（２）１のｎ乗根を複素数平面で求める

佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強
第５講　高次方程式

《ページ内リンク》
▷１の４乗根
▷１の５乗根
▷１の３乗根（ページ外にリンク）
▷実数の指数法則と複素数の指数法則

【問１】Ｘ^４＝１の解を求めよ。
Ｘ^４－１＝０

この方程式の４つの解を複素数平面上で表示すると、以下の図のようになります。

上の図で、
Ｘ_０＝１，Ｘ_１＝ｉ，Ｘ_２＝－１，Ｘ_３＝－ｉが、
Ｘ^４－１＝０
の４つの解です。
Ｘ_１は、複素数平面上で、０と１を結ぶ実軸上の線分から原点を中心にして単位円上を左回りに９０度（π／２ラジアン）回転した位置にあり、更に、順次に９０度回転した位置が、この方程式の解です。

Ｘ_１と０を結ぶ直線が０と１を結ぶ実軸上の線分と成す角９０度を４倍すれば３６０度になり、実軸に戻ります。
Ｘ_２と０を結ぶ直線が０と１を結ぶ実軸上の線分と成す角１８０度を４倍 すれば３６０度×２になり、実軸に戻ります。
Ｘ_３と０を結ぶ直線が０と１を結ぶ実軸上の線分と成す角２７０度を４倍 すれば３６０度×３になり、実軸に戻ります。

複素数を４乗するということは同じ複素数を４回掛け算することであり、複素数の掛け算では偏角が足し算されるので、複素数を４乗すれば、その複素数の偏角が４回足し算されて４倍になりました。
すなわち、
Ｘ^４＝１の複素数の解は、１の偏角を３６０度、３６０度×２、３６０度×３と考えて、その偏角を４分の１の９０度、１８０度、２７０度にし、その偏角を持つ絶対値１の複素数の値を図から求めれば、それがＸ^４＝１の複素数の解になります。

【問２】Ｘ^５＝１の解を求めよ。
Ｘ^５－１＝０

この方程式の５つの解を複素数平面上で表示すると、以下の図のようになります。

上の図で、

が、Ｘ^５－１＝０
の５つの解です。
Ｘ_１は、複素数平面上で、０と１を結ぶ実軸上の線分から原点を中心にして単位円上を左回りに２π／５ラジアン回転した位置にあり、更に、順次に２π／５rラジアン回転した位置が、この方程式の解です。

Ｘ_１と０を結ぶ直線が０と１を結ぶ実軸上の線分と成す角２π／５ラジアンを５倍すれば２πになり、実軸に戻ります。
Ｘ_２と０を結ぶ直線が０と１を結ぶ実軸上の線分と成す角２π×（２／５）ラジアンを５倍すれば２π×２になり、実軸に戻ります。
以下、同様に、Ｘ_３とＸ_４は、２π×３、２π×４になり、実軸に戻ります。

結局、
Ｘ^５＝１の複素数の解は、２π／５ラジアン×整数倍の偏角を持つ絶対値１の複素数の値を図から求めれば、それがＸ^５＝１の複素数の解になります。

同様に考えることで、
Ｘ^ｎ＝１の複素数の解は、２π／ｎラジアン×整数倍の偏角を持つ絶対値１の複素数の値を図から求めれば、それがＸ^ｎ＝１の複素数の解になります。
すなわち、値１の点を頂点の１つにする正ｎ角形の各頂点が、その方程式の解になります。 

【問２（ｂ）】Ｘ^５＝１の解を、三角関数の値も計算して求めること。

この解の求め方を次のページで解説します。

　しかし、次のページを直ぐには見ないで、
しばらくここに留まって、この解を自力で求める努力をしてください。

《実数の指数法則と複素数の指数法則》
　なお、１の３乗根の基本単位や１の５乗根の基本単位は以下の式で表すのが良いと思います。

そうすると、１の２乗根の基本単位の値も、１とするよりは、以下の式で表した方が良いと思います。

そして、以下の演算が成り立つと考えられます。

今後は、以下の様に、１の２乗根は基本単位で表して計算すると良い。そうすると√ は正の値を表すものとした表現ルールに合わなくなる（そもそも正の数では無い虚数を√ 記号で表した時点でルール違反）ので√ 記号は使わず２分の１乗記号で表した１の２乗根の基本単位を使って計算した方が良いと思います。

