【練習１の問題】
半径１の球の中心Ｏと球面上の点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄとを結ぶベクトルを
更に、それらのベクトルについて式２の関係が成り立つ場合に、以下の関係が成り立つことを確認せよ。
【解答はじめ】
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2013年1月14日月曜日
ベクトルの内積の和と積の公式の練習１解答
【練習１の問題】
半径１の球の中心Ｏと球面上の点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄとを結ぶベクトルを
更に、それらのベクトルについて式２の関係が成り立つ場合に、以下の関係が成り立つことを確認せよ。
【解答はじめ】
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2013年1月13日日曜日
ベクトルの内積の和と積の公式の練習問題
佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強
【練習問題】半径１の球の中心Ｏと球面上の点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄとを結ぶベクトルを
それらのベクトルについて式２の関係が成り立つ場合に、以下の関係が成り立つことを計算して確認してください。
これらの関係が成り立つことは、ベクトルの内積の和と積の公式を利用すると、わりと簡単な計算で確認できると思います。
以下の関係式を簡単に確認できたら、ベクトルの内積の和と積の公式を使いこなせるようになっていることが確認できると思います。
簡単に解けなかったら、ベクトルの内積の和と積の公式がまだ身についていないのだろうと思います。
【練習１】
【練習２】
【練習３】
【練習４】
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ベクトルの内積の和と積の公式
佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強
「ベクトルの内積の式の変形問題を解くのが気が重い」という人は、以下のベクトルの内積の公式を導き出せないので、式の変形計算が不自由なところに原因があるように思います。
そのため以下の公式を導き出せるようにしましょう。
（公式を覚えるということは、その公式を導き出すための少しのヒントを覚えることと、その公式を導き出す手順を自分の手と目に覚えさせることです。）
ただし、以下の式は教科書では、特に公式として強調しては教えていないので、以下の式を使う場合は、その式を以下のように導き出す手順も解答用紙に書いて使うようにしてください。
（０ａ）先ず、ピタゴラスの定理を拡張した公式です。以下の図のように、ベクトルａとｂを、互いに直交する単位ベクトルｘとｙに平行な成分に分解した場合に、ベクトルの内積が以下の式の項に分解できます。
（０ｂ）また、内積は、以下の項にも分解できます。
ベクトルの内積がこの形で計算できるという事を心の片すみに留めておいてください。
【三角形の高さｈの公式】
この図の上記の公式が成り立つ。
この式は、以下の公式として覚える方が良いと思う。
この公式は、ベクトルａとｂとｃが分かっている場合に外接円の半径が分からないでも、三角形の高さｈを求める公式として使える。
そして、他の公式から、高さｈは、
２ｈＲ＝|c|・|b|
という事も分かるので、
両公式を使う事で外接円の半径Ｒも計算できる。
ただし、外接円の長さＲを求めるだけならば、
外心の辺ＢＣ上の高さｍが分かった時点で、
辺ＢＣ／２の２乗とｍの２乗の和がＲの２乗になる事から求められるという他の計算の道もある。
また、この公式で使う三角形の長さａの２乗について、以下の置き換えの公式が成り立つ。
【ベクトルの張る第１の三角形の余弦定理】
（１）次に、内積を数値の和に変える第１の公式は以下の公式です。
この第１の公式は、下図の式１の公式です。
余弦定理をまだ覚えていない人は、このベクトルの内積の第１の公式を条件反射で導き出して、その公式を式２の余弦定理の形に変換して余弦定理を導き出して使えるようになってください。
また、余弦定理を使って証明する図形の問題は、ベクトルの内積を利用すれば簡単に証明できる場合が多いです。
【ベクトルの張る第２の三角形の余弦定理】
（２）次に、内積を数値の和に変える第２の公式は以下の公式です。
この第２の公式は、下図の式３の公式です。
この式４は、ベクトルの張る第２の三角形ＰＣＢの余弦定理です。
