複素数平面上に複素数を書いてベクトルで問題を解く

複素数平面であらわした複素数はベクトルです。

複素数平面を初めて学ぶ学び方は、
複素数の問題はベクトルの問題に変換して解くことです。
　つまり、複素数平面上に複素数を置いた図を描いて、複素数の問題をベクトルの問題に変換して問題を解くようにすることです。

以下の問題も、そのようにして解いて下さい。

【問題】
　複素数ｚに対して以下の関係がある。

このとき、複素数

はどの様な数であるか？

（この問題の解）はここをクリックした先にあります。

　この問題も、この解をすぐには見ずに、自力でこの問題を解いて下さい。

（ただし、この問題では、解で見落としやすい（簡単な事なのですが）注意点もありますので、問題を解いた後で、参考に解を見ておいて下さい）

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複素数平面の３点が正三角形になる条件に初めて出会ったとき

【問題】複素数平面上の 三点A(α),B(β),C(γ)が正三角形となる必要十分条件が、以下の式であらわされることを証明せよ。

この問題に初めて出会ったとき、解答を見ずに、自力でこの問題を解くよう努めてください。時間はいくらかかっても良いですから。その方が数学が楽しくなると思いますので。 

（解答例１） ここをクリックした先に解答例があります。
（解答例２）ここをクリックした先に解答例２があります。

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複素数平面での正三角形の条件
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複素数計算で三角形の垂心を求める

べクトルの内積を複素数を使って計算する

（第１優先事項）
　複素数平面のグラフをあらわす方程式を変換する問題は、複素数の計算をせずに、図形の考察で答えを求めるようにしましょう。すなわち、複素数平面のグラフを表わす複素数の方程式同士を計算でつながないで図形の考察でつなげば何とか問題が解けますのでそれを第１優先にしましょう。

（優先順位の２位以下のこと）
　それよりは優先順位が低いことですが、以下のような、複素数平面の計算の公式を覚えると、少しは計算が推進されます。

　複素数平面であらわした複素数はベクトルです。
（実際、ベクトルＰを複素数ｘ＋ｉｙと等号で結ぶ表現をすることもあります。)

以下では、複素数平面上の複素数を用いてベクトルの内積の計算式をどの様に書けば良いかを、以下の問題を例にして説明します。

【問１】
　複素数平面上で、原点0を中心にした半径Rの円がある。その円上の３点の座標を、複素数でα、β、γとすると、その３点が作る三角形の垂心の位置を表す複素数ｈは、
ｈ＝α＋β＋γ
で表わされる事を証明せよ。



【解答１】
ｈ＝α＋β＋γであらわされるとき、
もしｈが垂心ならば内積が０になるベクトル（ｈ－α）とベクトル（γ－β）の内積を、
以下の式で計算する。

（注意）
　以上の計算では、複素数ｚとその共役複素数の差が２ｉ・Ｉｍ（ｚ）になる公式を前提にして計算しました。大学入学試験レベルの問題に対してならば、その公式を前提にして計算を進めても良いだろうと考えます。

以上の計算の結果、ベクトル（ｈ－α）とベクトル（γ－β）の内積は０になったので、
ベクトル（ｈ－α）とベクトル（γ－β）は垂直である。
　次に、同様にして、互いに垂直であるべきベクトル（ｈ－β）とベクトル（γ－α）の内積を計算する。

以上の計算の結果、ベクトル（ｈ－β）とベクトル（γ－α）の内積は０になったので、
ベクトル（ｈ－β）とベクトル（γ－α）は垂直である。

以上の計算の結果、ｈ＝α＋β＋γは垂心である。
（証明終わり）

【解答２】
　複素数平面の問題は、図形の問題にして考えると、解答が大幅に楽になります。以下では、そうして証明する例を示します。

頂点αから点Hまでのベクトル（ｈ－α）を考える。
ベクトル（ｈ－α）＝ベクトル（β＋ɤ）である。
そのベクトルは、図から分かるように、ベクトル（ɤ－β）に垂直である。

でその比を計算すると虚数になるので、両ベクトルが垂直である事がわかります。

同様にして、 
ベクトル（ｈ－β）＝ベクトル（α＋ɤ）⊥ベクトル（α－ɤ）
である。
よって、頂点Aや頂点Bから点Hまで引いたベクトルは、頂点Aや頂点Bに対向する辺に垂直である。
ゆえに、点Hは三角形ABCの垂心である。
（証明おわり）

【問２】
　複素数平面上で、原点0を中心にした半径Rの円がある。その円上の３点の座標を、複素数でα、β、γとすると、その３点が作る三角形の垂心の位置を表す複素数ｈを求めよ。