しかし、指数法則

が使えるためには、

と展開しても矛盾させないために、

（１の有理数乗や実数乗は全て１）とせざるを得ないので、悩ましい問題です。

という矛盾も起こさないようにする必要もあります。

という矛盾もだめです。
　それらの矛盾を回避するためには、指数法則

と、

は、
a>0, b>0,　（指数の底は必ず正にする）
の場合に限って使えるように制限することによって、上の式の問題を回避します。これが、実数の指数法則です。
　一方、虚数ｉの演算は、虚数記号ｉを使って、その記号の演算ルールで計算することにし、実数の指数法則は虚数の演算には関与させない（複素数の指数法則は後で説明する）ことで問題を回避します。
　複素数の指数法則は、以下の様に実数の指数法則を拡張します。複素数ｚは、以下の式のように、ネイピア数（正の実数です）の複素数乗であらわします。

この形で表した複素数は、ネイピア数が正の数なので、指数の底が正の実数であるという指数法則の基本条件を満足しています。指数関数の底は正の実数のままにして、指数だけを複素数まで拡張して指数法則を拡張します。複素数の指数法則の下でも、１の複素数乗は１になります。
そして、１の２つの２乗根を以下の計算で求めます。

１の２乗根を求めるために指数法則を適用する１は底がｅであって、指数が異なる２つの数に分けて扱います。こうすれば、１の２乗根の１つを－１にでき、もう１つを１にできます。
　また、以下の計算のように指数法則を矛盾を生じないように使えます。以下の計算の一番左側の項の（－１）の２分の１乗は、√(-1)という表現と同じく間違った表現です。（－１という数は、指数が異なる２つの数に分けて扱うべき）。しかし、(-1)の２乗根を表すために、あえて間違った使い方をしました。

上の式で(-1)をｅのπｉ乗であらわしましたが、(-1)は、ｅの(－πｉ)乗でも表されます。そのように表された２つ目の(-1)の２分の１乗は－ｉになります。

　以下のように、１の２乗根の２つを、指数法則を使って寄り道して計算することもできます。（以下の計算式の一番左側の項の１の２分の１乗は１です。しかし、１の２乗根を表すために、あえて間違った使い方をしました）。この指数法則の計算では矛盾が生じていない。

（補足）なお、指数法則が、高校２年生までは、指数関数の指数が整数である場合に限って、指数法則の基本条件が緩められて、指数関数の底は０で無いこと。底が負でも良いとされていました。しかし、指数が有理数になると、その条件では指数法則が成り立たなくなり、指数関数の底は正の実数であるという基本条件を満足する必要があります。指数法則のこの基本条件は、指数が実数や複素数になっても変わりません。
（蛇足）ちなみに底が０の場合は、以下のようになると考えられる。


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「n乗根１」大学入試から学ぶ高校数学

（１）１の三乗根を複素数平面で求める

佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強
第５講　高次方程式

【問】次の式を因数分解してｘ^３＝１の解を求めよ。
ｘ^３－１＝０

この式は以下のように変形して解きます。
ｘ^３－１
＝（ｘ－１）（ｘ^２＋ｘ＋１）
＝（ｘ－１）｛（ｘ＋（１／２））^２－（１／２）^２＋１｝
《公式Ｐ^２－Ｑ^２＝（Ｐ－Ｑ）（Ｐ＋Ｑ）を使う。その準備》

よって、ｘ^３＝１の解は

上のようにして因数分解することで、ｘ^３＝１の複素数の解が得られました。この３つの解を複素数平面上で表示すると、以下の図のようになります。

上の図で、ｘ＝１，Ａ=ω，Ｂ＝ω² が、ｘ^３＝１の３つの解です。
Ａは、複素数平面上で、０と１を結ぶ実軸上の線分から０を中心にして左回りに１２０度（２π／３ラジアン）回転した直線上にあり、Ｂは右回りに１２０度(左回りに２４０度）回転した直線上にあります。

Ａと０を結ぶ直線が０と１を結ぶ実軸上の線分と成す角１２０度を３倍すれば３６０度になり、実軸に戻ります。Ｂと０を結ぶ直線が０と１を結ぶ実軸上の線分と成す角の、右回りに１２０度(左回りに２４０度）を３倍すれば右回りに３６０度(左回りに７２０度）になり、実軸に戻ります。

複素数を３乗するということは同じ複素数を３回掛け算することであり、複素数の掛け算では偏角が足し算されるので、複素数を３乗すれば、その複素数の偏角が３回足し算されて３倍になりました。
すなわち、
ｘ^３＝１の複素数の解は、１の偏角を３６０度及び－３６０度と考えて、その偏角を３分の１の１２０度（点Ａ）や－１２０度（点Ｂ）にし、その偏角を持つ絶対値１の複素数の値を図から求めれば、それがｘ^３＝１の複素数の解になります。

