【問１】（難問）
上の図のような、角Ｃが直角で頂角Ａが３６°の直角三角形ＡＢＣの斜辺ＡＢの長さが１の場合に、辺ＡＣの長さを求めなさい。
《解答手順》
図形問題では、先ず、足りない図形の補助線を埋め込み、同じ角度には同じ印を付け、なるべく対称な形に、図形を完成させる。その次に問題の解き方を考えるように心がけてください。
この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。
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【問題１】（難問）
上図のように，
１辺の長さが１８の正方形ＡＢＣＤと，角ＢＥＦが９０°の直角二等辺三角形ＥＦＢがあります。
線分ＡＤと線分ＢＦの交点をＧとし、ＡＧ＝６のとき，長さＣＥを求めなさい。
《解答手順》
図形問題では、先ず、足りない図形の補助線を埋め込み、同じ角度には同じ印を付け、なるべく対称な形に、図形を完成させる。その次に問題の解き方を考えるように心がけてください。
（重要な注意）
以下で、このページに問題の解き方、解答を書きます。
その理由は、この種の問題を解くための、先ず図形を完成させるコツを教えたいためです。
この問題を、自力で解く努力をして知能ホルモンを分泌させたい人は、以下を読まないで、この問題を自力で解いてから、以下の解説を読んでください。
それ以外の方には、この問題を例にした、問題を解く方針を考えるより先に図形を完成させておくコツを以下で説明するので、その方法を学んでください。
【解答はじめ】
以下の図のように、最初の図から直ぐにわかる関係を図に書きます。
次に、この図の直角三角形ＡＢＧの辺の長さの関係がわかるので、その関係を簡単化して明示する相似な直角三角形の長さを書きます。
辺の関係が分かったこの直角三角形（に相似な直角三角形）をどこかに書き加えることを考えます。
新たに加える直角三角形を、上図のように、直角の頂点Ｇを有する直角二等辺三角形が作られるようにして加えます。
新たに加えた三角形の長さがわかったので、
それからわかる他の長さも書きます。
ここで、新たに辺の関係がわかった直角三角形の辺の関係を単純化して明示する相似な直角三角形の長さを書きます。
辺の関係がわかったこの直角三角形に相似な直角三角形の辺の長さを書きます。
以上のように、わかっていることからすぐ分かることを書いていくと、求めたい長さも含めた多くの不明な長さが網羅的に明確になります。
こうして、求めたい長さ
ＣＥ＝９
が得られました。
（解答おわり）
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【問１】（難問）
上の図のような、円に内接する四角形ＡＢＣＤにおいて、
ＡＢ＝ＢＣ＝３、
ＣＤ＝５、
ＤＡ＝８
のとき，∠ A の大きさを求めなさい。
《解答手順》
図形問題では、先ず、足りない図形の補助線を埋め込み、同じ角度には同じ印を付け、なるべく対称な形に、図形を完成させる。その次に問題の解き方を考えるように心がけてください。
この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。
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【問題１】
上図のように，
∠Ａ＝９０°で，
ＢＣ＝２（√１３）
である直角三角形ＡＢＣがある。
辺ＡＢを直径とする半円上に点Ｄをとり，
線分ＤＡの延長と辺ＡＣを直径とする半円との交点をＥとする。
ＡＤ＝（√１５）
ＡＥ＝３／２
のとき，辺 ＡＢ，ＡＣの長さをそれぞれ求めなさい。
ただし，ＡＢ＜ＡＣとする。
（重要な注意）
以下で、このページに問題の解き方、解答を書きます。
その理由は、この種の問題を解くために推薦する解答方法を教えたいためです。
この問題を、自力で解く努力をして知能ホルモンを分泌させたい人は、以下を読まないで、この問題を自力で解いてから、以下の解説を読んでください。
それ以外の方には、この問題を確実に解くためにお勧めする方法を以下で説明するので、その方法を学んでください。
【解答はじめ】
以下の図のように、計算すべき長さｚを書きこんで、同じ角度を同じ記号で書き、ｚを使ってあらわせる長さを書き込んで図形を完成させて問題を解く準備をします。
この問題を見ると、長さの値が複雑なので計算まちがいをし易いように思われます。
そのため、計算間違いを予防するために、先に簡単な値をあてはめる簡単な計算をして、答えに近い値を調べておく先行検算をしておきます。
