二項定理に関連する公式

二項定理は、例えば：
（ｘ＋１）^５
を展開した各項の係数が以下の式であらわされるという定理です。

ｘ＝１とおけば、上の式１のように、２^５が組合わせの数_ｎＣ_ｒの和であらわされます。
上のように式１が得られたので、この式１を覚えろと言われます。

しかし、数学のセンスのある学生ならば、ここで、何となくうさんくさく感じて、素直にはこの式１を覚える気にはならないと思います。
（そのうさんくささを感じる嗅覚が数学的センスです）
この公式がうさんくさいので、先ずは、具体的な場合を調べて、本当に式１が成り立つのかを具体的に調べます。

何と！全部成り立っているではないですか。

しかし、それでも納得いかないので、この式１が別の方法で証明できるならばこの式１を覚えても良いと考え、別の証明方法が無いか調べてみます。
（その調査をすることが数学を勉強するということだと考えます）

そのために、組合せの数_ｎＣ_ｒの式の定義を使ってこの式１を証明する方法を探してみます。
先ず、 組合せの数_ｎＣ_ｒの式の変形可能性を調べます。

上のように、組合せの数_ｎＣ_ｒには、式２の関係があることを確認できました。
（この式２は覚えておきましょう）
この式２を使って、もう少し調べてみます。

この式３も成り立つことが分かりました。
この式３を使うことで、組合せの数_ｎＣ_ｒを、そのパラメータｎをどんどん減らした式に変換でき、下の図の関係があります。
（便利なので、この式３を覚えましょう）
〘形を変えた以下の公式を思い出して式３を導くこと〙

下図では、各行の各項_ｎＣ_ｒが、式３に従って、その下の行の２つの項の和であらわされます。

上の図で、下方の行の各項が上方の行で２回使われています。そのため、上方の行の値は下方の行の値の２倍です。
それゆえ、式１が成り立ちます。
（式１の証明おわり）

こうしたやり方で、
「納得した後で初めて式１を覚えることにする。」
という勉強方法は間違っていないと私は考えます

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二項定理

二項定理は、例えば：
（ｘ＋１）^６
を展開した各項の係数が以下の式であらわされるという定理です。

ｘ^２の係数は、（ｘ＋１）の６つの項の積において掛け合わされる数の組み合わせが２^６個あるうちの、ｘを２つ選ぶ組合せの数＝６＊５／（２＊１）になります。

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当ブログは共謀罪法案の提出に反対します

共謀罪法案が閣議決定されようとしています。
当ブログは共謀罪法案の提出に反対します。

共謀罪法案は、内心を罰する法案であり、
科学の批判精神に敵対するものだからです。

当ブログは、日本の学生の数学の学力向上をめざして、
数学教育に努めてきましたが、

共謀罪の成立によって、
当ブログがこれまで行なってきた科学教育の努力が
全て無駄になってしまいます。

そのため、当ブログは、共謀罪法案の提出に反対します。
 

ベクトルを分解する道を視線でたどって式を書く

・ベクトルを分解する道を視線でたどって式を書く。
以下のようにベクトルＡＥを分解する道ＡＯＥを視線でたどります。

ベクトルAE＝点Aから点Eまで行く道
です。

ベクトルＡＥを、以下の式のように、実数の未知数ｔを使ってベクトルａとベクトルｃであらわす。

ベクトルAEの紐の真ん中を点Oまで引っ張って紐AOEにして、真ん中の点Oで紐を切って紐AOと紐OEに分ける。
そして、紐AOの方向を逆にしたベクトルOAにして、マイナスを付けて①にする。
①は、視線がベクトルａを逆向きにたどったのでマイナスを付けると考えても良い。
②は、順向きなので”＋”のまま。

　ベクトルＡＥのＡからの道ＡＯの向きがベクトルａと逆方向に進むことを確認してベクトルａにはマイナスを付けてベクトルＡＥの展開式を書くようにします。
　こうすることで、思い込みによりベクトルａの符号をプラスにして式を書いてしまうミスを防げます。

