やさしい微分積分
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《実数とは》
例えば、以下の図の規則によってｘ＝１から、ｘ＝２、次にｘ＝3/2 というように有理数の値を変えてくと、限りなく近づく先の数が有理数の中には無い。しかし、そのように限りなく近づく先の数が存在すると考えた。その数を実数と呼ぶ。
このように、「限りなく近づける」操作（極限の操作）が、数の概念を拡張することを要請し、そうして拡張された新たな数が実数であった。この拡張された数である実数から成るとされる数直線には数の連続性があるとされた。このように極限の操作によって数の概念が実数にまで拡張され、それが数の連続性と微分積分の礎になった。
《数列の極限》
項が限りなく続く数列ｘ1, ｘ2, ｘ3, ・・・, ｘn, ・・・を無限数列と言う。ｘnをその第ｎ項といい、この無限数列を{ｘn}であらわす。また、ａn を自然数ｎの式であらわしたものを数列{ｘn} の一般項という。
「変数ｘが限りなく点ａに近づく」という極限の定義は、数の集合Ａにおいて、以下のことが成り立つこととして、極限を定義する。
【数列の極限の定義】
以下の図で、「数の集合Ａの要素で、点ａ以外の値の、変数ｘの無限数列{ｘn}を考える。
この数列{ｘn}では、自然数ｎが限りなく大きくなるとき、第ｎ項は限りなく値ａに近づく。
一般に、数列{ｘn}において、ｎが限りなく大きくなるにつれて、ｘn が一定の値ａに限りなく近づくとき、数列{ｘn}はａに収束する、または、数列{ｘn}の極限はａであるという。その値ａを数列{ｘn}の極限値であるという。（点ａは数の集合Ａの要素で無くても良い）。
数列{ｘn}の極限値がａであるとき、次のように書く。
（ここで、記号∞は”無限大”と読む。∞は数をあらわすものではない）
すなわち、「変数ｘが限りなく点ａに近づく」という極限の概念を、点ａに収束する、数の集合Ａの要素のｘの無限数列を使って数学的に定義した。
その結果、変数ｘが限りなく近づく先の数の点ａは、すなわち、変数ｘの極限の数の点ａは、
数の集合Ａの要素の点ｘの無限数列の集積点であるという結論が得られる。
--（集積点の定義）--
実数の集合Ｒの部分集合の数の集合Ａを考える。
（１）実数の点ａが数の集合Ａの集積点であるとは、
点ａの値以外の数の集合Ａの要素の点ｘn による、点ａに収束する無限数列 {ｘn}が存在すること（点ａは実数ではあるが、数の集合Ａの要素とは限らない）である。
（２）数の集合Ａの要素のある数の点ｙが集積点ではないとき、その点ｙを数の集合Ａの孤立点と呼ぶ。
（３）数の集合Ａの集積点のうち、集合Ａの外の数であるか、又は、その近傍の点でもある点を集合Ａの境界点と呼ぶ。集合Ａの集積点のうち集合Ａに含まれない集積点を、集合Ａの外の集積点（境界点）と呼ぶ。
数の集合Ａの境界点には、(1) 数の集合Ａの集積点であり、かつ、集合Ａの外の数の集合の集積点でもある境界点がある。(2) 数の集合Ａの集積点であり集合Ａの外の数の集合の孤立点も境界点である。(3) 数の集合Ａの孤立点であり集合Ａの外の数の集合の集積点も境界点である。
--（集積点の定義おわり）---
《関数の極限の概念》
「変数ｘが限りなく点ａに近づく」極限の定義と、その極限の定義を基礎にした関数ｆ(x) の極限の定義は、関数ｆ(x) の定義域Ａに以下の条件が成り立つことを前提にしている。
（１）第１に、「関数ｆ(x) の定義域のｘの数の集合Ａの変数ｘの無限数列が点ａへ収束する」、という条件がある。その結果、ｘが限りなく近づく先の点ａは、関数ｆ(x) の定義域の変数ｘの集積点である。（点ａは定義域Ａ上の点でなくても良い）
つまり、定義域のｘの数の集合Ａから、ａと異なる数ｘ1, ｘ2, ｘ3, ・・・, ｘn, ・・・ を選んで、点ａに収束するｘの無限数列{ｘn}を作れること。その無限数列{ｘn}が点ａに収束するのにともなってｆ(x) が値Ｃに収束することが、ｘ→ａで関数ｆ(x)に極限値Ｃが存在するための基礎条件である。
（２）次に、定義域Ａが点ａの近傍の区間Ｂ（右側近傍や左側近傍といった片側近傍でも良い）を含むものとする。次に、区間Ｂの変数ｘの数列であって、点ａに収束するｘの無限数列に対応する関数ｆ(x) の無限数列が値Ｃに収束すること。更に、点ａに収束する区間Ｂの全てのｘの無限数列に対応する関数ｆ(x) の無限数列が同じ値Ｃに収束すること。これらが成り立つ場合に、点ａで関数ｆ(x) が収束する（極限値が存在する）と定義する。
そう定義する理由は、関数ｆ(x) によっては、区間Ｂの点ｘによる、点ａに収束する無限数列{ｘn}毎に、関数ｆ(x) が異なる値に収束したり、収束しなかったりすることがあるからである。
（３）こうして、古典的（基礎的）微分積分学では、「変数ｘが限りなく点ａに近づく」という極限の概念を、区間Ｂのｘの点の、ａに収束する無限数列{ｘn}を使って数学的に定義した。そして、「変数ｘの極限の点ａは、ｘの無限数列の集積点である」という結論が得られる。
（４）こうして、古典的（基礎的）微分積分学では、 集積点ａに収束する区間Ｂの点ｘのどの無限数列においても関数ｆ(x) が同じ値Ｃに収束することを、関数の極限値が存在する条件とした。そして、その基本的条件を満足する関数の定義域Ａは、ａの近傍の区間Ｂを含むものであると定義した。また、極限の点ａには定義域Ａの境界点も含ませた。
そのことを、ｘ→ａのときｆ(x) の極限値がＣである。
といい、次のように書く。
ここで、点ａが関数ｆ(x) の定義域Ａには属さない場合でも、定義域Ａのｘの無限数列が点ａに収束する場合の集積点ａは定義域Ａの境界点である。定義域の境界点は、関数ｆ(x) の極限を調べる対象とする点である。
そのように、定義域Ａの点と境界点との集合の点に対して、関数の値が収束する極限値Ｃを定義した上で、その極限値Ｃ＝ｆ(a) になることを、点ａで関数ｆ(x) が連続であると定義した。すなわち、定義域Ａの点と境界点との集合の点に対して、極限の概念の延長として、点ａが連続である条件を定義した（その定義には、定義域の外の境界点は連続な点では無い「不連続点である」という意味が含まれる。境界点が定義域に含まれる場合には、多くの場合にその境界点は連続な点になる。）。
1970年代の高校数学の参考書「大道を行く数学（解析編）」から、以下の知識が得られる。
[連続の定義]
のとき、関数ｙ＝f(x)は x=a で連続であるという。
また、ｆ(x) がある区間のすべてのｘで連続のとき、その区間で連続であるという。
しかし、(10)式は単なる定義であって、それだけではいろいろな問題を考察するのに不十分であろう。連続について知るには、裏返して不連続である場合を知るのが早道である。不連続の場合は、(10)式が成り立たない場合だから、次の４通りが考えられる。
この定義はアメリカのMITで教えている不連続点(points of discontinuity)の定義でも同じである。
以下、これらについて、例をもって説明しよう。
この不連続点は、定義域の外の境界点であって、かつ、その境界点によって関数の定義域が連結されている。
このような「式の欠点」から生じる不連続は、もしその点ａで関数を定義して関数ｆ(x) を点ａでも連続な関数にすれば、その点ａでの関数ｆ(a) の不連続は補正されたものと見なすことが，多くの場合に適切である．
例2.9 [x] はｘを越えない最大の整数とする.
