やさしい微分積分
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《実数とは》
例えば、以下の図の規則によってｘ＝１から、ｘ＝２、次にｘ＝3/2 というように有理数の値を変えてくと、限りなく近づく先の数が有理数の中には無い。しかし、そのように限りなく近づく先の数が存在すると考えた。その数を実数と呼ぶ。
このように、「限りなく近づける」操作（極限の操作）が、数の概念を拡張することを要請し、そうして拡張された新たな数が実数であった。この拡張された数である実数から成るとされる数直線には数の連続性があるとされた。このように極限の操作によって数の概念が実数にまで拡張され、それが数の連続性と微分積分の礎になった。
1970年代の高校数学の参考書「大道を行く数学（解析編）」から、以下の知識が得られる。
[連続の定義]
のとき、関数ｙ＝f(x)は x=a で連続であるという。
また、ｆ(x) がある区間のすべてのｘで連続のとき、その区間で連続であるという。
しかし、(10)式は単なる定義であって、それだけではいろいろな問題を考察するのに不十分であろう。連続について知るには、裏返して不連続である場合を知るのが早道である。不連続の場合は、(10)式が成り立たない場合だから、次の４通りが考えられる。
以下、これらについて、例をもって説明しよう。
例2.9 [x] はｘを越えない最大の整数とする.
どちらも存在しない．このことについては多くを語る必要もないであろう．
例2.10 無限個の項の和が存在するとして定義された関数
は、ｘ≠０のとき、次のような工夫をすると簡単な形にまとめられる．
この関数のグラフは図2.10 の通りである．
不連続な場合、ｆ(x) のグラフは不連続なｘにおいて切れていて、連結していない．このことは逆に連続なときは、グラフはｘにおいて切れ目のない線になっている．また(10)式は、
ｘ－ａが無限小のとき、ｆ(x)－ｆ(a) が無限小
ということである．したがってｆ(x) が連続なところでは
ｘの微小変化に対応し、ｆ(x) が微小変化する
そして、このような関数を連続関数というといいかえても良い．
（参考）藤原松三郎の「微分積分学 第１巻」によると、「ｆ（ｘ）がｘ＝ξで連続でない場合に、ｘ＝ξ（という変数ｘの数直線上の点）をｆ（ｘ）の不連続点という。」と定義されている。
〔定義の役割〕
連続関数とは、第１の条件として、関数の定義域が連結していること、第２の条件として、定義域の点毎に関数ｆ(x) の値域が連結していること。その２つの条件が成り立ちグラフが１つながりに連結している関数ｆ(x) をどのように表すかが連続関数の定義の役割である。
（注意１）関数ｆ(x) の点とは、関数をあらわすグラフ上の点ではなく、変数ｘの数直線上の点である。
（注意２）
「不連続点」の定義は、現代数学の位相空間論の定義では、その不連続なｘの値で関数値ｆ(x) が定義されている場合のみに「不連続点」という言葉を使っている。つまり、古典的（基礎的）な微分積分学における上の例2.8 のｘ＝１の点のように関数値ｆ(1) が定義されていない点は、位相空間論の定義では不連続点とは呼んでいない。（しかし、後に説明するように、これは誤りである）
〔古典的（基礎的）微分積分学〕
古典的（基礎的）微分積分学では、関数の連続性の定義は、〔定義の役割〕における２つの条件が満足されるように定義する。先ず、第１の条件を満足するために、変数ｘの点ａの近傍で実数が連結する区間内（連結する全ての実数）での極限を用いる。次に、第２の条件を満足するように、式(10)によって関数ｆ(x) の連続性を定義している。
「区間で定義された関数f(x)が、その区間のすべてのｘの値で古典的（基礎的）な連続性があるとき、f(x)は古典的（基礎的）な微分積分学で定義された連続関数である」
そして、実数上のｘ＝ａの点で関数ｆ(x) の連続性の条件が満たされない場合を、その（実数上の）点ａを、不連続点と呼んでいる。
実数上のｘ＝ａの点は、関数ｆ(x) の連続な点であるか、関数ｆ(x) の不連続点（当ブログでは「連続でない点」と呼ぶ）かの２つの場合のどちらかである。
すなわち、あるｘの点が不連続である条件は、そのｘの点が連続でないことである。
古典的（基礎的）微分積分学は、実数全体の数の集合に基づいて解析することで、関数の性質の解析の見通しを良くしています。
〔位相空間論によって再構築した微分積分学〕
（微分積分を学び始めた高校生はこれ以降は読まないで良い）
一方で、位相空間論によって再構築した微分積分学は、位相空間の数の集合（限定された数）のみに基づいて関数の性質を解析するので、関数の解析の見通しが極めて悪い。手探りで関数を解析するので間違え易いという特徴があります。
位相空間論によって再構築した微分積分学では、関数の連続性の定義は、〔定義の役割〕における２つの条件のうちの第２の条件のみを満足する定義である。
すなわち、例えば位相空間の数の集合を有理数のみ（数の集合が連結しない）に定めても良く、関数ｆ(x) の定義域はその数の集合の部分集合に限られる。そのようにして定義域の連結性が要求されていない。
そして、式(10) により値域の連続性を定義する。