　こうして答えを求める方法は、昔は、「禁じられた複素数平面の教え」だったので、そうやってその答えを出したと解答に書く事が出来ませんでした。最初に書いた、教わった範囲の解き方で解答するのが昔の高校生のやり方でした。

 　この教えは、２０１１年度からは禁止が解けました。
２０１１年度から、高校３年の数Ⅲで複素数平面を教えるようになりました。
そのため、高校３年からは、複素数平面の考えで問題を解いたと解答に書いても、合格点をもらえるようになりました。

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（２）複素数を掛け算すると偏角が足し算される

佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強

　以下の内容は、むかしは、高校の検定教科書では教えないことになっていました。多分、これを教えると、その説明が分からない人が続出して、先生までも分からなくなる恐れもあり、学校にとってとても危険な教えだから、教える事が禁じられていたのかもしれません。
そのため、むかしは、以下の内容は、禁止された教えであるので、この教えを知っている事を隠して生活するのが望ましかったと考えます。

　また、以下の内容が理解できなくても、それは、”正常”な人のあかしですので、理解できなかったからといって、決して、理解できなかった事を恥じたりしないで欲しい。また、理解できないからと言って、決して、理解できた人を迫害したりしないで欲しいと思います。

ｓ＝ｗ・ｚ
というように、複素数ｗに複素数ｚを掛け算して複素数ｓを計算する場合、
複素数平面で複素数ｚが、０と１を結ぶ線分（実軸）から、０を中心に角度θ回転した位置にあるとき、
その角度θを偏角と呼び、θ＝ａｒｇ（ｚ）とあらわします（左回りを正の角度にします）。
また、複素数ｚの絶対値を|ｚ|とあらわします。

その複素数の掛け算については、以下の公式が成り立ちます。
ａｒｇ（ｓ）＝ａｒｇ（ｗ）＋ａｒｇ（ｚ）
|ｓ|＝|ｗ|・|ｚ|
以下で、これが、どうして成り立つかを説明します。

《例１》

上図のように、
複素数　ｗ＝１＋ｉ
に、実数３／２を掛け算すると、
複素数ｗは、実軸と成す角度が同じまま、長さ（絶対値）が３／２倍になります。

《例２》

上図のように、ｗ＝１に虚数ｚ＝ｉを掛け算すると、
掛け算の結果ｓ＝ｉになり、
数Ｗ＝１と原点０を結ぶ線が左回りに９０度回転します。

上図のように、ｗ＝ｉに虚数ｚ＝ｉを掛け算すると、
掛け算の結果ｓ＝－１になり、
数Ｗ＝ｉと原点を結ぶ線が左回りに９０度回転します。

《例３　ｗ＝１＋ｉの場合》 ｗを更に変えて考える。

上図のように、ｗ＝１＋ｉに虚数ｚ＝ｉを掛け算すると、
掛け算の結果ｓ＝－１＋ｉになり、
数Ｗ＝１＋ｉと原点を結ぶ線が左回りに９０度回転します。

《例４　ｗ＝（１＋３ｉ）／２の場合》

上図のように、ｗ＝（１＋３ｉ）／２に虚数ｚ＝ｉを掛け算すると、
掛け算の結果Ｗｉ＝S＝－（３／２）＋（１／２）ｉになり、
複素数Ｗ＝（１／２）＋（３／２）ｉと原点を結ぶ線が左回りに９０度回転します。

【重要なポイント】
　複素数Ｗが何であっても、それにｉを掛け算した複素数は、複素数Ｗよりも偏角が９０°回転する。その理由は、複素数Ｗのベクトルの実数成分も、虚数成分も、同じく９０°回転した成分に変換されるからである。

　また、複素数Wに掛け算する複素数Zがその純虚数から正の実数まで変われば、複素数Ｗに複素数Ｚを掛け算した値ＷＺは、複素数Ｗの偏角から９０°回転するものから０°の回転まで変化する。そのことから、複素数Ｗが回転する角度は、それに掛け算する複素数Ｚの偏角と等しいだろうと容易に想像できる。