どちらも存在しない。
（この不連続点は、定義域の外の境界点であって、かつ、その境界点によって関数の定義域が連結されている）
このことについては多くを語る必要もないであろう。
左右の片側極限が一致せず、なおかつｆ(x) が点ａにおいて定義されていない場合にも、ａはｆ(x) の跳躍不連続点です。
例2.10 無限個の項の和が存在するとして定義された関数
は、ｘ≠０のとき、次のような工夫をすると簡単な形にまとめられる．
この関数のグラフは図2.10 の通りである．
不連続な場合、ｆ(x) のグラフは不連続なｘにおいて切れていて、連結していない．このことは逆に連続なときは、グラフはｘにおいて切れ目のない線になっている．また(10)式は、
ｘ－ａが無限小のとき、ｆ(x)－ｆ(a) が無限小
ということである．したがってｆ(x) が連続なところでは
ｘの微小変化に対応し、ｆ(x) が微小変化する
そして、このような関数を連続関数というといいかえても良い．
（参考）藤原松三郎の「微分積分学 第１巻」によると、「ｆ（ｘ）がｘ＝ξで連続でない場合に、ｘ＝ξ（という変数ｘの数直線上の点）をｆ（ｘ）の不連続点という。」と定義されている。
〔定義の役割〕
連続関数とは、第１の条件として、関数の定義域が連結していること（定義域の外の境界点によって定義域が連結されてはいないこと）、第２の条件として、定義域の点毎に関数ｆ(x) の値域が連結していること。その２つの条件が成り立ちグラフが１つながりに連結している関数ｆ(x) をどのように表すかが連続関数の定義の役割である。
（注意１）関数ｆ(x) の点とは、関数をあらわすグラフ上の点ではなく、変数ｘの数直線上の点である。
（注意２）
「不連続点」の定義は、現代数学の位相空間論の定義では、その不連続なｘの値で関数値ｆ(x) が定義されている場合のみに「不連続点」という言葉を使っている。つまり、古典的（基礎的）な微分積分学における上の例2.8 の(１°)や(３°)の点のように関数値ｆ(x) が定義されていない点は、位相空間論の定義では不連続点とは呼んでいない。（しかし、後に説明するように、これは誤りである）
〔古典的（基礎的）微分積分学〕
古典的（基礎的）微分積分学では、関数の連続性の定義は、〔定義の役割〕における２つの条件が満足されるように定義する。先ず、第１の条件を満足するために、変数ｘの点ａの近傍で実数が連結する区間内（連結する全ての実数）での極限を用いる。次に、第２の条件を満足するように、式(10)によって関数ｆ(x) の連続性を定義している。
「区間で定義された関数f(x)が、その区間のすべてのｘの値で古典的（基礎的）な連続性があるとき、f(x)は古典的（基礎的）な微分積分学で定義された連続関数である」
古典的（基礎的）微分積分学を教える高木貞治の「解析概論」では、連続関数を、「ある区域（区間）内において，変数ｘが連続的に変動するのに伴って連続的に変動する関数ｆ(x) 」と呼んでいる。関数ｆ(x) が連続的に変動するという意味は、関数が区間で、連続的に定義されているという意味である。すなわち、ｆ(x)=1/x という関数のように、ｘ＝ー１からｘ＜０までは関数ｆ(x) が定義されていて、ｘ＝０では関数が定義されていない。再びｘ＞０からｘ＝１まで関数ｆ(x) が定義されている。といった、関数が区間[-1,1]で連続的には定義されていない関数は連続関数ではないのである。
そして、古典的（基礎的）微分積分学では、実数の数直線上のｘ＝ａの点で関数ｆ(x) の連続性の条件が満たされない場合に、その数直線上の点ａを不連続点と呼んでいる。
数直線上のｘ＝ａの点は、関数ｆ(x) の連続な点であるか、関数ｆ(x) の不連続点（当ブログでは「連続でない点」と呼ぶ）かの２つの場合のどちらかである。
すなわち、あるｘの点が不連続である条件は、そのｘの点が連続でないことである。
古典的（基礎的）微分積分学は、数直線の実数全体の数の集合に基づいて解析することで、関数の性質の解析の見通しを良くしています。
〔位相空間論によって再構築した微分積分学〕
（微分積分を学び始めた高校生はこれ以降は読まないで良い）
一方で、位相空間論によって再構築した微分積分学は、位相空間の数の集合（限定された数）のみに基づいて関数の性質を解析するので、関数の解析の見通しが極めて悪い。手探りで関数を解析するので間違え易いという特徴があります。
古典的（基礎的）微分積分学の発展の歴史は、微分積分の概念を確立する過程で間違いを繰り返してようやく厳密性（論理的正しさ）を確保できた歴史がある。現代数学の位相空間論で再構築した微分積分学も、同様に、多くの間違いを繰り返して最後に厳密性（論理的正しさ）を確保する過程の途上にあると考える。
《位相空間論の極限の定義が要注意》
位相空間論に係わる極限の定義には、古典的（基礎的）微分積分学でのｘの極限に必須な条件である「点ａに収束するｘの無限数列の値ｘでｆ(x) が定義されていなければならず、極限の点ａは集積点である」、という条件が欠落している。そして、「点ａに近い微小区間のどの実数に対してもｆ(x) の値が定義されていなければならない」、という古典的（基礎的）微分積分学における、関数ｆ(x) の極限が存在するための前提条件が抜け落ちている。
古典的（基礎的）微分積分学は、変数ｘが限りなく点ａに近づくこと、という極限の概念をｘの無限数列を使って数学的に定義した。そして、「変数ｘの極限の点ａは、ｘの数列の集積点である」という結論を得た。一方で、位相空間論では、その結論を否定し、集積点では無い孤立点ａが変数ｘの極限になると決めた。それにより、基礎的微分積分学の極限の概念を否定して、異なる極限の概念に再構築している。
位相空間論によって再構築した微分積分学では、関数の連続性の定義は、〔定義の役割〕における２つの条件のうちの第２の条件のみを満足する定義である。
すなわち、例えば位相空間の数の集合を有理数のみ（数の集合が連結しない）に定めても良く、関数ｆ(x) の定義域はその数の集合の部分集合に限られる。そのようにして定義域の連結性が要求されていない。
そして、点ａが集積点の場合は、式(10) により値域の連続性を定義する。
また、独立変数ｘ及び点ａが、位相空間の数の集合（例えば有理数）に属する場合のみを考える。関数ｆ(x) の定義域は位相空間の数の集合の部分集合であるが、点ａも、定義域内の点に限った上で値域の連続性を定義している。式(10) は、その点ｘが限りなく点ａ近づくときに、ｆ(x) が限りなくｆ(a) に近づくという関係があることによって関数ｆ(x) の値域の連続性を表している。
「関数 f(x) が、その関数ｆ(x) の定義域のすべての x =ａの値で位相空間論的な連続性があるとき、 f(x) は位相空間論で定義された連続関数である」
そして、例えば有理数の位相空間の数の集合に属するｘ＝ａの点で関数ｆ(x) の連続性の条件が満たされない場合を、その点ａを、連続でない点と呼ぶ。
位相空間の数の集合（有理数）に属するｘ＝ａの点は、
①関数ｆ(x) の定義域に属さない点ａの不連続点であるか、
②定義域上の点ａであって関数ｆ(x) の連続な点であるか、
③定義域上の点ａであって関数ｆ(x) の不連続点であるか、
の３つの場合のどれかである。
（４つ目の場合として、例えば無理数のｘ＝βの点などの、有理数の位相空間の数の集合に属さない点βについては、位相空間の数の集合に属さないので存在しない数とみなす。その点βについては言及しない）
（３°の）関数ｆ(x)＝1/x において、点ｘ＝０は、関数ｆ(x) の定義域内の点ではないが、位相空間の数の集合（有理数や実数）に属する点である。位相空間論でも、その点ａを、定義域の外の不連続点と定義できる。
すなわち、あるｘの点が不連続である条件は、
（１）先ず、そのｘの点が位相空間の数の集合に属する点であること。
（２）次に、そのｘの点が連続でないこととの、
２つの条件を満足する必要がある。
点ｘ＝０は、その２つの条件を満足するので定義域の外の不連続点と定義できる。
（点の種別の定義付けの心）
位相空間論での「不連続点」の厳密な定義は、定められた位相空間の数の集合だけで議論することである。その位相空間の数の集合に属するｘの点は、関数ｆ(x) の定義域に属するか、定義域に属さないかの何れかである。
（１°）の、変数ｘの定義域に属さない「取除きうる不連続点ａ」については、その点ａが位相空間の数の集合に属する場合は、関数ｆ(x) の定義域の外の「境界点」である。
その「境界点」は連続な点ではないので、位相空間論でも、「定義域の外の不連続点」と定義できる。かくして、位相空間論では、定義域の外の境界点を「定義域の外の不連続点」と定義できる。
しかしながら、有理数のみの位相空間においては、以下の図の関数のｘ＝√2 の点は無理数であって、その位相空間の数の集合に属さない。
この場合は関数ｆ(x) の有理数の「境界点」が存在しないので、有理数の位相空間の不連続点も存在しないことに注意すべきである。古典的（基礎的）微分積分学の視点（実数を数の集合とする位相空間）で見ると、この図の関数（厳密に言うと無理数でも定義された関数の場合）は、無理数の境界点で分断された３つの異なる連続関数から成ることがわかる。
