（２３）スーパーメネラウスの定理

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▷てんびん法とスーパーメネラウスの定理の証明

【覚えよう】
　メネラウスの定理とチェバの定理と、その他の定理とを合わせると、以下の図であらわされる、直線上の線分の長さの比の関係があります。
　この関係を全部導き出すのは少し時間がかかりますので、覚えておいて、すぐに計算で使えるようにしましょう。

このスーパーメネラウスの定理は、以下のように問題にあてはめて使います。
【問題１】
下図のように、
ＡＦ：ＦＥ＝２：３
ＢＦ：ＦＤ＝４：１
のとき、ＢＥ：ＥＣを求めよ。

【解答１】
上のように、スーパーメネラウスの定理を問題にあてはめる連立方程式を立てます。
それを解いて、ｓ，ｔ，ｕを求め、
ＢＥ：ＥＣ＝ｔ：ｓ＝１：１
という解を得ました。
（解答１おわり）

【解答２】
下図のように、順次に数字をあてはめていく。

ＢＥ：ＥＣ＝１：１
という解を得ました。
（解答２おわり）

【問題２】

（問題２おわり）

【究極の方法】
　メネラウスの定理は、問題を解くために、定理のパターンを図形にあてはめるために時間がかかり直ぐには使えない不便さがあります。
　一方、以下の方法は、メネラウスの定理を一瞬にして証明できる方法です。（チェバの定理を証明する場合は少し時間がかかります）
　この方法を使えば一番速く問題が解けます。
この方法を、上の問題の解き方を例にして説明します。 

問題の平面図形ＡＢＣＤＥＦを３次元空間に配置します。
３次元空間での点の高さを括弧（）内に書きます。
上図のように点ＡＤＣの高さを（０）にし、点Ｆの高さを（２）にします。

すると、３次元空間での直線ＤＢの点Ｂの高さは（１０）になり、
直線ＡＥの点Ｅの高さは（５）になります。

直線ＢＥＣの点間の距離の比については、
点の高さの比を考えると、
ＢＥ：ＥＣ＝（１０－５）：５＝ ５：５＝１：１
です。
（解答おわり）

（補足）
　良く勉強してこの究極の方法を見つけましたので、この究極の方法があれば、メネラウスの定理は覚えなくて良くなりました。
（良く勉強すれば、覚えなければならない公式を減らせます）
チェバの定理については覚えていた方が良いかもしれません。

　また、以下の図に関して、以下の式の、スーパーメネラウスの公式も成り立ちます。


《てんびん法とスーパーメネラウスの定理の証明》
　下図の点Ｏを支点にした三角形の３頂点に重さｓ，ｔ，uの重りをつるして、つりあっている三角形を考える。

その三角形の辺の比を、軸線からの棒の長さとつりあいの条件から求める。


　他の軸線で考える。


　他の軸線で考える。


　軸線の両端で考える。


　他の軸線の両端で考える。


　他の軸線の両端で考える。


以上をまとめると、この三角形の各辺の比は以下の図のとおりになる。

（証明おわり）

リンク：
メネラウスの定理の証明

チェバの定理
高校数学の目次
メネラウスの定理に係る（高校受験生の）難問（究極の方法）

図形問題の先行検算方法

計算ミスの減らし方
のサイトがとても参考になります。
そのサイトが推薦している計算の概算方法は、以下のように応用して使います。

計算ミスを減らしたい

＜計算の仕方を見直す方法＞
・桁数を調節する
・概算でおおよその数値を求めておく
・積極的に約分する
・キリの良いもの、やり易いものから計算する
・計算の省略をしない
・可能な限りスペースを使う

 計算ミスの減らし方
 ＜概算でおおよその数値を求めておく＞
例えば、
19.8 × 0.49 × 50 × 0.98 = ?

