ひし形の対角線の直交の公式

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▷ひし形の対角線の直交の第１の公式
▷ひし形の対角線のベクトル変換の公式

「ベクトルの内積の式の変形が思うようにできない」という人は、以下のベクトルの内積の公式
（この公式は、後で説明する「ひし形の対角線の直交の公式」の名前で覚えた方が覚えやすいように思います）
をおぼえて、
式の変形計算を自由にできるようになりましょう。
 

【ひし形の対角線の直交の第１の公式】
　この公式は、下図のひし形ＯＡＫＢの２つの対角線ＯＫとＡＢが互いに直交することを示す、ひし形の対角線の直交の公式です。
ひし形の対角線が直交するので、
以下の図の線分ＯＫの傾きが、線分ＡＢに平行な線分ＯＨの傾きの逆数×（－１）になります。


【公式の証明】
ベクトルＯＡの成分を実数ａ_１とａ_２とし、ベクトルＯＢの成分を実数ｂ_１とｂ_２とする。
（ＯＡ）^２－（ＯＢ）^２：

ー１／（ＯＨの傾き）＝（ＯＫの傾き）
∴　ＯＫとＯＨは直交する。
∴　ＯＫとＡＢは直交する。
「この式６の左右の項が互いに置き換えられる」
ということが、
ひし形の対角線の直交の公式です。
（ひし型の対角線の直交の公式おわり）

【ひし形の対角線の直交の公式の応用】
ひし形の対角線の直交の公式は、以下のように、ベクトルの内積の式を変換する計算に使います。

上図のベクトルに関してひし形の対角線の直交の公式は、以下の式ａ１又はａ２であらわせます。

式ａ３のように、ベクトルの内積の式が、式ａ２を使って変換できます。
また、この式ａ３を使うと、以下の式ａ４であらわす、
任意の定数ｓで成り立つベクトルの内積の変換公式が作れます。

（注意）ひし形の対角線の直交の公式は、ベクトルの絶対値が等しい場合に限り成り立ちます。この条件が成り立つ場合はあまり多くは無いので、ベクトルの内積の式を自由自在に変形するためには、この公式だけでは不十分で、その他の公式も必要です。

《ひし形の対角線のベクトル変換の公式》
　また、それらのベクトルが直交するため、以下の式が成り立つ。

この式は、ベクトルの絶対値|A|=|B|の場合に成り立つ、ベクトル変換の公式です。


【ひし形の対角線の直交の公式の応用（その２）】
ひし形の対角線の直交の公式は、
下図の様に、外接円の直径を斜辺に持つ三角形が直角三角形になる事とも結びついている。

また、この図に、ベクトルの内積の変換公式を使うと、以下の公式も導くことができます。

【ひし形の対角線の直交の公式の応用（その３）】
　以下のように、この公式を使って、以下の式２の公式が導けます。

 ここで、ベクトルＢＡとベクトルＣＡの内積を変形します。
・・（式２）
以上で、ベクトルの内積の式を変形した結果、外接円の中心の高さｍをベクトルの内積で計算する定理（式２）が得られました。

（補足）

　ここで、三角形ＡＢＣの外接円の半径をＲとすると、円周角の定理が次の式１であらわされる。
ｃｏｓＡ＝ｍ／Ｒ　（１）
（この式１は、円周角の定理から素直に導き出した式であり、ベクトル計算で導こうとするととても苦労する式です。ベクトル計算の枠外で、円周角の定理から導いたこの式１を使うことで以下のベクトル計算が楽に進みました。）
また、ベクトルの内積から以下の式が得られる。

この２つの式を、先に得た、外接円の中心の高さｍをベクトルの内積で計算する定理の式２に代入する。

これで得た式３は、正弦定理を使うことで速やかに導かれる式である。
この式３も、式１と同様に、ベクトルを変換する公式として利用することで、ベクトルの式の変形の自由度が増すと考える。

リンク：
円の極の座標の解の変換
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長さの等しいベクトルの張る２重平行四辺形の面積の公式

