計算ミス対策（３１）分数係数を記号で単純化

＜図の書き方と計算の仕方を工夫＞
・分数係数等の複雑な数値は記号で単純化して計算する

数ⅡＢの【大問４】です。

この問題を解くために、先ず、以下の図を描きます。

ベクトルを分解した道を視線でたどって、ベクトルの和を求めます。

直線が交差することをベクトル方程式を立てて計算する問題です。
ここでは、別解として、水平面ＦＭＬに垂直な法線ベクトルへの射影（水平面上の高さ）を利用して計算します。

これで、Ｓ＝２／３の点で直線が交差することがわかりました。
次に、ベクトルＯＰを計算します。

ここで、ベクトルの係数に分数（１／３）が掛かった複雑な式が出てきました。
分数を係数にした式の計算を続けると計算ミスをしますので、
その計算ミスを避けるために、（１／３）≡ｕとするパラメータｕに分数を置き換えて以降の計算をします。
こうすれば計算ミスを少なくできます。

新しい点Ｈを図に書き加えます。 

（解答おわり）

リンク：
高校数学の目次

計算ミス対策（３０）ベクトルを分解する道を視線でたどる

＜図形問題の計算の仕方の工夫＞
・ベクトルを分解する道を視線でたどって式を書く。
・設問中に書いてある式であっても自分の手で書く。


数ⅡＢの【大問４】です。

この問題を解くために、先ず、以下の図を描きます。
その図を見てベクトルをあらわす式を書きますが、以下のようにベクトルＡＥを分解する道ＡＯＥを視線でたどります。

　そして、道ＡＯの向きがベクトルａと逆方向に進むことを確認してベクトルａにはマイナスを付けて式を書くようにします。
　こうすることで、思い込みによりベクトルａの符号をプラスにして式を書いてしまうミスを防げます。

　ベクトルＤＢも同様に、ベクトルを分解する道ＤＡＢを視線でたどります。
　そして道ＤＡの向きがベクトルａと同じ方向に進むことを確認してベクトルａにはプラスを付けて式を書くようにします。

こうして、以下の式を書きます。 

ここで、ベクトルＡＥの式は設問中に記載されていますが、同じ式であっても自分の手でこの式を書いておきます。
　自分の手で書く理由は、視線が計算をたどる際に、視線は自動的に自分で書いた式をたどり、設問に記載された式は無視します。そのため、視線が無視しないために、必要な式は自分の手で書いておく必要があります。 

先ずθの範囲を計算する前に、先行検算として、下図のように図を描いて、
①：　θの下限を概算して、
θ≧π／３
くらいに、θの下限の値の見当をつけます。θの計算結果はこの値に近くなければなりません。

次に、上図のように図を描いて、
②：　θの上限を概算して、
θ≦２π／３
くらいに、θの上限の値の見当をつけます。θの計算結果はこの値に近くなければなりません。

問題が新しくなりましたので、新たな図を書き加えます。

ここで、

というふうに、「ベクトルＯＦが云々」と書いてありますが、このベクトルＯＦは直ぐ分かるわけでは無く、
これは、（お待ちかねの）ベクトル方程式を解いてベクトルＯＦを求めよ、という問題です。

そういう問題であることが分かったので、ここでは、ベクトル方程式の別解として、
水平線ＤＢに垂直なベクトルへの射影の長さ（高さ）を利用して、
ＥＦ：ＦＡを先に求めて、
その結果を使ってベクトルＯＦを計算することにします。