（注意３）
位相空間論の説明において、位相空間の数の集合に属する点であって「不連続点」の資格がある点の一部分の、数ｆ(x) の定義域に属する点のみを「不連続点」と説明する誤りが流通している。（そういう誤りを基礎的微分積分学（高校数学）に混ぜないでほしい）。そういう誤りに巻き込まれないために、古典的（基礎的）な微分積分学が定義する「不連続点」や、（位相空間論においても）定義域を連結させない境界点の「定義域の外の不連続点」は、このブログでは、「連続でない点」と呼ぶことにして数学用語を明確にする。
（補足）
なお、位相空間論で点の連続性を厳密に議論するためには、関数の定義域に属する「連続でない点」と、関数の定義域の外の（位相空間の数の集合には属する）「連続でない点」とは性格が異なる点であるので区別して考えた方が良い。
特に、連続関数の連続性を、位相空間論では独立変数ｘの連結性と従属変数ｙの連結性（位相空間論の連続関数の定義による）に分けて扱った。そのため、関数ｆ(x) が定義されている点ａの不連続点は、すなわち従属変数ｙの連結性のみが損なわれた定義域上の不連続点は、「定義域に限った不連続点」と呼ぶのが適切であろう。関数ｆ(x) が定義されない点などの、独立変数ｘの連結性が損なわれた点の不連続点は、ｘの連結性が損なわれているだけでなく同時にｙの連結性も損なわれている場合（上図のグラフ：実数の位相空間の場合）もあるので、定義付けが難しい。「定義域の外の不連続点」と呼ぶのが適切であろう。
〔基礎的微分積分学の立場から見た、位相空間論の「不連続点」の定義の誤り〕
位相空間論の「不連続点」の定義は、位相空間論の連続性の定義の結論、「関数ｆがそもそも点ａにおいて定義されていない場合、すなわちａ∉定義域Ａである場合、関数ｆは点ａにおいて連続ではない」と整合しないので誤りである。
位相空間論で、関数の定義域に属する点のみを「不連続点」と説明している誤りの原因は、位相空間論の「変数ｘの点」の定義のあいまいさが原因である。位相空間論で「連続な点」と「不連続点」を定義付ける対象のｘの点は位相空間の数の集合のすべての点を対象にすべきである。（それらの点のうち特に、関数の極限にかかわる定義域の境界点は関数の連続性の判定をすべき点である）。しかし、それを、関数の定義域Ａの点のみにしている不徹底さがある。そのため、「ｆ(x) の式の欠点ａで関数ｆ(x) が分割されて関数ｆ(x) を不連続にする不連続点」の資格がある関数ｆ(x) の定義域の境界点（下図のｘ＝０の点）が、連続性の判定対象にされなかった。
その結果、その点が「不連続点」とも「連続な点」とも呼ばれなかった。（位相空間論において「連続な点」とも「不連続点」ともされないで良い点は、位相空間の数の集合に属さない点だけである）
位相空間論では、（極限点は集積点であるという極限の根本条件を否定しているので極限の概念を捨てているとも言えるが）例えば位相空間の数の集合を有理数のみとした場合には、変数ｘが限りなく近づく先を有理数のみに限定するなどの、極限の宛先を位相空間の数の集合に属する点ｋのみに限定する。位相空間の数の集合が有理数のみの場合には、数同士の距離が近いか遠いかの関係が有理数同士の間でのみ定義されているからである。しかし、そうだからといって関数ｆ(x) の極限の宛先の点ｋが関数の定義域Ａ内の数のみに限定されているわけではない。上図の場合では、関数ｆ(x) の極限の宛先が定義域の集積点であるｘ＝０の点も対象になっている。上図の関数ｆ(x) では、そのｘ＝０の点で極限が存在しない。関数の連続性の条件は極限の存在条件よりも厳しいのであるから、ｘ＝０の点では、関数の連続性も満足されず、この関数の定義域の外の不連続点である。
関数の定義域の外の点が連続な点ではないのがあたりまえなので、なぜ、それを位相空間論でも定義域の外の不連続点と強調しなければならないのかは、以下の理由である。関数の点ａでの連続性を調べるとき、先ずは、点ａの極限を求めるが、点ａで関数が定義されている必要がない。関数の極限を求める場合は、点ｘ＝０以外の、ｘ＝０の近傍の全ての定義域の点で関数の性質を調べることができる。そして、ｘ＝０の点で関数ｆ(x)=1/x が極限を持たないという結論が得られる。関数の定義域が分断されていて、定義域を分断する境界点ｘ＝０で極限が存在せず、関数が連続しない、という情報は無視し得ない重要性を持つ。その情報ゆえに、古典的微分積分学では、複合区間で定義された関数ｆ(x)=1/x は（定義域の外の不連続点ｘ＝０が存在するゆえに）連続関数では無いと定義した。位相空間論も、その結論（定義域を連結する境界点ｘ＝０が定義域の外の不連続点である）を無視し得ないと考える。
《位相空間論の不連続点の意味》
位相空間論が定義する「不連続点」は、古典的（基礎的）微分積分学があらわす点と関数との関係によって分類した点の性質をあらわすものではない。正しくは、位相空間論の「不連続点」とは、
「関数の位相空間論の不連続性を持つ定義域の点」
を指す数学用語である。
また、位相空間論の「連続点」とは、
「関数の位相空間論の連続性を持つ定義域の点」
を指す数学用語である。
（注意） 位相空間論の関数の連続性の定義によっても、「関数ｆがそもそも点ａにおいて定義されていない場合、すなわちａ∉定義域Ａである場合、関数ｆは点ａにおいて連続ではない」という結論になる。
（「関数の連続性の否定の論理式」のサイトも参考になる）
例えば、関数ｆ(x)=1/x であって、定義域がｘ≠０の実数全体である関数ｆ(x) は、点ｘ＝０において、点ｘ＝０が定義域に含まれないので連続ではない。更に言うと、点ｘ＝０が定義域に含まれていることにしても、ｘ＝０の点において、極限が存在しないので連続ではない。その結論は点ａでの関数の連続性をイプシロン・デルタ論法で定義しても変わらない。
位相空間論の「不連続点」の定義は、その結論と整合しないので誤りである。「不連続点」と呼ぶよりは「定義域に限った不連続点」と呼んだ方が良い。
位相空間論が古典的微分積分学で使っている数学用語と同じ言葉（連続点、不連続点）を使っていても、その元の概念とは異なる概念・対象を定義している。（例えば、極限点（集積点）ではない孤立点を連続点とする等、古典的微分積分学とは異なる対象を位相空間論が定義している）
（注意）位相空間論に係わる関数の連続性の定義には、孤立点に連続性があるという定義が含まれている。定義域Ａが孤立点のみの関数は定義域の全ての点で連続な関数になる。なお、孤立点の極限は、点の連続性の定義を経由して定義すると、孤立点を極限の点と定義することができる。
下図の関数は、定義域Ａが孤立点のみの関数であって、定義域の全ての点で連続な関数である。
上図の関数のように、関数 f(x) が、その関数ｆ(x) の定義域Ａのすべての x =ａの値で位相空間論に係わる連続性があるとき、「f(x) は位相空間論に係わる連続関数である」と言う。（ｘ＝０，１，２，３の点以外の点は、定義域に無いので考えない）
（質問）『分数関数は（高校数学が定義する）連続関数ですが、中間値の定理は成り立つのですか？x=0のときのグラフがないので成り立たない気がするのですが……。また、例えば
において、区間[-1,1]は連続なのでしょうか？』
という質問があります。その回答は：
（回答）『変数ｘの数直線上の点x=0において、f(x)=1/xの値が定義されていないので、その数直線上の点x=0で関数f(x)は連続ではない。極限の点x=0で関数f(x)が定義されていなくても関数f(x)の極限値が定義されていることに注意すること。古典的（基礎的）微分積分学での関数の連続性の定義では、関数f(x)がx=0で連続である大前提に、その点で関数f(x)が極限値を持つことです。しかし提示された関数ｆ(x) では、点x=0で関数f(x)が極限値を持たない。そのため、その点で関数f(x)は連続ではない。
区間[-1,1]におけるf(x)=1/xについては、中間値の定理は成り立たない。その、区間[-1,1]における関数f(x)=1/xは（古典的微分積分学の）連続関数ではない。その関数は、その区間で「区間連続」ではない。』
です。
【微分積分の初心者には、位相空間論の議論が破綻しているように見える】
位相空間論では、極限の概念を、例えば変数ｘの位相空間の数の集合を有理数のみとした場合に、変数ｘが限りなく近づく先を有理数のみに限定するなどの、極限の宛先を位相空間の数の集合に属する点ａのみに限定している。位相空間の数の集合が有理数のみであるということは、数同士の距離が近いか遠いかの関係が有理数同士の間でのみ定義されているからである。
位相空間論では、位相空間の数の集合を有理数のみにしている場合に、その有理数の点の数列の極限を位相空間の数の集合以外の新たな数（無理数β）に向ける操作を認めない。（無理数βは有理数ではないのだから）数列の極限の数βが存在しないとみなして無視しその極限を排除する。そういうルールにより、極限の概念の適用を制限し、数学体系を再構築する。