すなわち、独立変数ｘ及び点ａが、位相空間の数の集合（例えば有理数）に属する場合のみを考える。そして、関数ｆ(x) の定義域は位相空間の数の集合の部分集合に限られ、点ｘ及び点ａは定義域内の点である。式(10) は、その点ｘが限りなく点ａ近づくときに、ｆ(x) が限りなくｆ(a) に近づくという関係があることによって関数ｆ(x) の値域の連続性を表している。
「関数 f(x) が、その関数ｆ(x) の定義域のすべての x =ａの値で位相空間論的な連続性があるとき、 f(x) は位相空間論で定義された連続関数である」
そして、例えば有理数の位相空間の数の集合に属するｘ＝ａの点で関数ｆ(x) の連続性の条件が満たされない場合を、その点ａを、不連続点と呼んでいる。
位相空間の数の集合（有理数）に属するｘ＝ａの点は、
①関数ｆ(x) の定義域に属さない点ａの不連続点であるか、
②定義域上の点ａであって関数ｆ(x) の連続な点であるか、
③定義域上の点ａであって関数ｆ(x) の不連続点であるか、
の３つの場合のどれかである。
（４つ目の場合として、例えば無理数のｘ＝βの点などの、有理数の位相空間の数の集合に属さない点βについては、位相空間の数の集合に属さないので存在しない数とみなす。その点βについては言及しない）
位相空間論では、（３°の）関数ｆ(x)＝1/x において、点ｘ＝０は、関数ｆ(x) の定義域内の点ではないが、位相空間の数の集合（有理数や実数）に属する点なので、不連続点である。
すなわち、あるｘの点が不連続である条件は、
（１）先ず、そのｘの点が位相空間の数の集合に属する点であること。
（２）次に、そのｘの点が連続でないこととの、
２つの条件を満足する必要がある。
点ｘ＝０は、その２つの条件を満足するので不連続点である。
（点の種別の定義付けの心）
位相空間論での「不連続点」の厳密な定義は、定められた位相空間の数の集合だけで議論することである。その位相空間の数の集合に属するｘの点は、関数ｆ(x) の定義域に属するか、定義域に属さないかの何れかである。
位相空間論は、（１°）の、変数ｘの定義域に属さない「取除きうる不連続点ａ」については、その点ａが位相空間の数の集合に属する場合は、関数ｆ(x) の定義域の外の「境界点」とする。
その「境界点」は連続な点ではないので「不連続点」である。かくして、位相空間論では、定義域の外の境界点を「不連続点」と定義付ける。
しかしながら、有理数のみの位相空間においては、以下の図の関数のｘ＝√2 の点は無理数であって、その位相空間の数の集合に属さない。
この場合は関数ｆ(x) の有理数の「境界点」が存在しないので、有理数の位相空間の不連続点も存在しないことに注意すべきである。古典的（基礎的）微分積分学の視点（実数を数の集合とする位相空間）で見ると、この図の関数（厳密に言うと無理数でも定義された関数の場合）は、無理数の境界点で分断された３つの異なる連続関数から成ることがわかる。
（注意３）
位相空間論の説明において、位相空間の数の集合に属する点であって「不連続点」の資格がある点の一部の、数ｆ(x) の定義域に属する点のみを「不連続点」と説明する誤りが流通している。（そういう誤りを基礎的微分積分学（高校数学）に混ぜないでほしい）。そういう誤りに巻き込まれないために、古典的（基礎的）な微分積分学が定義する「不連続点」や、（位相空間論においても）定義域を連結させない境界点の「不連続点」は、このブログでは、「連続でない点」と呼ぶことにして数学用語を明確にする。
（補足）
なお、位相空間論で点の連続性を厳密に議論するためには、関数の定義域に属する「連続でない点」と、関数の定義域の外の（位相空間の数の集合には属する）「連続でない点」とは性格が異なる点であるので区別して考えた方が良い。
特に、連続関数の連続性を、位相空間論では独立変数ｘの連結性と従属変数ｙの連結性（位相空間論の連続関数の定義による）に分けて扱った。そのため、関数ｆ(x) が定義されている点の不連続点は、すなわち従属変数ｙの連結性のみが損なわれた不連続点は、「位相空間論の不連続点」と呼ぶのが適切であろう。関数ｆ(x) が定義されない点などの、独立変数ｘの連結性が損なわれた点の不連続点は、ｘの連結性が損なわれているだけでなく同時にｙの連結性も損なわれている場合（上図のグラフ：実数の位相空間の場合）もあるので、定義付けが難しい。「位相空間論以外の不連続点」と呼ぶのが適切であろう。
【微分積分の初心者には、位相空間論の議論が破綻しているように見える】
位相空間論では、極限の概念を、例えば変数ｘの位相空間の数の集合を有理数のみとした場合に、変数ｘが限りなく近づく先を有理数のみに限定するなどの、極限の宛先を位相空間の数の集合に属する点ａのみに限定している。位相空間の数の集合が有理数のみであるということは、数同士の距離が近いか遠いかの関係が有理数同士の間でのみ定義されているからである。
位相空間論では、位相空間の数の集合を有理数のみにしている場合に、その有理数の点の数列の極限を位相空間の数の集合以外の新たな数（無理数β）に向ける操作を認めない。（無理数βは有理数ではないのだから）数列の極限の数βが存在しないとみなして無視しその極限を排除する。そういうルールにより、極限の概念の適用を制限し、数学体系を再構築する。