のような計算をするとき、ちゃんと計算する前に
おおよその答えを求めます。本当におおよそザックリでＯＫです。
「19.8」はほぼ「20」、「0.49」はほぼ「0.5」みたいな感じ。
よって大体、
20 × 0.5 × 50 × 1 = 500

そして最初の計算の答えは、おおよそ500に近い値と分かります。
これで普通に計算して、
90とか、2500とかいう大きくかけ離れた値となれば、
それは誤りで計算ミスをしていると分かります。
ちなみに正確な値は「475.398」です。

　この手法を発展させた方法として、以下で説明する、
図形問題の先行検算手法があります。

「図形問題の先行検算方法」
　この「先行検算方法」は、数ⅠＡの【大問３】で使ってください。

この問題を解くために、先ず、以下の図を描きます。

図を描いたら、先ずＡＰを計算する前に、先行検算として
①：　ＡＰを概算して、
ＡＰ≒３
くらいに、ＡＰの値の見当をつけます。ＡＰの計算結果はこの値に近くなければなりません。
そして、ＡＰを暗算して√１０を得ました。
この値は３に近いので、検算結果は○（良好）です。

（この先行検算をすることにより、図形の長さを２倍や２分の１に間違えるミスを防止できます）

次に、先行検算として、
②：　ＯＤを概算して、
ＯＤ≒２くらいに、ＯＤの値の見当をつけます。ＯＤの計算結果はこの値に近くなければなりません。

ＯＤの計算結果は２に近いので、検算結果は○（良好）です。

次に、先行検算として、
③：　ｃｏｓ（２θ）を概算して、
ｃｏｓ（２θ）≒１くらいに値の見当をつけます。計算結果はこの値に近くなければなりません。

ｃｏｓ（２θ）の計算結果は１に近いので、検算結果は○（良好）です。

ＡＣの長さは、以下のように計算できます。

　ここで、この図形の直角三角形の辺の長さがわかりましたが。
その値が分数であらわされているので複雑な値です。
　複雑な数値を扱うと計算の見通しを悪くして計算ミスを発生するおそれがあります。
　計算の見通しを良くするため、パラメータａを単位にして図形の長さをあらわすように、もう１つの図（以下の図）を描きます。

次に、△ＡＢＣの面積Ｓを計算します。

次に、先行検算として、
④：　△ＡＢＣの内接円の半径ｒを概算して、
ｒ≒３ａより少し（α）小さい値に見当をつけます。計算結果はこの値に近くなければなりません。

ｒは３ａより少し（α）小さい値になりましたので、検算結果は○（良好）です。

次に、問題が増えたので、更に新しい図（下の図）を描きます。
この図を使って、先ずＱＲをパラメータａを単位にして計算します。

ＱＲ＝４ａですので、円Ｑの半径２ａと円Ｒの半径２ａの和です。
すなわち、円Ｑと円Ｒは外接します。

次に、先行検算として、
⑤：　ＡＱの長さを概算して、
ＡＱ≒６ａに見当をつけます。計算結果はこの値に近くなければなりません。

次に、先行検算として、
⑥：　ＰＱの長さを概算して、
ＰＱ≒ａに見当をつけます。計算結果はこの値に近くなければなりません。

（解答おわり）

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計算ミス対策（２６）計算ミスの減らし方

計算ミスの減らし方
というサイトが参考になりました。
以下、そのサイトの要点を抜粋します。

センター試験対策について

家庭教師や塾講師をしていたとき、センター試験対策は基本的にこの方針で指導していました。

中には３か月で、センター模試の平均得点率５０％　→　本番８５％まで伸ばせた生徒もいましたから
気に入ったものがあれば、是非参考にしていただきたいと思います。

ご存知の通り僕らの年からセンター試験は色々と変更がありました。
まぁ本質はほとんど以前と同じなんだけど・・・。
色々な試行錯誤があって、得点率90％越えを達成できました。