ベクトルＡ（ａ_１，ａ_２）とＢ（ｂ_１，ｂ_２）の張る平行四辺形の面積Ｓの公式は、
Ｓ＝ａ_１ｂ_２－ａ_２ｂ_１
で計算する公式が知られています。
　この公式は思い出すのに少し時間がかかるし、何となく使いにくい感じがして、今一つ使いにくい公式のように感じました。
　これに替わる、もっと楽に使えそうな公式がないかを考えました。 

　その結果、以下の、「長さの等しいベクトルＡとＢの張る２重平行四辺形の面積の公式」（後の式１から３）が導き出せました。
　このような公式もあることが分かったので、この公式も速やかに導き出すことができるように、以下の公式の導き出し方を覚えてしまいましょう。

上の図で、長さの等しいベクトルＡとＢの張る２重平行四辺形の面積Ｓは、以下の式で計算できる。

よって、以下の式が成り立つ。

この式が成り立つ理由は、|Ａ|＝|Ｂ|の場合にベクトルＣＤとベクトルＣＦが直交するからです。
式１および式２は、Ｓの正負が反映されている公式です。
式３は、Ｓの絶対値をあらわす公式です。

（補足）
　以上の公式は、図から求めることができた。
それらの公式のうち、式２の公式を、以下では、式を展開することで証明する。

（証明おわり）

（第２の証明）
　式３の公式は、以下の図の様に、ベクトルａとベクトルｂに垂直なベクトルｕとベクトルｗを使って証明することもできます。

これにより、以下の計算ができます。

 この結果は式３の結果をあらわしている。
（証明おわり）

（第３の証明）
この２重平行四辺形の面積の公式は、ベクトルAとBを反時計回りに９０度回転したベクトルAv（＝ｕ）とBv＝（－ｗ）を使って、以下の式であらわせます。

（証明おわり）

リンク：
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外接円の半径Ｒを頂点Ａの高さｈと辺ｂとｃから求める問題

【問】三角形の外接円の半径Ｒを、三角形の頂点Ａの高さｈと辺ｂとｃからもとめよ。

この問題の解答は、 ここをクリックした先のページにあります。
正弦定理を使わない解答はここをクリックした先にあります。

リンク：
「三角形の辺と角」（１）正弦定理
三角形の面積（二辺侠角）
三角形の面積と外接円の半径
三角形の外心
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双曲線の弦と中点の共役点通過線の直交の公式と双曲線の極の座標の解の変換

【問１】
　双曲線（ｘ^２－ｙ^２＝１）に対して、
接点ａ（ａ_１，ａ_２）から引いた接線と接点ｂ（ｂ_１，ｂ_２）から引いた接線の交点ｐ（ｐ_１，ｐ_２）を求めよ。

（参考）接点ａと接点ｂから引いた２つの接線の交点ｐを、双曲線の極線ａｂに対する極と呼びます。

【解答】
双曲線の式を、以下の式１のｆ（ｘ，ｙ）＝０であらわす。

接点ａとｂとに、以下の式２と３が成り立つ。

双曲線の接線の公式により、接点ａとｂとの２つの接線は、以下の式４と５であらわせる。

式４と５を連立させて、２つの接線の交点ｐ（ｐ_１，ｐ_２）＝（ｘ，ｙ）を求める。

（第１の解答おわり）

　この第１の解答の式（８）はこれ以上単純化できない、正しい解答です。

　この式８であらわされるベクトルPと、ベクトルｍが平行である事が以下の計算で確かめられる。
　先ず、ベクトルａとｂを反時計回りに９０度回転したベクトルａvとベクトルｂvを考える。

 （ベクトルの平行性の確認おわり）

　式８の解答が、ベクトルｍと平行である事が分かりました。
　そのため、式８の解答を、ベクトルｍと平行である事が明らかな形であらわせる、異なる形でも表現できることを示すために、
以下で、この接点の第１の解答の式（８）を、以下の、
「双曲線の弦と中点の共役点通過線の直交の公式」
を使って更に変形してみます。