（厳密に言うと、極限の概念の元になっている数同士の近さの関係を、位相空間の数の集合に属する数同士にしか認めないのが位相空間の概念だからである。もし、近いと思われる新しい数を発見してそれを今までの位相空間の数の集合に加えることは、それまでとは異なる位相空間を設定することになる。なお、近いと思われる新たな数が発見されるならば、それまでの位相空間の数の集合に不備があった、と言える。）
位相空間論は、そのように既存知識（数とは位相空間の数の集合に属する点＝有理数のことである）という思考の枠組みからはみ出さないように極限の操作を制限して構築した数学体系である。
それにより、独立変数ｘを既に定めている数の集合（有理数）の範囲に限定して抽象化した関数ｆ(x) の連続性の性質を調べている。
これは、有理数の数列の極限が有理数でない場合に新しい数（無理数）が発見されたと考えて数の概念を拡張する従来の発想とは全く逆の、（知らない数は存在しないと考える）内向きの発想を基礎にした考え方である。
位相空間論では、関数ｆ(x) の点ａにおける連続性の定義の式(10)の独立変数ｘの極限の宛先の数ａはｘの位相空間の数の集合の点に限定する制限を加えた極限を利用して、抽象化された「位相空間論の関数の連続性」を定義する。
しかし、そうして定義した関数ｆ(x) の連続性には以下の難点がある。
位相空間論での関数の連続性の定義では、以下のグラフであらわされる、有理数を位相空間の数の集合とし、その数の集合全てを定義域とする関数ｆ(x) が、どの有理数の点ａでも連続になる。しかしそのグラフが切れ切れである。
（参考）同様な議論が、「嶺幸太郎 著：微分積分学の試練」の１３０ページにある。
（１３０ページから引用）「なお，単に関数が連続だからといってグラフが繋がるとは限らない．次の例は、連続関数のグラフが繋がるためには定義域自身が繋がっている必要があることを示唆する：例8.5.2」
上のグラフで、ｘ＝√2 の点は、位相空間のｘの数の集合（有理数）に属さない。位相空間論では、位相空間のｘの数の集合に属さない点 ｘ＝√2 は、関数が連続とも、不連続とも評価しない（不連続点とは、位相空間の数の集合に属する点に対して言えることである）。
上図の、位相空間の数の集合を有理数とした場合に、その数の集合をｘの定義域とする関数ｆ(x) は、定義域内（有理数）のどの点においても位相空間論の連続性が満足されている。
図の通りに関数ｆ(x) はｆ(x) の値がｘ＝√2 の点でｆ(x) の値が極端にずれている。しかし、その点は位相空間の数の集合に属さない。この関数ｆ(x) は、有理数の位相空間では連続関数である。位相空間論では、独立変数ｘの数列の極限値がｘの位相空間の数の集合に属さない場合には、その値を数で無いとして無視する。位相空間論では、そのように極限の概念を制限する。有理数の位相空間の数の集合が連結しないことに起因して、この図のようにグラフが切れ切れで繋がっていないことは位相空間論の「連続性の定義」によっては判別できず、この関数を連続関数と呼んでいる。位相空間論の定義する連続関数のグラフが繋がるためには関数の定義域が連結している（〔定義の役割〕の第１の条件を満足する）必要がある。（有理数全体は連結していない）
位相空間論では、上図の関数ｆ(x) の定義域のｘの集合の中の２つの独立したｘの集合Ｂ（-√2<x<√2）と集合Ｃ（√2<x<3√2）を考える。集合ＢとＣが、ｘの境界点β（ｘ＝√2 ）をそれらの集合の共通の境界点としている。その境界点βが集合BにもCにも含まれない場合は、独立変数ｘの定義域の数の集合がその無理数βの点で連結していない。
---〔点ｘの定義域が連結しない条件〕---
点ｘの定義域の集合は左側の集合Ｂと右側の集合Ｃに分割できる。左側の集合Ｂの点を右側に限りなく近づけた先の境界点βは集合Ｂにも集合Ｃにも属さない。また、その境界点βは右側の集合Ｃの点を左側に限りなく近づけた先の境界点でもある。その境界点βが集合Ｂにも集合Ｃにも属さないので、集合Ｂと集合Ｃを合わせた集合は連結しない。
（厳密な議論）
境界点とは、有理数の位相空間の数の集合に属する有理数の点に限られる。数同士の距離が近いか遠いかの関係は、位相空間の数の集合に属する数同士の間でのみ定義されているからである。
無理数βは有理数では無いので、有理数の位相空間の数の集合に属さず、境界点にならない。（注意：この点は、定義域に属さない場合でも、もし位相空間の数の集合に属するならば「境界点」になる）。そのため、集合Ｂと集合Ｃに分割した境目の境界点βは存在しないとみなされる。この場合に位相空間論では、集合Ｂと集合Ｃがともに開集合であることを理由にして（境界点βを考えないで）点ｘの定義域の数の集合が連結しないと認識する。
古典的（基礎的）微分積分学では、定義域の数の集合が無理数の不連続点βによって分断されていると考えるが、位相空間論の微分積分学では、その「分断の原因」を考えない手探りで、定義域が「連結しない」と認識する。（しかし、ある数の集合に関する真実を記述する場合には、その集合を超える要素が必要になる場合があるので、このようなやり方で数の集合に係わる真実を把握することには危うさがある「間違えやすい」と考える）
