三角形の２角のコサインと１辺から辺の長さを計算する

【問１】

上図の三角形ＡＢＣの長さａを求めよ。

この問題の解答はここをクリックした先のページにあります。

この問題を自力で解いた後でこの解答を見てください。
楽な解き方を書いたので。

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余弦定理を使って三角形の２辺侠角から残りの辺を求める

【問１】

上図の三角形ＡＢＣの長さａと∠Ｂ＝βを求めよ。

この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。

この問題を自力で解いた後で、上の行をクリックして解答の解説も読んでください。
もっと楽な解き方を説明していますので。

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余弦定理を使って三角形の３辺から角度を求める

【問１】

三角形ＡＢＣの３辺の長さが上図の値の場合に、３つの頂角を求めよ。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

この問題を自力で解いた後で、この問題の解答も見て欲しい。
この問題を比較的楽に解く方法の説明がありますので、、、 

【問２】

三角形ＡＢＣの３辺の長さが上図の値の場合に、３つの頂角を求めよ。

この問題の解答も、ここをクリックした先の同じページにあります。

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正弦定理余弦定理を使った問題の解き方

【解答に向かう式の変形の方向】 
以下で、正弦定理と余弦定理を整理して、
問題を解く道具の形の式に表します。

 

上の式で、
（上昇）とは、解答に向かって進む式の変形の方向を言います。
（下降）とは、解答から遠ざかり問題側に戻る式の変形の方向を言います。
　なお、正弦定理と余弦定理を以下の式の形であらわすと、公式が更に覚え易くなると考えます。

サイン、コサインで表された式を、サイン、コサインを使わない式に変形することが、問題の解答に近づく式の変形の方向（上昇）です。
式をあえてサイン、コサインを使った式にする式の変形は、解答に近づいた式を問題側に戻す、逆戻り（下降）の式の変形です。

【問題を発見する】
以下では、式を解答側から問題側に戻して問題を発見してみます。

上の図で、
ＡＤ－ＭＤ＝ＡＭ　（３’）
を考えます。

式（４）では、頂点から垂心までの距離Ｐが外心の高さＹの２倍であることを使いました。
（ここをクリックした先のページを参照）
式（４）において、外心の高さＹをｃｏｓＡを使ってあらわすのは、問題側へ逆戻り（下降）する式の変形です。

次に、以下の式を考えます。

三角形の高さＡＤ＝ｈをサインとコサインで表した式（５）は、問題側に逆戻りする式の変形（下降）であり、
ＡＤ＝ｈをサイン、コサインを使わないで表した式（６）は解答に近付く式の変形（上昇）です。

ここで、垂心の高さＭＤ＝ｍは、以下の式（７）で表されることが分かっています。
（「三角形の垂心の高さ」（ここをクリック）を参照）

この式（７）を、以下のようにして、問題側に逆戻りさせる計算をします。

上の式でｈを変形する際に、解答に近付く（上昇）の式（６）を使ったのは、式の変形をなるべくスッキリした解答に近付けたかったからです。
その目的通り、スッキリした式（８）が得られました。

上の式で、ｈを変形する際に、解答から遠ざかる、（下降）の式（５）を使うと式が複雑になる落とし穴に落ちます。
しかし、ｈもｂもｃも一緒に徹底して解答から遠ざかる、（下降）の式の変形をすると、それはそれで、以下の式のように変形することができます。

次に、最初の式（３）を、式（４）と、解答から遠ざかるように逆戻りした式（５）と（８）を使って整理します。

式（９）は、問題に逆戻りした式です。
以上の逆もどりの式の変形の結果、式（９）という、証明すべき式が存在することがわかりました。
この式（加法定理）とその証明は、高校２年で学びます。

次に、以下の当然の式（１０）を、解答から遠ざかるように逆もどり（下降）する式の変形をします。

式（１１）は、問題に逆戻りした式です。
以上の逆もどりの式の変形の結果、式（１１）という、証明すべき式が存在することがわかりました。
この式（加法定理）とその証明は、高校２年で学びます。

【三角形の図から加法定理を導出する】
　なお、この式１１の加法定理は、以下の図の計算からも導き出されます。
　以下の様に三角形の各辺を正弦定理を使って表わして、また、点Ａから辺ＢＣに垂直な補助線を引いてＢＣの長さを分割された要素の和でもあると考えると、加法定理が導き出されます。