このセンター試験についての研究と経験を生かして、
大学では４年間、家庭教師と塾講師のバイトを続けました。
担当として受け持った生徒は、４年間で７０人くらいです。

計算ミスを減らしたい

意外と多い悩みに、計算を間違えるということがあります。
私が受験生だった時や、塾講師だったときに知った方法を紹介します。

＜時間の掛かる方法＞
・長期間に渡り計算をひたすら解きまくる
・間違えたら、その理由をメモし、自分の癖を見つける

必要以上の勉強をしたくない、面倒くさがりの私には不向きでしたが
これらをおススメしている方は多いので、効果はあるのかもしれません。

＜計算の仕方を見直す方法＞
・桁数を調節する
・概算でおおよその数値を求めておく
・積極的に約分する
・キリの良いもの、やり易いものから計算する
・計算の省略をしない
・可能な限りスペースを使う

こちらは私もやっています。
　どれも基本的なことではあり、当たり前の物も多いですが
それを何となくやるより、意識して計算するようにするだけで
計算ミスは相当減らせると思います。
もし、やっていないものがあれば是非やてみて下さい。

 計算ミスの減らし方
単純な計算ミスを極力減らすためにはどうすれば良いか

まずやることは、「計算の仕方を見直す」です。
基本的で当たり前のことですが、
強く意識することで計算ミスが大きく減少します。

 ＜桁数を調節する＞
例えば、

のような計算をするとき、桁数を調節すると楽になります。

 ＜概算でおおよその数値を求めておく＞
例えば、
19.8 × 0.49 × 50 × 0.98 = ?

のような計算をするとき、ちゃんと計算する前に
おおよその答えを求めます。本当におおよそザックリでＯＫです。
「19.8」はほぼ「20」、「0.49」はほぼ「0.5」みたいな感じ。
よって大体、
20 × 0.5 × 50 × 1 = 500

そして最初の計算の答えは、おおよそ500に近い値と分かります。
これで普通に計算して、
90とか、2500とかいう大きくかけ離れた値となれば、
それは誤りで計算ミスをしていると分かります。
ちなみに正確な値は「475.398」です。<ｂｒ>

 ＜積極的に約分する＞
約分の効果については言うまでもないですね。
ただ、これは「積極的に」というのが大切です。
588 ÷ 42 =
この程度ならそのまま筆算してもほぼ出来ると思います。
ただ、３０回中２９回間違えなかったとしても、
その中の１回の失敗が命取りです。

ということで、「2」で約分して
294 ÷　21
「3」で約分して　　
　　※「3」で割れるかは、各桁の数字を足した値が3で割れるかで分かる
98 ÷ 7　=
ここまで約分して単純化すれば、さらに間違いは減りますよね。

＜キリの良いもの、やり易いものから計算する ＞
これも言うまでもないですが
5 × 21 × 2 ÷ 3 =
上の式を、素直に左から計算するのではなくて
「5 × 2」と「21 ÷ 3」から先にして
10 × 7 = 70
のように計算します。

 ＜計算の省略をしない＞
よく途中式と呼ばれるものがあります。
式変形の途中で出てくる式だったり計算の過程で出てくる式だったり。
・・・
よくある形の式だから、簡単な計算だからと油断して
途中式を省略し、いつもの形の式に変形したが、
実際は「-」が付いていたとか、sin ではなくcosだったとか
丁寧にやっていれば気が付いたミスも多いと思います。

また、式を変形した最後の段階になって
値がおかしい、形がおかしいとなった場合
省略した式の中に間違いがあると、発見が遅れたり
最悪おかしいとは思いながらも発見できない恐れがあります。

時間やスペース（問題用紙等の余白を含む）に余裕があれば
あまり省略せず、丁寧に回答することをおススメします

「途中式（中間式）を丁寧に書き、式が展開できたら必ず、その前の式に戻るかを確認する。これを繰り返して出た答えは必ず合っている。」
（式を逆向きに進むことで見方を変えて式の流れを見る）


＜可能な限りスペースを使う＞
これは、自分の見間違いを減らすために効果絶大です。
下のギュウギュウに詰まった式と
-84.9×7+260÷9.8=
この下の式、
-84.9 × 7 + 260 ÷ 9.8 =