辺ＢＣの長さの２（√１３）に注目して、その値を与えるｘとｙの値で簡単な値を考えます。
簡単な値として、ｘとｙの値の半分の値に、
２と３を当てはめて（√１３）が作れます。
それにより、
ｘ＝４
ｙ＝６
をあてはめます。
次に、このようにあてはめた値がどれくらい答えに近いかを調べておきます（先行検算）。
しらべた結果、何と！、ピッタリ答えに当てはまっているではないですか。
こうして、答えに近い値、ここでは答えの値そのもの、を先に得ておいてから問題を解くようにします。
そうすることで、計算間違いで答えにたどりつけない不幸を避けられ、安心して問題を解けるようになります。
先ず、上図のように、求めるべき長さｚについて成り立つ方程式１を書きます。
次に、以下のようにして、この方程式を解きます。
この式から、以下のようにｚの値の候補が得られます。
ここで、
ｘ＜ｙ
であるので、
ｘ＜√２６≒５
である。
ｚ＜ｘ
であるので、
ｚ＜√２６
でなければならないので、
ｚ＝√（１３５／４）
は不適である。
よって、
（解答おわり）
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【接弦定理】
以下のように、点Ｔを微小に移動した点Ｕを考えて、接弦定理を一瞬で思い出しましょう。
そうすれば、この図形に接弦定理の条件が成立している部分があることを認識するよりも速く、接弦定理の結果を先行して一瞬で想像できるようになります。
【拡張円周角の定理】
以下のように、点Ｔを微小に移動した点Ｕを考えて、拡張円周角の定理を一瞬で思い出しましょう。
【拡張接弦定理】
上図を見ると、以下の拡張接弦定理が成り立っていることもわかります。
結局、下図を考えて、点Ｕ及び点Ｕ’の位置が大きく移動すると考えれば良いことがわかりました。
また、下図のように点Ｕ及び点Ｕ’の角度が移動すると想像するのも良いと考えます。
（想像してみてください）
１つ前の図の点Ｂの位置から円周上を左回りして、点Ｔの位置を経て点Ｒまで動いて、更に上図の点Ｒの位置から更に左回りして、点Ａの位置を経て点Ｂまで戻ることを想像してみて下さい。最初に点Ｂで円の中の円周角だった角度が、点Ｂでの円の外の角度に移ります。面白いでしょう。
また、接弦定理を下図の角度の関係で覚えると覚え易いかもしれません。
（定理の確認方法）
接弦定理を正しく覚えたかどうかの確認を、以下のように想像することで確認できると思います。
（１）線分ＡＴと接線ＱＴＰを固定して考える。
それらが固定されれば、
∠ＡＴＰ＝∠Ａ’ＴＱ
は固定している。
（２）そして、点Ｂを動かすと、∠ＢＡＴは変化するが、
∠ＡＢＴは変わらない。
固定した∠ＡＴＰと対応する角は、
∠ＡＢＴしか無い。
（３）また、
固定した∠ＡＴＰと∠ＡＢＴの値同士が同じ角度であるだろうかどうかの簡単なチェックを加えれば良いと思います。
（接弦定理の覚え方）
以下の図のように弦ＡＴについて完成させた（対称な形に完成）図形を想像して接弦定理と拡張円周角の定理を覚えると良いと思います。
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おぼえるべきことは、あたりまえに見えて簡単に思い出せ自分の想像力の助けになる簡単な事実（公式）です。
平面αと平面βの交線ＯＰに対して垂直な平面γを考える。その平面γは平面α及び平面βに垂直である。
平面γと平面α及び平面βとの交線の間の角度が、平面αと平面βの成す角度である。
おぼえるべきことは、あたりまえに見えて簡単に思い出せ自分の想像力の助けになる簡単な事実（公式）です。
簡単な事実（公式）：
平面α及び平面βに垂直な平面γは、平面αと平面βの交線ＯＰに対して垂直である。
逆に、平面αと平面βの交線ＯＰに対して垂直な平面γは平面α及び平面βに垂直である。
これを覚えれば、想像力が良く働くようになるので、これを覚えます。
おぼえるべき公式は、簡単に思い出せること（公式）であると思います。
この公式（事実）を覚えると、以下のように想像力が働きます。
三角形ＰＡＢに垂直な平面であって、直線ＯＰを含む平面ＯＰＮＭを考える。
その平面ＯＰＮＭは、平面γへの垂直線ＯＰを含むので平面γに垂直である。
平面ＯＰＮＭは、平面ＰＡＢに垂直であって、かつ、平面γに垂直なので、両平面の交線ＡＢに垂直である。
よって、直線ＡＢと平面ＯＰＮＭ上の全ての直線とは垂直である。
そのため、直線ＯＭも直線ＰＭも、直線ＡＢに垂直である。