【ベクトルの内積とベクトルの２乗の差の変換公式】
（余弦定理に類似した中線の式）
（３）次に、ベクトルの内積を合成ベクトルの２乗の差に変える以下の第３の公式を以下のよう導き出す計算手順をおぼえてください。
これらの公式は、複素数平面での計算によっても導き出せます。
（４）次は、ベクトルの２乗の差、又は和を合成ベクトルの内積に変える公式です。
（３）の余弦定理に類似した中線の公式の同類であり、合成ベクトルの内積をベクトルの２乗の差に変える公式です。
この公式は、以下の公式に置き換えることができる。
この公式についても、ベクトルの２乗の差の式から合成ベクトルの内積の式が条件反射で導き出せるように練習しておいて下さい。
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2011年12月18日日曜日
複素数平面での等角写像
佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強
第６講 複素数平面
【問】
複素数平面上の点Ａのあらわす複素数をＺＡと定義する。
その点Ａを、
複素数ｗ≡１／ＺＡ （１）
であらわされる複素数平面上の点Ｃに写像する写像変換について考える。
特に、Ａ点の位置が、
ＺＡ＝１＋ｉ （２）
のとき、
（３）
である。
下図のようにＡ点から微小量移動した位置の点に関する以下の問に答えよ。
【問１】
Ａ点から微小量移動する点の虚数座標がｉのままで、実座標がＡ点から微小量Δ・ｕ変化した点（Δは微小な実数、ｕは実数とする）について、その微小な変化量を
Δｕ（ＺＡ）≡Δ・ｕ
とあらわすことにする。
そのようにＡ点から微小量ずれた点を式１で写像される点はＣ点から微小量ずれる。そのずれた点の複素数座標が複素数ｗから変化する微小な変化量を
Δｕ（ｗ）
とあらわすことにする。
その微小量の近似式（微小量の極限では等式になる）を計算せよ。
（解答）
【問２】
Δｕ（ｗ）のあらわす複素数平面上のベクトルの方向が虚軸方向を向いていることを示せ。
（解答）
この複素数のあらわすベクトルは、虚軸方向を向いている。
【問３】
実数座標が１のままで、虚数座標がＡ点から微小量Δ・（ｉ・ｔ）変化した点（ｔは実数とする）について、その微小な変化量を
Δｔ（ＺＡ）≡Δ・（ｉ・ｔ）
とあらわすことにする。
そのようにＡ点から微小量ずれた点を式１で写像される点はＣ点から微小量ずれる。そのずれた点の複素数座標が複素数ｗから変化する微小な変化量を
Δｔ（ｗ）
とあらわすことにする。
その微小量の近似式（微小量の極限では等式になる）を計算せよ。
（解答）
【問４】
Δｔ（ｗ）のあらわす複素数平面上のベクトルの方向が実軸方向を向いていることを示せ。
（解答）
この複素数のあらわすベクトルは、実軸方向を向いている。
【問５】
写像された複素数Δｕ（ｗ）の表す複素数平面上のベクトルが複素数Δｔ（ｗ）の表す複素数平面上のベクトルに対して成す角度は、
写像する前の複素数Δｕ（ＺＡ）の表す複素数平面上のベクトルが複素数Δｔ（ＺＡ）の表す複素数平面上のベクトルに対して成す角度と等しいことを証明せよ。（先の問題の結果から、その成す角度は９０度であることがわかっているが、もう少し一般的に使える証明方法で証明して欲しい）
（解答）
複素数同士を割り算して複素数を得れば、その複素数の偏角が複素数のあらわすベクトル同士の成す角度をあらわす。
そのため、複素数同士を割り算する。
写像された複素数Δｕ（ｗ）を複素数Δｔ（ｗ）で割り算した結果は、
写像する前の複素数Δｕ（ＺＡ）を複素数Δｔ（ＺＡ）で割り算した結果と等しい。
そのため、
写像された複素数Δｕ（ｗ）と複素数Δｔ（ｗ）の成す角度は、
写像する前の複素数Δｕ（ＺＡ）と複素数Δｔ（ＺＡ）の成す角度と等しい。
（証明おわり）
（追加コメント）
（証明方法は省略するが）一般に、複素数平面上で交差する任意の２曲線を式１で写像変換して新しい２曲線を得る場合に、その新しい２曲線が交差する角度は、写像する前の２曲線の成す角度と等しいことも証明できる。ただし、交点がＺ＝０の場合は除く。
このように、写像によって曲線の交差する角度が変わらない写像は、等角写像と呼ばれている。
（追加コメントその２）
また、（次の証明方法も省略するが）以下のことがいえる。
（条件）
複素数平面上での点をＺであらわす。
Ｚをｗに写像変換する以下の式を考える。
ｗ＝ｆ（Ｚ） （式４）
ここで、ｆ（Ｚ）はＺの有理関数か、有理関数の和に展開できる式とする。
そして、有理関数は微分できるから、ｆ（Ｚ）の微分を考える。
－∞＜ｄｆ（Ｚ）／ｄＺ＜∞ （式５）
この微分値が有限値になる点で交差する２曲線（Ｚで座標を表す）の座標を式４によりｗに写像変換するものとする。