確認しやすいのはゆとりのある方だと思います。
スペースが許す限り、ゆったりと書くことを意識すると
見間違いや書き間違いによる計算ミスを減らせます。
 

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計算ミス対策（２５）視線が速く動ける式を書く

計算ミスって...
というサイトに計算ミスの例がありましたので参考になりました。

以下のような計算ミスが発生し易いです。

この計算ミスをしないために、
式の等号　＝
の左右にある数値同士の間で足し算・引き算の計算をしないようにしましょう。
　以下のように移項して、等号の同じ側にある数値だけで計算しましょう。

なお、以下のように移項した後なら、以下のように暗算しても、計算ミスをしないので、良いと思います。

　ここで、掛け算や割り算が入ると、その計算時間が例え０．１秒でも、視線が式の項を移項する速度の１０倍も時間がかかってしまいます。
　そのため、マイナス符号を無くすためには、式の項を等号の左右に移項するようにしましょう。
　こうすると、１０倍の速度で視線が動いてたどれる式になります。

　このように移項することで（－１）の掛け算を避けて、視線が高速に式をたどれるように式を書きましょう。
　（－１）を掛け算しないので計算ミスも減ります。


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暗算をしないで視線で計算する

《計算が遅い人が劇的に速くなるためにやるべき７個の方法》のサイト
（サイトの管理者：しょうり）
に以下の助言があります。
「計算が遅い人は途中計算を書こうとしない」
「計算が遅い人は暗算しようとする」
「考えないと暗算できない場合、暗算は絶対にやってはいけません。
さっさとひっ算してください。その方が速いし、確実です。」

高校入試やセンター数学にコツはあるのか？
（バックナンバー一覧）
（数学の問題に取り組むときの作業）
というサイトに以下の助言がありました。
　とても参考になると思いますので、以下に記録しておきます。

　前々回に「＝を縦にそろえて計算ミスを減らす」という方法をお伝えしました。
覚えてますか？
あれで計算ミスの３分の１は減ると思うのですが、どうでしょう？
何でや？と思う人のために少しだけ説明しておくと、
縦に＝を伸ばした方が、確認の距離が近いからです。
計算結果の確認が近い方がしやすい。例えば、
　１２＋２３＋３４＋４５＝３５＋７９＝１１４
というのと
　　１２＋２３＋３４＋４５
　＝　　３５　＋　７９
　＝　　　　１１４
としたとき、上のやり方は
１２＋２３　や　３４＋４５　の結果が離れていて視線を大きく動かさなければならないのに対し、
下のやり方は、
結果が真下にあり、計算結果の確認が視線を移動させずにできるということなんです。
 
そして今日は、＝と＝の間の計算ミスの減らし方をお伝えしようと思います。
これも簡単。
　　『暗算しない』
ということです。
もう一度言います。暗算しないんです。
暗算出来るんだけど計算ミスをしたくないからです。
確かに、暗算した方が計算が早い場合があります。
それは、絶対に間違えないで、しかも瞬間でできる場合に限ります。
生徒の鉛筆の動きを見ていると、
式が書けているのに鉛筆が止まる生徒がいます。
「何？、なんで止まるの？」と聞くと
暗算してるんです。
暗算で答えを出した方が、遅いし、余計格好悪い。
しかも計算ミスも多くなる。
 
 いいんです。暗算しても。
でも鉛筆が５秒止まるなら暗算はやめて筆算しようよ、
その方が早いから。ねっ？

なんでもかんでも暗算でやろうとすると、
逆に遅くなり、不確実になる場合があるのです。
特に、数学が苦手だという人にはです。


私は暗算をしませんが、
大学入試のセンター試験でも３０分程度で終わらせることができます。
なぜかというと、違う所で時間を稼いでいるのです。

問題を見てすぐに解法が分かる問題に、時間がかかりますか？
ということです。
前回の「さりげなく隠された問題のヒントを見抜く」と関係してきますが、
数学の用語をきちんと理解していれば、問題作成者の隠したヒントがすぐに見抜けます。