また、以下の式を変形する公式については：

無理して公式を覚えるよりは、以下の様に視線で考えて（体で使う技を覚えて）計算する様にしましょう。

紐OAの向きを逆の紐AOにしてマイナスを無くし、
紐AOと紐OＥを共通の点Oでつないだ紐AOEにして、
紐AOE＝ベクトルＡＥにする。
（以上が、体の技として覚える公式）

また、以下の式で表されたベクトルＡＤの終端の点Ｄが線分ＢＣ上にある事は、以下の様に視線で考えて（体で使う技を覚えて）計算する様にしましょう。

 この式は、以下の様に、視線と手を使って（紙に書いて）考える。

（以上が、体の技として覚える公式）

《点Ｄが直線ＢＣ上にある公式の証明》
　念のために、以下で、上図の公式を証明しておきます。
　先ず、上図で点Ｄが直線ＢＣ上にあるとき、以下の式が成り立つ。

このとき、１－ｋをｂとおくと、以下の公式が成り立っている。

（公式の証明おわり）

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ユークリッドの互除法で最大公約多項式を求める

（２つの多項式の最大公約多項式を求める問題）

　次数の大きい方の多項式 ｆ を、次数の小さい方の多項式 ｇ で割り算して余りの多項式ｈ（多項式ｇより次数の小さい多項式）を求め、その余りの多項式ｈで次数の小さい方の多項式 ｇ を割り算する。
こうして余りの多項式を求めることで、少しづつ式の次数を小さくしていき、最後に式が割り切れて余りが０になった場合に、
式を割り切ることができた余りの多項式（次数が一番小さい）が、最大公約多項式です。

　この手順で最大公約多項式を求める方法を、ユークリッドの互除法と呼びます。

【例題１】
以下の多項式 ｆ と ｇ の最大公約多項式を求めよ。

【解答】

 この場合は、多項式 ｆ が、多項式 ｇ で割り切れましたので、多項式 ｇ が最大公約多項式です。
（解答おわり）

（補足１）
　多項式ｆと多項式ｇを足し合わせる計算をするのは、多項式ｆ＝０と多項式ｇ＝０の連立方程式の解を計算する処理と等価です。
すなわち：
ｆ(x)＝０，
ｇ(x)＝０，
の解は、共通因数の積の式の解です。
共通因数の積の式は最大公約多項式です。

（補足２）
　ユークリッドの互除法で、多項式を多項式で割り算していくと、最終的な余りが定数になります。
（１）その余り定数が０の場合は、その０を余りにするように、多項式を割り切った式が、最大公約多項式です。
（２）その余り定数が０で無い場合は、最大公約多項式は存在しない。あえて言えば、最大公約多項式は「定数」である。

【例題２】
以下の多項式 ｆ と ｇ の最大公約多項式を求めよ。

【解答】

多項式 ｆ を、多項式 ｇ で割り算して余りの式＝２ｈを得ました。
次に、 多項式 ｇ を、多項式 ｈ で割り算します。

この場合は、多項式 ｇ が、多項式 ｈ で割り切れましたので、多項式 ｈ が多項式 ｆ と多項式 ｇ の最大公約多項式です。
（解答おわり）

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双対曲線を求める問題

【問】

上の式１があらわす曲線の双対曲線を求めよ。

（コメント）この問題は大学の数学科に入学した学生用の問題です。そのため、この問題は、医学部をめざす受験生も、無視してください。

【双対曲線とは】
　双対曲線とは、以下に説明する曲線です。
正式な定義は、以下の通りです。
（双対曲線の定義）

上記のように、射影空間における、（Ｚ，Ｘ，Ｙ）の（連比の）点の集合
Ｆ（Ｚ，Ｘ，Ｙ）＝０　　（２）
で曲線を定義する。
その曲線上の点毎に、関数Ｆの偏微分係数（の連比）