そして：
ｓｉｎ（π－Ｂ－Ｃ）＝ｓｉｎＣ・ｃｏｓＢ＋ｓｉｎＢ・ｃｏｓＣ ,
ｓｉｎ（Ｂ＋Ｃ）＝ｓｉｎＣ・ｃｏｓＢ＋ｓｉｎＢ・ｃｏｓＣ ,
（加法定理の導出おわり）

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三角形の垂心を通る線分の長さの積が同じ

【問１】 

上の式の関係、すなわち、
三角形の垂心Ｈを通る
線分ＡＨとＨＤの積が、
線分ＢＨとＨＥの積に等しいことを証明せよ。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

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三角形の高さと外接円の半径の関係

【問１】 

三角形の外接円の半径Ｒに関するこの式が成り立つことを証明せよ。
（正弦定理を使って良い）

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。 

この問題を正弦定理を使わず直接的に証明する解答は、ここをクリックした先のページにあります。

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三角形の外心の高さの２倍が頂点から垂心までの距離に等しい

【問１】 

上の三角形において、上の式が成り立つことを証明せよ。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

この問題を解いた後で、解答に書いた（補足）を読んで欲しい。

リンク：
三角形の外心の高さ
三角形の垂心の図の全ての線分を三角関数の積で表す
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余弦定理に類似した頂点から垂心までの長さの式

【問１】 

上の三角形において、上の式が成り立つことを証明せよ。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

この問題を自力で解いた後で、解答も見て下さい。解答の補足に、役に立つ情報を書きましたので。

リンク：
三角形の頂点からの距離の積の公式
外接円の中心の高さｍを三角形の２辺と高さから求める
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余弦定理に類似した高さｈを含む式

【問１】 

 上の三角形において、上の式が成り立つことを証明せよ。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

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三角形の垂心の高さ

【問１】 

 上の三角形において、垂心Ｏの高さｍが、
ｍ＝ａ１×ａ２／ｈ
であらわされることを証明せよ。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

この問題を自力で解いた後で、解答のページも見てください。役に立つ情報を書きましたので。

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三角形の内角の２等分線の長さ

【問１】 

 上の三角形において、∠Ａの２等分線の線分ＡＤの長さｍを三角形の辺の長さａ，ｂ，ｃであらわせ。

ここをクリックした先のページに、この問題の解答があります。

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余弦定理に類似した外心の高さを含む式

【問１】 

 上の三角形において、上の式が成り立つことを証明せよ。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

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（難問）ペル方程式の整数解の問題

【問１】
以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。

（コメント）
この不定方程式は、ペル方程式
と呼ばれています。
大学入試問題にも出題されることがありますが、
高校の教育レベルを超える問題です。

そのため、以下の解き方は、参考に見ておくだけで十分です。

【解答】
ペル方程式は、
以下のように変形して解きます。

この因数分解で無理数√６が出てくるのがペル方程式の特徴です。
（無理数が出ないで因数分解できる場合は、通常の問題ですので、各項の整数が掛算されると右辺の数になる整数解を求めるやり方で問題を解いてください。）
先ず、以下の解を求めます。

ここで、右辺が１であるのがペル方程式の特徴です。右辺が１ですので、この式は何乗しても値が１のままで変わりません。
これがペル方程式の特徴です。
これがあるから問題が解けるのです。
（もし、ここで右辺が１でない場合は、整数解が無いこともある、難しい問題に変わります。）
（右辺に１があっても、左辺のｘの２乗の項の様な係数が１の項が無い場合は、大学の研究室で研究するレベルの問題になります。） 

上のｋ乗した式の左辺のうちの第１項は、展開すると、

の形の式になります。
式を展開して計算するこの２つの係数、すなわち、√６に掛る係数と、それ以外の係数は、以下のように求められます。
元の式を、√６を（－√６）に置き換えた式に交換し、その式を展開したら、

という、√６を（－√６）に置き換えた式になります。
そのため、各係数は、以下の式で計算できます。

 そして以下の式が成り立ちます。

そのため、この２つの係数はペル方程式のαとβの解です。
１以上の自然数(k)毎に整数解がありますので、
整数解が、自然数の数と同じだけ無数にあります。

なお、このペル方程式の表すグラフと、そのグラフの漸近線と、整数解の格子点を以下の図に記載します。

（解答おわり）

（補足）このグラフの漸近線は、傾きが無理数であるので、格子点を周期的に避けることもできないので、この漸近線やその近くのグラフは、無限の遠くまで進む間に、どこかで格子点と交わってもおかしく無いと実感できると思います。