隠されたヒントを利用し、裏技（教科書に無い定理を利用する）を引っ張り出しておくのです。
・・・
普段からこういうことを思い出す勉強をしていると、試験の時に時間が足りない、問題を見て考える時間が足りないなどといったことは無くなります。

この問題（数学用語に隠されたヒント）にはこの知識を利用する、
というのを覚えてしまえば、誰にでも解けるようになるのです。
ただ、それを意識して勉強している人が少ないということです。

数学の知識の引っ張り出し方を知れば、
問題が解けるようになることを知っていて、
その方法を常に伝えているからだけです。

その知識をカードにしたものが「覚え太郎」「超え太郎」なのです。
カードでできないことはいくつかあります。
　計算ミスを減らす方法もそうです。
　 でも、カードの知識以外に必要な基本はそんなに多くありません。
それを補っていこうというのがこのメルマガなのです。
メルマガで基本的なことをマスターすれば後は知識の量で数学の力を伸ばすことは簡単です。

「知識の量」と「知識の使い方」の両方をマスターすれば、
数学の得点力はいくらでものびます。

中学生のうちに「知識の使い方」をマスターすれば、
高校に入れば後は「知識の量」を増やすだけです。
このメルマガを何度も読んで、「知識の使い方」マスターして下さい。

「知識の量」は自分で増やすしかありません。
英単語を覚えるのと同じことですから。


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計算ミス対策（２３）この１行が必要

しつこく計算ミスを減らす方法
というサイトに以下のような助言がありました。

「計算ミスをなくす（減らす）方法は、見直しが一番です。」

　この助言サイトは中学生に教えている先生のサイトのようです。
このサイトの内容の１つに以下の助言がありましたが、
これは高校生以上にも、私自身の計算力の改善にも役立つと思いました。

（７ｘ－３ｙ）－（－２ｘ＋５ｙ）
＝７ｘ－３ｙ＋２ｘ－５ｙ　　←この１行を書くことで大きくちがう。
＝９ｘ－８ｙ

　この助言は、的を得ていて、この先生の経験の深さを感じます。
「目が書ける」ように書く計算式においては、上の式の２行目は（急いでいても）省かないで書くように努めましょう。
　この１行が無いと計算ミスをする可能性が断然高くなると考えられるからです。

　こういう知恵が積み重なって、計算ミスをしないで計算できる力がついていくのだろうと思いました。


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計算ミス対策（２２）目が「書ける」式が書けているかチェックする

計算ミスをなくす方法
というサイトに以下のような意見がありました。

＞よく、問題を解いたら見直せといいますよね？
＞正直、私は見直しの時間が無駄に思えて仕方ないので問題を解きながら見直しをしています。
＞最後に見直して間違いに気づけば丸々解きなおしなんてこともあるわけで、
＞そちらの方が煩わしく感じてしまいます。

　この意見はもっともな意見と思います。
計算式は、「目が書ける」ように計算式を書いて、一通り書いたら、
「目が書けるように」書けているか、「目で書いて」確かめながら式を書き進めていけば良いと思います。

　そのように、書いた式の「目で書ける」完成度をたしかめながら式を書き進めていく作業が
既に計算の見直し作業になっていると思います。

「途中式（中間式）を丁寧に書き、式が展開できたら必ず、その前の式に戻るかを確認する。これを繰り返して出た答えは必ず合っている。」
（式を逆向きに進むことで見方を変えて式の流れを見る）


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計算ミス対策（２１）目が「書ける」ように書いた例

（どこまで書けば良いのか：）
　最善の式の記述は、書いてある式を目だけで「（手を省いて）書いて」たどれるように式が書いてあればベストです。「目が式を変形したいところ」が式の変形として書いてあれば、目が迷わずに「目で式を書いて」たどれます。
（式と式の間の式の変形箇所はあまり多く無い方が、目が「書いて」たどりやすいです。）
　根拠無く式が変化した計算ミス箇所は、目が式を書いてたどることができませんので、そこでつっかえることで計算ミスが発見できます。