---（点ｘの定義域が連結しない条件おわり）---
有理数の変数ｘの定義域の数の集合が境界点βで連結していない（境界点βが無理数なので定義域に含まれない）ことが、古典的な微分積分学での「関数ｆ(x) が点βで連続でない」に対応する。
位相空間論には、フェリックス・ハウスドルフの貢献が大きい。
ハウスドルフの書いた集合論の教科書が位相空間論の基礎になっている。ハウスドルフの集合論の教科書を読むと、議論が破綻しているものになっていることに驚く。もちろん、議論の全体としては、(ある意味で?) 破綻をきちんと回避している。
フェリックス・ハウスドルフの研究成果の位相空間論を簡単に理解できると安易には考えずに、その理論が教えようとする心を学んで欲しい。その心の理解のためには、位相空間論を学ぶ以前に、 古典的（基礎的）微分積分学の基礎になっている連続関数の概念は、区間で連続な関数のことである ことを学んでおいて欲しい。
古典的（基礎的）微分積分学で、区間で連続な関数が千切れていなかった性質は、位相空間論によって、関数ｆ(x) の独立変数ｘの定義域の連結性に依存していたことが浮き彫りになった。位相空間論によって、古典的（基礎的）微分積分学で連続関数と定義されていた、区間で連続な関数ｆ(x) の性質が、関数の抽象化された連続性の概念と、関数の独立変数ｘの定義域の抽象化された連結性の概念と、で構成されていることが浮き彫りにされた。
《位相空間論に対する感想１》
有理数の数の集合Ｄの位相空間を定義域とする関数ｆ(x) の連続性を定義するには、現在の位相空間論での定義では無く、以下の式(10) と式(10b) で定義することを考える。ここで、 位相空間の数の集合Ｄに属する独立変数ｘの極限値であって、集合Ｄに属さない無理数をβとする。式(10)と式(10b)で関数の連続性を定義すれば、有理数のみを定義域とする関数ｆ(X) が無理数の点βで途切れることもない連続性が定義できる。なぜ、そのように関数の連続性を定義して理論を作らないのだろうか？式(10b)が成立していることをいちいち確認するのは面倒な作業である。それが、そうしない理由だと思う。
《位相空間論に対する感想２》
実数全体を位相空間の数の集合とし、関数ｆ(x) の定義域を１点の実数ａとする。すなわち、関数ｆ(x) の定義域の数の集合を{a} とする。そして、ｆ(a)＝b とする。この関数ｆ(x) の極限を厳密に定義する場合に、うまく関数の極限を定義しないと、この１点のみの関数では、関数の極限の定義が無意味になり、連続性の定義も無意味になる。そのような問題点を回避するために、位相空間論では孤立点は全て連続な点と定義し、孤立点ａの極限値はその点の関数値ｆ(a) に等しいと定義付けていると考える。
《関数の連続性の条件》
関数がある点ａで連続であるとは、第１の条件として、関数の定義域が点ａと、ａの近傍で連結していることである。第２の条件として、点ａで関数ｆ(x) の値域が連結していることである。その２つの条件を満足しない点ａは「連続でない点」である。
第１の条件は、変数ｘの点ａが関数ｆ(x) の定義域に含まれることと、ｘ＝ａの近傍の定義域は実数が連結したｘの微小区間であることとを要請する（連結している数の集合は実数の区間だけである）。
第２の条件は、式(10)であらわすように、点ａに限りなく近づく関数ｆ(x) の極限の値がｆ(a) であることを要請する。
古典的（基礎的）微分積分学は、実数全体を位相空間の数の集合にした上で、実数の区間を定義域とする関数ｆ(x) の微分積分学である。
リンク：
連続関数
連続関数の定義
連続性公理と実数を定義する3つの方法 （初学者向けの話）
関数の極限の定義
関数の極限と連続性
第3章 位相空間の基礎のキソ
ハウスドルフの集合論と位相空間論の誕生
高校数学の目次
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《実数とは》
例えば、以下の図の規則によってｘ＝１から、ｘ＝２、次にｘ＝3/2 というように有理数の値を変えてくと、限りなく近づく先の数が有理数の中には無い。しかし、そのように限りなく近づく先の数が存在すると考えた。その数を実数と呼ぶ。
このように、「限りなく近づける」操作（極限の操作）が、数の概念を拡張することを要請し、そうして拡張された新たな数が実数であった。この拡張された数である実数から成るとされる数直線には数の連続性があるとされた。このように極限の操作によって数の概念が実数にまで拡張され、それが数の連続性と微分積分の礎になった。
1970年代の高校数学の参考書「大道を行く数学（解析編）」から、以下の知識が得られる。
[連続の定義]
のとき、関数ｙ＝f(x)は x=a で連続であるという。
また、ｆ(x) がある区間のすべてのｘで連続のとき、その区間で連続であるという。
しかし、(10)式は単なる定義であって、それだけではいろいろな問題を考察するのに不十分であろう。連続について知るには、裏返して不連続である場合を知るのが早道である。不連続の場合は、(10)式が成り立たない場合だから、次の４通りが考えられる。
以下、これらについて、例をもって説明しよう。
例2.9 [x] はｘを越えない最大の整数とする.
