円卓への座り方の円順列の数と回転対称数

《円順列を計算する上での基本的考え方》
　人を円卓に配置する問題を解くための根本的な考え方は、以下の考え方です。
(1)円卓の１つ１つの席を固定して考えるべき。
(2)席に配置する人の順列は、円卓に対して回転した人の配置は異なる配置であるとして区別して考えるべきである。
(3)円順列では、人の配置を円卓の回りに回転させると重なる配置は同じ配置として配置の数を数える。

【問１】
　両親と子供4人を６席の円卓に並べる。両親が正面に向き合う座り方の円順列は何通りあるか。

【問２】
　大人３人と子供３人を６席の円卓に並べる。大人と大人の間に必ず子供が並ぶ座り方の円順列は何通りあるか。

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場合の数と確率
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確率の難問

【問１】
　 袋の中に、１と書かれたカードが４枚、２と書かれたカードが３枚、３と書かれたカードが２枚、計９枚のカードが入っている。この袋の中から同時に３枚のカードを取り出す。
(1)取り出した３枚のカードに書かれている数字がすべて異なる確率を求めよ。
(2)取り出した３枚のカードの中に同じ数字が書かれたカードが含まれていたとき、その同じ数字が１である条件付き確率を求めよ。

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三角形の各辺の垂直二等分線が一点で交わる証明

【問１】
　下図の三角形ＡＢＣ（頂点Ｂを原点Ｏとする）の各辺の垂直二等分線が一点で交わることを証明せよ。


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三角形の高さベクトルｈの公式 

三角関数の項の増加の公式

【問１】
　以下の公式が成り立つことを確認せよ。


これらの公式は、各自で、三角関数の加法定理を使って式を変形することで確認しておくこと。

【問２】
　以下の公式が成り立つことを確認せよ。


【問３】
　以下の公式が成り立つことを確認せよ。


【問４】
　以下の公式が成り立つことを確認せよ。


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５席の円卓に３人が座る場合の数

【問１】
　円卓の席が５個ある。３人の人が、２つの空席が隣り合わ無いように席に座る場合の、人の配置の数は全部で何通りあるか。

【問１ｂ】
　円卓の席が５個ある。３人の人が、２つの空席が隣り合わ無いように席に座る場合の、人の配置の円順列の数は全部で何通りあるか。
（注意）円順列では、人の配置を円卓の回りに回転させると重なる配置は同じ配置として配置の数を数える。

【問２】
　円卓の席が６個ある。３人の人が、３つの空席同士が互いに隣り合わ無いように席に座る場合の、人の配置の数は全部で何通りあるか。

【問２ｂ】
　円卓の席が６個ある。３人の人が、３つの空席同士が互いに隣り合わ無いように席に座る場合の、人の配置の円順列の数は全部で何通りあるか。
（注意）円順列では、人の配置を円卓の回りに回転させると重なる配置は同じ配置として配置の数を数える。

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場合の数と確率
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点が進む位置の確率の問題

【問１】
　数直線上の原点Ｏに点Ｐがある。1個のサイコロを投げて、1,2,3,4が出たらＰを正の向きに２だけ、5,6の目が出たら負の向きに３だけ移動させる。サイコロを５回投げた後、ＰがＯにある確率を求めよ。

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パラメータａに対する、方程式の異なる実数解の個数の問題

【問題１】以下の式(1)の方程式の解が３つの異なる実数解になるａの値の範囲を求めよ。


【問題２】以下の式(1)の方程式の解が３つの異なる実数解になるａの値の範囲を求めよ。


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3次方程式の3つの解が全て実数解である条件
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