軌跡の計算（９）

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問１】点Ｋ（ｋ_１，ｋ_２）と点Ｐ（Ｘ，Ｙ）との間に、次の関係があるものとする。

（ａとｂは０で無い実数の定数）点Ｋ（ｋ_１，ｋ_２）が直線ｘ＋ｙ－１＝０上を動くとき、点Ｐ（Ｘ，Ｙ）はどんな図形を描くか。

（解き方の方針）
先ず、直線の式にＫ（ｋ_１，ｋ_２）を代入した式を書いておく。
ｋ_１＋ｋ_２－１＝０　（式３）

この問題は、以下の方針で計算する。
（方針１）先ず、式１と式２が同じ形の分母Ｂを持っていることに注目する。
（方針２）式１と式２の分子はｋ_１の定数倍とｋ_２の定数倍の和のみであるので、式１と式２を加え合わせて、分子をｋ_１の定数倍にした式（式４）と、分子をｋ_２の定数倍にした式（式５）を計算することができる。そのため、その式５と式６を計算する。
（方針３）（式４）の２乗と（式５）の二乗を加え合わせた式（式６）を作る。式６は、分子が元の分母Ｂ＝（ｋ_１^２＋ｋ_２^２）の定数倍になるので、（式６）＝Ｂ／Ｂ^２＝１／Ｂの定数倍になる。
（方針４）式３の左辺のｋ_１の項に式４を代入し、ｋ_２の項に式５を代入し、定数項に式６の定数倍を代入した（式７）を計算する。その（式７）は、式３の右辺が０であるので０になる。そのため、（式７）では、ｋ_１とｋ_２の分数式であらわされた項が一気に消える。

（解答）
先ず、（方針２）を実行する。
分子からｋ_２を消去してｋ_１を残すために、ａ（式１）＋ｂ（式２）を計算する。

分子からｋ_１を消去してｋ_２を残すために、ｂ（式１）－ａ（式２）を計算する。

（方針３）により、（式４）の二乗と（式５）の二乗を加え合わせる。

この式の左辺＝（ａ^２＋ｂ^２）（Ｘ^２＋Ｙ^２）
よって、

式を（ａ^２＋ｂ^２）で割り算する（ａとｂは０では無い）。

以上で得た式を整理すると、以下の式になる。

（方針４）により、（式３）に（式４）と（式５）と（式６）を代入する。

この式８は、下図のように、中心が（（ａ＋ｂ）／２，（ｂ－ａ）／２）にあり、（０，０）を通り、半径が√（（ａ^２＋ｂ^２）／２）の円である。

ここで、式１と式２から、Ｘ＝０，Ｙ＝０になるためには、
ｋ_１ａ＋ｋ_２ｂ＝０　→　ｋ_１＝－ｋ_２ｂ／ａ
ｋ_１ｂ－ｋ_２ａ＝０　→　ｋ_１＝ｋ_２ａ／ｂ
ｋ_１^２＝－ｋ_２^２
となるので、ｋ_１＝ｋ_２＝０
しかし、ｋ_１＝ｋ_２＝０は、式３であらわす直線上の点では無い。そのため、Ｐ（Ｘ，Ｙ）は（０，０）にはならない。

式１と式２を見ると、点Ｋが直線の左右の無限遠方に遠ざかれば、Ｐ（Ｘ，Ｙ）は（０，０）に近づくが、Ｐ（Ｘ，Ｙ）は決して（０，０）には到達しない。

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軌跡の計算（８）

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強
【問１】点Ｐ（Ｘ，Ｙ）が実数の媒介変数ｋと０で無い実数の定数ａ，ｂ，ｃとを用いて次の式であらわされるものとする。
Ｘ＝（ｋａ＋ｃｂ）／（ｋ^２＋ｃ^２）　（式１）
Ｙ＝（ｋｂ－ｃａ）／（ｋ^２＋ｃ^２）　（式２）
（ｋは媒介変数）
媒介変数ｋの値が変化するとき、点Ｐ（Ｘ，Ｙ）はどんな図形を描くか。