どちらも存在しない．このことについては多くを語る必要もないであろう．
例2.10 無限個の項の和が存在するとして定義された関数
は、ｘ≠０のとき、次のような工夫をすると簡単な形にまとめられる．
この関数のグラフは図2.10 の通りである．
不連続な場合、ｆ(x) のグラフは不連続なｘにおいて切れていて、連結していない．このことは逆に連続なときは、グラフはｘにおいて切れ目のない線になっている．また(10)式は、
ｘ－ａが無限小のとき、ｆ(x)－ｆ(a) が無限小
ということである．したがってｆ(x) が連続なところでは
ｘの微小変化に対応し、ｆ(x) が微小変化する
そして、このような関数を連続関数というといいかえても良い．
（参考）藤原松三郎の「微分積分学 第１巻」によると、「ｆ（ｘ）がｘ＝ξで連続でない場合に、ｘ＝ξ（という変数ｘの数直線上の点）をｆ（ｘ）の不連続点という。」と定義されている。
〔定義の役割〕
連続関数とは、第１の条件として、関数の定義域が連結していること、第２の条件として、定義域の点毎に関数ｆ(x) の値域が連結していること。その２つの条件が成り立ちグラフが１つながりに連結している関数ｆ(x) をどのように表すかが連続関数の定義の役割である。
（注意１）関数ｆ(x) の点とは、関数をあらわすグラフ上の点ではなく、変数ｘの数直線上の点である。
（注意２）
「不連続点」の定義は、現代数学の位相空間論の定義では、その不連続なｘの値で関数値ｆ(x) が定義されている場合のみに「不連続点」という言葉を使っている。つまり、古典的（基礎的）な微分積分学における上の例2.8 のｘ＝１の点のように関数値ｆ(1) が定義されていない点は、位相空間論の定義では不連続点とは呼んでいない。（しかし、後に説明するように、これは誤りである）
〔古典的（基礎的）微分積分学〕
古典的（基礎的）微分積分学では、関数の連続性の定義は、〔定義の役割〕における２つの条件が満足されるように定義する。先ず、第１の条件を満足するために、変数ｘの点ａの近傍で実数が連結する区間内（連結する全ての実数）での極限を用いる。次に、第２の条件を満足するように、式(10)によって関数ｆ(x) の連続性を定義している。
「区間で定義された関数f(x)が、その区間のすべてのｘの値で古典的（基礎的）な連続性があるとき、f(x)は古典的（基礎的）な微分積分学で定義された連続関数である」
そして、実数上のｘ＝ａの点で関数ｆ(x) の連続性の条件が満たされない場合を、その（実数上の）点ａを、不連続点と呼んでいる。
実数上のｘ＝ａの点は、関数ｆ(x) の連続な点であるか、関数ｆ(x) の不連続点（当ブログでは「連続でない点」と呼ぶ）かの２つの場合のどちらかである。
すなわち、あるｘの点が不連続である条件は、そのｘの点が連続でないことである。
古典的（基礎的）微分積分学は、実数全体の数の集合に基づいて解析することで、関数の性質の解析の見通しを良くしています。
〔位相空間論によって再構築した微分積分学〕
（微分積分を学び始めた高校生はこれ以降は読まないで良い）
一方で、位相空間論によって再構築した微分積分学は、位相空間の数の集合（限定された数）のみに基づいて関数の性質を解析するので、関数の解析の見通しが極めて悪い。手探りで関数を解析するので間違え易いという特徴があります。
位相空間論によって再構築した微分積分学では、関数の連続性の定義は、〔定義の役割〕における２つの条件のうちの第２の条件のみを満足する定義である。
すなわち、例えば位相空間の数の集合を有理数のみ（数の集合が連結しない）に定めても良く、関数ｆ(x) の定義域はその数の集合の部分集合に限られる。そのようにして定義域の連結性が要求されていない。
そして、式(10) により値域の連続性を定義する。
すなわち、独立変数ｘ及び点ａが、位相空間の数の集合（例えば有理数）に属する場合のみを考える。そして、関数ｆ(x) の定義域は位相空間の数の集合の部分集合に限られ、点ｘ及び点ａは定義域内の点である。式(10) は、その点ｘが限りなく点ａ近づくときに、ｆ(x) が限りなくｆ(a) に近づくという関係があることによって関数ｆ(x) の値域の連続性を表している。
「関数 f(x) が、その関数ｆ(x) の定義域のすべての x =ａの値で位相空間論的な連続性があるとき、 f(x) は位相空間論で定義された連続関数である」
そして、例えば有理数の位相空間の数の集合に属するｘ＝ａの点で関数ｆ(x) の連続性の条件が満たされない場合を、その点ａを、不連続点と呼んでいる。