----＜双曲線の弦と中点の共役点通過線の直交の公式＞--------
先ず、以下の計算をします。
式（２）－式（３）：

「この式９の左右の項が互いに置き換えられる」
ということが、
双曲線の弦と、弦の中点ｍの共役点通過線の直交の公式です。
　これは、下図のように、双曲線上の弦を通る直線とその弦の両端の中点ｍに共役な点ｍ’と原点を通る直線が直交し、両直線の傾きの積＝－１の関係にあることをあらわしています。

--------双曲線の弦と中点の共役点通過線の直交の公式おわり-----------

----＜２重平行四辺形の面積の公式＞------
　ここで、もう１つの式１０で与えられる、２重平行四辺形の面積の公式も覚えて使いましょう。（これは恒等式です）

この式１０の公式は、右辺から左辺を導く公式として覚えましょう。
この式１０の公式は、以下の図の平行四辺形の面積をあらわすベクトルの外積の間の関係です。

 --------２重平行四辺形の面積の公式（外積表現）おわり------

（９０度回転したベクトルを利用した面積の公式）
　この２重平行四辺形の面積の公式は、ベクトルAとBを反時計回りに９０度回転したベクトルAvとBvを使って、以下の式であらわせます。

（９０度回転したベクトルを利用した面積の公式おわり）

（第２の解答への変換開始）
　問１の解答の式８であらわされる原点から極Ｐまでのベクトルは、弦の中点ｍの共役点通過線の直交の公式の式９によって、原点から中点ｍまでのベクトルに平行であることがわかります。
　そのため、以上の２つの公式を使って、問１の解答の式６から式８の式を、原点から中点ｍまでのベクトルに平行な式に変換します。
先ず式６を変形する。

以上の式の変形において、公式１０を導いて使いました。

（式の変形の補足）
　以上の計算で分母を変換するために導いて使った公式１０は、以下の様に、変換される前の式をベクトルａとｂを反時計回りに９０度回転したベクトルａvとベクトルｂvを使ってあらわし、それに、それらのベクトルであらわした２重平行四辺形の面積の公式を利用して変形すると、スムーズの公式が思い出されて使い易いと思います。 

（以上で、２重平行四辺形の面積の公式を使った）

　式１１に、双曲線の弦と中点の共役点通過線の直交の公式９を代入する。

次に、式７を変形する。

この式１３に公式１０を代入する。

式１２と式１４をまとめる。

（第２の解答おわり）

（補足）
　式１５は、２つの接線の交点ｐ（極）の位置ベクトルは、点ａと点ｂの中点ｍの位置ベクトルに平行であることを示している。
また、式１５は、点ａと点ｂの中点ｍの位置が双曲線に近づけば、点ｐが中点ｍに近づくことを示している。

リンク：
複素数平面で双曲線の特徴を表現する
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円の極の座標の解の変換

以下の問題は、第１次の解を、「ひし形の対角線の直交の公式」を使って第２次の解に変換しましょう。

【問１】
　円（ｘ^２＋ｙ^２＝１）に対して、
接点Ａ（ａ_１，ａ_２）から引いた接線と接点Ｂ（ｂ_１，ｂ_２）から引いた接線の交点Ｐ（ｘ，ｙ）を求めよ。
（接点Ａから引いた接線と接点Ｂから引いた接線の交点Ｐは、円Ｏの、極線ＡＢに対する極と呼びます。）

【解答】
円の式を、以下の式１のｆ（ｘ，ｙ）＝０であらわす。

接点ＡとＢとに、以下の式２と３が成り立つ。

円の接線の公式により、接点ＡとＢとの２つの接線は、以下の式４と５であらわせる。

式４と５を連立させて、２つの接線の交点Ｐ（ｘ，ｙ）を求める。

解の式１０は、これ以上単純にできない完成した解です。
（第１の解答おわり） 

　この式１０であらわされるベクトルPと、
ベクトルM＝（ベクトルａ＋ｂ）／２
が平行である事が以下の計算で確かめられる。
　先ず、ベクトルａとｂを反時計回りに９０度回転したベクトルａvとベクトルｂvを考える。

