拡張三平方の定理

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▷三角形の高さｈの公式

【三平方の定理】

上図の直角三角形で、式０であらわされた三平方の定理が成り立ちます。

【拡張三平方の定理】

上図の三角形で、式１であらわされた拡張三平方の定理が成り立ちます。
ａ_１が小さくなって０になれば、この式１は式０に一致します。

（重要な注意）
　以下、このページでこの拡張三平方の定理を証明します。この証明を自力で行なって知能ホルモンを分泌させたい方は、以下を読まないで、この拡張三平方の定理を証明してください。

　それ以外の方には、以下で、この拡張三平方の定理の証明を解説しますので、見てください。

【拡張三平方の定理の証明】
三角形ＡＢＣの２辺ＡＣとＡＢを辺ＢＣに射影し、三角形の辺の二乗の引き算の公式を適用すると、以下の式が成り立ちます。

（証明おわり）

上の式の計算の途中の式を、三角形の辺の二乗の引き算の公式として覚えて、以下の図と式を書いて拡張三平方の定理を思い出したら良いと考えます。

 （以上が、拡張三平方の定理）
　上の式の１行目が三角形の辺の二乗の引き算の公式であり、
２行目が拡張三平方の定理の式です。
　このように、三角形の辺の二乗の引き算の公式と拡張三平方の定理の式は、１行の式の変形で結び付いている等価な公式です。

【三角形の辺の二乗の引き算の公式】

 （以上が、三角形の辺の二乗の引き算の公式）

　この、三角形の辺の二乗の引き算の公式は、以下の図の正方形①②③を心が思い描いて心が公式を導き出すので、覚え易い（導き出し易い）です。

三角形の辺の二乗の引き算の公式は、以下の図の下の２つの式の組みにして覚えると良い
この下側の式は、拡張三平方の定理にかなり近い形をしています。下側の式の左辺の項を上側の式の左辺の項に置き換えれば拡張三平方の定理になります。

【拡張三平方の定理の他の導出方法】
以下の図の様に、未知数ｘを導入して、ｘを使って三角形ADCに関する三平方の定理の式を記述します。

（以上が拡張三平方の定理）

（補足）
　式の対称性から、以下の式２も成り立ちます。

拡張三平方の定理には：
(1)辺ＢＣの長さａと、辺ＢＣ上への辺ＢＡの射影の長さａ_１の積を使う表現。
(2)辺ＢＡの長さｃと、辺ＢＡ上への辺ＢＣの射影の長さｃ_１の積を使う表現。
との２つのバラエティがあります。

【斜辺ａに関する拡張三平方の定理】

（補助線CDを使って作った全ての直角三角形を利用して、斜辺ａに関する拡張三平方の定理を導くことができました）

（公式を自力で導き出す勧め）
　覚えた定理は時が経つと忘れてしまいます。
（最初教えられた時には覚えていたのに、時がたつと忘れている事に気づき、最初に覚えた記憶が戻らない）
　数学の公式を覚えていても、その公式に近い形の新しい定理があらわれると、その新しい定理を覚えるために先に覚えていた公式がじゃまになるので、先の記憶を忘れ去ります。公式の表面的な記憶というのはその様に不確実なものです。
　数学の公式は覚えられない（時が経つと忘れる）ので、公式を導き出して使う練習をしましょう。
 
　公式を自力で導き出して再現できる学生は、自己発電ができるパソコンのようで、自力で公式を導き出す都度、公式の理解が深まり、記憶を維持するエネルギーが発電され、いつまでも記憶が保たれます。
　公式を忘れないようにするには、自力で公式を導き出す作業が欠かせません。公式を使う都度、自力で導き出すことを覚えて欲しいと思います。 

　拡張三平方の定理を思い出す毎に、以下のように、「２項の積と二乗の差との変換公式」を使って、三角形の辺の二乗の引き算の公式に変換できる事を確認することで、思い出した記憶に間違いが無い事を確認してください。

《三角形の高さｈの公式》
三角形の辺の２乗の引き算の公式から、以下の式が成り立つ。

上記の式が、三角形の高さｈの公式である。 
また、辺ａと高さｈに関して、辺ｂと辺ｃは対称な関係にあるので、ｂとｃを置き換えた以下の公式も成り立つ。


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三角形の底辺を頂点の足で分割する問題

【問１】

上の図のような、三角形ＡＢＣの底辺ＢＣを頂点Ａの足Ｄで分割した線分ＢＤの長さと線分ＣＤの長さの比が式１であらわされることを証明しなさい。

この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。

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二等辺三角形と直角三角形の辺の長さの関係

【問１】

上の図のような、ＡＢ＝ＡＣ＝１の二等辺三角形ＡＢＣと、その頂角Ａと斜辺ＡＢを共有し∠Ｄが９０°の直角三角形ＡＢＤがある。
ＢＣ＝ｘ
ＡＤ＝ｙ
とするとき、
（１）ｘの値が分かっているときｙをｘであらわしなさい。
（２）ｙの値が分かっているときｘをｙであらわしなさい。