（解き方の方針）
この問題は、軌跡（７）で解答したような、媒介変数ｋを用いた２つの直線の交点Ｐの座標ＸとＹを求めた後に、
それらの式からＸとＹの関係式を考える問題です。
以下では、そのような場合に、より素早く問題を解く計算技術を示す。

式１と式２のような式のグループから媒介変数ｋを消去する場合の計算技術として、以下の方針で計算する。
（方針１）先ず、式１と式２が同じ形の分母Ｂを持っていることに注目する。
（方針２）次に、式１の分子と式２の分子を足し算して分子に媒介変数ｋが無い式（１／Ｂ）を求める。
（方針３）分母の要素のｋとｃの成すベクトルＣ（ｋ，ｃ）に関して、式１の分子は、そのベクトルとベクトルＡ（ａ，ｂ）の内積であり、一方、式２の分子は、そのベクトルＣ（ｋ，ｃ）と、ベクトルＡ（ａ，ｂ）に垂直なベクトル（ｂ，－ａ）の内積であることに注目する。
そのような場合には、ベクトルＣとベクトルＡの成す角度をθとすると、式１の分子＝ベクトルＣとベクトルＡの内積は｜ベクトルＣ｜・ｃｏｓθに比例し、式２の分子＝ベクトルＣと、ベクトルＡに垂直なベクトルとの内積は｜ベクトルＣ｜・ｓｉｎθに比例する。
そのため、式１の二乗と式２の二乗を加え合わせるとｓｉｎの二乗とｃｏｓの二乗の和は１になるので式の分子は、｜ベクトルＣ｜^２＝Ｂに比例する。
それは元の分母Ｂの定数倍になり、式全体＝定数・Ｂ／Ｂ^２＝定数／Ｂになる。
（方針４）その式（１／Ｂ）から、（方針２）で求めた（１／Ｂ）と等しい式を引き算することで、媒介変数ｋを含んだ分数式を一気に消去する。

（解答）
先ず、（方針２）を実行する。
分子からｋを消去するために、ｂ（式１）ーａ（式２）を計算する。
ｂＸ－ａＹ＝ｃ（ｂ^２＋ａ^２）／（ｋ^２＋ｃ^２）　（式３）
ここでａ，ｂ，ｃは０では無いので、式３の右辺の分数式は０では無い。

（方針３）により、（式１）の二乗と（式２）の二乗を加え合わせる。
Ｘ^２＋Ｙ^２
＝｛（ｋａ）^２＋（ｃｂ）^２＋（ｋｂ）^２＋（ｃａ）^２｝／（ｋ^２＋ｃ^２）^２
＝（ｋ^２＋ｃ^２）（ａ^２＋ｂ^２）／（ｋ^２＋ｃ^２）^２
Ｘ^２＋Ｙ^２＝（ａ^２＋ｂ^２）／（ｋ^２＋ｃ^２）　（式４）

（方針４）により、（式４）－（式３）／ｃを計算する（ｃは０では無いことに注意）ことで、ｋを含む分数式を一気に消去する。
Ｘ^２＋Ｙ^２－｛（ｂＸ－ａＹ）／ｃ｝＝０
（Ｘ－（ｂ／２ｃ））^２＋（Ｙ＋（ａ／２ｃ））
＝（ｂ／２ｃ）^２＋（ａ／２ｃ）^２　（式５）
この式は、下図のように、中心が（（ｂ／２ｃ），－（ａ／２ｃ））にあり、（０，０）を通り、半径が√（ａ^２＋ｂ^２）／（２ｃ）の円である。

ここで、式１と式２から、Ｘ＝０，Ｙ＝０になるためには、
ｋａ＋ｃｂ＝０　→　ｋ＝－ｃｂ／ａ
ｋｂ－ｃａ＝０　→　ｋ＝ｃａ／ｂ
Ｋ^２＝－ｃ^２
となってしまい、ｃが０で無いので、Ｘ＝０，Ｙ＝０になるための条件が成り立たないことがわかる。そのため、Ｐ（Ｘ，Ｙ）は（０，０）にはならない。