こうして、三角形ＰＡＢに垂直な平面であって、直線ＯＰを含む平面ＯＰＮＭ上の直線ＯＭも直線ＰＭも、直線ＡＢに垂直であることが想像できた。
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【問１】
上図のように、直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨがある。
ＡＢ＝１
ＢＣ＝２
ＡＥ＝１
とする。
第１の平面αと第２の平面βの成す角度を、両平面の交線上の点Ｏから、交線に対して垂直に両平面に引いた直線の間の角度であると定義する。そして、平面α側の直線が平面β側の直線に対する傾きを、平面αの平面βに対する傾きであると定義する。
図の平面ＥＢＤの、水平面ＡＢＣＤに対する傾きを求めよ。
（解答の方針）
（１）立体図形は、平面図形の問題に変換して解く。
（２）平面αと平面βの交線ＯＰに対して垂直な平面γを考える。その平面γは平面α及び平面βに垂直である。平面γと平面α及び平面βとの交線を考える。その２つの交線の間の角度が、平面αと平面βの成す角度であり、その角度が交線同士の傾き＝平面αの平面βに対する傾きを与える。
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【立体図形の平面ＰＢＲＱ】
上図で、平面ＰＢＲＱを想像するとき、
その平面に交差する、２つの平行する平面ＡＢＣＤと平面ＥＦＧＨを広げた下の図を想像してください。
このように上下の平行平面を広げて想像すると、平面ＰＢＲＱが平面ＰＢＲ’Ｑに拡大されて、見易くなります。
そして、その平面ＰＢＲ’Ｑに垂直な平面ＡＥＴＳが想像し易くなります。
２つの平行する平面ＰＢＲ’Ｑと平面ＡＢ’Ｃ’Ｄ’が、他の平面ＥＦ’Ｇ’Ｈ’と交差する交線ＰＢと交線ＱＲ’については、
両交線は同じ平面ＰＢＲ'Ｑ上の２つの直線なので、ねじれの関係はあり得ず、交差するか平行線になるかのどちらかです。両交線は、交差することがありえない平行する２つの平面上の直線なので、交線ＰＢとＱＲ’は平行です。
平面ＰＢＲ’Ｑと平面ＡＥＴＳが垂直であるならば、以下の関係が全部成り立ちます。逆に以下の関係のどれかが成り立つなら、両平面は垂直です。
（１）平面ＡＥＴＳ上の２本の直線ＡＳと直線ＡＥが、平面ＰＢＲ’Ｑ上の１本の直線ＰＢに対して垂直である。
（２）また、両平面の交線ＫＬに垂直な、平面ＡＥＴＳ上の１本の直線ＥＭが、平面ＰＢＲ’Ｑ上の全ての直線に垂直な垂線である。
（３）また、両平面の交線ＫＬに垂直な、平面ＰＢＲ’Ｑ上の１本の直線ＰＢが、平面ＡＥＴＳ上の全ての直線に垂直な垂線である。
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【問１】（ややこしい問題）
上図のように、１辺の長さが５の正方形を底面とし、高さが１０の直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨがある。点ＰをＢＰ＝３となるように辺ＢＦ上に、点ＱをＤＱ＝５となるように辺ＤＨ上にそれぞれとる。３点Ａ，Ｐ，Ｑを通る平面と辺ＣＧとの交点をＲとする。このとき、頂点Ｃから面ＡＰＲＱにひいた垂線の長さを求めよ。
（注意）
この問題は、良く整理して解かないと、計算の森に迷い込むややこしい問題です。以下の理由により、安易に解答を見ないよう注意してください。このややこしい問題を自力で解いてから解答を見てください。
（解けるまで解答を見ない理由）
出題高校の意図を推測すると、「単にいろいろな難問の解き方を覚えて知っている学生よりも、想像力豊かで知能が高く融通性に富んだ学生の方を合格させたい」
という意図がある考えます。
そのため、このややこしい問題を学ぶ目的は、
この問題を簡単に解こうとする努力により知能を高めるホルモンが分泌されて知能を高めること、
を第１の目的にするのが良いと考えます。
そのため、この問題を自力で解くまでは解答を見ずに、ベストな勉強方法としては、問題を解く努力をした後（解けないで寝て良い）寝ている間に知能ホルモンの分泌をさせる。それを何回か繰り返すのが良いと考えます。
（解答の方針）
（１）難問が解けずに寝るとき、寝ている間も何とか問題を解こうとして、そのために、問題を考え易い簡単な形にして、解こうとするだろうと思います。
そのように簡単な形に問題を変換して考えることが、あらゆる難問を解くコツです。
（２）立体図形は、平面図形の問題に変換して解く。
