【拡張円周角の定理と円周角の定理】
上図のように、三角形ＡＢＣの∠Ａ＝アルファαと同じ角が、
外接円の各部に、円周角や拡張円周角になってあらわれる。
しかも、各部の点のまわりに現れる角度が、左まわりに、
α，○，△の順に繰り返して現れる。
これらの角をすぐ想像できるように、よく覚えてください。
【接弦定理】
三角形ＡＢＣの外接円において点Ｂのまわりに現れる角度が、
左まわりに、α，○，△の順に繰り返して現れるので、
接弦定理：
∠Ａ＝∠ＣＢＤ
が成り立ちます。
この接弦定理の図も一緒に覚えてください。
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高校の教育体制について考えてみます。
以下の問いかけがありました。
（引用開始）
神奈川、東京の中高一貫校生と公立高校受験組との差
投稿者: 巻き返し (ID:S6l6Es1iKHY) 投稿日時：17年 01月 03日 12:21
前者（私立）は最低でも小４から高度な受験勉強をして高校卒業時には難関大学受験に合わせ、しっかり結果が出るように仕上げてくる。
後者（公立）は前者（私立）に比べて高度な受験勉強時間そのものが平均して４年位少ないのではないかと推測します。
ですが、ここ最近、公立最難関校が十数年来の再注目を浴びてきております。注目を浴びるのは勝手なのですが本当にエリート街道と言われる私立、国立の、中高一貫校の方々と対等レベルまで張り合っていけるのでしょうか？
公立高校のカリキュラムや教育指導にその様なノウハウがあるとはとても思えないのですが。
皆さま、ここ最近の公立再注目報道、どの様にお感じになられますか？
投稿者: 根本的に全てが違う (ID:HCjeNKXThdo) 投稿日時：17年 01月 03日 16:13
最近の公立トップ校は学校が進学指導に力を入れ課題量も凄まじく、クラブ活動をせずに通塾という生徒も増えています。
学力も上がるでしょう。
ただ公立トップ高校へ入るために小5辺りから通塾し、中学でも通塾を軸にクラブは幽霊部員という生徒も増えています。
もちろん昔のように中学でもトップ校でも文武両道の生徒もまだまだいますが、公立トップ校へ入れば受験一辺倒になる生徒は多いです。
親も経済的余裕がないため現役で国公立大学合格を強くのぞんでいますので尚更です。
むしろ灘開成筑駒のような最難関私立中高一貫の生徒の方がのびのび遊び、その遊びもダイナミックで、しかも集中力が半端なく処理能力は高いですよ。
うちの子は某難関私立中高一貫の高校生で、
時折、公立高校の生徒さんたちと交流がありますが、
公立トップ校といえど、（私立中高一貫とは）経験数、活動の大きさ、発想力など全く違うと感じております。
余裕とかキャパの違い（公立高校の生徒の心には余裕が無い）といったようなものです。
私立中高一貫校の保護者もおおらかで余裕があります。
確かに学校が進学重視にシフトし進路指導をするようになり公立高校の学力も進学実績も上がりましたが、
高学力、かつ、学力だけではない次世代のエリート教育、
にはほど遠いと思います。
学力進学実績向上だけなら、拘束し馬車馬のように勉強させれば叶うでしょうが、
今の公立トップ校は、それにより、かえって（心に余裕が無くなり）次世代エリートというものから遠のくでしょう。
また余談ですが、
公立難関高校が、最難関中高一貫校に敵わない点は、
人脈です。
公立高校出身の私は、我が子の通う中高一貫OBの愛校心と繋がりの強さに驚きを隠せません。
既にエリート街道を行くOBと繋がることで、自然とエリート街道を行くことになるようです。
こういうことが公立高校では無く。
私自身は公立高校しか知らなかったので、我が子の今の環境を知ることによって、公立高校と難関中高一貫校との差をひしひしと感じております。
（引用おわり）
（当ブログのコメント）
私立進学高校の方が公立高校よりも大学受験に有利だと考えます。
その理由は、私立進学高校は、高校２年までに、高校３年の数学を教えてしまい、高校３年の１年間は、受験勉強のみに集中するからです。
また、私立進学高校の学生は大学に進学する勉強に熱心で、塾にも通って、学力を強化することに熱心です。
そういう体制なので私立進学高校の方が大学進学には有利です。
《デメリット》
しかし、デメリットとして、学習進度が速いと、落ちこぼれると授業の進行について行けなくなる生徒が出ます。