【視点を変えて考える】
　虚数ｉに複素数Ｗを掛け算した複素数は、虚数ｉの偏角の90°よりも複素数Ｗの偏角だけ回転した複素数に変換されると言える。そして、実数１に複素数Ｗを掛け算した複素数は、実数１の偏角の0°よりも複素数Ｗの偏角だけ回転した複素数に変換されると言える。そのため、ある複素数Ｚの実数成分も虚数成分も、同じく複素数Ｗの偏角だけ回転した複素数に変換される。
　このことから、複素数Ｚに複素数Ｗを掛け算すると、複素数Ｚが複素数Ｗの偏角だけ回転すると言える。ゆえに、複素数Ｚに複素数Ｗを掛け算した複素数は、複素数Ｚの偏角と複素数Ｗの偏角の和の偏角を持つと言える。

《例５　ｗの値もＺの値も任意の場合》

上図を用いて、どのような複素数ＷとＺについても、
複素数ＷＺは複素数Ｗよりも、偏角が複素数Ｚの偏角θだけ大きくなり、また、その絶対値は |Z| 倍になることが証明できます。

（証明開始）
上図で、線分ＯＡの長さの実数に複素数ｚを掛け算して得た複素数の点をＣとする。

線分ＯＢの長さの虚数に複素数ｚを掛け算して得た複素数の点をＤとする。

複素数ｗは線分ＯＡの長さの実数＋線分ＯＢの長さの虚数倍を足した値です。

複素数ｗに複素数ｚを掛け算した値Ｓは、Ｃ点の複素数にＤ点の複素数を足した値になる。

そのため、複素数S=ＷＺは、ベクトルOCとベクトルODを合成したベクトルの先端位置Sに来る。すなわち複素数S＝WZを表す点は、上図の長方形ＯＤＳＣの頂点Ｓの位置に来る。

三角形ＯＣＡと三角形ＯＤＢは、Ｏとｚと１を結んだ三角形に相似な三角形です。そのため：
辺ＯＣの長さは、辺ＯＡの長さの|ｚ|倍であり、
辺ＯＤの長さも、辺ＯＢの長さの|ｚ|倍です。

長方形ＯＤＳＣは、長方形ＯＢＷＡに対して、対応する辺OC：辺ＯＡと、辺OD：辺ＯＢが同じ相似比の|ｚ|倍です。そのため両者は相似な長方形です。
また、長方形ＯＤＳＣは、長方形ＯＢＷＡをｚの偏角θだけ回転した形をしています。

その長方形ＯＤＳＣの一部のベクトルＯＳは、長方形ＯＢＷＡの一部のベクトルＯＷを、ｚの偏角θだけ回転したベクトルになります。また、ベクトルＯＳの長さは、ベクトルＯＷの|ｚ|倍のベクトルになります。


ベクトルＯＳは複素数ＷＺです。すなわち、複素数ＷＺは複素数Ｗよりも偏角がθ大きくなり、また、その絶対値は |Z| 倍になります。
（証明終わり）

このことを、数式を用いて表現すると、
ａｒｇ（ｓ）＝ａｒｇ（ｗ）＋ａｒｇ（ｚ）
|ｓ|＝|ｗ|・|ｚ|
と表現できます。

　以上の証明により、WにZを掛け算すると偏角がZの偏角θだけ増えることが証明できた。以下では、そのことがどういう事を意味するかを例６で示します。

《例６》

例えば、上図のように、ｚが（１＋ｉ）／√2の場合は、

０とｚと（１）を結んだ三角形は、頂角が４５度の二等辺三角形になります。

そして、上図のように、ｗに偏角が45°の複素数Z＝（１＋ｉ）／√2を掛け算した場合は、
０と（ｗｚ）とｗを結んだ三角形は、頂角が４５度の二等辺三角形になります。

　また、ｕにｚ＝（１＋ｉ）／√2を掛け算した場合は、
０と（ｕｚ）とｕを結んだ三角形は、頂角が４５度の二等辺三角形になります。

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（１）複素数平面

佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強
第６講　複素数平面

複素数平面は高校３年の範囲ですが、昔は高校２年で、虚数を教わると同時に、数直線が平面になって複素数があらわされると教わっていました。
　そのため、高校２年から、複素数平面を複素数を理解するための便利な道具として使う（例えば複素数の解を表す道具として使う）ようにしてください。
（複素数平面に関して出題される複雑な問題は高校２年では解かずに、そういう問題は後で、高校３年になってから解くことにして良いです。）