【解答１】
　複素数平面の問題は、図形の問題にして考えると、解答が大幅に楽になります。以下では、そうした解答の例を示します。

　問題を簡単化するため、半径１の円に内接する三角形ABCを考えます。
その円の中心を複素数平面の原点Oにし、点A，Ｂ，Ｃの複素数平面での座標をα、β、ɤとします。
　そして、その場合における垂心の位置ベクトルを複素数ｈであらわします。

　ここで、上図の式のように、実数ｋと実数ｍの２つのパラメータ（２つの実数の未知数）を用いて、垂心の位置ベクトルの複素数ｈを表す２通りのベクトルの合成を等しいものと表したベクトル方程式を作ります。

（このベクトル方程式は、ベクトルで記述しても等価な式になります。）

  垂心の複素数ｈを表す解の式は、点A，Ｂ，Ｃの複素数平面での座標のα、β、ɤに関して対称になると考えられます。
そのため、上の方程式から、α、β、ɤに関して対称な式
α＋β＋ɤ
を引き算する、方程式の変形を行ないます。

上の方程式の計算によって、実数のパラメータｋとｍの値が定まり、複素数ｈを表す式が求められた。
（解答おわり）

 【解答２】

　問題を簡単化するため、半径１の円に内接する三角形ABCを考えます。
その円の中心を複素数平面の原点Oにし、点A，Ｂ，Ｃの複素数平面での座標をα、β、ɤとします。
上図の、複素数であらわしたベクトルａ，ｂ，ｃを考えます。
ベクトルａ＝ɤ－β，
ベクトルｂ＝α－ɤ，
ベクトルｃ＝α－β，
です。
点Ａから垂心Ｈまでのベクトルをあらわす複素数は、実数ｋのパラメータを使って：
ｉｋ（ベクトルａ）
であらわせます。
すると、
ベクトルＢＨとベクトルｂが垂直なので、両ベクトルの内積が０になる方程式を作れます。
その方程式を、以下の様に複素数を使って解く事ができます。

これで、実数のパラメータｋの値が得られました。
これをｉｋ（ベクトルａ）の式に代入して計算します。

ここで、計算を楽にするために、以下の、複素数平面の公式が必要になります。
（公式１）
　２つの任意の単位ベクトルに関して、以下の公式が成り立ちます。

以下の計算によってこの公式を導き出すこともできます。


以下の式も成り立ちます。

この公式を使って、以下の計算をします。

この式を使って、ｉｋ（ベクトルａ）の式の計算を続けます。

こうして、この公式１を使う事で、三角形の垂心の位置を表す複素数ｈをあらわす式を求める事ができました。
（解答おわり）

【問３】
下図の三角形ABCの点Bが複素数平面の原点０にある場合に、垂心Hを複素数ａ＝αと、複素数ｃ＝ɤであらわせ。

【解１】

（解答おわり）

【解２】

（解答おわり）

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複素数平面のベクトル方程式での垂心の導出
複素数平面で三角形の外心を求める

三角形の面積を外接円の半径を使って表わす公式を複素数を使って導く

自分だけの公式を使う練習をしましょう。

　自分だけの公式を使うときは、その公式を知らない人に計算過程の正当性が理解されるために、その公式が導き出される式の展開過程を記載して見せるようにします。

【自分だけの公式（２）の絶対値の計算公式(2)の応用】
　絶対値の計算公式(2)は、三角形の高さｈと辺の長さと外接円の半径の関係の公式です。
　この公式(2)を使う練習として、三角形の面積Ｓを三角形の辺の長さと外接円の半径から求める公式(3)を導く計算をします。

　自分だけの公式(2)を使うときは、その公式を知らない人に計算過程の正当性が理解されるために、その公式(2)が導き出される式の展開過程を以下の様に記載して解答します。

【解答例】
　先ず、他の人に理解されるために、以下の様に、自分だけの公式（２）を変形した公式である絶対値の計算公式(2)を導く計算式を解答に書きます。

以上で公式(2)を導き出しました。
　次に、この計算結果（公式(2)）を変形して以下の式を計算します。

　この式は、
「ベクトル計算での挫折を回避する方法」のサイトで助言されている、
「ベクトル計算で導こうとすると更に苦労する式：
｜ＡＢ｜｜ＡＣ｜＝２Ｒｈ，　（３）」
です。
　この式は、ベクトル計算においては、ベクトル計算の挫折を回避するために、覚えておいて使うべき式でした。
　複素数平面での計算では、以上の計算のように、ベクトル計算よりはだいぶ楽に導出できましたが計算がけっこう長くなります。そのため、複素数平面の計算においても、図形の考察で導き出せたこの式（３）は覚えておいて使った方が良い。この式（３）は図形的に証明されている有名な公式なので、公知の公式として直ぐに解答の計算に使って良い。

