三角形の高さベクトルｈの公式

このページの構成
▽問題１
▽ベクトルｂに垂直なベクトルとベクトルｃの内積
▽ベクトルｂとベクトルｃの内積
▽式の展開に同期させた図形の変換
▽三角形の高さベクトルｈの公式
▽三角形の高さベクトル
▽線対称な点の公式
▽高さベクトルhを表す２つの式
▽三角形の高さｈの公式

【問題１】
以下の図の、高さｈの三角形ABCについて、
点Oを中心にする外接円の半径がRの場合に、
公式：
ｂｃ＝２Rｈ
を、
ベクトル計算で証明する。
以下の図では、
ベクトルＯＡ＝ベクトルＡ，
ベクトルＯＢ＝ベクトルＢ，
ベクトルＯＣ＝ベクトルＣ，
と表した。

この問題の、以下の解答の一部は、ここをクリックした先の問題の解答でもあります。

【注意】
　この公式：
 ｂｃ＝２ｈR
は、ベクトル計算で証明するような公式では無く、
逆に、この公式を前提にして、ベクトルの種々の計算をするべき公式です。
　しかし、ここでは、ベクトル計算の練習用に、あえて、この公式をベクトル計算で導き出してみます。

【解答】
　この問題を解くために、下図のように、２つのベクトルｂとｃがある場合に、そのベクトルｃを９０°回転したベクトルとベクトルｂの内積がベクトルｂとベクトルｃで囲まれる三角形の面積Ｓの２倍という普遍的な定数を表す式であることを利用する。


（１）先ず、問題１の図において：

　ベクトルｂに垂直なベクトルｂ_vとベクトルｃの内積を、以下の式で、三角形の高さベクトルｈを導入して、計算する。
（以下の式でSは三角形ABCの面積をあらわす。）

この計算結果は、
２Ｓ＝２ｈＲ・sinA
を意味する。
２Ｓ＝ａｂ・sinA
と組み合わせると、
２ｈＲ＝ａｂ
が導ける。

　しかし、その解き方では、ベクトルBOが、垂直ベクトルｈと角度Aを成すという、円周角の定理に関連する定理を使っています。

　以下では、その角度Aに関する定理が分からない（証明されていない）事を前提にして、
以下の様にして、この問題を解いてみます。

（２）ベクトルｂとベクトルｃの内積
　次に、ベクトルｂとベクトルｃの内積を以下の式で計算する。
先ず、ひし形の対角線の直交の公式により、以下の式が成り立つ事を利用する。

以下の様にベクトルｂとベクトルｃの内積を、三角形の高さベクトルｈを導入して、計算する。

（３）
　以上(1)と(2)で得た式を、
《２つのベクトルの大きさの積の三平方の定理》
に代入する以下の計算をする。

（証明おわり）

【式の展開に同期させた図形の変換】
（１）
　ベクトルｂに垂直なベクトルとベクトルｃの内積の式の変形計算は、以下の図形でのベクトルの変換の想像と同期させて欲しい。

（２）
　また、ベクトルｂとベクトルｃの内積の式の変形計算は、以下の図形でのベクトルの変換の想像と同期させて欲しい。

以上の図形でのベクトルの変換の想像に同期させて、ベクトルの式の変換の計算をする事が望ましい。
　図形でのベクトルの変換の方が、単なるベクトルの式の変換の計算よりも解を得る見通しが良いからです。
　自分の頭の中では、図形でのベクトルの変換を思い描く。
そのように、自分の頭の中では、図形の変換を想像し、解答用紙には、ベクトルの式の変形の計算を記載すれば良いと考えます。
こうして得た結果を使って、
最後の式：

を記載して、解答用紙の証明を終了すれば良い
と考えます。

頭の中で思い描く図形のベクトルの変換は解答用紙に記載できませんが、
常に、以上の図形でのベクトルの変換を頭の中で思い描く想像力を働かせて欲しいと思います。

【三角形の高さベクトルｈの公式】
また、以下の式も、三角形の高さベクトルｈの公式として覚えて欲しい。

以上の２つの式から直ぐに導き出される以下の公式も、
ついでに覚えておくと役に立つかもしれない。

　この様な式を証明せよという問題が出題されても、この様にあり得なさそうであって、どこから手をつけたらよいか分からず途方にくれるような問題が出題されても、大丈夫だと思えるようになる。
そう思えれば、受験のプレッシャーから開放される、おまじないになるかもしれない。