（ベクトルの平行性の確認おわり）

解答の式１０の分子は、 
（ベクトルａv）－（ベクトルｂv）
をあらわす。それは、以下の式の通りです。

この式は、以下のひし形の対角線の直交の公式によっても、
（ベクトルａ）＋（ベクトルｂ）
に平行になる事がわかります。

 【ひし形の対角線の直交の公式】
　以下の式で与えられる「ひし形の対角線の直交の公式」を覚えて使いましょう。
式（２）－式（３）：

「この式６の左右の項が互いに置き換えられる」
ということが、
ひし形の対角線の直交の公式です。
この公式は、以下の図の線分ＯＫの傾きが線分ＯＨの傾きの逆数×（－１）である、ことを示す公式です。

----ひし形の対角線の直交の公式おわり----------- 

【２重平行四辺形の面積の公式】
　ここで、もう１つの式７で与えられる、２重平行四辺形の面積の公式も覚えて使いましょう。（これは恒等式です）

この式７の公式は、右辺から左辺を導く公式として覚えましょう。
この式７の公式は、以下の図の平行四辺形の面積をあらわすベクトルの外積の間の関係です。

----２重平行四辺形の面積の公式おわり----------- 

（９０度回転したベクトルを利用した面積の公式）
　この２重平行四辺形の面積の公式は、ベクトルAとBを反時計回りに９０度回転したベクトルAvとBvを使って、以下の式であらわせます。

（９０度回転したベクトルを利用した面積の公式おわり）

解の式１０は、これ以上単純にできない完成した解でした。
しかし、それは、（ベクトルａ）＋（ベクトルｂ）に平行なので、その式の定数倍の式でも解が表せると考えます。

以下の図の様に、この解１０をベクトルであらわすと：

 この式（１０）は、上式の様にベクトルＯＫの２倍をＯＫの長さの二乗で割り算した形の式に変換できることがわかります。
　図形とベクトルを使って解を表現すると、この様に解を求める見通しが良くなるので、方程式の解を得たら、その解を可能な限り図形とベクトルを使って表現してまとめるよう心がけましょう。

　この様に解が変換できることが分かったので、次に、この交点Ｐの式１０の解を、２重平行四辺形の面積の公式（７）とひし形の対角線の直交の公式（６）を使って変換することを試みましょう。

式８に、式７（の逆）を代入して変形する。

この式１１に、公式６を代入する。

次に、式９に、式７（の逆）を代入して変形する。

この式１３に公式６を代入する。

式１２と式１４をまとめる。

（第２の解答おわり）

（補足１）
　ここで、第２の解答で式１５の形の解を求めましたが、
第１の解答で得た式１０の形の解と、式１５の形の解とは、どちらが優れている（単純な）解であると言うことが出来ない対等な解です。
　問１を解く解答者の意思に従って、問１の解は、式１０にも、また、式１５にもなります。
 
　全く対等な解が、式１０の形と式１５の形との２つの形であらわせます。その２つの解の間の変換は、ひし形の対角線の直交の公式を用いて行なえます。

（補足２）
　式１５は、２つの接線の交点Ｐの位置ベクトルＯＰは、点Ａと点Ｂの中点Ｍの位置ベクトルＯＭに平行であることを示している。
また、式１５は、点Ａと点Ｂの中点Ｍの位置が円のグラフに近づけば、点Ｐが中点Ｍに近づくことを示している。

（補足３）
　式１０で交点Ｐ（ｘ，ｙ）の座標値が計算された時点で、線分ＯＰの傾きは、線分ＯＨの傾きの逆数×（－１）になっているので、ひし形の対角線の直交の公式（式６）によって、線分ＯＫの傾き（＝線分ＯＭの傾き）に等しいことがわかります。

リンク：
ベクトルで円の二接線の交点（極）を求める（解の変換）
複素数平面が、円の２つの接線の交点問題を簡単にする
高校数学の目次