を求める。
その偏微分係数の連比であらわした、射影空間上の点の集合が双対曲線である。

この双対曲線は、以下の曲線であると言い換えることができる。

（双対曲線の定義の言い換え）
曲線１の点（ｘ，ｙ）に以下の直線８（接線）が接すると：

この接線の係数（Ｕ_０，Ｕ_１，Ｕ_２）は、
この接線８を、
Ｆ（Ｚ，Ｘ，Ｙ）＝Ｕ_０Ｚ＋Ｕ_１Ｘ＋Ｕ_２Ｙ＝０
という形であらわした時の、
関数Ｆの偏微分係数

に等しい。
その（Ｕ_０，Ｕ_１，Ｕ_２）ベクトルの要素の連比を、射影空間（無限遠直線を加えた空間）の点とする。
その点の集合を双対曲線と呼ぶ。
もっと具体的には、その点の集合をあらわす曲線の式：
Ｐ（Ｕ_０，Ｕ_１，Ｕ_２）＝０
を双対曲線の式と呼ぶ。

射影空間から無限遠直線を除外した空間を考えると、 
u_x＝Ｕ_１／Ｕ_０，
u_y＝Ｕ_２／Ｕ_０，
であらわした、ベクトル（u_x，u_y）の集合をあらわす
曲線
Ｐ（１，ｕ_ｘ，ｕ_ｙ） ≡ ｐ（ｕ_x，ｕ_y）＝０
が、無限遠直線を除外した空間における双対曲線です。
（無限遠直線を除外しても、なお、複素数座標で双対曲線を考える）

【解答１】
　式１のような２次曲線に限って通用する、以下の方法で双対曲線を計算することができる。

　先ず、式１を射影空間の座標であらわした式２に変換する。

 上の式３のように、式２を対称行列Ｔを使ってあらわす。
式３の行列Ｔの各要素は以下の通りである。

式３であらわした曲線に接する接線の係数Ｕは以下の式５で計算できる。

式５から式６が得られる。
この式６を式３に代入すると係数Ｕのベクトルがあらわす曲線（双対曲線）７が計算できる。

ここで使っている行列Ｔの逆行列は、以下のようにして計算できる。

こうして、双対曲線７’（又は７’’）が得られた。
（解答おわり）

【解答２】
　２次曲線にしか使えない方法はつまらないので、３次以上の曲線の双対曲線の計算にも使える以下の方法で双対曲線を計算する。

 この曲線１に点（ｘ，ｙ）で接する直線を、以下の式８であらわす。

 この式１に式８を代入してｙを消去する。

 式８が式１に接するので、式８を式１に代入して得た式９では、接点のｘ座標が重根になっているハズである。その重根をｇｘとすると、
（ｘ－ｇｘ） の２乗の式が式９の左辺にある。
その２乗の式を微分しても、なお、（ｘ－ｇｘ）が消えずに左辺に残る。
そのため、式９を微分した式１１も、（ｘ－ｇｘ）を左辺に持つのでその重根ｇｘを根の１つに持つ。

式９と式１１が共通する根ｇｘを持つので、
式９の係数と式１１の係数で作るシルベスターの行列式が０になる。
それを計算することで、ベクトルＵの要素の関係をあらわす式（双対曲線の式）が計算できる。

先ず、ｆをあらわすｘの多項式１２を計算し、それを微分してｆ’をあらわす多項式１３を計算する。

 この式１２と式１３の係数を使ったシルベスターの行列式を計算する。

 これで、求める双対曲線１６が計算できた。
（解答おわり）

【解答３】
解答２でシルベスターの行列式を使ったが、
その解答の本質は、与えられた曲線１に接する直線８の係数を求めることにあります。
その解答の本質を見るため、シルベスターの行列式の助けを借りずに、以下の様にしてこの問題を解きます。