【三角形OABの高さベクトルh】

三角形OABの高さベクトル h は、上の式であらわせます。
　以下の図に示すように、高さベクトル h は直線の方程式の係数であらわされる法線ベクトルに平行です。

下図は、直線に関して点Dに線対称な点Eの座標のベクトルの公式をあらわす。

直線上の２点を点Ｃと点Ｚとすると、


先の式であらわされる三角形の高さベクトル h の式を少し変形してみます。

ここで、この式を、次に説明するように、ベクトルｂとｃだけであらわそうとすると式が複雑になります。
三角形の、ベクトルａに垂直な高さベクトルｈをあらわすには、
ベクトルａとそれを９０°回転させたベクトルを使った最初の式の方が良いと考えます。

（補足）
　高さベクトルｈを表す公式は、以上で示したように、１つの形には定まらない。
式が１つの形には定まらないことが、式のバラエティをとても大きくするので、計算が複雑になり得る（計算の森の中で迷子になり得る）ので注意が必要です。

【高さベクトルｈを表す２つの式】
以下の図の三角形を考える。

三角形の高さベクトルＤＡ＝ｈを表す以下の公式が成り立つ。
ここで、ａv は、ベクトルａを反時計回りに９０度回転したベクトルをあらわし、それはベクトルＰです。 
ａvと同様に、ｂvとｃvも、それぞれ、ベクトルｂとベクトルｃを反時計回りに９０度回転させたベクトルです。

なお、三角形の辺のベクトルを以下の図のように定義すれば、三角形の面積Sに係わる以下の公式が成り立つ。


（ベクトルｂとｃだけであらわす）
このベクトルＤＡを、ベクトルｂとｃ（そして、ベクトルａ＝ベクトルｃ－ベクトルｂ）を使って、以下の式で表す。

この様に、ベクトルｈ＝ベクトルＤＡを、ベクトルｂとｃであらわすこともできますが、式が複雑です。
また、この式を使ってベクトルＤＡの成分を計算する計算も複雑です。
ここで、この式を以下の式に変形してみます。


このベクトルａ_vは、ベクトルａを９０°回転させたベクトルです。

　この複雑な式も、先に示した簡単な式も、異なる観点から表した式であって、最終的な解をどの式が表すのが良いのか決められない、対等の価値を持つ式です。
　この様に、同じベクトルＤＡであっても、そのベクトルを表す観点の違いによって、異なる式であらわされます。
　また、その一方の式から他方の式へ変換する計算は簡単ではありません。 
　ベクトルＤＡが２つの式であらわされるので、以下の式が成り立つ。

【三角形の高さｈの公式】
以下の公式も覚えておくと便利かもしれない。

この図で、以下の公式が成り立つ。

【証明１】

（証明おわり）

【証明２】

（証明おわり）

 

《最後に一言》

以上では三角形の高さｈと外接円の半径Ｒが密接な関係があることを説明してきました。

　しかし、三角形の三辺の長さａ，ｂ，ｃが分かっているとき、三角形の高さｈ（三角形の面積Ｓ）や外接円の半径Ｒはどうやって求めるか。

それは、以下の公式（ヘロンの公式）で求められます。

 

Ｓ＝aｈ／２

であって、

Ｓ^２＝（１／１６）・（ａ＋ｂ＋ｃ）（－ａ＋ｂ＋ｃ）（ａーｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ－ｃ）
 

ヘロンの公式は、ｈを求める公式：

ｈ^2＝(c{sin(B)})^2

^{=c^2－c^2{cos(B)}^2}

から導けます。

 

この公式は何度おぼえても忘れます。

この公式は以下の、外接円の半径Rを求める公式に変換されます。

（ａｂｃ／Ｒ）^２＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（－ａ＋ｂ＋ｃ）（ａーｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ－ｃ）

 

この変換は：

bc＝2Rh,

から、

abc ／(4R)＝ah／2＝S,

を導いて変換に使います。

 

この、三角形の外接円の半径Ｒを求める公式の方が覚えやすいかもしれません。

リンク：
高校数学の目次
三角形の高さと外接円の半径の関係
三角形の垂心の図の全ての線分を三角関数の積で表す

三角形の三角関数の３重積と３項和の公式

以下の式であらわされる、
三角形の面積をあらわす三角関数の３重積と、
三角形の３つの部分の面積をあらわす３項の和、
 が等しい公式を、
直ぐ使えるように覚えましょう。