複素数平面とは、
横軸に実数をあらわす実軸を持ち、
縦軸に虚数をあらわす虚軸を持つ平面であり、その平面上の点で複素数をあらわす平面です。

上図のように、例えば、ｉや、（１＋ｉ）／√２などの複素数を複素数平面上の点であらわします。

この複素平面で、実軸の右側にある数”１”が、全ての数の基準です。
この複素平面に置いてあらわした数と０をあらわす座標原点との距離を、”絶対値”と呼び、以下の式のように、複素数ｚを、|ｚ|というように、||で囲んであらわします。
絶対値の例　|ｉ|＝１

この図には、虚数ｉの平方根である（１＋ｉ）／√２があらわされていますが、（１＋ｉ）／√２の絶対値は１であって、（１＋ｉ）／√２は、０を中心とする半径１の円上にあります。
しかも、（１＋ｉ）／√２の実軸と成す角度は４５度で、０と１を結ぶ線（実軸）と、０とｉを結ぶ線（虚軸）が成す角９０度のちょうど半分です。

以下の話は後で説明しますが、
複素数ｚが、０と１を結ぶ線分から、０を中心に角度θ回転した位置にあるとき、
ｕ＝ｗ・ｚ
というように、複素数ｚを他の複素数ｗに掛け算した答えの複素数ｕは、０と複素数ｗを結ぶ直線を、０を中心にして角度θ回転した直線上にあります。
０と複素数ｚを結ぶ線分が０と１を結ぶ線分と成す角度θをａｒｇ（ｚ）とあらわします（左回りを正の角度にします）。
ａｒｇ（ｕ）＝ａｒｇ（ｗ）＋ａｒｇ（ｚ）
なお、複素数ｕの絶対値は複素数ｗの絶対値と複素数ｚの絶対値を掛け算した値になります。
|ｕ|＝|ｗ|・|ｚ|

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第６講：複素数平面（４）正５角形の問題を複素数平面を用いて解く

「式と証明・複素数」の勉強

複素数平面において半径１の円に内接する正５角形を考える。


Ｘ^５－１＝０
の５つの解をＸ_０＝１と、Ｘ_１、Ｘ_２、Ｘ_３、Ｘ_４とする。


【問１】以下を証明せよ
｜（１－Ｘ_１）（１－Ｘ_２）（１－Ｘ_３）（１－Ｘ_４）｜＝５
すなわち、
ａｂａｂ＝５
を証明する。

【問２】以下を証明せよ
｜（１－Ｘ_１）｜^２＋｜（１－Ｘ_２）｜^２＋｜（１－Ｘ_３）｜^２＋｜（１－Ｘ_４）｜^２＝１０
すなわち、
ａ^２＋ｂ^２＋ｂ^２＋ａ^２＝１０
を証明する。

【問３】図の長さｓを計算せよ


この問題も自力で解くよう、努めてください。

（解答はここをクリックした先にあります。）

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３次方程式が重根を持つ条件

「微分・積分」の勉強

以下の問題は、微分の基礎知識を勉強した後で解いてください。

【難問１】三次の方程式
ｘ^３＋ａｘ＋ｂ＝０　（式１）
の根が重根を持つ場合に、パラメータａとｂの間に成り立つ関係を求めよ。
（注意：どの３次方程式も変数を変換することでこの形の式に帰着できる）

（解答の方針）
この問題は、
方程式
ｆ（ｘ）＝０　（式２）
が重根を持つ場合に以下の関係が成り立つという知識が無いと解くのがとても難しい問題ではないかと思います。

方程式２の重根の解ｘ＝αにおいて、
ｆ’（α）＝０　（式３）
が成り立つ。
すなわち、方程式２を微分した方程式の解も、その重根の解ｘ＝αと同じ解を持つ。
これは、以下のようにして証明できます。
（証明開始）
ｆ（ｘ）＝（ｘ－α）^２ｇ（ｘ）
という式であるとすると、この式を微分すると以下の式が得られる。
ｆ’（ｘ）＝２（ｘ－α）ｇ（ｘ）＋（ｘ－α）^２ｇ’（ｘ）
＝（ｘ－α）｛２ｇ（ｘ）＋（ｘ－α）ｇ’（ｘ）｝
よって、
ｆ’（α）＝０　（式３）
が成り立つ。
（証明終わり）

そのため、
ｆ（ｘ）＝ｘ^３＋ａｘ＋ｂ＝０　（式１）
の根が重根を持つ場合に、
ｆ’（ｘ）＝３ｘ^２＋ａ＝０　（式４）
の根の１つが、式１の根と等しい。
そのため、
式１と式４を連立させて、両式がともに成り立つｘの値が、式１の重根である。
この公式を知っていれば、この問題は解ける。