 この曲線１に点（ｘ，ｙ）で接する直線を、以下の式８であらわす。

 この式１に式８を代入してｙを消去する。

 式８が式１に接するので、式８を式１に代入して得た式９では、接点のｘ座標が重根になっているハズである。その重根をｇｘとすると、
（ｘ－ｇｘ） の２乗の式が式９の左辺にある。
その２乗の式を微分しても、なお、（ｘ－ｇｘ）が消えずに左辺に残る。
そのため、式９を微分した式１１も、（ｘ－ｇｘ）を左辺に持つのでその重根ｇｘを根の１つに持つ。

式９と式１１が共通する根ｇｘを持つので、式９と式１１を、ユークリッドの互除法を用いて加減乗除することで、その共通する根ｇｘを解に持つ最大公約多項式（それはｘの一次式になるだろう）を計算する。

先ず、ｆをあらわすｘの多項式１２を計算し、それを微分してｆ’をあらわす多項式１３を計算する。

この式１２と式１３の最大公約多項式（ｘの１次式になるだろう）を、ユークリッドの互除法で、以下の様に計算する。

ここで得た式１７と、先に得ていた式１３とは、
ともに１次式であるが、 
共通する根ｇｘを持つ。
そのため、式１７と式１３は係数だけ違う同じ式である。
それゆえ、以下の式１８が成り立つ。

以上の計算のように、式１８を変形することで、再び式１６が得られた。
（解答おわり）

（コメント１）
　数学の専門家は、ミルナー数μ等を駆使して双対曲線を計算するらしい。しかし、それをどのようにして行なうかは、私は勉強不足のため、分からない。

（コメント２）
　式２の代数曲線
Ｆ＝０
のＦを各Ｘ_ｉ（ｉ＝０～３）で微分した値Ｕ_ｉが全て０になる点が「特異点」と呼ばれていて、注目すべき重要な点です。
すなわち、（Ｘ_０，Ｘ_１，Ｘ_２）が（０，０，０）以外の点で
０＝Ｕ_０＝Ｕ_１＝Ｕ_２　　　　（１７）
となる点が特異点で、それは、双対曲線の原点となっているので分かり易いです。
式５で、行列Ｔを使って値Ｕ_ｉが計算できます。
Ｕ_０＝－２Ｘ_０，
Ｕ_１＝２Ｘ_１，
Ｕ_２＝２Ｘ_２／９
ですので、
その値Ｕ_ｉが全て０になる点は、
０＝Ｘ_０＝Ｘ_１＝Ｘ_２　　　　（１８）
となる点です。これは（０，０，０）なので特異点ではありません。
特異点が有るか無いかを含め、特異点を詳しく調べることで代数曲線の特徴が分かるようです。

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実数に関する問題

【問】
「任意の実数xに対して、

を成り立たせる整数 p,qが存在する」 
なる条件を満たす実数yをすべて求めよ。

【解答】
　実数ｘに関しては、以下の式２を満足する整数ｐとｑが存在する。

（ディリクレの原理）
更に、この式２の右辺をもっと小さくした以下の式３を満足するｐとｑが存在することも分かっている。

この式３は、参考文献：「無理数の話」ジュリアン・ハヴィル著：松浦俊輔訳（青土社）の２１７ページにある。

　この問の趣旨は、この文献を探し当てるまで実数論を勉強し、更にこの文献を発見したら、この文献を読了することではないかと考えます。それこそが、この問に対する真の解答だと考えます。

この式３を満足する限界を与える以下の式４を式１に代入する。

その結果、以下の式が得られる。

そのため、
任意の実数ｘに関して式１を満足する実数ｙは、
その実数ｘ毎に、 式３を満足する整数ｐ，ｑの組を求めた後に、そのうちの整数ｑによって以下の式６であらわされる式である。

　一方、ｙ＝０に固定して、あらゆる実数ｘについてｐとｑを選んで式１を満足させるということはできない。
　その理由は、整数ｐ、ｑを使ってｐ／ｑとあらわすことができるのは有理数だけであり、実数の中の無理数は、有理数では無く、無理数と有理数の差の二乗は０にはならないからである。
（解答おわり）

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