（厳密に言うと、極限の概念の元になっている数同士の近さの関係を、位相空間の数の集合に属する数同士にしか認めないのが位相空間の概念だからである。もし、近いと思われる新しい数を発見してそれを今までの位相空間の数の集合に加えることは、それまでとは異なる位相空間を設定することになる。なお、近いと思われる新たな数が発見されるならば、それまでの位相空間の数の集合に不備があった、と言える。）
位相空間論は、そのように既存知識（数とは位相空間の数の集合に属する点＝有理数のことである）という思考の枠組みからはみ出さないように極限の操作を制限して構築した数学体系である。
それにより、独立変数ｘを既に定めている数の集合（有理数）の範囲に限定して抽象化した関数ｆ(x) の連続性の性質を調べている。
これは、有理数の数列の極限が有理数でない場合に新しい数（無理数）が発見されたと考えて数の概念を拡張する従来の発想とは全く逆の、（知らない数は存在しないと考える）内向きの発想を基礎にした考え方である。
位相空間論では、関数ｆ(x) の点ａにおける連続性の定義の式(10)の独立変数ｘの極限の宛先の数ａはｘの位相空間の数の集合の点に限定する制限を加えた極限を利用して、抽象化された「位相空間論の関数の連続性」を定義する。
しかし、そうして定義した関数ｆ(x) の連続性には以下の難点がある。
位相空間論での関数の連続性の定義では、以下のグラフであらわされる、有理数を位相空間の数の集合とし、その数の集合全てを定義域とする関数ｆ(x) が、どの有理数の点ａでも連続になる。しかしそのグラフが切れ切れである。
（参考）同様な議論が、「嶺幸太郎 著：微分積分学の試練」の１３０ページにある。
（１３０ページから引用）「なお，単に関数が連続だからといってグラフが繋がるとは限らない．次の例は、連続関数のグラフが繋がるためには定義域自身が繋がっている必要があることを示唆する：例8.5.2」
上のグラフで、ｘ＝√2 の点は、位相空間のｘの数の集合（有理数）に属さない。位相空間論では、位相空間のｘの数の集合に属さない点 ｘ＝√2 は、関数が連続とも、不連続とも評価しない（不連続点とは、位相空間の数の集合に属する点に対して言えることである）。
上図の、位相空間の数の集合を有理数とした場合に、その数の集合をｘの定義域とする関数ｆ(x) は、定義域内（有理数）のどの点においても位相空間論の連続性が満足されている。
図の通りに関数ｆ(x) はｆ(x) の値がｘ＝√2 の点でｆ(x) の値が極端にずれている。しかし、その点は位相空間の数の集合に属さない。この関数ｆ(x) は、有理数の位相空間では連続関数である。位相空間論では、独立変数ｘの数列の極限値がｘの位相空間の数の集合に属さない場合には、その値を数で無いとして無視する。位相空間論では、そのように極限の概念を制限する。有理数の位相空間の数の集合が連結しないことに起因して、この図のようにグラフが切れ切れで繋がっていないことは位相空間論の「連続性の定義」によっては判別できず、この関数を連続関数と呼んでいる。位相空間論の定義する連続関数のグラフが繋がるためには関数の定義域が連結している（〔定義の役割〕の第１の条件を満足する）必要がある。（有理数全体は連結していない）
位相空間論では、上図の関数ｆ(x) の定義域のｘの集合の中の２つの独立したｘの集合Ｂ（-√2<x<√2）と集合Ｃ（√2<x<3√2）を考える。集合ＢとＣが、ｘの境界点β（ｘ＝√2 ）をそれらの集合の共通の境界点としている。その境界点βが集合BにもCにも含まれない場合は、独立変数ｘの定義域の数の集合がその無理数βの点で連結していない。
---〔点ｘの定義域が連結しない条件〕---
点ｘの定義域の集合は左側の集合Ｂと右側の集合Ｃに分割できる。左側の集合Ｂの点を右側に限りなく近づけた先の境界点βは集合Ｂにも集合Ｃにも属さない。また、その境界点βは右側の集合Ｃの点を左側に限りなく近づけた先の境界点でもある。その境界点βが集合Ｂにも集合Ｃにも属さないので、集合Ｂと集合Ｃを合わせた集合は連結しない。
（厳密な議論）
境界点とは、有理数の位相空間の数の集合に属する有理数の点に限られる。数同士の距離が近いか遠いかの関係は、位相空間の数の集合に属する数同士の間でのみ定義されているからである。
無理数βは有理数では無いので、有理数の位相空間の数の集合に属さず、境界点にならない。（注意：この点はもし位相空間の数の集合に属するならば、定義域に属さないでも「境界点」になる）。集合Ｂと集合Ｃに分割した境目の境界点βは、位相空間の数の集合に属さない点なので、点βは数では無く境界点の数は存在しないとされる。この場合に位相空間論では、集合Ｂと集合Ｃがともに開集合であることを理由にして（境界点βを考えないで）点ｘの定義域の数の集合が連結しないと認識する。
古典的（基礎的）微分積分学では、定義域の数の集合が無理数の定義域の外の不連続点βによって分断されていると考えるが、位相空間論の微分積分学では、その「分断の原因」を考えない手探りで、定義域が「連結しない」と認識する。（しかし、ある数の集合に関する真実を記述する場合には、その集合を超える要素が必要になる場合があるので、このようなやり方で数の集合に係わる真実を把握することには危うさがある「間違えやすい」と考える）
---（点ｘの定義域が連結しない条件おわり）---
有理数の変数ｘの定義域の数の集合が境界点βで連結していない（境界点βが無理数なので定義域に含まれない）ことが、古典的な微分積分学での「関数ｆ(x) が点βで連続でない」に対応する。
位相空間論には、フェリックス・ハウスドルフの貢献が大きい。
ハウスドルフの書いた集合論の教科書が位相空間論の基礎になっている。ハウスドルフの集合論の教科書を読むと、議論が破綻しているものになっていることに驚く。もちろん、議論の全体としては、(ある意味で?) 破綻をきちんと回避している。
フェリックス・ハウスドルフの研究成果の位相空間論を簡単に理解できると安易には考えずに、その理論が教えようとする心を学んで欲しい。その心の理解のためには、位相空間論を学ぶ以前に、 古典的（基礎的）微分積分学の基礎になっている連続関数の概念は、区間で連続な関数のことである ことを学んでおいて欲しい。
古典的（基礎的）微分積分学で、区間で連続な関数が千切れていなかった性質は、位相空間論によって、関数ｆ(x) の独立変数ｘの定義域の連結性に依存していたことが浮き彫りになった。位相空間論によって、古典的（基礎的）微分積分学で連続関数と定義されていた、区間で連続な関数ｆ(x) の性質が、関数の抽象化された連続性の概念と、関数の独立変数ｘの定義域の抽象化された連結性の概念と、で構成されていることが浮き彫りにされた。
〔位相空間論の開き直り〕
位相空間論は開き直って、関数の連結性を値域の連結性と定義域の連結性とに分けて考えることにしたと考える。定義域の連結性が満足されないことによる定義域の外の不連続点（関数1/xのｘ＝０の点）の考察は後回しにして、値域の連結性が満足されないことによる不連続点のみに注目するようにしたと考える。位相空間論による関数を把握する注目点は、古典的（基礎的）微分積分学による関数の注目点（関数の値域と定義域とでの連結性）とは異なるからである。
《位相空間論に対する感想１》
有理数の数の集合Ｄの位相空間を定義域とする関数ｆ(x) の連続性を定義するには、現在の位相空間論での定義では無く、以下の式(10) と式(10b) で定義することを考える。ここで、 位相空間の数の集合Ｄに属する独立変数ｘの極限値であって、集合Ｄに属さない無理数をβとする。式(10)と式(10b)で関数の連続性を定義すれば、有理数のみを定義域とする関数ｆ(X) が無理数の点βで途切れることもない連続性が定義できる。なぜ、そのように関数の連続性を定義して理論を作らないのだろうか？
《位相空間論に対する感想２》
実数全体を位相空間の数の集合とし、関数ｆ(x) の定義域を１点の実数ａとする。すなわち、関数ｆ(x) の定義域の数の集合を{a} とする。そして、ｆ(a)＝b とする。この関数ｆ(x) の極限を厳密に定義する場合に、うまく関数の極限を定義しないと、この１点のみの関数では、関数の極限の定義が無意味になり、連続性の定義も無意味になる。そのような問題点を回避するために、位相空間論では孤立点は全て連続な点と定義し、孤立点ａの極限値はその点の関数値ｆ(a) に等しいと定義付けていると考える。
《関数の連続性の条件》
関数がある点ａで連続であるとは、第１の条件として、関数の定義域が点ａと、ａの近傍で連結していることである。第２の条件として、点ａで関数ｆ(x) の値域が連結していることである。その２つの条件を満足しない点ａは「連続でない点」である。
第１の条件は、変数ｘが限りなく近づく宛先の点のうち、関数ｆ(x) の定義域に含まれる点ａであることと、ｘ＝ａの近傍の定義域は実数が連結したｘの微小区間であることとを要請する（連結している数の集合は実数の区間だけである）。