　以下は、問題用紙の見開きに問題が書いてあって、最後の問題を解くときに最初のページの図を見ながら計算できる場合の、「目が書ける」計算式の記載の見本です。 

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計算ミス対策（２０）計算式を目が「書ける」ように書く

直らないケアレスミスを確実に減らす５つの対策！～ミスを軽く考えていませんか？

「ミスノート（間違いノート）」を作る。

「ケアレスミスをなくす、解けない問題をなくす有効な方法」
（１）「大学受験の勝ち組では比較的当たり前の様に作られている間違いノートですが、意外と知らない大学受験生は多いようです」
「間違いノート」を作るのが良いと思います。

《計算ミス撲滅！ミスノート作成のすすめ①》
①計算ミスを起こさないような計算方法のフォーマットを考える。

　それと、もう１つ大切な事。
（２）誰でも計算ミスをします。
　そのため、
「試験中にいかにしてそのミスを発見してリカバリするか」
という技術を学ぶことが大切だと思います。
　試験中にミスを発見するには、自分の計算のプロセスを自分で読み返して、計算を素早くたどれるように計算式が問題用紙（できれば計算用紙があるのが良い）に記載されている必要があります。
　「素早く」という意味は、時間を食うプロセス（暗算等？）がいらずに、直ぐに計算をたどって思考が流れるように式が記録されている、
ということを意味します。
　そのようにとぎれなく読めるように式が書いてあれば、その式を高速に目でたどって、素早く計算ミスを発見できます。

（どこまで書けば良いのか：）
　最善の式の記述は、書いてある式を目だけで「（手を省いて）書いて」たどれるように式が書いてあればベストです。「目が式を変形したいところ」が式の変形として書いてあれば、目が迷わずに「目で式を書いて」たどれます。
（式と式の間の式の変形箇所はあまり多く無い方が、目が「書いて」たどりやすいです。）
　根拠無く式が変化した計算ミス箇所は、目が式を書いてたどることができませんので、そこでつっかえることで計算ミスが発見できます。

　そのように式をもれなく記録するコツは、
「計算は手と目がするもの」ぐらいに考えて、「自分（自分の頭）は、自動的に動く手と目がする仕事の仕事ぶりを監督する」
ぐらいに考えて、手と目が頭に負担をかけずに仕事をする体制を整えれば良いと思います。

　要するに、頭はサボって計算して良いと思います。頭のする仕事は、（１）手と目が良い仕事をするように日ごろからプログラミングすることと、また、（２）計算ミス対策などの急な仕事だけを頭がすれば十分と思います。

（これは、とんでもない計算ミスをすることが多い人にお勧めの技術です）


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問題をやさしくする数学（２２）肯定形の命題要素で組み立てる

【問】三角形に関する条件ｐ，ｑ，ｒを次のように定める。
ｐ：　３つの内角がすべて異なる。
ｑ：　直角三角形でない
ｒ：　４５°の内角は一つもない
命題「（ｐまたはｑ）⇒ｒ」に対する反例になっている三角形を考えよ。

【解答】
命題「（ｐまたはｑ）⇒ｒ」は、
正しくは、
「あらゆる場合に、（ｐまたはｑ）⇒ｒ」
という論理式であらわされる情報のことです。

命題「（ｐまたはｑ）⇒ｒ」に対する反例は、
（ｐまたはｑ）及び（ｒでない）
です。
この反例は、正しくは、
「ある１つの場合に、（ｐまたはｑ）及び（ｒでない）」
という論理式であらわされる情報です。

ここで、命題要素ｐ、ｑ、ｒを見ると、「～でない」という形の否定形で書かれているので複雑な表現になっている。
それで、肯定形の命題要素を使って、表現し直す。

ｓ：　３つの内角のどれか同士が等しい＝二等辺三角形である。
ｔ：　直角三角形である
ｕ：　４５°の内角を持つ
これらの肯定形の命題要素を使って、問題を書き直す。

（解答おわり）


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