先ずは、ｔ＝１／２と求まった結果を反映した新しい図を描きます。

（解答おわり）

リンク：
高校数学の目次

計算ミス対策（２９）数値は記号で単純化

＜図の書き方と計算の仕方を工夫＞
・図の数値は記号で単純化する
・記号で単純化した式で計算を楽に速くミスなく行なう


数ⅠＡの【大問３】です。

この問題を解くために、先ず、以下の図を描きます。

図を描く際に、複雑な数値の√７や√３を、記号ｃとａを単位にしてあらわすことで図の書き込みをきれいにします。

先ずｘを計算する前に、先行検算として
①：　ｘを概算して、
ｘ≒２ｃ
くらいに、ｘの値の見当をつけます。ｘの計算結果はこの値に近くなければなりません。

図の数値の記載を記号で単純化した事を式にも反映して、式も記号で単純化した式を書きます。
単純化記号は計算を楽にし、計算が速くミスなく行なえるようになります。

問題に解答するために、自分の楽な計算から少し脱線して答えを計算しますが、再び自分の楽な計算に戻るようにします。

（解答おわり）

リンク：
高校数学の目次

計算ミス対策（２８）図形問題の先行検算方法

計算ミスの減らし方
のサイトがとても参考になります。
そのサイトが推薦している計算の概算方法は、以下のように応用して使います。

計算ミスを減らしたい

＜計算の仕方を見直す方法＞
・桁数を調節する
・概算でおおよその数値を求めておく
・積極的に約分する
・キリの良いもの、やり易いものから計算する
・計算の省略をしない
・可能な限りスペースを使う

計算ミスの減らし方

＜概算でおおよその数値を求めておく＞
 　この手法を発展させた方法の、
図形問題の先行検算手法の使用例を以下に示します。

「図形問題の先行検算方法」
　この例も、数ⅠＡの【大問３】です。

この問題を解くために、先ず、以下の図を描きます。

図を描いたら、先ずｓｉｎＢを計算する前に、先行検算として
①：　ｓｉｎＢを概算して、
ｓｉｎＢ≒１
くらいに、ｓｉｎＢの値の見当をつけます。ｓｉｎＢの計算結果はこの値に近くなければなりません。
そして、ｓｉｎＢを計算して１に近い値を得たので、検算結果は○（良好）です。

（この先行検算をすることにより、図形の長さを２倍や２分の１に間違えるミスを防止できます）

次に、先行検算として、
②：　ｒを概算して、
ｒ≒１－α（１より少し小さい値）くらいに、ｒの値の見当をつけます。ｒの計算結果はこの値に近くなければなりません。

ｒの計算結果は１より少し小さい値に近いので、検算結果は○（良好）です。

次に、先行検算として、
③：　ＩＢを概算して、
ＩＢ≒√２くらいに値の見当をつけます。計算結果はこの値に近くなければなりません。

ＩＢの計算結果は√２に近いので、検算結果は○（良好）です。

次に、円Ｏの半径ｒの値が複雑な数値なので、その値の長さを図に書き込むと図がきたなくなり計算の見通しが悪くなりますので、 計算の見通しを良くするため、パラメータｒを単位にして図形の長さをあらわすように、もう１つの図（以下の図）を描きます。

④：　外接円Ｏの半径Ｒを概算して、
Ｒ≒１／３くらいに値の見当をつけます。計算結果はこの値に近くなければなりません。

Ｒの計算結果は１／３に近いので、検算結果は○（良好）です。

ここで、円Ｏと円Ｉの関係を調べるために新たに以下の図を描きます。

次に、新たに以下の図を描いて問題を解きます。

次に、更に以下の図を描いて問題を解きます。
⑤：　ＧＭ／ＣＧを概算して、
ＧＭ／ＣＧ≒１／２程度の値に見当をつけます。計算結果はこの値に近くなければなりません。

　この問題はスーパーメネラウスの定理を適用して上図のように解きます。
ＧＭ／ＣＧ＝１／２になりましたので、検算結果は○（良好）です。
（解答おわり）

（補足）　ここで、上の図では、Ｇが三角形ＦＢＣの重心になっているので、辺ＦＢに対する重心Ｇの高さと頂点Ｃの高さの比から答えが出せます。それが正解です。しかし、重心以外の点についても、スーパーメネラウスの定理を適用することで問題を解くことができます。

リンク：
高校数学の目次