（そういうデメリットは学習進度が速い高校なら、私立も公立高校も共通に持つ問題だと思います。）
高校の価値は、そういう落ちこぼれ生徒も等しく引き上げる。ゆっくり勉強派の学生も、時間がかかっても追いつかせて満足させる体制があるか否かにあると思います。
学校への愛校心が高い先輩が多い高校は、そういう問題にたいするフォローアップ体制もしっかりしている良い学校ではないかと思います。
（参考）進学校の授業のスピード その１
・・・
まずは某私立高校での数学と英語の授業スピードです。
数学に関しては高校１年の終わりまでに数１Ａ、数２Ｂの教科書が終わるだけでなく総復習まで終わるようです。
（当ブログのコメント：そもそも、中学３年のときに、高校の数１Ａが終わっていると思いますから、それほど進度が速いわけでもない。高校から新たに入学した生徒が追いつくのは大変ですが、、、）
授業でも教科書の内容だけでなく、大学の数学の話しも交えておこなっているようです。
つまり、高校２年になる前にセンター試験で満点を取れる生徒もいるということです。
当然やる気のある生徒は高校１年生のうちに独学で数３Ｃも終わらせています。
高校２年から数３Ｃがスタートして２学期までに教科書と復習が全て終わり、３学期からは完全に受験対策がはじまるそうです。
・・・
（当ブログのコメント）
以上、私立進学高校を推薦するコメントを書いて来ましたが、私立進学高校で生徒が勉強の進度についていけるのは、高校の授業だけで無く、塾に通って、速い授業の進度に遅れないように、塾の先生からも助けてもらっている実態があるからです。
もう１つ、塾に通わないでも数学が好きな生徒は、自分だけで学習して、トップレベルの国公立大学に合格した実例もあります。
また、高校の間一切数学を勉強しない完全な落ちこぼれ生徒が、大学受験の浪人の１年間だけで、数学が特に優秀になる学力の飛躍を遂げた事例もあります。
そもそも、数学の勉強は自分次第なので、自分の意識が大切と思います。
私立進学校の本当の価値は、単に数学の授業を速く進めるから、ということにあるのでは無く、「数学の勉強が面白いから勉強する」という雰囲気を学生の間に作り上げているのではないか。
数学が分からなくなった生徒がいたら他の生徒が援助する助け合いも多く行われていて、本当に、勉強が面白いという体験を生徒にさせて、生徒らが自分たちで学力を飛躍的に向上させる事に成功しているからではないかと推測します。
結論：高校生活の気持が良い高校が良い高校だと思います。生徒が良く遊べる高校が良い高校だと考えます。
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【問１】（難問）
点Ｏを原点とするＸＹ座標平面において、Ｙ軸上のＹ＝５の位置とＹ＝１の位置に点Ａと点Ｐがあり、
Ｘ軸上のＸ＝－２の位置とＸ＝６の位置に点Ｂと点Ｃがあり、
直線ＢＰと直線ＡＣの交点をＱとし、
直線ＣＰと直線ＡＢの交点をＲとするとき、
∠ＰＯＱ＝∠ＰＯＲ
となることを示しなさい。
【問１】
上の図のような、ＡＢ＝ＡＣ＝１の二等辺三角形ＡＢＣと、その頂角Ａと斜辺ＡＢを共有し∠Ｄが９０°の直角三角形ＡＢＤがある。
ＢＣ＝ｘ
ＡＤ＝ｙ
とするとき、
（１）ｘの値が分かっているときｙをｘであらわしなさい。
（２）ｙの値が分かっているときｘをｙであらわしなさい。
《解答手順》
図形問題では、先ず、足りない図形の補助線を埋め込み、同じ角度には同じ印を付け、なるべく対称な形に、図形を完成させる。その次に問題の解き方を考えるように心がけてください。
この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。
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【問１】（難問）
上の図のような、角Ｃが直角で頂角Ａが３６°の直角三角形ＡＢＣの斜辺ＡＢの長さが１の場合に、辺ＡＣの長さを求めなさい。
《解答手順》
図形問題では、先ず、足りない図形の補助線を埋め込み、同じ角度には同じ印を付け、なるべく対称な形に、図形を完成させる。その次に問題の解き方を考えるように心がけてください。
この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。
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【問題１】（難問）