　この式を以下の三角形の面積の式に以下の様に代入して求める式(3)を計算します。

（証明終わり）

　これで、三角形の面積を外接円の半径と三角形の辺の長さとであらわす公式(3)を求める計算を示す解答が完成しました。

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円周角の定理に係る複素数平面の公式

自分で問題を解く中で発見した、計算の近道になるパターンを自分だけの公式として覚えましょう。

（第１優先事項）
　複素数平面のグラフをあらわす方程式を変換する問題は、複素数の計算をせずに、図形の考察で答えを求めるようにしましょう。すなわち、複素数平面のグラフを表わす複素数の方程式同士を計算でつながないで図形の考察でつなげば何とか問題が解けますのでそれを第１優先にしましょう。

（優先順位の２位以下のこと）
　それよりは優先順位が低いことですが、以下のような、複素数平面の計算の公式の導き出し方を身に付けると、少し計算が推進されますので、以下の公式も、簡単に導き出せるようになればとても良いと思います。 

　複素数平面でベクトルの内積を計算する問題を解いていると以下の様な、繰り返される計算のパターンを発見することがあります。その計算のパターンを、自分だけの公式として整理して覚えましょう。　これは、自分だけの公式ですので、それぞれの計算問題の式の展開を解答用紙に記載する際に、その公式を知らない人に計算過程の正当性が理解されるために、その公式が導き出される式の展開過程を記載して見せるようにしてください。

　そのように、覚えている自分だけの公式の式の展開（言わば、公式の証明）をスラスラと解答用紙の式の計算の中に書いて見せると、一見、式の展開の計算がとても速く見えます。
　しかし、それは、覚えているパターンを繰り返しているだけで、決して人間離れしたわざを持っているというわけではありません。

【円周角の定理に係る複素数平面の公式】
　複素数平面での複素数の計算で複素数の２乗に相当する項を１乗の形の簡単な項に変換できる、以下の公式を見出しましたので、その計算過程を含めて覚えておきましょう。

（注意）
　この公式を無理して覚えないでも、円周角の定理やその他の図形の定理を覚えていれば、この公式無しでも、それらの定理を使って問題を解く事ができます。
複素数の式の展開の参考にする程度の気持ちでこのページを読めれば良いと考えます。

【第１の証明】
　この公式は、以下の様に計算を進める形で使います。

（証明おわり）

【第２の証明】
「三角形の高さと外接円の半径の関係」から：

上式の関係があります。

そのため、

|ｚα｜＝ｂｃ＝２Rh

＝２R＊Im（ｚ）

となり、証明すべき公式の左辺の複素数と右辺の複素数は、絶対値が等しい。

公式の複素数の偏角に関しては、
ベクトルｚに対してベクトルαが成す角度は頂角Aであり、

その角度は、ベクトルｒに対して虚軸が成す角度に等しい。

よって、証明すべき公式の左辺の複素数と右辺の複素数は、偏角も等しい。
ゆえに、公式が成り立つ。

（証明おわり）

　この公式（０）は、自分だけの公式であって、第１の証明か第２の証明をしてから使うようにしましょう。
　公式（０）は、この図の様な円の中心の位置をあらわす複素数ｒが分かっているときに、複素数ｚの式を簡単化する役に立ちます。 

　この公式の第１の証明の中心核となっている部分は、以下の計算公式です。この式を覚えましょう。

　この公式（０）から、以下の、ベクトルの内積の展開の公式（１）と、絶対値の式の計算の展開の公式（２）との２つの公式が得られます。

　これらの式(1)(2)は、正弦定理と円周角の定理にかかわる式であって、
「ベクトル計算での挫折を回避する方法 」のページで説明したように、
三角形ＡＢＣの外接円の半径をＲとすると、円周角の定理が次の式１であらわされる。
ｃｏｓＡ＝ｍ／Ｒ，　（１）

この式１は、円周角の定理から素直に導き出した式であり、ベクトル計算で導こうとするととても苦労する式です。

また、ベクトル計算で導こうとすると更に苦労する式：
｜ＡＢ｜｜ＡＣ｜＝２Ｒｈ，　（３）

　この式１と３を円周角の定理を表現した有名な公式として覚えて使うことで、通常は挫折するベクトル計算の挫折を回避することができる。複素数平面での計算においても、この公式を覚えて使うことで計算をスムーズに進めることができます。

（三角形の頂点から外心までのベクトルの複素数の公式）
　先の式(0)は、三角形の底辺が実軸と平行とは限らない自由な方向を向いている場合の式に書き舞えることができる。底辺のベクトルをベクトルｗとする。


この式は、以下の、ひし形の対角線と辺の複素数の公式によって変換することができます。

この式を使って変換すると以下の式になります。


この式は、三角形の頂点から外心までのベクトル（ーｓ）の複素数の公式です。

リンク：
三角形の高さと外接円の半径の関係
複素数計算の公式を覚える
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