《解答手順》
　図形問題では、先ず、足りない図形の補助線を埋め込み、同じ角度には同じ印を付け、なるべく対称な形に、図形を完成させる。その次に問題の解き方を考えるように心がけてください。

この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。

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頂角３６°の直角三角形の辺の長さ

【問１】（難問）

上の図のような、角Ｃが直角で頂角Ａが３６°の直角三角形ＡＢＣの斜辺ＡＢの長さが１の場合に、辺ＡＣの長さを求めなさい。

《解答手順》
　図形問題では、先ず、足りない図形の補助線を埋め込み、同じ角度には同じ印を付け、なるべく対称な形に、図形を完成させる。その次に問題の解き方を考えるように心がけてください。

この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。

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図形を完成させる手順の例

 【問題１】（難問）

　上図のように， １辺の長さが１８の正方形ＡＢＣＤと，角ＢＥＦが９０°の直角二等辺三角形ＥＦＢがあります。
線分ＡＤと線分ＢＦの交点をＧとし、ＡＧ＝６のとき，長さＣＥを求めなさい。 

《解答手順》
　図形問題では、先ず、足りない図形の補助線を埋め込み、同じ角度には同じ印を付け、なるべく対称な形に、図形を完成させる。その次に問題の解き方を考えるように心がけてください。

（重要な注意）
　以下で、このページに問題の解き方、解答を書きます。
その理由は、この種の問題を解くための、先ず図形を完成させるコツを教えたいためです。
　この問題を、自力で解く努力をして知能ホルモンを分泌させたい人は、以下を読まないで、この問題を自力で解いてから、以下の解説を読んでください。

　それ以外の方には、この問題を例にした、問題を解く方針を考えるより先に図形を完成させておくコツを以下で説明するので、その方法を学んでください。

【解答はじめ】
　以下の図のように、最初の図から直ぐにわかる関係を図に書きます。

次に、この図の直角三角形ＡＢＧの辺の長さの関係がわかるので、その関係を簡単化して明示する相似な直角三角形の長さを書きます。

辺の関係が分かったこの直角三角形（に相似な直角三角形）をどこかに書き加えることを考えます。

新たに加える直角三角形を、上図のように、直角の頂点Ｇを有する直角二等辺三角形が作られるようにして加えます。

新たに加えた三角形の長さがわかったので、
それからわかる他の長さも書きます。

ここで、新たに辺の関係がわかった直角三角形の辺の関係を単純化して明示する相似な直角三角形の長さを書きます。

辺の関係がわかったこの直角三角形に相似な直角三角形の辺の長さを書きます。

以上のように、わかっていることからすぐ分かることを書いていくと、求めたい長さも含めた多くの不明な長さが網羅的に明確になります。
こうして、求めたい長さ
ＣＥ＝９
が得られました。

（解答おわり）

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図形を先ずなるべく対称な形に完成させる

【問１】（難問）

上の図のような、円に内接する四角形ＡＢＣＤにおいて、
ＡＢ＝ＢＣ＝３、
ＣＤ＝５、
ＤＡ＝８
のとき，∠ A の大きさを求めなさい。

《解答手順》
　図形問題では、先ず、足りない図形の補助線を埋め込み、同じ角度には同じ印を付け、なるべく対称な形に、図形を完成させる。その次に問題の解き方を考えるように心がけてください。

この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。

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計算がややこしい問題の先行検算

 【問題１】

上図のように，
∠Ａ＝９０°で，
ＢＣ＝２（√１３）
である直角三角形ＡＢＣがある。
辺ＡＢを直径とする半円上に点Ｄをとり，
線分ＤＡの延長と辺ＡＣを直径とする半円との交点をＥとする。
ＡＤ＝（√１５）
ＡＥ＝３／２
のとき，辺 ＡＢ，ＡＣの長さをそれぞれ求めなさい。
ただし，ＡＢ＜ＡＣとする。

（重要な注意）
　以下で、このページに問題の解き方、解答を書きます。
その理由は、この種の問題を解くために推薦する解答方法を教えたいためです。
　この問題を、自力で解く努力をして知能ホルモンを分泌させたい人は、以下を読まないで、この問題を自力で解いてから、以下の解説を読んでください。

　それ以外の方には、この問題を確実に解くためにお勧めする方法を以下で説明するので、その方法を学んでください。

【解答はじめ】
　以下の図のように、計算すべき長さｚを書きこんで、同じ角度を同じ記号で書き、ｚを使ってあらわせる長さを書き込んで図形を完成させて問題を解く準備をします。