上図のように，
１辺の長さが１８の正方形ＡＢＣＤと，角ＢＥＦが９０°の直角二等辺三角形ＥＦＢがあります。
線分ＡＤと線分ＢＦの交点をＧとし、ＡＧ＝６のとき，長さＣＥを求めなさい。
《解答手順》
図形問題では、先ず、足りない図形の補助線を埋め込み、同じ角度には同じ印を付け、なるべく対称な形に、図形を完成させる。その次に問題の解き方を考えるように心がけてください。
（重要な注意）
以下で、このページに問題の解き方、解答を書きます。
その理由は、この種の問題を解くための、先ず図形を完成させるコツを教えたいためです。
この問題を、自力で解く努力をして知能ホルモンを分泌させたい人は、以下を読まないで、この問題を自力で解いてから、以下の解説を読んでください。
それ以外の方には、この問題を例にした、問題を解く方針を考えるより先に図形を完成させておくコツを以下で説明するので、その方法を学んでください。
【解答はじめ】
以下の図のように、最初の図から直ぐにわかる関係を図に書きます。
次に、この図の直角三角形ＡＢＧの辺の長さの関係がわかるので、その関係を簡単化して明示する相似な直角三角形の長さを書きます。
辺の関係が分かったこの直角三角形（に相似な直角三角形）をどこかに書き加えることを考えます。
新たに加える直角三角形を、上図のように、直角の頂点Ｇを有する直角二等辺三角形が作られるようにして加えます。
新たに加えた三角形の長さがわかったので、
それからわかる他の長さも書きます。
ここで、新たに辺の関係がわかった直角三角形の辺の関係を単純化して明示する相似な直角三角形の長さを書きます。
辺の関係がわかったこの直角三角形に相似な直角三角形の辺の長さを書きます。
以上のように、わかっていることからすぐ分かることを書いていくと、求めたい長さも含めた多くの不明な長さが網羅的に明確になります。
こうして、求めたい長さ
ＣＥ＝９
が得られました。
（解答おわり）
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【問１】（難問）
上の図のような、円に内接する四角形ＡＢＣＤにおいて、
ＡＢ＝ＢＣ＝３、
ＣＤ＝５、
ＤＡ＝８
のとき，∠ A の大きさを求めなさい。
《解答手順》
図形問題では、先ず、足りない図形の補助線を埋め込み、同じ角度には同じ印を付け、なるべく対称な形に、図形を完成させる。その次に問題の解き方を考えるように心がけてください。
この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。
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【問題１】
上図のように，
∠Ａ＝９０°で，
ＢＣ＝２（√１３）
である直角三角形ＡＢＣがある。
辺ＡＢを直径とする半円上に点Ｄをとり，
線分ＤＡの延長と辺ＡＣを直径とする半円との交点をＥとする。
ＡＤ＝（√１５）
ＡＥ＝３／２
のとき，辺 ＡＢ，ＡＣの長さをそれぞれ求めなさい。
ただし，ＡＢ＜ＡＣとする。
（重要な注意）
以下で、このページに問題の解き方、解答を書きます。
その理由は、この種の問題を解くために推薦する解答方法を教えたいためです。
この問題を、自力で解く努力をして知能ホルモンを分泌させたい人は、以下を読まないで、この問題を自力で解いてから、以下の解説を読んでください。
それ以外の方には、この問題を確実に解くためにお勧めする方法を以下で説明するので、その方法を学んでください。
【解答はじめ】
以下の図のように、計算すべき長さｚを書きこんで、同じ角度を同じ記号で書き、ｚを使ってあらわせる長さを書き込んで図形を完成させて問題を解く準備をします。
この問題を見ると、長さの値が複雑なので計算まちがいをし易いように思われます。
そのため、計算間違いを予防するために、先に簡単な値をあてはめる簡単な計算をして、答えに近い値を調べておく先行検算をしておきます。
辺ＢＣの長さの２（√１３）に注目して、その値を与えるｘとｙの値で簡単な値を考えます。
簡単な値として、ｘとｙの値の半分の値に、
２と３を当てはめて（√１３）が作れます。
それにより、
ｘ＝４
ｙ＝６
をあてはめます。
次に、このようにあてはめた値がどれくらい答えに近いかを調べておきます（先行検算）。
しらべた結果、何と！、ピッタリ答えに当てはまっているではないですか。