式１と式２を見ると、媒介変数ｋが負の無限大か正の無限大になれば、Ｐ（Ｘ，Ｙ）は（０，０）に近づくが、Ｐ（Ｘ，Ｙ）は決して（０，０）には到達しない。

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軌跡の計算（７）

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問１】実数のｋの値が変化するとき、２直線
ｋｘ＋３ｙ－２ｋ＝０　（直線１）
－３ｘ＋ｋｙ＋２ｋ＋３＝０　（直線２）
の交点Ｐ（Ｘ，Ｙ）の軌跡を求めよ。


この問題を解く方針としては、Ｘのみをパラメータｋであらわす式と、Ｙのみをパラメータｋであらわす式を求めて、それからＸとＹの関係式を考える方が確実な解き方と考える。


大学の入学試験でも、そのようなやり方で問題を解く学生を合格させたいと考えるのではないかと思います。

そのため、以下では、その方針で問題を解く。

（式の形を単純にする）
この直線の式では、ｋがあちこちにあって複雑な式になっている。
先ずは、その複雑な式を、ｋに関するもっと単純な形の式に書き変える。
そのために、先ず、直線の式をｋに関して整理する。
ｋ（ｘ－２）＋３ｙ＝０　（式１）
ｋ（ｙ＋２）－３ｘ＋３＝０　（式２）

ここで、ｋのかかる式（ｘ－２）および（ｙ＋２）をｚとｖに置き換える。
ｘ－２＝ｚ　（式３）
ｙ＋２＝ｖ　（式４）

この置き換えは、ｚはｘ座標を定数の値で平行移動した値であり、ｖはｙ座標を定数の値で平行移動した値である。ｚとｖをｘとｙに置き換えて考えると計算が楽になる。そのため、式１と式２を、ｚとｖだけであらわす。


ｋ（ｘ－２）＋３（ｙ＋２）－６＝０　（式１）’
ｋｚ＋３ｖ－６＝０　（式５）


ｋ（ｙ＋２）－３（ｘ－２）－６＋３＝０　（式２）’
ｋｖ－３ｚ－３＝０　（式６）

次に、式５と式６から、ｚのみをパラメータｋであらわす式と、ｖのみをパラメータｋであらわす式を求める。

ｖを消去して、ｚのみをパラメータｋであらわす式を求めるために、ｋ（式５）－３（式６）を計算する。
（ｋ^２＋９）ｚ－６ｋ＋９＝０

ｚを消去して、ｖのみをパラメータｋであらわす式を求めるために、３（式５）＋ｋ（式６）を計算する。
（ｋ^２＋９）ｖ－１８－３ｋ＝０

式７と式８でｚとｖがｋであらわせた。
このような式のグループからｋを消去する場合の計算技術としては、
（Ｓ１）先ず、式７と式８が同じ形の分母Ｂを持っていることに注目する。
（Ｓ２：重要な方針）分母がｋの二乗と定数から成る。この分母Ｂを持つ式で、（分子がＫである式）の２乗と、（分子が定数３である式）の２乗を足し合わせる（方針Ｓ３）と分子が最初の分母Ｂと同じになる。その式は、Ｂ／Ｂ^２＝１／Ｂになる。その式を、別に計算して得た、分子が定数の式と加え合わせる（方針Ｓ４）ことで、ｋの分数式を分母と分子ともども一気に消去する。

（計算の準備）
その計算をできるようにする準備として、ｋを分子にする式と、定数を分子にする式とを求める。
（Ｓ２－１）
定数を分子にする式を求めるために、（式７）－２（式８）を計算する。