第２の条件は、式(10)であらわすように、点ａに限りなく近づく関数ｆ(x) の極限の値がｆ(a) であることを要請する。
（第２の条件の補足）更に、第１の条件が満足されない点βでは、（位相空間論に係わる微分積分学では）第２の条件を不問にしている。しかし、その点βで関数ｆ(x) の値ｆ(β) を定義して第１の条件を満足させると、再度第２の条件で判定すると点βが連続ではないことが判明することがある。そのような点βでは、そうした後に調べる以前から（値域の）連続性を判定する必要がある。その判定は、以下の式(10b)であらわす、点βに限りなく近づく関数ｆ(x) の極限値が存在する条件により判定する必要がある。
すなわち、関数ｆ(x) の定義域Ｄ上の点ａの点列で、ｎ≧Ｎなる点列ａ_nが収束する先の点βのまわりの”開区間”に含まれる点a_nの関数の値ｆ(a_n) が値域の”開区間”に含まれることを、点βでの関数ｆ(x) の（値域の）連続性の定義とするべきである。
古典的（基礎的）微分積分学は、実数全体を位相空間の数の集合にした上で、実数の区間を定義域とする関数ｆ(x) の微分積分学である。しかし、「連続点」と「不連続点」の数学用語は、位相空間論と古典的微分積分学とでは異なる対象を指す言葉になっている。
リンク：
f(x) = 1/x って、どうして連続なの？
連続関数の定義
連続性公理と実数を定義する3つの方法 （初学者向けの話）
関数の極限の定義
『増訂解析概論』高木 貞治 著の現代仮名遣い版
第3章 位相空間の基礎のキソ
ハウスドルフの集合論と位相空間論の誕生
高校数学の目次
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《実数とは》
例えば、以下の図の規則によってｘ＝１から、ｘ＝２、次にｘ＝3/2 というように有理数の値を変えてくと、限りなく近づく先の数が有理数の中には無い。しかし、そのように限りなく近づく先の数が存在すると考えた。その数を実数と呼ぶ。
このように、「限りなく近づける」操作（極限の操作）が、数の概念を拡張することを要請し、そうして拡張された新たな数が実数であった。この拡張された数である実数から成るとされる数直線には数の連続性があるとされた。このように極限の操作によって数の概念が実数にまで拡張され、それが数の連続性と微分積分の礎になった。
《数列の極限》
項が限りなく続く数列ｘ1, ｘ2, ｘ3, ・・・, ｘn, ・・・を無限数列と言う。ｘnをその第ｎ項といい、この無限数列を{ｘn}であらわす。また、ａn を自然数ｎの式であらわしたものを数列{ｘn} の一般項という。
「変数ｘが限りなく点ａに近づく」という極限の定義は、数の集合Ａにおいて、以下のことが成り立つこととして、極限を定義する。
【数列の極限の定義】
以下の図で、「数の集合Ａの要素で、点ａ以外の値の、変数ｘの無限数列{ｘn}を考える。
この数列{ｘn}では、自然数ｎが限りなく大きくなるとき、第ｎ項は限りなく値ａに近づく。
一般に、数列{ｘn}において、ｎが限りなく大きくなるにつれて、ｘn が一定の値ａに限りなく近づくとき、数列{ｘn}はａに収束する、または、数列{ｘn}の極限はａであるという。その値ａを数列{ｘn}の極限値であるという。（点ａは数の集合Ａの要素で無くても良い）。
数列{ｘn}の極限値がａであるとき、次のように書く。
（ここで、記号∞は”無限大”と読む。∞は数をあらわすものではない）
すなわち、「変数ｘが限りなく点ａに近づく」という極限の概念を、点ａに収束する、数の集合Ａの要素のｘの無限数列を使って数学的に定義した。
その結果、変数ｘが限りなく近づく先の数の点ａは、すなわち、変数ｘの極限の数の点ａは、
数の集合Ａの要素の点ｘの無限数列の集積点であるという結論が得られる。
--（集積点の定義）--
実数の集合Ｒの部分集合の数の集合Ａを考える。
（１）実数の点ａが数の集合Ａの集積点であるとは、
点ａの値以外の数の集合Ａの要素の点ｘn による、点ａに収束する無限数列 {ｘn}が存在すること（点ａは実数ではあるが、数の集合Ａの要素とは限らない）である。
（２）数の集合Ａの要素のある数の点ｙが集積点ではないとき、その点ｙを数の集合Ａの孤立点と呼ぶ。
（３）数の集合Ａの集積点のうち、集合Ａの外の数であるか、又は、その近傍の点でもある点を集合Ａの境界点と呼ぶ。集合Ａの集積点のうち集合Ａに含まれない集積点を、集合Ａの外の集積点（境界点）と呼ぶ。
数の集合Ａの境界点には、(1) 数の集合Ａの集積点であり、かつ、集合Ａの外の数の集合の集積点でもある境界点がある。(2) 数の集合Ａの集積点であり集合Ａの外の数の集合の孤立点も境界点である。(3) 数の集合Ａの孤立点であり集合Ａの外の数の集合の集積点も境界点である。
--（集積点の定義おわり）---
《関数の極限の概念》
「変数ｘが限りなく点ａに近づく」極限の定義と、その極限の定義を基礎にした関数ｆ(x) の極限の定義は、関数ｆ(x) の定義域Ａに以下の条件が成り立つことを前提にしている。
（１）第１に、「関数ｆ(x) の定義域のｘの数の集合Ａの変数ｘの無限数列が点ａへ収束する」、という条件がある。その結果、ｘが限りなく近づく先の点ａは、関数ｆ(x) の定義域の変数ｘの集積点である。（点ａは定義域Ａ上の点でなくても良い）
つまり、定義域のｘの数の集合Ａから、ａと異なる数ｘ1, ｘ2, ｘ3, ・・・, ｘn, ・・・ を選んで、点ａに収束するｘの無限数列{ｘn}を作れること。その無限数列{ｘn}が点ａに収束するのにともなってｆ(x) が値Ｃに収束することが、ｘ→ａで関数ｆ(x)に極限値Ｃが存在するための基礎条件である。
（２）次に、定義域Ａが点ａの近傍の区間Ｂ（右側近傍や左側近傍といった片側近傍でも良い）を含むものとする。次に、区間Ｂの変数ｘの数列であって、点ａに収束するｘの無限数列に対応する関数ｆ(x) の無限数列が値Ｃに収束すること。更に、点ａに収束する区間Ｂの全てのｘの無限数列に対応する関数ｆ(x) の無限数列が同じ値Ｃに収束すること。これらが成り立つ場合に、点ａで関数ｆ(x) が収束する（極限値が存在する）と定義する。
そう定義する理由は、関数ｆ(x) によっては、区間Ｂの点ｘによる、点ａに収束する無限数列{ｘn}毎に、関数ｆ(x) が異なる値に収束したり、収束しなかったりすることがあるからである。
（３）こうして、古典的（基礎的）微分積分学では、「変数ｘが限りなく点ａに近づく」という極限の概念を、区間Ｂのｘの点の、ａに収束する無限数列{ｘn}を使って数学的に定義した。そして、「変数ｘの極限の点ａは、ｘの無限数列の集積点である」という結論が得られる。
（４）こうして、古典的（基礎的）微分積分学では、 集積点ａに収束する区間Ｂの点ｘのどの無限数列においても関数ｆ(x) が同じ値Ｃに収束することを、関数の極限値が存在する条件とした。そして、その基本的条件を満足する関数の定義域Ａは、ａの近傍の区間Ｂを含むものであると定義した。また、極限の点ａには定義域Ａの境界点も含ませた。
そのことを、ｘ→ａのときｆ(x) の極限値がＣである。
といい、次のように書く。
ここで、点ａが関数ｆ(x) の定義域Ａには属さない場合でも、定義域Ａのｘの無限数列が点ａに収束する場合の集積点ａは定義域Ａの境界点である。定義域の境界点は、関数ｆ(x) の極限を調べる対象とする点である。
そのように、定義域Ａの点と境界点との集合の点に対して、関数の値が収束する極限値Ｃを定義した上で、その極限値Ｃ＝ｆ(a) になることを、点ａで関数ｆ(x) が連続であると定義した。すなわち、定義域Ａの点と境界点との集合の点に対して、極限の概念の延長として、点ａが連続である条件を定義した（その定義には、定義域の外の境界点は連続な点では無い「不連続点である」という意味が含まれる。境界点が定義域に含まれる場合には、多くの場合にその境界点は連続な点になる。）。
1970年代の高校数学の参考書「大道を行く数学（解析編）」から、以下の知識が得られる。
[連続の定義]
のとき、関数ｙ＝f(x)は x=a で連続であるという。
また、ｆ(x) がある区間のすべてのｘで連続のとき、その区間で連続であるという。
しかし、(10)式は単なる定義であって、それだけではいろいろな問題を考察するのに不十分であろう。連続について知るには、裏返して不連続である場合を知るのが早道である。不連続の場合は、(10)式が成り立たない場合だから、次の４通りが考えられる。
この定義はアメリカのMITで教えている不連続点(points of discontinuity)の定義でも同じである。
以下、これらについて、例をもって説明しよう。
この不連続点は、定義域の外の境界点であって、かつ、その境界点によって関数の定義域が連結されている。
このような「式の欠点」から生じる不連続は、もしその点ａで関数を定義して関数ｆ(x) を点ａでも連続な関数にすれば、その点ａでの関数ｆ(a) の不連続は補正されたものと見なすことが，多くの場合に適切である．
例2.9 [x] はｘを越えない最大の整数とする.