この問題を見ると、長さの値が複雑なので計算まちがいをし易いように思われます。
　そのため、計算間違いを予防するために、先に簡単な値をあてはめる簡単な計算をして、答えに近い値を調べておく先行検算をしておきます。

 辺ＢＣの長さの２（√１３）に注目して、その値を与えるｘとｙの値で簡単な値を考えます。
簡単な値として、ｘとｙの値の半分の値に、
２と３を当てはめて（√１３）が作れます。
それにより、
ｘ＝４
ｙ＝６
をあてはめます。
次に、このようにあてはめた値がどれくらい答えに近いかを調べておきます（先行検算）。

しらべた結果、何と！、ピッタリ答えに当てはまっているではないですか。

　こうして、答えに近い値、ここでは答えの値そのもの、を先に得ておいてから問題を解くようにします。
そうすることで、計算間違いで答えにたどりつけない不幸を避けられ、安心して問題を解けるようになります。

先ず、上図のように、求めるべき長さｚについて成り立つ方程式１を書きます。
次に、以下のようにして、この方程式を解きます。

この式から、以下のようにｚの値の候補が得られます。

ここで、
ｘ＜ｙ
であるので、
ｘ＜√２６≒５
である。
ｚ＜ｘ
であるので、
ｚ＜√２６
でなければならないので、
ｚ＝√（１３５／４）
は不適である。
よって、

（解答おわり）

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点を微小に移動し接弦定理と拡張円周角の定理を思い出す

【接弦定理】
　以下のように、点Ｔを微小に移動した点Ｕを考えて、接弦定理を一瞬で思い出しましょう。

そうすれば、この図形に接弦定理の条件が成立している部分があることを認識するよりも速く、接弦定理の結果を先行して一瞬で想像できるようになります。

【拡張円周角の定理】
　以下のように、点Ｔを微小に移動した点Ｕを考えて、拡張円周角の定理を一瞬で思い出しましょう。

【拡張接弦定理】
　上図を見ると、以下の拡張接弦定理が成り立っていることもわかります。

結局、下図を考えて、点Ｕ及び点Ｕ’の位置が大きく移動すると考えれば良いことがわかりました。

また、下図のように点Ｕ及び点Ｕ’の角度が移動すると想像するのも良いと考えます。

（想像してみてください）
　１つ前の図の点Ｂの位置から円周上を左回りして、点Ｔの位置を経て点Ｒまで動いて、更に上図の点Ｒの位置から更に左回りして、点Ａの位置を経て点Ｂまで戻ることを想像してみて下さい。最初に点Ｂで円の中の円周角だった角度が、点Ｂでの円の外の角度に移ります。面白いでしょう。

また、接弦定理を下図の角度の関係で覚えると覚え易いかもしれません。

（定理の確認方法）
　接弦定理を正しく覚えたかどうかの確認を、以下のように想像することで確認できると思います。

（１）線分ＡＴと接線ＱＴＰを固定して考える。
それらが固定されれば、
∠ＡＴＰ＝∠Ａ’ＴＱ
は固定している。
（２）そして、点Ｂを動かすと、∠ＢＡＴは変化するが、
∠ＡＢＴは変わらない。
固定した∠ＡＴＰと対応する角は、
∠ＡＢＴしか無い。
（３）また、
固定した∠ＡＴＰと∠ＡＢＴの値同士が同じ角度であるだろうかどうかの簡単なチェックを加えれば良いと思います。

（接弦定理の覚え方）
　以下の図のように弦ＡＴについて完成させた（対称な形に完成）図形を想像して接弦定理と拡張円周角の定理を覚えると良いと思います。

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等しい長さの証明

【問１】

上図でｘ＝ｙとなることを証明せよ。

この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。

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三角形の高さの公式を導く

【問１】

　上図の三角形ＡＢＣの高さｈを辺の長さａ，ｂ，ｃを使ってあらわす式を求めよ。

この問題の解答はここをクリックした先のページにあります。

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自分の想像力を助けることを覚えること

おぼえるべきことは、あたりまえに見えて簡単に思い出せ自分の想像力の助けになる簡単な事実（公式）です。

平面αと平面βの交線ＯＰに対して垂直な平面γを考える。その平面γは平面α及び平面βに垂直である。
平面γと平面α及び平面βとの交線の間の角度が、平面αと平面βの成す角度である。

おぼえるべきことは、あたりまえに見えて簡単に思い出せ自分の想像力の助けになる簡単な事実（公式）です。

簡単な事実（公式）：
平面α及び平面βに垂直な平面γは、平面αと平面βの交線ＯＰに対して垂直である。
逆に、平面αと平面βの交線ＯＰに対して垂直な平面γは平面α及び平面βに垂直である。