（Ｓ２－２）
ｋ（の定数倍）を分子にする式を求めるために、２（式７）＋（式８）を計算する。

以上で、準備ができたので、
（Ｓ２：重要な方針）で目標にした（方針Ｓ３）と（方針Ｓ４）を以下のように実行する。
（方針Ｓ３）
式９の分子の二乗と式１０の分子の二乗を加え合わせて、その分子を元の式の分母の定数倍にした式を作る。
すなわち、(式９)^２＋(式１０)^２を計算する。

（方針Ｓ４）
次に、式１１の右辺の分数式を一気に消去するために、（式１１）＋５（式９）を計算する。
｛(ｚ－２ｖ)^２＋(２ｚ＋ｖ)^２｝＋５（ｚ－２ｖ）＝０
｛ｚ^２＋４ｖ^２＋４ｚ^２＋ｖ^２｝＋５（ｚ－２ｖ）＝０
５｛ｚ^２＋ｖ^２｝＋５（ｚ－２ｖ）＝０
｛ｚ^２＋ｖ^２｝＋（ｚ－２ｖ）＝０
(ｚ＋（１／２）)^２＋(ｖ－１)^２＝（５／４）　（式１２）
これで計算の目標が達成できた。

（残りの計算）
次に、ｚとｖをｘとｙに戻す残りの計算を行なう。
式１２に式３と式４を代入する。
(ｘ－２＋（１／２）)^２＋(ｙ＋２－１)^２＝（５／４）
(ｘ－（３／２）)^２＋(ｙ＋１)^２＝（５／４）　（式１３）
これは、Ｐ（ｘ，ｙ）の軌跡が円になることをあらわしている。
この円は、点（３／２，－１）を中心にした、半径（√５）／２の円である。

ここで、この円は、下の図のようになる。

ｚとｖをあらわした式７と式８を見ると、
パラメータｋの値が負の無限大、あるいは正の無限大に大きくなると、
点Ｐ（ｘ，ｙ）は、（ｚ，ｖ）＝（０，０）となる点、すなわち、点（ｘ，ｙ）＝（２，－２）に近づく。
しかし、点Ｐは、決して（２，－２）に達することは無い。


【一部の別解】
以上の解き方で、気の短い人は、式６以降の、式１２を求めるまでの計算がわずらわしい、道草を食っている、と思った方もいるかもしれません。そのため、以下で、その部分の別解を書きます。

（式７と式８は計算しましょう）
式６の後、すぐ式１２を計算できますが、それでは、ｚとｖの値がｋとともにどう変化するかの傾向を見ることができなくなります。そのため、式７と式８は計算しておきましょう。この計算は、上に書いた計算と同じですので、記載を省略します。


（式５と式６から式１２を導く）
式５から、以下の式が得られます。
（１）ｚ≠０のとき
ｋ＝（６－３ｖ）／ｚ
この式を式６に代入する。
（（６－３ｖ）／ｚ）ｖ－３ｚ－３＝０
（６－３ｖ）ｖ－３（ｚ＋１）ｚ＝０
（ｖ－２）ｖ＋（ｚ＋１）ｚ＝０
ｖ^２－２ｖ＋ｚ^２＋ｚ＝０
(ｖ－１)^２＋(ｚ＋（１／２）)^２＝１＋（１／４）
(ｖ－１)^２＋(ｚ＋（１／２）)^２＝５／４　(式１２）


（２）ｚ＝０の場合、
式５に、ｚ＝０を代入して、
６－３ｖ＝０
ｖ＝２　（式１４）

式６に、ｚ＝０とｖ＝２を代入して、
ｋ・２－３＝０
ｋ＝（３／２）


式１２にｚ＝０を代入して、
(ｖ－１)^２＋(１／２)^２＝５／４
(ｖ－１)^２＝１
この式の解でｖ＝０、２がありますが、ｖは（式１４）で得られた２のみが有効で、ｖ＝０という解はありません。
そのため、軌跡は、式１２であらわされる円のうち、点（ｚ，ｖ）＝（０，０）は通りません。

式１２以降の計算は、上に書いた計算と同じですので、記載を省略します。


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