（３）第１の面への垂線を求める問題は、第１の面上の１本の直線に垂直な第２の面を考える。その第２の面上の直線で、第１の面に垂直な直線が求める垂線である。
この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。
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【問題１】（難問）
上図の線分の間に、
ＡＲ：ＲＢ＝１：３と
ＡＱ：ＱＣ＝２：１
の線分の長さの比の関係があるとき、
（１）ＢＰ：ＰＣを求めよ。
（２）ＡＯ：ＯＰを求めよ。
（重要な注意）
以下で、このページに問題の解き方、解答を書きます。
その理由は、この種の問題を解くために推薦する解答方法を教えたいためです。
この難問を、自力で解く努力をして知能ホルモンを分泌させたい人は、以下を読まないで、この問題を自力で解く努力をしてください。
それ以外の方には、この難問を解く方法で、自力では考え出すことが難しいと思われる究極の方法の使い方を説明するので、その方法を学んでください。
【解答はじめ】
以下の図のように、水平線の位置を仮定して、その水平線上の点の高さの比を考えます。その高さの比を線分の長さの比に反映させて解くのが「究極の方法」です。
上図のように水平線の位置を定めて点の高さの比をカッコ()の中に書いて行きます。
その高さの比から線分の長さの比を考えると、
ＲＯ：ＯＣ＝３：２
であることがわかります。
次に、視点を変えて、水平線を以下の図のように定めて点の高さの比を考えます。
上図のように水平線の位置を定めて点の高さの比を考えると、
ＰＯ：ＯＡ＝３：７
ＢＯ：ＯＱ＝９：１
であることがわかります。
次に、再度、視点を変えて、水平線を以下の図のように定めて点の高さの比を考えます。
上図のように水平線の位置を定めて点の高さの比を考えると、
ＢＰ：ＰＣ＝６：１
であることがわかります。
以上で、
（１） ＢＰ：ＰＣ＝６：１
（２） ＡＯ：ＯＰ＝７：３
が全て求められました。
（解答おわり）
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【問１】（難問）
上図のように、円周上に５点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅがあり、弧ＡＢ＝弧ＣＤである。
また、線分ＣＥと線分ＢＤの交点をＦ、線分ＣＥと線分ＡＤの交点をＧとし、線分ＤＥ上にＢＤ//ＧＨとなる点Ｈをとる。
ＥＧ＝ＧＦ，ＧＨ＝３のとき、線分ＥＧの長さを求めなさい。
（注意）
この問題は難問です。以下の理由により、安易に解答を見ないよう注意してください。この難問を自力で解いてから解答を見てください。
（解けるまで解答を見ない理由）
出題高校の意図を推測すると、「単にいろいろな難問の解き方を覚えて知っている学生よりも、想像力豊かで知能が高く融通性に富んだ学生の方を合格させたい」
という意図がある考えます。
そのため、この難問を学ぶ目的は、
この難問を解こうとする努力により知能を高めるホルモンが分泌されて知能を高めること、
を第１の目的にするのが良いと考えます。
そのため、この難問を自力で解くまでは解答を見ずに、ベストな勉強方法としては、難問を解く努力をした後（解けないで寝て良い）寝ている間に知能ホルモンの分泌をさせる。それを何回か繰り返すのが良いと考えます。
（難問の解き方）
（１）難問が解けずに寝るとき、寝ている間も何とか問題を解こうとして、そのために、問題を考え易い簡単な形にして、解こうとするだろうと思います。
そのように簡単な形に問題を変換して考えることが、あらゆる難問を解くコツです。
（２）図形の難問は、図形を完成させてから解く。
（３）相似図形があったら、その相似図形の辺の関係式を全て書いて、その式を自分で見て考えられるようにする。
この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。
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【問１】（難問）
上図のように、円Ｏと円Ｏの周上にない２点Ａ，Ｂがある。
円Ｏの直径ＰＱをひいたとき、ＡＰ＝ＢＱとなる直径ＰＱを１つ、定規とコンパスを用いて作図し、点Ｐおよび点Ｑの位置を示す文字Ｐ，Ｑも書きなさい。
ただし、作図に用いた線は消さないでおくこと。
（注意）
この問題は難問です。以下の理由により、安易に解答を見ないよう注意してください。この難問を自力で解いてから解答を見てください。