どちらも存在しない。
（この不連続点は、定義域の外の境界点であって、かつ、その境界点によって関数の定義域が連結されている）
このことについては多くを語る必要もないであろう。
左右の片側極限が一致せず、なおかつｆ(x) が点ａにおいて定義されていない場合にも、ａはｆ(x) の跳躍不連続点です。
例2.10 無限個の項の和が存在するとして定義された関数
は、ｘ≠０のとき、次のような工夫をすると簡単な形にまとめられる．
この関数のグラフは図2.10 の通りである．
不連続な場合、ｆ(x) のグラフは不連続なｘにおいて切れていて、連結していない．このことは逆に連続なときは、グラフはｘにおいて切れ目のない線になっている．また(10)式は、
ｘ－ａが無限小のとき、ｆ(x)－ｆ(a) が無限小
ということである．したがってｆ(x) が連続なところでは
ｘの微小変化に対応し、ｆ(x) が微小変化する
そして、このような関数を連続関数というといいかえても良い．
（参考）藤原松三郎の「微分積分学 第１巻」によると、「ｆ（ｘ）がｘ＝ξで連続でない場合に、ｘ＝ξ（という変数ｘの数直線上の点）をｆ（ｘ）の不連続点という。」と定義されている。
〔定義の役割〕
連続関数とは、第１の条件として、関数の定義域が連結していること（定義域の外の境界点によって定義域が連結されてはいないこと）、第２の条件として、定義域の点毎に関数ｆ(x) の値域が連結していること。その２つの条件が成り立ちグラフが１つながりに連結している関数ｆ(x) をどのように表すかが連続関数の定義の役割である。
（注意１）関数ｆ(x) の点とは、関数をあらわすグラフ上の点ではなく、変数ｘの数直線上の点である。
（注意２）
「不連続点」の定義は、現代数学の位相空間論の定義では、その不連続なｘの値で関数値ｆ(x) が定義されている場合のみに「不連続点」という言葉を使っている。つまり、古典的（基礎的）な微分積分学における上の例2.8 の(１°)や(３°)の点のように関数値ｆ(x) が定義されていない点は、位相空間論の定義では不連続点とは呼んでいない。（しかし、後に説明するように、これは誤りである）
〔古典的（基礎的）微分積分学〕
古典的（基礎的）微分積分学では、関数の連続性の定義は、〔定義の役割〕における２つの条件が満足されるように定義する。先ず、第１の条件を満足するために、変数ｘの点ａの近傍で実数が連結する区間内（連結する全ての実数）での極限を用いる。次に、第２の条件を満足するように、式(10)によって関数ｆ(x) の連続性を定義している。
「区間で定義された関数f(x)が、その区間のすべてのｘの値で古典的（基礎的）な連続性があるとき、f(x)は古典的（基礎的）な微分積分学で定義された連続関数である」
古典的（基礎的）微分積分学を教える高木貞治の「解析概論」では、連続関数を、「ある区域（区間）内において，変数ｘが連続的に変動するのに伴って連続的に変動する関数ｆ(x) 」と呼んでいる。関数ｆ(x) が連続的に変動するという意味は、関数が区間で、連続的に定義されているという意味である。すなわち、ｆ(x)=1/x という関数のように、ｘ＝ー１からｘ＜０までは関数ｆ(x) が定義されていて、ｘ＝０では関数が定義されていない。再びｘ＞０からｘ＝１まで関数ｆ(x) が定義されている。といった、関数が区間[-1,1]で連続的には定義されていない関数は連続関数ではないのである。
そして、古典的（基礎的）微分積分学では、実数の数直線上のｘ＝ａの点で関数ｆ(x) の連続性の条件が満たされない場合に、その数直線上の点ａを不連続点と呼んでいる。
数直線上のｘ＝ａの点は、関数ｆ(x) の連続な点であるか、関数ｆ(x) の不連続点（当ブログでは「連続でない点」と呼ぶ）かの２つの場合のどちらかである。
すなわち、あるｘの点が不連続である条件は、そのｘの点が連続でないことである。
古典的（基礎的）微分積分学は、数直線の実数全体の数の集合に基づいて解析することで、関数の性質の解析の見通しを良くしています。
〔位相空間論によって再構築した微分積分学〕
（微分積分を学び始めた高校生はこれ以降は読まないで良い）
一方で、位相空間論によって再構築した微分積分学は、位相空間の数の集合（限定された数）のみに基づいて関数の性質を解析するので、関数の解析の見通しが極めて悪い。手探りで関数を解析するので間違え易いという特徴があります。
古典的（基礎的）微分積分学の発展の歴史は、微分積分の概念を確立する過程で間違いを繰り返してようやく厳密性（論理的正しさ）を確保できた歴史がある。現代数学の位相空間論で再構築した微分積分学も、同様に、多くの間違いを繰り返して最後に厳密性（論理的正しさ）を確保する過程の途上にあると考える。
《位相空間論の極限の定義が要注意》
位相空間論に係わる極限の定義には、古典的（基礎的）微分積分学でのｘの極限に必須な条件である「点ａに収束するｘの無限数列の値ｘでｆ(x) が定義されていなければならず、極限の点ａは集積点である」、という条件が欠落している。そして、「点ａに近い微小区間のどの実数に対してもｆ(x) の値が定義されていなければならない」、という古典的（基礎的）微分積分学における、関数ｆ(x) の極限が存在するための前提条件が抜け落ちている。
古典的（基礎的）微分積分学は、変数ｘが限りなく点ａに近づくこと、という極限の概念をｘの無限数列を使って数学的に定義した。そして、「変数ｘの極限の点ａは、ｘの数列の集積点である」という結論を得た。一方で、位相空間論では、その結論を否定し、集積点では無い孤立点ａが変数ｘの極限になると決めた。それにより、基礎的微分積分学の極限の概念を否定して、異なる極限の概念に再構築している。
位相空間論によって再構築した微分積分学では、関数の連続性の定義は、〔定義の役割〕における２つの条件のうちの第２の条件のみを満足する定義である。
すなわち、例えば位相空間の数の集合を有理数のみ（数の集合が連結しない）に定めても良く、関数ｆ(x) の定義域はその数の集合の部分集合に限られる。そのようにして定義域の連結性が要求されていない。
そして、点ａが集積点の場合は、式(10) により値域の連続性を定義する。
また、独立変数ｘ及び点ａが、位相空間の数の集合（例えば有理数）に属する場合のみを考える。関数ｆ(x) の定義域は位相空間の数の集合の部分集合であるが、点ａも、定義域内の点に限った上で値域の連続性を定義している。式(10) は、その点ｘが限りなく点ａ近づくときに、ｆ(x) が限りなくｆ(a) に近づくという関係があることによって関数ｆ(x) の値域の連続性を表している。
「関数 f(x) が、その関数ｆ(x) の定義域のすべての x =ａの値で位相空間論的な連続性があるとき、 f(x) は位相空間論で定義された連続関数である」
そして、例えば有理数の位相空間の数の集合に属するｘ＝ａの点で関数ｆ(x) の連続性の条件が満たされない場合を、その点ａを、連続でない点と呼ぶ。
位相空間の数の集合（有理数）に属するｘ＝ａの点は、
①関数ｆ(x) の定義域に属さない点ａの不連続点であるか、
②定義域上の点ａであって関数ｆ(x) の連続な点であるか、
③定義域上の点ａであって関数ｆ(x) の不連続点であるか、
の３つの場合のどれかである。
（４つ目の場合として、例えば無理数のｘ＝βの点などの、有理数の位相空間の数の集合に属さない点βについては、位相空間の数の集合に属さないので存在しない数とみなす。その点βについては言及しない）
（３°の）関数ｆ(x)＝1/x において、点ｘ＝０は、関数ｆ(x) の定義域内の点ではないが、位相空間の数の集合（有理数や実数）に属する点である。位相空間論でも、その点ａを、定義域の外の不連続点と定義できる。
すなわち、あるｘの点が不連続である条件は、
（１）先ず、そのｘの点が位相空間の数の集合に属する点であること。
（２）次に、そのｘの点が連続でないこととの、
２つの条件を満足する必要がある。
点ｘ＝０は、その２つの条件を満足するので定義域の外の不連続点と定義できる。
（点の種別の定義付けの心）
位相空間論での「不連続点」の厳密な定義は、定められた位相空間の数の集合だけで議論することである。その位相空間の数の集合に属するｘの点は、関数ｆ(x) の定義域に属するか、定義域に属さないかの何れかである。
（１°）の、変数ｘの定義域に属さない「取除きうる不連続点ａ」については、その点ａが位相空間の数の集合に属する場合は、関数ｆ(x) の定義域の外の「境界点」である。
その「境界点」は連続な点ではないので、位相空間論でも、「定義域の外の不連続点」と定義できる。かくして、位相空間論では、定義域の外の境界点を「定義域の外の不連続点」と定義できる。
しかしながら、有理数のみの位相空間においては、以下の図の関数のｘ＝√2 の点は無理数であって、その位相空間の数の集合に属さない。
この場合は関数ｆ(x) の有理数の「境界点」が存在しないので、有理数の位相空間の不連続点も存在しないことに注意すべきである。古典的（基礎的）微分積分学の視点（実数を数の集合とする位相空間）で見ると、この図の関数（厳密に言うと無理数でも定義された関数の場合）は、無理数の境界点で分断された３つの異なる連続関数から成ることがわかる。
（注意３）
位相空間論の説明において、位相空間の数の集合に属する点であって「不連続点」の資格がある点の一部分の、数ｆ(x) の定義域に属する点のみを「不連続点」と説明する誤りが流通している。（そういう誤りを基礎的微分積分学（高校数学）に混ぜないでほしい）。そういう誤りに巻き込まれないために、古典的（基礎的）な微分積分学が定義する「不連続点」や、（位相空間論においても）定義域を連結させない境界点の「定義域の外の不連続点」は、このブログでは、「連続でない点」と呼ぶことにして数学用語を明確にする。
