません。
　この式が成り立たない場合というのは、f(x)が積分出来ない場合です。そもそも積分できなければ、微分する以前に、この式が成り立たないことになります。
　また、f(x)が積分して関数F(x)が得られても、関数F(x)が折れ曲がった関数になれば、その折れ曲がり点でF(x)は微分できません。F(x)が微分できなければ、この式が成り立たないことになります。

以下の図の関数ｆ（ｘ）のグラフを考えます。

この関数ｆ(x) は、ｘ＝０の点とｘ＝２の点では連続では無い関数です。
ｘ＝０の点とｘ＝２の点で関数は不連続であり、また、極限も存在しませんが、
－１≦ｘ≦３
の閉区間などの、その連続で無い点ｘ＝０，とｘ＝２の点を範囲内に持つ区間で積分可能です。
この関数ｆ（ｘ）を積分して、以下の図の不定積分の関数Ｆ（ｘ)を求めることができます。

この不定積分Ｆ（ｘ）を微分して下図のグラフの関数を求めます。
ｘ＝０とｘ＝２の点ではグラフが折れ曲がっているので微分できません。

この不定積分F(x)を微分した結果の導関数（ｄＦ（ｘ）／ｄｘ）は、ｘ＝０とｘ＝２で関数値が存在しないという点で、被積分関数ｆ（ｘ）と異なる関数になります。


この式が成り立たないのです。

　「関数 f(x) が連結区間内で１つながりに連続している関数f(x)の積分結果の関数F(x)が、その連結区間で微分可能である。そうして微分した結果は元の関数f(x)に戻る。」というのが（微分型の）微分積分学の基本定理です。
　そこには、「関数 f(x) が、ある連結区間内で１つながりに連続している」という条件が付いているのです。

リンク：
高校数学の目次