位相空間の数の集合（有理数）に属するｘ＝ａの点は、
①関数ｆ(x) の定義域に属さない点ａの不連続点であるか、
②定義域上の点ａであって関数ｆ(x) の連続な点であるか、
③定義域上の点ａであって関数ｆ(x) の不連続点であるか、
の３つの場合のどれかである。
（４つ目の場合として、例えば無理数のｘ＝βの点などの、有理数の位相空間の数の集合に属さない点βについては、位相空間の数の集合に属さないので存在しない数とみなす。その点βについては言及しない）
位相空間論では、（３°の）関数ｆ(x)＝1/x において、点ｘ＝０は、関数ｆ(x) の定義域内の点ではないが、位相空間の数の集合（有理数や実数）に属する点なので、不連続点である。
すなわち、あるｘの点が不連続である条件は、
（１）先ず、そのｘの点が位相空間の数の集合に属する点であること。
（２）次に、そのｘの点が連続でないこととの、
２つの条件を満足する必要がある。
点ｘ＝０は、その２つの条件を満足するので不連続点である。
（点の種別の定義付けの心）
位相空間論での「不連続点」の厳密な定義は、定められた位相空間の数の集合だけで議論することである。その位相空間の数の集合に属するｘの点は、関数ｆ(x) の定義域に属するか、定義域に属さないかの何れかである。
位相空間論は、（１°）の、変数ｘの定義域に属さない「取除きうる不連続点ａ」については、その点ａが位相空間の数の集合に属する場合は、関数ｆ(x) の定義域の外の「境界点」とする。
その「境界点」は連続な点ではないので「不連続点」である。かくして、位相空間論では、定義域の外の境界点を「不連続点」と定義付ける。
しかしながら、有理数のみの位相空間においては、以下の図の関数のｘ＝√2 の点は無理数であって、その位相空間の数の集合に属さない。
この場合は関数ｆ(x) の有理数の「境界点」が存在しないので、有理数の位相空間の不連続点も存在しないことに注意すべきである。古典的（基礎的）微分積分学の視点（実数を数の集合とする位相空間）で見ると、この図の関数（厳密に言うと無理数でも定義された関数の場合）は、無理数の境界点で分断された３つの異なる連続関数から成ることがわかる。
（注意３）
位相空間論の説明において、位相空間の数の集合に属する点であって「不連続点」の資格がある点の一部の、数ｆ(x) の定義域に属する点のみを「不連続点」と説明する誤りが流通している。（そういう誤りを基礎的微分積分学（高校数学）に混ぜないでほしい）。そういう誤りに巻き込まれないために、古典的（基礎的）な微分積分学が定義する「不連続点」や、（位相空間論においても）定義域を連結させない境界点の「不連続点」は、このブログでは、「連続でない点」と呼ぶことにして数学用語を明確にする。
（補足）
なお、位相空間論で点の連続性を厳密に議論するためには、関数の定義域に属する「連続でない点」と、関数の定義域の外の（位相空間の数の集合には属する）「連続でない点」とは性格が異なる点であるので区別して考えた方が良い。
特に、連続関数の連続性を、位相空間論では独立変数ｘの連結性と従属変数ｙの連結性（位相空間論の連続関数の定義による）に分けて扱った。そのため、関数ｆ(x) が定義されている点の不連続点は、すなわち従属変数ｙの連結性のみが損なわれた不連続点は、「位相空間論の不連続点」と呼ぶのが適切であろう。関数ｆ(x) が定義されない点などの、独立変数ｘの連結性が損なわれた点の不連続点は、ｘの連結性が損なわれているだけでなく同時にｙの連結性も損なわれている場合（上図のグラフ：実数の位相空間の場合）もあるので、定義付けが難しい。「位相空間論以外の不連続点」と呼ぶのが適切であろう。
【微分積分の初心者には、位相空間論の議論が破綻しているように見える】
位相空間論では、極限の概念を、例えば変数ｘの位相空間の数の集合を有理数のみとした場合に、変数ｘが限りなく近づく先を有理数のみに限定するなどの、極限の宛先を位相空間の数の集合に属する点ａのみに限定している。位相空間の数の集合が有理数のみであるということは、数同士の距離が近いか遠いかの関係が有理数同士の間でのみ定義されているからである。
位相空間論では、位相空間の数の集合を有理数のみにしている場合に、その有理数の点の数列の極限を位相空間の数の集合以外の新たな数（無理数β）に向ける操作を認めない。（無理数βは有理数ではないのだから）数列の極限の数βが存在しないとみなして無視しその極限を排除する。そういうルールにより、極限の概念の適用を制限し、数学体系を再構築する。