（補足）
なお、位相空間論で点の連続性を厳密に議論するためには、関数の定義域に属する「連続でない点」と、関数の定義域の外の（位相空間の数の集合には属する）「連続でない点」とは性格が異なる点であるので区別して考えた方が良い。
特に、連続関数の連続性を、位相空間論では独立変数ｘの連結性と従属変数ｙの連結性（位相空間論の連続関数の定義による）に分けて扱った。そのため、関数ｆ(x) が定義されている点ａの不連続点は、すなわち従属変数ｙの連結性のみが損なわれた定義域上の不連続点は、「定義域に限った不連続点」と呼ぶのが適切であろう。関数ｆ(x) が定義されない点などの、独立変数ｘの連結性が損なわれた点の不連続点は、ｘの連結性が損なわれているだけでなく同時にｙの連結性も損なわれている場合（上図のグラフ：実数の位相空間の場合）もあるので、定義付けが難しい。「定義域の外の不連続点」と呼ぶのが適切であろう。
〔基礎的微分積分学の立場から見た、位相空間論の「不連続点」の定義の誤り〕
位相空間論の「不連続点」の定義は、位相空間論の連続性の定義の結論、「関数ｆがそもそも点ａにおいて定義されていない場合、すなわちａ∉定義域Ａである場合、関数ｆは点ａにおいて連続ではない」と整合しないので誤りである。
位相空間論で、関数の定義域に属する点のみを「不連続点」と説明している誤りの原因は、位相空間論の「変数ｘの点」の定義のあいまいさが原因である。位相空間論で「連続な点」と「不連続点」を定義付ける対象のｘの点は位相空間の数の集合のすべての点を対象にすべきである。（それらの点のうち特に、関数の極限にかかわる定義域の境界点は関数の連続性の判定をすべき点である）。しかし、それを、関数の定義域Ａの点のみにしている不徹底さがある。そのため、「ｆ(x) の式の欠点ａで関数ｆ(x) が分割されて関数ｆ(x) を不連続にする不連続点」の資格がある関数ｆ(x) の定義域の境界点（下図のｘ＝０の点）が、連続性の判定対象にされなかった。
その結果、その点が「不連続点」とも「連続な点」とも呼ばれなかった。（位相空間論において「連続な点」とも「不連続点」ともされないで良い点は、位相空間の数の集合に属さない点だけである）
位相空間論では、（極限点は集積点であるという極限の根本条件を否定しているので極限の概念を捨てているとも言えるが）例えば位相空間の数の集合を有理数のみとした場合には、変数ｘが限りなく近づく先を有理数のみに限定するなどの、極限の宛先を位相空間の数の集合に属する点ｋのみに限定する。位相空間の数の集合が有理数のみの場合には、数同士の距離が近いか遠いかの関係が有理数同士の間でのみ定義されているからである。しかし、そうだからといって関数ｆ(x) の極限の宛先の点ｋが関数の定義域Ａ内の数のみに限定されているわけではない。上図の場合では、関数ｆ(x) の極限の宛先が定義域の集積点であるｘ＝０の点も対象になっている。上図の関数ｆ(x) では、そのｘ＝０の点で極限が存在しない。関数の連続性の条件は極限の存在条件よりも厳しいのであるから、ｘ＝０の点では、関数の連続性も満足されず、この関数の定義域の外の不連続点である。
関数の定義域の外の点が連続な点ではないのがあたりまえなので、なぜ、それを位相空間論でも定義域の外の不連続点と強調しなければならないのかは、以下の理由である。関数の点ａでの連続性を調べるとき、先ずは、点ａの極限を求めるが、点ａで関数が定義されている必要がない。関数の極限を求める場合は、点ｘ＝０以外の、ｘ＝０の近傍の全ての定義域の点で関数の性質を調べることができる。そして、ｘ＝０の点で関数ｆ(x)=1/x が極限を持たないという結論が得られる。関数の定義域が分断されていて、定義域を分断する境界点ｘ＝０で極限が存在せず、関数が連続しない、という情報は無視し得ない重要性を持つ。その情報ゆえに、古典的微分積分学では、複合区間で定義された関数ｆ(x)=1/x は（定義域の外の不連続点ｘ＝０が存在するゆえに）連続関数では無いと定義した。位相空間論も、その結論（定義域を連結する境界点ｘ＝０が定義域の外の不連続点である）を無視し得ないと考える。
《位相空間論の不連続点の意味》
位相空間論が定義する「不連続点」は、古典的（基礎的）微分積分学があらわす点と関数との関係によって分類した点の性質をあらわすものではない。正しくは、位相空間論の「不連続点」とは、
「関数の位相空間論の不連続性を持つ定義域の点」
を指す数学用語である。
また、位相空間論の「連続点」とは、
「関数の位相空間論の連続性を持つ定義域の点」
を指す数学用語である。
（注意） 位相空間論の関数の連続性の定義によっても、「関数ｆがそもそも点ａにおいて定義されていない場合、すなわちａ∉定義域Ａである場合、関数ｆは点ａにおいて連続ではない」という結論になる。
（「関数の連続性の否定の論理式」のサイトも参考になる）
例えば、関数ｆ(x)=1/x であって、定義域がｘ≠０の実数全体である関数ｆ(x) は、点ｘ＝０において、点ｘ＝０が定義域に含まれないので連続ではない。更に言うと、点ｘ＝０が定義域に含まれていることにしても、ｘ＝０の点において、極限が存在しないので連続ではない。その結論は点ａでの関数の連続性をイプシロン・デルタ論法で定義しても変わらない。
位相空間論の「不連続点」の定義は、その結論と整合しないので誤りである。「不連続点」と呼ぶよりは「定義域に限った不連続点」と呼んだ方が良い。
位相空間論が古典的微分積分学で使っている数学用語と同じ言葉（連続点、不連続点）を使っていても、その元の概念とは異なる概念・対象を定義している。（例えば、極限点（集積点）ではない孤立点を連続点とする等、古典的微分積分学とは異なる対象を位相空間論が定義している）
（注意）位相空間論に係わる関数の連続性の定義には、孤立点に連続性があるという定義が含まれている。定義域Ａが孤立点のみの関数は定義域の全ての点で連続な関数になる。なお、孤立点の極限は、点の連続性の定義を経由して定義すると、孤立点を極限の点と定義することができる。
下図の関数は、定義域Ａが孤立点のみの関数であって、定義域の全ての点で連続な関数である。
上図の関数のように、関数 f(x) が、その関数ｆ(x) の定義域Ａのすべての x =ａの値で位相空間論に係わる連続性があるとき、「f(x) は位相空間論に係わる連続関数である」と言う。（ｘ＝０，１，２，３の点以外の点は、定義域に無いので考えない）
（質問）『分数関数は（高校数学が定義する）連続関数ですが、中間値の定理は成り立つのですか？x=0のときのグラフがないので成り立たない気がするのですが……。また、例えば
において、区間[-1,1]は連続なのでしょうか？』
という質問があります。その回答は：
（回答）『変数ｘの数直線上の点x=0において、f(x)=1/xの値が定義されていないので、その数直線上の点x=0で関数f(x)は連続ではない。極限の点x=0で関数f(x)が定義されていなくても関数f(x)の極限値が定義されていることに注意すること。古典的（基礎的）微分積分学での関数の連続性の定義では、関数f(x)がx=0で連続である大前提に、その点で関数f(x)が極限値を持つことです。しかし提示された関数ｆ(x) では、点x=0で関数f(x)が極限値を持たない。そのため、その点で関数f(x)は連続ではない。
区間[-1,1]におけるf(x)=1/xについては、中間値の定理は成り立たない。その、区間[-1,1]における関数f(x)=1/xは（古典的微分積分学の）連続関数ではない。その関数は、その区間で「区間連続」ではない。』
です。
【微分積分の初心者には、位相空間論の議論が破綻しているように見える】
位相空間論では、極限の概念を、例えば変数ｘの位相空間の数の集合を有理数のみとした場合に、変数ｘが限りなく近づく先を有理数のみに限定するなどの、極限の宛先を位相空間の数の集合に属する点ａのみに限定している。位相空間の数の集合が有理数のみであるということは、数同士の距離が近いか遠いかの関係が有理数同士の間でのみ定義されているからである。
位相空間論では、位相空間の数の集合を有理数のみにしている場合に、その有理数の点の数列の極限を位相空間の数の集合以外の新たな数（無理数β）に向ける操作を認めない。（無理数βは有理数ではないのだから）数列の極限の数βが存在しないとみなして無視しその極限を排除する。そういうルールにより、極限の概念の適用を制限し、数学体系を再構築する。
（厳密に言うと、極限の概念の元になっている数同士の近さの関係を、位相空間の数の集合に属する数同士にしか認めないのが位相空間の概念だからである。もし、近いと思われる新しい数を発見してそれを今までの位相空間の数の集合に加えることは、それまでとは異なる位相空間を設定することになる。なお、近いと思われる新たな数が発見されるならば、それまでの位相空間の数の集合に不備があった、と言える。）
位相空間論は、そのように既存知識（数とは位相空間の数の集合に属する点＝有理数のことである）という思考の枠組みからはみ出さないように極限の操作を制限して構築した数学体系である。
それにより、独立変数ｘを既に定めている数の集合（有理数）の範囲に限定して抽象化した関数ｆ(x) の連続性の性質を調べている。
これは、有理数の数列の極限が有理数でない場合に新しい数（無理数）が発見されたと考えて数の概念を拡張する従来の発想とは全く逆の、（知らない数は存在しないと考える）内向きの発想を基礎にした考え方である。