【問２】三次の方程式

の根が重根を持つ場合に、パラメータｃのみが未知数の場合にｃの値を求めよ。

【難問３】三次の方程式

の根が重根を持つ場合に、パラメータｋのみが未知数の場合にｋの値を求めよ。

【難問４】三次の方程式

の根が重根を持つ場合に、パラメータａのみが未知数の場合にａの値を求めよ。

【難問５】三次の方程式

の根が重根を持つ場合に、パラメータａ、ｋ、ｃの間に成り立つ関係を求めよ。

この問題の解答はここをクリックした先にある。

リンク：
三次方程式の判別式
３次方程式で１つの根がわかっている場合の残りの根
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円と放物線の接線（４）

「微分・積分」の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。

【問１】放物線
ｙ＝２－２ｘ^２　（式１）
とＸ軸で囲まれる範囲（ｘ軸より上の範囲）にある円の半径の最大値を求めよ。

（解答の方針）
この問題で求める円は、式１の放物線とＸ軸とに接する円です。
その円は放物線と同じくＹ軸に関して対称（すなわち、Ｙ軸上に中心がある）と考えられます。

その理由は、
もし、その円の中心がＹ軸上になければ、Ｙ軸に関して全図形を左右に反転すれば、円の中心位置が左右に移動します。

放物線に接する円が左右に移動してしまったら、上図のように、円は放物線に接する位置から離れて、放物線に交わったり放物線から離れてしまったりします。

そのため、Ｙに関して全図形を左右に反転しても円が放物線に左右で接する形であるためには、円の中心はＹ軸上になければなりません。

求める円の中心がＹ軸上にあると考えると問題が大分簡単になります。

次に、考えることは、円と放物線が接する条件を求めることです。
なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できるので、微分により接線の式を計算して方程式を書きます。

（解答）
（１）
放物線の式は
ｙ＝２－２ｘ^２　（式１）
であり、
Ｘ軸の式は
ｙ＝０　（式２）
である。
（２）
式１の放物線とＸ軸で囲まれる範囲にある最大の半径の円は、式１の放物線と左右で接して、円の下がＸ軸に接する円と考えられる。

全図形をＹ軸に関して左右に反転しても、その円は放物線に左右で接する形であるが、
もし、左右に反転すると円の中心が左右に移動すると考えると円が放物線から離れたり放物線に交わったりして、放物線とＸ軸で囲まれる範囲にある最大の半径の円である条件から外れてしまい矛盾する。

よって、全図形を左右に反転しても円の中心は左右に移動しない。すなわち、円の中心はＹ軸上にある。
よって、ｘ軸に接する半径ｒの円の式は以下の式であらわされる。
（ｙ－ｒ）^２＋ｘ^２＝ｒ^２　（式３）
（注意）
半径のつもりで、ｒというパラメータを導入しましたが、ｒというパラメータは、ｘ軸より上の円では正になり、ｘ軸より下の円では負になる。ｘ軸に接する円がｘ軸の上か下かどちら側にあるかをあらわすパラメータであるという意味を持っていることに注意すべき。

（３）
求める円は、式１の放物線と接する円と考えられるので、
先ずは、円と放物線が接し得る接点を全て求める。

（４）
放物線と円の接点をＡ（ａ，ｈ）とする。
式１から、
放物線　ｈ＝２－２ａ^２　　（式４）
式３から、
円　（ｈ－ｒ）^２＋ａ^２＝ｒ^２　（式５）

（５）
式１の放物線の接点（ａ，ｈ）における接線の傾きは、式１の関数をｘで微分して計算し、
ｄｙ／ｄｘ＝－４ａ
である。

式３の円の接点（ａ，ｈ）における接線の傾きｄｙ／ｄｘは：

円の法線ＡＰの傾き（ｈ－ｒ）／ａの逆数に（－１）を掛け算したものであって、
ｄｙ／ｄｘ＝－ａ／（ｈ－ｒ）　

この２つの接線の傾きが等しいので、
－４ａ＝－ａ／（ｈ－ｒ）
ａ｛－４＋（１／（ｈ－ｒ））｝＝０　（式６）
この式６（接点の座標の式）を解くと、
ａ＝０　（式７）
ｏｒ
ｈ－ｒ＝１／４
ｈ＝ｒ＋１／４　（式８）

（６）
（式７（ａ＝０）があらわす接点の座標を求める）
式７を放物線の式４に代入する。
ｈ＝２　（式９）
よって、１つの接点（ａ，ｈ）＝（０，２）が得られた。
この接点は式１があらわす放物線の頂点である。
この接点に接する円の半径ｒ＝１である。