（結果）
すると、複素数平面上でｗが描く２曲線（ｗで座標を表す）が交差する角度は、写像する前の２曲線（Ｚで座標を表す）の成す角度と等しい（等角写像になる）。
（注意）
なお、複素数Ｚ＝ｘ＋ｉ・ｙを、ｗ＝ｇ（ｘ，ｙ）＋ｉ・ｈ（ｘ，ｙ）であらわされる式で写像変換して新しい２曲線を得る場合には、その場合は、等角写像になるとは限らない。
このような変換も、
ｗ＝ｆ（Ｚ） （式６）
と表現されるので、注意すること。
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第６講 複素数平面
【問】
複素数平面上の点Ａのあらわす複素数をＺＡと定義する。
その点Ａを、
複素数ｗ≡１／ＺＡ （１）
であらわされる複素数平面上の点Ｃに写像する写像変換について考える。
特に、Ａ点の位置が、
ＺＡ＝１＋ｉ （２）
のとき、
（３）である。
下図のようにＡ点から微小量移動した位置の点に関する以下の問に答えよ。
【問１】
Ａ点から微小量移動する点の虚数座標がｉのままで、実座標がＡ点から微小量Δ・ｕ変化した点（Δは微小な実数、ｕは実数とする）について、その微小な変化量を
Δｕ（ＺＡ）≡Δ・ｕ
とあらわすことにする。
そのようにＡ点から微小量ずれた点を式１で写像される点はＣ点から微小量ずれる。そのずれた点の複素数座標が複素数ｗから変化する微小な変化量を
Δｕ（ｗ）
とあらわすことにする。
その微小量の近似式（微小量の極限では等式になる）を計算せよ。
（解答）
【問２】
Δｕ（ｗ）のあらわす複素数平面上のベクトルの方向が虚軸方向を向いていることを示せ。
（解答）
【問３】
実数座標が１のままで、虚数座標がＡ点から微小量Δ・（ｉ・ｔ）変化した点（ｔは実数とする）について、その微小な変化量を
Δｔ（ＺＡ）≡Δ・（ｉ・ｔ）
とあらわすことにする。
そのようにＡ点から微小量ずれた点を式１で写像される点はＣ点から微小量ずれる。そのずれた点の複素数座標が複素数ｗから変化する微小な変化量を
Δｔ（ｗ）
とあらわすことにする。
その微小量の近似式（微小量の極限では等式になる）を計算せよ。
（解答）
【問４】
Δｔ（ｗ）のあらわす複素数平面上のベクトルの方向が実軸方向を向いていることを示せ。
（解答）
【問５】
写像された複素数Δｕ（ｗ）の表す複素数平面上のベクトルが複素数Δｔ（ｗ）の表す複素数平面上のベクトルに対して成す角度は、
写像する前の複素数Δｕ（ＺＡ）の表す複素数平面上のベクトルが複素数Δｔ（ＺＡ）の表す複素数平面上のベクトルに対して成す角度と等しいことを証明せよ。（先の問題の結果から、その成す角度は９０度であることがわかっているが、もう少し一般的に使える証明方法で証明して欲しい）
（解答）
複素数同士を割り算して複素数を得れば、その複素数の偏角が複素数のあらわすベクトル同士の成す角度をあらわす。
そのため、複素数同士を割り算する。
写像する前の複素数Δｕ（ＺＡ）を複素数Δｔ（ＺＡ）で割り算した結果と等しい。
そのため、
写像された複素数Δｕ（ｗ）と複素数Δｔ（ｗ）の成す角度は、
写像する前の複素数Δｕ（ＺＡ）と複素数Δｔ（ＺＡ）の成す角度と等しい。
（証明おわり）
（追加コメント）
（証明方法は省略するが）一般に、複素数平面上で交差する任意の２曲線を式１で写像変換して新しい２曲線を得る場合に、その新しい２曲線が交差する角度は、写像する前の２曲線の成す角度と等しいことも証明できる。ただし、交点がＺ＝０の場合は除く。
このように、写像によって曲線の交差する角度が変わらない写像は、等角写像と呼ばれている。
（追加コメントその２）
また、（次の証明方法も省略するが）以下のことがいえる。
（条件）
複素数平面上での点をＺであらわす。
Ｚをｗに写像変換する以下の式を考える。
ｗ＝ｆ（Ｚ） （式４）
ここで、ｆ（Ｚ）はＺの有理関数か、有理関数の和に展開できる式とする。
そして、有理関数は微分できるから、ｆ（Ｚ）の微分を考える。
－∞＜ｄｆ（Ｚ）／ｄＺ＜∞ （式５）
この微分値が有限値になる点で交差する２曲線（Ｚで座標を表す）の座標を式４によりｗに写像変換するものとする。
（結果）
すると、複素数平面上でｗが描く２曲線（ｗで座標を表す）が交差する角度は、写像する前の２曲線（Ｚで座標を表す）の成す角度と等しい（等角写像になる）。
（注意）
なお、複素数Ｚ＝ｘ＋ｉ・ｙを、ｗ＝ｇ（ｘ，ｙ）＋ｉ・ｈ（ｘ，ｙ）であらわされる式で写像変換して新しい２曲線を得る場合には、その場合は、等角写像になるとは限らない。
このような変換も、
ｗ＝ｆ（Ｚ） （式６）
と表現されるので、注意すること。
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