（厳密に言うと、極限の概念の元になっている数同士の近さの関係を、位相空間の数の集合に属する数同士にしか認めないのが位相空間の概念だからである。もし、近いと思われる新しい数を発見してそれを今までの位相空間の数の集合に加えることは、それまでとは異なる位相空間を設定することになる。なお、近いと思われる新たな数が発見されるならば、それまでの位相空間の数の集合に不備があった、と言える。）
位相空間論は、そのように既存知識（数とは位相空間の数の集合に属する点＝有理数のことである）という思考の枠組みからはみ出さないように極限の操作を制限して構築した数学体系である。
それにより、独立変数ｘを既に定めている数の集合（有理数）の範囲に限定して抽象化した関数ｆ(x) の連続性の性質を調べている。
これは、有理数の数列の極限が有理数でない場合に新しい数（無理数）が発見されたと考えて数の概念を拡張する従来の発想とは全く逆の、（知らない数は存在しないと考える）内向きの発想を基礎にした考え方である。
位相空間論では、関数ｆ(x) の点ａにおける連続性の定義の式(10)の独立変数ｘの極限の宛先の数ａはｘの位相空間の数の集合の点に限定する制限を加えた極限を利用して、抽象化された「位相空間論の関数の連続性」を定義する。
しかし、そうして定義した関数ｆ(x) の連続性には以下の難点がある。
位相空間論での関数の連続性の定義では、以下のグラフであらわされる、有理数を位相空間の数の集合とし、その数の集合全てを定義域とする関数ｆ(x) が、どの有理数の点ａでも連続になる。しかしそのグラフが切れ切れである。
（参考）同様な議論が、「嶺幸太郎 著：微分積分学の試練」の１３０ページにある。
（１３０ページから引用）「なお，単に関数が連続だからといってグラフが繋がるとは限らない．次の例は、連続関数のグラフが繋がるためには定義域自身が繋がっている必要があることを示唆する：例8.5.2」
上のグラフで、ｘ＝√2 の点は、位相空間のｘの数の集合（有理数）に属さない。位相空間論では、位相空間のｘの数の集合に属さない点 ｘ＝√2 は、関数が連続とも、不連続とも評価しない（不連続点とは、位相空間の数の集合に属する点に対して言えることである）。
上図の、位相空間の数の集合を有理数とした場合に、その数の集合をｘの定義域とする関数ｆ(x) は、定義域内（有理数）のどの点においても位相空間論の連続性が満足されている。
図の通りに関数ｆ(x) はｆ(x) の値がｘ＝√2 の点でｆ(x) の値が極端にずれている。しかし、その点は位相空間の数の集合に属さない。この関数ｆ(x) は、有理数の位相空間では連続関数である。位相空間論では、独立変数ｘの数列の極限値がｘの位相空間の数の集合に属さない場合には、その値を数で無いとして無視する。位相空間論では、そのように極限の概念を制限する。有理数の位相空間の数の集合が連結しないことに起因して、この図のようにグラフが切れ切れで繋がっていないことは位相空間論の「連続性の定義」によっては判別できず、この関数を連続関数と呼んでいる。位相空間論の定義する連続関数のグラフが繋がるためには関数の定義域が連結している（〔定義の役割〕の第１の条件を満足する）必要がある。（有理数全体は連結していない）
位相空間論では、上図の関数ｆ(x) の定義域のｘの集合の中の２つの独立したｘの集合Ｂ（-√2<x<√2）と集合Ｃ（√2<x<3√2）を考える。集合ＢとＣが、ｘの境界点β（ｘ＝√2 ）をそれらの集合の共通の境界点としている。その境界点βが集合BにもCにも含まれない場合は、独立変数ｘの定義域の数の集合がその無理数βの点で連結していない。
---〔点ｘの定義域が連結しない条件〕---
点ｘの定義域の集合は左側の集合Ｂと右側の集合Ｃに分割できる。左側の集合Ｂの点を右側に限りなく近づけた先の境界点βは集合Ｂにも集合Ｃにも属さない。また、その境界点βは右側の集合Ｃの点を左側に限りなく近づけた先の境界点でもある。その境界点βが集合Ｂにも集合Ｃにも属さないので、集合Ｂと集合Ｃを合わせた集合は連結しない。
（厳密な議論）
境界点とは、有理数の位相空間の数の集合に属する有理数の点に限られる。数同士の距離が近いか遠いかの関係は、位相空間の数の集合に属する数同士の間でのみ定義されているからである。