実際、上の式で計算した通り、このペル方程式の整数解が、上の式であらわせて無数にあります。

ここで、まだ証明しきれていないペル方程式の特徴として、
上の式であらわした整数解と、ｋ＝０の場合に対応する自明な解（１，０）とが、全ての解になるという特徴があります。
-----[ペル方程式の一般解の定理]--------------
　ペル方程式を満足する自然数ｘ，ｙのうち、ｘ＋（√６）ｙの値を最小とするものを（ｐ，ｒ）とする。このとき、自然数ｋについて（ｐ＋（√６）ｒ）^ｋ＝ｕ＋（√６）ｗで求まる（ｕ，ｗ）が自然数解のすべてである。

《 要するに、ペル方程式を満足するどの解（ｕ，ｗ）で作った（ｕ＋（√６）ｗ）同士を掛算及び割り算して作った値（ｖ＋（√６）ｚ）もペル方程式の解をあらわすことから、ペル方程式のどの解（ｕ，ｗ）で作った値も、すべて、（ｐ＋（√６）ｒ）^ｋであらわせる。》
------（ここまで）------------------------------
（大学で学んでその証明まで含めてペル方程式を理解したら、上の解が全ての解であると言えるようになります） 

【問２】
以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。

（コメント）この問題は、本質的には問１と同じ問題であり、
問１と同様に解けます。
問２では、問１の解き方の知識と、以下で用いる式の変形技術が求められています。
【解答】

この式が成り立つには、ｓが６の倍数である必要がある。

この式の左辺を以下の様に因数分解する。

次に、この式の自明な解と、もう１つの解を見つける。

この式により、αとβからｓ、ｔがあらあわせるようになった。
更にｘとｙをそのｓとｔであらあわす式を求める。

ここで注意すべき点は、
ｘ，ｙが整数の場合に必ずｓとｔは整数になりますが、
ｓとｔが整数であってもｘとｙが整数になるとは限らないことです。

以上で計算した式を使って、
自明な解（ｋ＝０の場合）と、ｋが１の場合と２の場合の整数解（ｘ，ｙ）を計算して以下の表の値を得た。

次に、漸近線を計算する。

この式の左辺の２つの項を考える。

ｘ及びｙが無限に大きくなると、ＥかＦのいずれかが無限に大きくなり、それにバランスを取って他方が０に近くなることで上式が成り立つ。
その、０に近くなり得る項が漸近線をあらわす。
よって、以下の２つの式が漸近線をあらわす。

この漸近線の式を足場にして、問題の不定方程式のあらわすグラフを書くと、以下のグラフが得られる。

（解答おわり）

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最短経路の数の問題

【問１】
以下の図のＡ点からＢ点まで図の格子上を縦横に進んで行く最短の経路の数を求めよ。

この問題の解答はここをクリックした先のページにあります。

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アポロニウスの円の証明

【問１】

線分ＯＮのＯ点とＮ点からの距離の比がつねに１：ｎ である下の図の点Ａ，Ｂ，Ｃは、線分ＯＢの長さｂが何であっても同一円（アポロニウスの円）の円周上にあることを証明せよ。

（コメント）アポロニウスの円の証明を教わらないでアポロニウスの円を覚えるというのは数学のセンスを持つ学生には耐えられないことだと思います。

　そのため、高校１年でも、アポロニウスの円も証明してからおぼえましょう。

この問題の解答はここをクリックした先のページに書きました。

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確率の問題の難問

【問１】
Ａ、Ｂ二人がコインを３枚ずつ持ち、じゃんけんして勝ったら相手からコイン一枚もらえ、先にどちらかのコインが無くなったらゲーム終了。
（ただし、あいこは回数には含まない。）
このとき、ちょうど９回で勝負が決まる確率を求めよ。

先ずは、この問題を地道に確実に解く方法を覚えましょう。

地道な解き方による解答をここをクリックした先に書きました。 

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三角形の垂心の座標の証明

【問１】 

 上の三角形ＡＢＣの外接円の中心Ｏ（外心）を原点にした座標系において、垂心Ｈの座標が、以下の式であらわされることを証明せよ。

この問題の解答はここをクリックした先のページにあります。

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