これを覚えれば、想像力が良く働くようになるので、これを覚えます。
おぼえるべき公式は、簡単に思い出せること（公式）であると思います。

この公式（事実）を覚えると、以下のように想像力が働きます。

三角形ＰＡＢに垂直な平面であって、直線ＯＰを含む平面ＯＰＮＭを考える。
その平面ＯＰＮＭは、平面γへの垂直線ＯＰを含むので平面γに垂直である。
平面ＯＰＮＭは、平面ＰＡＢに垂直であって、かつ、平面γに垂直なので、両平面の交線ＡＢに垂直である。
よって、直線ＡＢと平面ＯＰＮＭ上の全ての直線とは垂直である。
そのため、直線ＯＭも直線ＰＭも、直線ＡＢに垂直である。

こうして、三角形ＰＡＢに垂直な平面であって、直線ＯＰを含む平面ＯＰＮＭ上の直線ＯＭも直線ＰＭも、直線ＡＢに垂直であることが想像できた。

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直方体の角の断片の四面体の展開図

【問１】（これも難問だと思う）

　上図の三角形ＡＢＣがある場合に、その三角形ＡＢＣを底面とする四面体で、下図のように、直方体の角Ｈの断片の四面体ＨＡＢＣを作る展開図の直角三角形の頂点Ｈ，Ｈ’，Ｈ’’を作図せよ。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

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平面の水平面に対する傾き

【問１】

　上図のように、直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨがある。
ＡＢ＝１
ＢＣ＝２
ＡＥ＝１
とする。
第１の平面αと第２の平面βの成す角度を、両平面の交線上の点Ｏから、交線に対して垂直に両平面に引いた直線の間の角度であると定義する。そして、平面α側の直線が平面β側の直線に対する傾きを、平面αの平面βに対する傾きであると定義する。

図の平面ＥＢＤの、水平面ＡＢＣＤに対する傾きを求めよ。

（解答の方針） 
（１）立体図形は、平面図形の問題に変換して解く。 

（２）平面αと平面βの交線ＯＰに対して垂直な平面γを考える。その平面γは平面α及び平面βに垂直である。平面γと平面α及び平面βとの交線を考える。その２つの交線の間の角度が、平面αと平面βの成す角度であり、その角度が交線同士の傾き＝平面αの平面βに対する傾きを与える。

この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。

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立体図形の想像力

【立体図形の平面ＰＢＲＱ】

上図で、平面ＰＢＲＱを想像するとき、
その平面に交差する、２つの平行する平面ＡＢＣＤと平面ＥＦＧＨを広げた下の図を想像してください。

このように上下の平行平面を広げて想像すると、平面ＰＢＲＱが平面ＰＢＲ’Ｑに拡大されて、見易くなります。
そして、その平面ＰＢＲ’Ｑに垂直な平面ＡＥＴＳが想像し易くなります。

　２つの平行する平面ＰＢＲ’Ｑと平面ＡＢ’Ｃ’Ｄ’が、他の平面ＥＦ’Ｇ’Ｈ’と交差する交線ＰＢと交線ＱＲ’については、
両交線は同じ平面ＰＢＲ'Ｑ上の２つの直線なので、ねじれの関係はあり得ず、交差するか平行線になるかのどちらかです。両交線は、交差することがありえない平行する２つの平面上の直線なので、交線ＰＢとＱＲ’は平行です。

　平面ＰＢＲ’Ｑと平面ＡＥＴＳが垂直であるならば、以下の関係が全部成り立ちます。逆に以下の関係のどれかが成り立つなら、両平面は垂直です。
（１）平面ＡＥＴＳ上の２本の直線ＡＳと直線ＡＥが、平面ＰＢＲ’Ｑ上の１本の直線ＰＢに対して垂直である。
（２）また、両平面の交線ＫＬに垂直な、平面ＡＥＴＳ上の１本の直線ＥＭが、平面ＰＢＲ’Ｑ上の全ての直線に垂直な垂線である。
（３）また、両平面の交線ＫＬに垂直な、平面ＰＢＲ’Ｑ上の１本の直線ＰＢが、平面ＡＥＴＳ上の全ての直線に垂直な垂線である。

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立体図形の頂点から面への垂線の長さ

【問１】

　上図のように、直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨがある。頂点Ｆから面ＥＢＧにひいた垂線の長さを求めよ。

（解答の方針） 
（１）立体図形は、平面図形の問題に変換して解く。 
（２）第１の面への垂線を求める問題は、第１の面上の１本の直線に垂直な第２の面を考える。その第２の面上の直線で、第１の面に垂直な直線が求める垂線である。

この問題を解いた後で、この問題の一番簡単な解答方法と思う方法の解答のページを見てください。  
その解答方法を、ここをクリックした先のページに書きました。

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