無理数βは有理数では無いので、有理数の位相空間の数の集合に属さず、境界点にならない。（注意：この点は、定義域に属さない場合でも、もし位相空間の数の集合に属するならば「境界点」になる）。そのため、集合Ｂと集合Ｃに分割した境目の境界点βは存在しないとみなされる。この場合に位相空間論では、集合Ｂと集合Ｃがともに開集合であることを理由にして（境界点βを考えないで）点ｘの定義域の数の集合が連結しないと認識する。
古典的（基礎的）微分積分学では、定義域の数の集合が無理数の不連続点βによって分断されていると考えるが、位相空間論の微分積分学では、その「分断の原因」を考えない手探りで、定義域が「連結しない」と認識する。（しかし、ある数の集合に関する真実を記述する場合には、その集合を超える要素が必要になる場合があるので、このようなやり方で数の集合に係わる真実を把握することには危うさがある「間違えやすい」と考える）
---（点ｘの定義域が連結しない条件おわり）---
有理数の変数ｘの定義域の数の集合が境界点βで連結していない（境界点βが無理数なので定義域に含まれない）ことが、古典的な微分積分学での「関数ｆ(x) が点βで連続でない」に対応する。
位相空間論には、フェリックス・ハウスドルフの貢献が大きい。
ハウスドルフの書いた集合論の教科書が位相空間論の基礎になっている。ハウスドルフの集合論の教科書を読むと、議論が破綻しているものになっていることに驚く。もちろん、議論の全体としては、(ある意味で?) 破綻をきちんと回避している。
フェリックス・ハウスドルフの研究成果の位相空間論を簡単に理解できると安易には考えずに、その理論が教えようとする心を学んで欲しい。その心の理解のためには、位相空間論を学ぶ以前に、 古典的（基礎的）微分積分学の基礎になっている連続関数の概念は、区間で連続な関数のことである ことを学んでおいて欲しい。
古典的（基礎的）微分積分学で、区間で連続な関数が千切れていなかった性質は、位相空間論によって、関数ｆ(x) の独立変数ｘの定義域の連結性に依存していたことが浮き彫りになった。位相空間論によって、古典的（基礎的）微分積分学で連続関数と定義されていた、区間で連続な関数ｆ(x) の性質が、関数の抽象化された連続性の概念と、関数の独立変数ｘの定義域の抽象化された連結性の概念と、で構成されていることが浮き彫りにされた。
《位相空間論に対する感想１》
有理数の数の集合Ｄの位相空間を定義域とする関数ｆ(x) の連続性を定義するには、現在の位相空間論での定義では無く、以下の式(10) と式(10b) で定義することを考える。ここで、 位相空間の数の集合Ｄに属する独立変数ｘの極限値であって、集合Ｄに属さない無理数をβとする。式(10)と式(10b)で関数の連続性を定義すれば、有理数のみを定義域とする関数ｆ(X) が無理数の点βで途切れることもない連続性が定義できる。なぜ、そのように関数の連続性を定義して理論を作らないのだろうか？式(10b)が成立していることをいちいち確認するのは面倒な作業である。それが、そうしない理由だと思う。
《位相空間論に対する感想２》
実数全体を位相空間の数の集合とし、関数ｆ(x) の定義域を１点の実数ａとする。すなわち、関数ｆ(x) の定義域の数の集合を{a} とする。そして、ｆ(a)＝b とする。この関数ｆ(x) の極限を厳密に定義する場合に、うまく関数の極限を定義しないと、この１点のみの関数では、関数の極限の定義が無意味になり、連続性の定義も無意味になる。そのような問題点を回避するために、位相空間論では孤立点は全て連続な点と定義し、孤立点ａの極限値はその点の関数値ｆ(a) に等しいと定義付けていると考える。
《関数の連続性の条件》
関数がある点ａで連続であるとは、第１の条件として、関数の定義域が点ａと、ａの近傍で連結していることである。第２の条件として、点ａで関数ｆ(x) の値域が連結していることである。その２つの条件を満足しない点ａは「連続でない点」である。
第１の条件は、変数ｘの点ａが関数ｆ(x) の定義域に含まれることと、ｘ＝ａの近傍の定義域は実数が連結したｘの微小区間であることとを要請する（連結している数の集合は実数の区間だけである）。
第２の条件は、式(10)であらわすように、点ａに限りなく近づく関数ｆ(x) の極限の値がｆ(a) であることを要請する。
古典的（基礎的）微分積分学は、実数全体を位相空間の数の集合にした上で、実数の区間を定義域とする関数ｆ(x) の微分積分学である。
リンク：
連続関数
連続関数の定義
連続性公理と実数を定義する3つの方法 （初学者向けの話）
関数の極限の定義
関数の極限と連続性
第3章 位相空間の基礎のキソ
ハウスドルフの集合論と位相空間論の誕生
高校数学の目次