（７）
（式８があらわす接点の座標を求める）
そのために、式８と式４と式５を連立して、接点の座標を導く。
（８） 
計算間違いを少なくするために、単純な式を早く作る。
そのために、先ず、式４と式５を整理して、ａを消去して単純な式を得る。
式４から、
ｈ－２＋２ａ^２＝０　（式４’）
式５から、
（ｈ－ｒ）^２＋ａ^２－ｒ^２＝０　（式５’）
２×式５’－式４’を計算してａを消去する。
２（ｈ－ｒ）^２－２ｒ^２－（ｈ－２）＝０
２ｈ^２－４ｈｒ－ｈ＋２＝０ （式９）
式９に代入すべき式８を変形する。
ｒ＝ｈ－（１／４）　（式８’）
式８’を式９に代入してｒを消去する。
２ｈ^２－４ｈ（ｈ－（１／４））－ｈ＋２＝０
２ｈ^２－４ｈ^２＋ｈ－ｈ＋２＝０
－２ｈ^２＋２＝０
ｈ^２－１＝０
（ｈ－１）（ｈ＋１）＝０
ｈ＝１
ｏｒ
ｈ＝－１
ｈ＝－１は、ｘ軸よりも下のｙ座標であるので、接点の座標として不適。
よって、
ｈ＝１　（式１０） 
のみが有効。
式１０を式８’に代入する。
ｒ＝１－（１／４）＝３／４
また、式１０を式４’に代入する。
１－２＋２ａ^２＝０
２ａ^２＝１
ａ^２＝１／２
ａ＝±（√２）／２　（式１１）
よって、半径ｒ＝３／４の円について、
２つの接点（ａ，ｈ）＝Ａ（√２／２，１）とＢ（－√２／２，１）が得られた。

（９）
以上で得た、円が放物線と接し得る点を全て列挙すると：
（９－１）；
放物線の頂点（０，２）が接点になるとき、円の半径ｒ＝１
である。
（９－２）；
Ａ（√２／２，１）とＢ（－√２／２，１）が接点になるとき、
円の半径ｒ＝３／４
である。
（１０）
しかし、半径ｒ＝３／４の円において既に放物線に接しているので、
（９－１）の場合の、円の半径が１になって放物線の頂点に円が接する場合には、円は、その他の点で放物線と交差していて、放物線の下には収まりきれていない。

　よって、（９－２）の場合のみが有効な解であり、放物線の下に収まりきれる最大の円の半径は、
ｒ＝３／４
である。
（解答おわり）

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接線と放物線の交点

佐藤の数学教科書「微分」編の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
（接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。）

【問１】放物線
ｙ＝　ｘ^２＋１　（式１）
上の任意の点Ｐにおける接線が、放物線
ｙ＝ｘ^２　（式２）
と交わる点をＱ，Ｒとするとき、次のことが成り立つことを示せ。
Ｐは線分ＱＲの中点である。

（解答の方針）
式１の放物線上の点Ｐ（ｐ，ｐ^２＋１）での接線の式をあらわし、
その接線点の式と式２とを連立させて、交点Ｑ，Ｒの座標を計算する式を求めれば良い。
ただし、問題の解き方も工夫する。

（解答）
式１を微分して式１のグラフの傾きを求める。
ｙ’＝　２ｘ
Ｐ（ｐ，ｐ^２＋１）での傾きｙ’は、
ｙ’＝　２ｐ　（式３）
式１の放物線上の点Ｐ（ｐ，ｐ^２＋１）での接線の式は以下の式になる。
ｙ－（ｐ^２＋１）＝ｙ’（ｘ－ｐ）
ｙ＝ｙ’（ｘ－ｐ）＋（ｐ^２＋１）
この式に式３を代入して、ｙ’を式３の右辺で置き換える。
ｙ＝２ｐ（ｘ－ｐ）＋（ｐ^２＋１）　（式４）
式４と式２を連立して、接線と式２の放物線の交点Ｑ，Ｒの座標を求める式を計算する。
ｘ^２＝２ｐ（ｘ－ｐ）＋（ｐ^２＋１）
ｘ^２－２ｐｘ＋ｐ^２－１＝０　（式５）
ここで問題の解き方を工夫する。
根と係数の関係により、交点Ｑ，Ｒのｘ座標をｑとｒとすると、式５のｘの係数との間に以下の関係が成り立つ。
２ｐ＝ｑ＋ｒ
ｐ＝（ｑ＋ｒ）／２
これは、接線上の点Ｐのｘ座標が、点ＱとＲの中点のｘ座標であることを意味する。
∴　Ｐは線分ＱＲの中点である。
（解答おわり）