こうして、答えに近い値、ここでは答えの値そのもの、を先に得ておいてから問題を解くようにします。
そうすることで、計算間違いで答えにたどりつけない不幸を避けられ、安心して問題を解けるようになります。
先ず、上図のように、求めるべき長さｚについて成り立つ方程式１を書きます。
次に、以下のようにして、この方程式を解きます。
この式から、以下のようにｚの値の候補が得られます。
ここで、
ｘ＜ｙ
であるので、
ｘ＜√２６≒５
である。
ｚ＜ｘ
であるので、
ｚ＜√２６
でなければならないので、
ｚ＝√（１３５／４）
は不適である。
よって、
（解答おわり）
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【接弦定理】
以下のように、点Ｔを微小に移動した点Ｕを考えて、接弦定理を一瞬で思い出しましょう。
そうすれば、この図形に接弦定理の条件が成立している部分があることを認識するよりも速く、接弦定理の結果を先行して一瞬で想像できるようになります。
【拡張円周角の定理】
以下のように、点Ｔを微小に移動した点Ｕを考えて、拡張円周角の定理を一瞬で思い出しましょう。
【拡張接弦定理】
上図を見ると、以下の拡張接弦定理が成り立っていることもわかります。
結局、下図を考えて、点Ｕ及び点Ｕ’の位置が大きく移動すると考えれば良いことがわかりました。
また、下図のように点Ｕ及び点Ｕ’の角度が移動すると想像するのも良いと考えます。
（想像してみてください）
１つ前の図の点Ｂの位置から円周上を左回りして、点Ｔの位置を経て点Ｒまで動いて、更に上図の点Ｒの位置から更に左回りして、点Ａの位置を経て点Ｂまで戻ることを想像してみて下さい。最初に点Ｂで円の中の円周角だった角度が、点Ｂでの円の外の角度に移ります。面白いでしょう。
また、接弦定理を下図の角度の関係で覚えると覚え易いかもしれません。
（定理の確認方法）
接弦定理を正しく覚えたかどうかの確認を、以下のように想像することで確認できると思います。
（１）線分ＡＴと接線ＱＴＰを固定して考える。
それらが固定されれば、
∠ＡＴＰ＝∠Ａ’ＴＱ
は固定している。
（２）そして、点Ｂを動かすと、∠ＢＡＴは変化するが、
∠ＡＢＴは変わらない。
固定した∠ＡＴＰと対応する角は、
∠ＡＢＴしか無い。
（３）また、
固定した∠ＡＴＰと∠ＡＢＴの値同士が同じ角度であるだろうかどうかの簡単なチェックを加えれば良いと思います。
（接弦定理の覚え方）
以下の図のように弦ＡＴについて完成させた（対称な形に完成）図形を想像して接弦定理と拡張円周角の定理を覚えると良いと思います。
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おぼえるべきことは、あたりまえに見えて簡単に思い出せ自分の想像力の助けになる簡単な事実（公式）です。
平面αと平面βの交線ＯＰに対して垂直な平面γを考える。その平面γは平面α及び平面βに垂直である。
平面γと平面α及び平面βとの交線の間の角度が、平面αと平面βの成す角度である。
おぼえるべきことは、あたりまえに見えて簡単に思い出せ自分の想像力の助けになる簡単な事実（公式）です。
簡単な事実（公式）：
平面α及び平面βに垂直な平面γは、平面αと平面βの交線ＯＰに対して垂直である。
逆に、平面αと平面βの交線ＯＰに対して垂直な平面γは平面α及び平面βに垂直である。
これを覚えれば、想像力が良く働くようになるので、これを覚えます。
おぼえるべき公式は、簡単に思い出せること（公式）であると思います。
この公式（事実）を覚えると、以下のように想像力が働きます。
三角形ＰＡＢに垂直な平面であって、直線ＯＰを含む平面ＯＰＮＭを考える。
その平面ＯＰＮＭは、平面γへの垂直線ＯＰを含むので平面γに垂直である。
平面ＯＰＮＭは、平面ＰＡＢに垂直であって、かつ、平面γに垂直なので、両平面の交線ＡＢに垂直である。
よって、直線ＡＢと平面ＯＰＮＭ上の全ての直線とは垂直である。
そのため、直線ＯＭも直線ＰＭも、直線ＡＢに垂直である。
こうして、三角形ＰＡＢに垂直な平面であって、直線ＯＰを含む平面ＯＰＮＭ上の直線ＯＭも直線ＰＭも、直線ＡＢに垂直であることが想像できた。
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上図のように、三角形ＡＢＣの∠Ａ＝アルファαと同じ角が、
三角形ＡＢＣの外接円において点Ｂのまわりに現れる角度が、