【問題】

上図の、点Dを外心に持つ三角形ＡＢＣの頂点の角に関して以下の式が成り立つ事を証明せよ。

この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。

リンク：
高校数学の目次

９０度回転したベクトルをベクトルの分解の公式であらわす

以下の図に、ベクトルａとｂを左回りに９０度回転したベクトルａ_ｖとｂ_ｖをあらわします。

（補足）
ベクトルａを反時計回りに９０度回転したベクトルａ_ｖ＝ｆを、
更に反時計回りに９０度回転したベクトルｆ_ｖは－ａになる。
そのため、ベクトルの内積ａ_ｖ・ｂを、
両ベクトルを一緒に反時計回りに９０度回転して内積した値は同じ値になるが、
その関係は、以下の式であらわされる。
ａ_ｖ・ｂ＝－ａ・ｂ_ｖ

　次に、ベクトルの分解の公式を使って、ベクトルａとｂを９０度回転したベクトルａ_ｖとｂ_ｖを、ベクトルａとｂであらわしてみます。

《ベクトルの分解の公式》

（ベクトルの分解の公式おわり）

ベクトルの分解の公式は、以下の図でもあらわせる。

この図の式が成り立つ理由は、面積S_Bや面積S_Aは、ベクトルｂやベクトルａの、直線ＯＺに垂直な成分に比例するからです。

　このベクトルの分解の公式により、ベクトルａとｂを９０度回転したベクトルａ_ｖとｂ_ｖが、以下の式で、ベクトルａとｂであらわせます。

　この式２は、以下の式３に変形できます。

この式３は、ベクトルｂを直交するベクトルに分解した式をあらわしています。この式３から始めて式２を得ることもできます。

式２を成分であらわすと以下の式４になります。

ベクトルの分解の公式により、ベクトルｂを９０度回転したベクトルｂ_ｖも、以下の式５で、ベクトルａとｂであらわせます。

以上の計算の結果をまとめると、
ベクトルａとｂを９０度回転したベクトルａ_ｖとｂ_ｖをベクトルａとｂで表す式が以下の式であらわせた。

この関係式２bと５bは、以下の様に単位ベクトルを使って表した方が分かり易い。
（角度θを、ベクトルからａベクトルｂまで左回りにベクトルが回転する角度とする）
すなわち、角度θを、ベクトルａに対する（ベクトルａを基準にした場合の）ベクトルｂの角度とする。

この式２’と５’の方が、式２と５よりも分かりやすいと思います。

なお、以下の式の関係もあります。

ベクトルａとｂが単位ベクトルで無い場合は：

（補足）
ベクトルａとｂを９０度回転したベクトルａ_ｖとｂ_ｖをベクトルａとｂで表すよりも、ベクトルａ_ｖとｂ_ｖのみで単純に表す方が優れた表現です。
ベクトルａが定義されたときに、自動的にベクトルａ_ｖも定義されたと考えた方が良いです。
上の式のように、
単位ベクトルａとｂについて考えると、
（単位ベクトルｂ）－ cosθ（単位ベクトルａ）
と表現された複雑な式があれば、
それを
sinθ（ベクトルａ_ｖ）
に変換する練習をしておいてください。

すなわち、任意のベクトルａとｂで、
以下の式の左辺があらわれたら、右辺の式が直ぐに思い付く練習をしておいてください。

この２つの式は同じ形の式です。
以下の形の公式にしてまとめて覚えましょう。

この式は、三角形の高さベクトルhの公式を表しています。

（注意）
　上の式(6)と(7)では、ベクトルａ又はベクトルｂとの内積をベクトルの係数にする計算をしていますが、その２つの式とも、ベクトルａとベクトルｂの合成ベクトルを使って、その合成ベクトルとの内積をベクトルの係数にする計算式でも表せます。そのように、これらの式の表し方にはバラエティ（自由度）があります。そのバラエティがベクトルの計算を複雑にするので、計算の森で迷子になる恐れがあります。そのため良く注意しましょう。

リンク：
２元連立方程式をベクトルの内積を使って解釈する
高校数学の目次