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２つの放物線の共通接線

佐藤の数学教科書「微分」編の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
（接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。）

【問１】２つの放物線
ｙ＝　ｘ^２　（式１）
ｙ＝－（ｘ－２）^２　（式２）
の共通接線の方程式を求めよ。


（解答の方針）
式１の接点Ａ（ａ，ｂ）での接線の式をあらわし、
式２の接点Ｃ（ｃ，ｄ）での接線の式をあらわし、
それらの接線の式が等しいとする方程式を書いて、
その方程式を解けば良い。

ただし、その方程式を解く過程で計算間違いをすると正しい答えが出ない。
そのため、計算間違いを少なくする問題の解き方を工夫する。

（解答）
ｙ＝　ｘ^２　（式１）
ｙ＝－（ｘ－２）^２　（式２）

（１）
式１を微分して式１のグラフの傾きを求める。
ｙ’＝２ｘ　（式３）
接点Ａ（ａ，ａ^２）での式１の接線の式は
傾きｙ’＝２ａ
だから、以下の式になる。
ｙ－ａ^２＝ｙ’（ｘ－ａ） 
ｙ－ａ^２＝２ａ（ｘ－ａ）　（式４）

（２）
式２を微分して式２のグラフの傾きを求める。
ｙ’＝－２（ｘ－２）　（式５）
接点Ｃ（ｃ，－（ｃ－２）^２）での式２の接線の式は
傾きｙ’＝－２（ｃ－２）
 だから、以下の式になる。
ｙ＋（ｃ－２）^２＝ｙ’（ｘ－ｃ）
ｙ＋（ｃ－２）^２＝－２（ｃ－２）（ｘ－ｃ）
この式を、
ｃ－２＝ｅ　（式６）
とおいて、以下のように単純な式であらわす。
ｙ＋ｅ^２＝－２ｅ（ｘ－ｃ）　（式７）
このように単純な形に式をあらわすことで、計算が簡単になり、計算間違いを少なくすることができる。
式７に残っているｃもｅにおきかえる。
ｙ＋ｅ^２＝－２ｅ（ｘ－ｅ－２）　（式８）

（３）
接線の式８と４の傾きが等しい条件式を求める。
－２ｅ＝２a
ｅ＝－ａ　（式９）
（４）
式４と式８のそれ以外の項も等しくなる条件式を求める。
ｅ^２＋２ｅ（－ｅ－２）＝－ａ^２＋２ａ・ａ
－ｅ^２－４ｅ＝ａ^２
式９を代入してｅをａにおきかえる。
－ａ^２＋４ａ＝ａ^２
－２ａ^２＋４ａ＝０
ａ（ａ－２）＝０
ａ＝０　（式１０）
ｏｒ
ａ＝２　（式１１）

（５）式１０の場合：
ａ＝０　（式１０）
式１０を式４に代入。
ｙ＝０　（式１２）

（６）式１１の場合：
ａ＝２　（式１１）
式１１を式４に代入。
ｙ－４＝４（ｘ－２）
ｙ＝４ｘ－４　（式１３）

以上の結果、式１と２の放物線の共通接線の方程式は、
ｙ＝０　（式１２）
と、
ｙ＝４ｘ－４　（式１３）
である。
（解答おわり）

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３次関数の曲線の形

佐藤の数学教科書「微分」編の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
（接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。）

【覚えておくべきこと】３次関数の曲線
ｙ＝　ｘ^３＋ａｘ^２＋ｂｘ＋ｃ　（式１）
の形は、中心点Ａを中心にして点対象な形をしている。

その中心点Ａのｘ座標は、式１を微分した式、
ｙ＝　３ｘ^２＋２ａｘ＋ｂｘ　（式２）
の２次関数のグラフが左右対称になる対称軸の座標、
ｘ＝－ａ／３
である。

式１を微分した２次関数のグラフが、その対称軸の左右で対称であるので、
式１のあらわす３次関数のグラフは、中心点Ａの左右で傾きが等しい。
そのため、式１のあらわす３次関数のグラフが、中心点Ａを中心にして点対象な形になる。

　３次関数のグラフで、極大値と極小値とを持つグラフには、以下の寸法の関係があることを覚えておくと便利です。（これが成り立つことの証明は各自で行っておくこと）


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