（解けるまで解答を見ない理由）
出題高校の意図を推測すると、「単にいろいろな難問の解き方を覚えて知っている学生よりも、想像力豊かで知能が高く融通性に富んだ学生の方を合格させたい」
という意図があると考えます。
そのため、この難問を学ぶ目的は、
この難問を解こうとする努力により知能を高めるホルモンが分泌されて知能を高めること、
を第１の目的にするのが良いと考えます。
そのため、この難問を自力で解くまでは解答を見ずに、ベストな勉強方法としては、難問を解く努力をした後（解けないで寝て良い）寝ている間に知能ホルモンの分泌をさせる。それを何回か繰り返すのが良いと考えます。
（難問の解き方）
難問が解けずに寝るとき、寝ている間も何とか問題を解こうとして、そのために、問題を考え易い簡単な形にして、解こうとするだろうと思います。
そのように簡単な形に問題を変換して考えることが、あらゆる難問を解くコツです。
この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。
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新型コロナウイルス感染対策
【円の中の点に拡張した円周角の定理】
上図のように、円の中の点Ａにかかわる円周角の定理が成り立ちます。
この式を自力で証明して
よく覚えてください。
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【円の外の点に拡張した円周角の定理】
上図のように、円の外の点Ａにかかわる円周角の定理が成り立ちます。
この式を自力で証明して
よく覚えてください。
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【円の外の拡張円周角】
上図のように、円周角Ａと同じ角の、
円の外の角
∠ＢＤＥと
∠ＣＤＦ
が、拡張円周角です。
これらの拡張円周角を
すぐ想像できるように、
この「円の外の拡張円周角の定理」
をよく覚えてください。
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以下の問題は、「相似図形同士で辺の比が等しい公式」を適用する問題です。
【問１】 （難問）
上図のように、三角形ＡＢＣの頂角Ａの二等分線の長さｍに間して式１が成り立つことを証明しなさい。
（注意）
この問題は、「角の二等分線の長さの定理」であり、有名な定理ですが、その証明を見たことの無い学生にはかなりな難問です。以下の理由により、有名定理だからと言って安易に解答を見ないよう注意してください。この難問を自力で証明してから解答を見てください。
（解けるまで解答を見ない理由）
この定理よりも覚え易い定理に中線定理があります。
しかし、高校入試問題を見ると、
その中線定理を使うよう誘導している入試問題が、その誘導にもかかわらず、中線定理を使わないでも解けるようにした問題を出題しています。
その出題高校の意図を推測すると、
「単にいろいろな定理を覚えて知っている学生よりも、想像力豊かで知能が高く融通性に富んだ学生の方を合格させたい」
という意図があるように考えられます。
そのため、この「角の二等分線の長さの定理」を学ぶ目的は、
この定理を証明しようとする努力により知能を高めるホルモンが分泌されて知能を高めること、
を第１の目的にするのが良いと考えます。
そのため、この定理を自力で証明するまでは解答を見ずに、知能ホルモンの分泌を続けるのが良いと考えます。
（解答の方針）
辺の長さの積の定理は、相似図形では辺の比が同じであることに由来します。結局、辺の長さの積の定理は、ある相似図形に由来する定理です。そのため、この問題は、相似図形を探す問題です。
この問題のように、辺の長さの積の定理の問題は、
（１）図の不足を埋めて図を完成させてから、
（２）相似図形を発見して、相似図形の辺の比が等しい式を書いて
問題を解くように心がけてください。
この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。
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余弦定理やベクトルを使った解答
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上の図のような、角Ｃが直角で頂角Ａが３６°の直角三角形ＡＢＣの斜辺ＡＢの長さが１の場合に、辺ＡＣの長さを求めなさい。