位相空間論では、関数ｆ(x) の点ａにおける連続性の定義の式(10)の独立変数ｘの極限の宛先の数ａはｘの位相空間の数の集合の点に限定する制限を加えた極限を利用して、抽象化された「位相空間論の関数の連続性」を定義する。
しかし、そうして定義した関数ｆ(x) の連続性には以下の難点がある。
位相空間論での関数の連続性の定義では、以下のグラフであらわされる、有理数を位相空間の数の集合とし、その数の集合全てを定義域とする関数ｆ(x) が、どの有理数の点ａでも連続になる。しかしそのグラフが切れ切れである。
（参考）同様な議論が、「嶺幸太郎 著：微分積分学の試練」の１３０ページにある。
（１３０ページから引用）「なお，単に関数が連続だからといってグラフが繋がるとは限らない．次の例は、連続関数のグラフが繋がるためには定義域自身が繋がっている必要があることを示唆する：例8.5.2」
上のグラフで、ｘ＝√2 の点は、位相空間のｘの数の集合（有理数）に属さない。位相空間論では、位相空間のｘの数の集合に属さない点 ｘ＝√2 は、関数が連続とも、不連続とも評価しない（不連続点とは、位相空間の数の集合に属する点に対して言えることである）。
上図の、位相空間の数の集合を有理数とした場合に、その数の集合をｘの定義域とする関数ｆ(x) は、定義域内（有理数）のどの点においても位相空間論の連続性が満足されている。
図の通りに関数ｆ(x) はｆ(x) の値がｘ＝√2 の点でｆ(x) の値が極端にずれている。しかし、その点は位相空間の数の集合に属さない。この関数ｆ(x) は、有理数の位相空間では連続関数である。位相空間論では、独立変数ｘの数列の極限値がｘの位相空間の数の集合に属さない場合には、その値を数で無いとして無視する。位相空間論では、そのように極限の概念を制限する。有理数の位相空間の数の集合が連結しないことに起因して、この図のようにグラフが切れ切れで繋がっていないことは位相空間論の「連続性の定義」によっては判別できず、この関数を連続関数と呼んでいる。位相空間論の定義する連続関数のグラフが繋がるためには関数の定義域が連結している（〔定義の役割〕の第１の条件を満足する）必要がある。（有理数全体は連結していない）
位相空間論では、上図の関数ｆ(x) の定義域のｘの集合の中の２つの独立したｘの集合Ｂ（-√2<x<√2）と集合Ｃ（√2<x<3√2）を考える。集合ＢとＣが、ｘの境界点β（ｘ＝√2 ）をそれらの集合の共通の境界点としている。その境界点βが集合BにもCにも含まれない場合は、独立変数ｘの定義域の数の集合がその無理数βの点で連結していない。
---〔点ｘの定義域が連結しない条件〕---
点ｘの定義域の集合は左側の集合Ｂと右側の集合Ｃに分割できる。左側の集合Ｂの点を右側に限りなく近づけた先の境界点βは集合Ｂにも集合Ｃにも属さない。また、その境界点βは右側の集合Ｃの点を左側に限りなく近づけた先の境界点でもある。その境界点βが集合Ｂにも集合Ｃにも属さないので、集合Ｂと集合Ｃを合わせた集合は連結しない。
（厳密な議論）
境界点とは、有理数の位相空間の数の集合に属する有理数の点に限られる。数同士の距離が近いか遠いかの関係は、位相空間の数の集合に属する数同士の間でのみ定義されているからである。
無理数βは有理数では無いので、有理数の位相空間の数の集合に属さず、境界点にならない。（注意：この点はもし位相空間の数の集合に属するならば、定義域に属さないでも「境界点」になる）。集合Ｂと集合Ｃに分割した境目の境界点βは、位相空間の数の集合に属さない点なので、点βは数では無く境界点の数は存在しないとされる。この場合に位相空間論では、集合Ｂと集合Ｃがともに開集合であることを理由にして（境界点βを考えないで）点ｘの定義域の数の集合が連結しないと認識する。
古典的（基礎的）微分積分学では、定義域の数の集合が無理数の定義域の外の不連続点βによって分断されていると考えるが、位相空間論の微分積分学では、その「分断の原因」を考えない手探りで、定義域が「連結しない」と認識する。（しかし、ある数の集合に関する真実を記述する場合には、その集合を超える要素が必要になる場合があるので、このようなやり方で数の集合に係わる真実を把握することには危うさがある「間違えやすい」と考える）
---（点ｘの定義域が連結しない条件おわり）---
有理数の変数ｘの定義域の数の集合が境界点βで連結していない（境界点βが無理数なので定義域に含まれない）ことが、古典的な微分積分学での「関数ｆ(x) が点βで連続でない」に対応する。
位相空間論には、フェリックス・ハウスドルフの貢献が大きい。
ハウスドルフの書いた集合論の教科書が位相空間論の基礎になっている。ハウスドルフの集合論の教科書を読むと、議論が破綻しているものになっていることに驚く。もちろん、議論の全体としては、(ある意味で?) 破綻をきちんと回避している。
フェリックス・ハウスドルフの研究成果の位相空間論を簡単に理解できると安易には考えずに、その理論が教えようとする心を学んで欲しい。その心の理解のためには、位相空間論を学ぶ以前に、 古典的（基礎的）微分積分学の基礎になっている連続関数の概念は、区間で連続な関数のことである ことを学んでおいて欲しい。
古典的（基礎的）微分積分学で、区間で連続な関数が千切れていなかった性質は、位相空間論によって、関数ｆ(x) の独立変数ｘの定義域の連結性に依存していたことが浮き彫りになった。位相空間論によって、古典的（基礎的）微分積分学で連続関数と定義されていた、区間で連続な関数ｆ(x) の性質が、関数の抽象化された連続性の概念と、関数の独立変数ｘの定義域の抽象化された連結性の概念と、で構成されていることが浮き彫りにされた。
〔位相空間論の開き直り〕
位相空間論は開き直って、関数の連結性を値域の連結性と定義域の連結性とに分けて考えることにしたと考える。定義域の連結性が満足されないことによる定義域の外の不連続点（関数1/xのｘ＝０の点）の考察は後回しにして、値域の連結性が満足されないことによる不連続点のみに注目するようにしたと考える。位相空間論による関数を把握する注目点は、古典的（基礎的）微分積分学による関数の注目点（関数の値域と定義域とでの連結性）とは異なるからである。
《位相空間論に対する感想１》
有理数の数の集合Ｄの位相空間を定義域とする関数ｆ(x) の連続性を定義するには、現在の位相空間論での定義では無く、以下の式(10) と式(10b) で定義することを考える。ここで、 位相空間の数の集合Ｄに属する独立変数ｘの極限値であって、集合Ｄに属さない無理数をβとする。式(10)と式(10b)で関数の連続性を定義すれば、有理数のみを定義域とする関数ｆ(X) が無理数の点βで途切れることもない連続性が定義できる。なぜ、そのように関数の連続性を定義して理論を作らないのだろうか？
《位相空間論に対する感想２》
実数全体を位相空間の数の集合とし、関数ｆ(x) の定義域を１点の実数ａとする。すなわち、関数ｆ(x) の定義域の数の集合を{a} とする。そして、ｆ(a)＝b とする。この関数ｆ(x) の極限を厳密に定義する場合に、うまく関数の極限を定義しないと、この１点のみの関数では、関数の極限の定義が無意味になり、連続性の定義も無意味になる。そのような問題点を回避するために、位相空間論では孤立点は全て連続な点と定義し、孤立点ａの極限値はその点の関数値ｆ(a) に等しいと定義付けていると考える。
《関数の連続性の条件》
関数がある点ａで連続であるとは、第１の条件として、関数の定義域が点ａと、ａの近傍で連結していることである。第２の条件として、点ａで関数ｆ(x) の値域が連結していることである。その２つの条件を満足しない点ａは「連続でない点」である。
第１の条件は、変数ｘが限りなく近づく宛先の点のうち、関数ｆ(x) の定義域に含まれる点ａであることと、ｘ＝ａの近傍の定義域は実数が連結したｘの微小区間であることとを要請する（連結している数の集合は実数の区間だけである）。
第２の条件は、式(10)であらわすように、点ａに限りなく近づく関数ｆ(x) の極限の値がｆ(a) であることを要請する。
（第２の条件の補足）更に、第１の条件が満足されない点βでは、（位相空間論に係わる微分積分学では）第２の条件を不問にしている。しかし、その点βで関数ｆ(x) の値ｆ(β) を定義して第１の条件を満足させると、再度第２の条件で判定すると点βが連続ではないことが判明することがある。そのような点βでは、そうした後に調べる以前から（値域の）連続性を判定する必要がある。その判定は、以下の式(10b)であらわす、点βに限りなく近づく関数ｆ(x) の極限値が存在する条件により判定する必要がある。
すなわち、関数ｆ(x) の定義域Ｄ上の点ａの点列で、ｎ≧Ｎなる点列ａ_nが収束する先の点βのまわりの”開区間”に含まれる点a_nの関数の値ｆ(a_n) が値域の”開区間”に含まれることを、点βでの関数ｆ(x) の（値域の）連続性の定義とするべきである。
古典的（基礎的）微分積分学は、実数全体を位相空間の数の集合にした上で、実数の区間を定義域とする関数ｆ(x) の微分積分学である。しかし、「連続点」と「不連続点」の数学用語は、位相空間論と古典的微分積分学とでは異なる対象を指す言葉になっている。
リンク：
f(x) = 1/x って、どうして連続なの？
連続関数の定義
連続性公理と実数を定義する3つの方法 （初学者向けの話）
関数の極限の定義
『増訂解析概論』高木 貞治 著の現代仮名遣い版
第3章 位相空間の基礎のキソ
ハウスドルフの集合論と位相空間論の誕生
高校数学の目次
