対数関数の微分の公式

　高校２年の微分の授業で、対数関数の微分を教えていない。
　対数関数の微分は、高校３年の理系学生に、数Ⅲの「微分法」でようやく教えているようです。
　しかし、ある関数の微分を教えない微分の授業というのは、微分の本質を教えていない。数学教育の崩壊に近いのではないかと考えます。

【対数関数の微分の公式】
　以下で、対数関数の微分の公式を証明します。（以下の式で対数関数の底はネイピア数eにして、底が何であるかをを書かないのが慣習になっています。）

ここで ｅ はネイピア数と呼ばれる重要な数です。

【証明開始】
　以下で、対数関数の微分を計算する。

（証明おわり）
　こうして、対数関数の微分の公式が導き出せ、
また、ネイピア数 ｅ が無理無く導入できた。

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微分方程式をラプラス変換で解く

【問１】
以下の微分方程式を解け。

【解答】
ラプラス変換を利用して以下の様に計算して解く。

式３から６を使って式１をラプラス変換する。

この式は、以下の形の式に分解できる。

この式８を逆ラプラス変換する。

（解答おわり）

（補足）
　ラプラス変換は、 ｔ 座標であらわした関数 ｆ と ｓ 座標であらわした関数 F の間の写像変換と考えることができる。
　その写像は、 ｔ 座標であらわした式の１つの項に、写像先の ｓ 座標であらわした１つの項が対応する。
　式の写像は項単位で行なう。写像の単位の項を写像し易いように、写像する式は単純な形の式の項の和に分割してから写像変換する。
　特に、 ｔ 座標の関数 ｆ の微分演算が、 ｓ 座標では、ｓ を関数 F に掛け算した項ともう１つの項の和に変換される特徴がある。
　写像変換した後で、ｓ 座標での ｓ の加減乗除で関数 F を計算する。その関数 F の式を ｔ 座標であらわした関数 ｆ に逆写像する。
　そうすることで、ｔ 座標での微分方程式の解 ｆ を解くことができる。

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指数関数の微分

　高校２年の微分の授業で、指数関数の微分を教えていない。
　指数関数の微分は、高校３年の理系学生に、数Ⅲの「微分法」でようやく教えているようです。
　しかし、ある関数の微分を教えない微分の授業というのは、微分の本質を教えていない。数学教育の崩壊に近いのではないかと考えます。

　以下で、指数関数の微分を簡単に説明します。
指数関数のうち一番重要なネイピア数 ｅ の指数関数の微分の式１を説明します。

【式１の証明の試み１】
ネイピア数 ｅ は以下の式２で定義されます。

この式２を使って、ネイピア数 ｅ の指数関数が以下の式３で定義できます。

この式３を微分して以下の式が得られます。

（証明おわり？）

【上の証明の数学的批判】
　上の証明では、ネイピア数 ｅ のｘ乗を、大きな数ｍを使った極限であらわした式に対して微分の公式を適用して答えを計算しています。
　しかし、そもそも「微分」とは、無限に小さい微小量に関して、関数の変化率を求める計算のことです。無限に小さい微小量を使う以前にネイピア数 ｅ の値が確定している必要があります。そのため、微分で使う無限に小さい微小量よりも、ネイピア数 ｅ の値を定義する微小量＝（１／ｍ）の方がもっと小さい微小量でなければなりません。
　（１／ｍ）にくらべれば、微分に使う微小量の方がきめが粗いのです。そのため、（１／ｍ）における極限を求めるよりも先に微分の公式を使うのは、数学的におかしい計算です。

【式１の証明】
　 （１／ｍ）にくらべれば、微分に使う微小量Δｘの方がきめが粗いということが分かったので、その、きめが粗い微小量Δｘを使った微分の定義の式を使って、ｍ乗の式を展開した以下の式を計算する。

この式は、ｍが十分大きいと以下の式に変形できる。

 このように、先にｍの極限の計算をしてから、次にΔｘの極限の計算をした。
すなわち、きめの細かい（１／ｍ）の極限を先に計算して、次に、Δｘの極限の計算をしたので、この計算ならば問題ない。
（証明おわり）

（補足１）
　上の計算のように、 きめの細かい（１／ｍ）と、きめの粗いΔｘを混在させた式を書くと、Δｘの値が十分小さければ、それが（１／ｍ）よりも大きくても、Δｘの二乗以上の項を省略することができることが顕わにわかる。
　その計算は、結果的に、ｍの極限を計算する前に微分の公式を適用したのと同じになりますが、その計算をしても良いことを顕わにして計算するので、その順に計算しても正しく論理性が保たれた証明ができます。

（補足２）
　この様に、ネイピア数 ｅ の指数関数が、ｍ乗の式３で定義されているので、そのｍ乗の式をΔｘのｋ乗（ｋ＝０～ｍ）の項の和から成る多項式に展開することができ、それにより、微分の値を計算することができた。
　ネイピア数 ｅ 以外の数を底にした指数関数も、式３と同様のｍ乗の式であらわすことで、その指数関数の微分を計算することができる。
　全ての指数関数のうち、ネイピア数 ｅ の指数関数が、最も単純な形の式３であらわすことができる。そのため、ネイピア数 ｅ の指数関数が最も基本的な指数関数である。

（補足３）
　ネイピア数ｅは、以下の様にして指数関数を微分する公式を求めようと努力する中で、以下の様に定義することができる。

この式４の指数関数を微分しようとしても、直ぐには微分の計算方法がわからない。

であることを考慮して、
この式４を以下の多項式５に展開する。そうすると微分の計算ができるようになる。

先ず、以下の式６で定義する簡単な形の指数関数を考える。

この式６を、以下の様に展開する。

こうして、式５の形に展開した式８が得られた。
この式を各項毎に微分して式９を得る。

この式９により、式６で定義したネイピア数の指数関数は、微分しても同じ指数関数に戻ることがわかった。

（補足４）
　ネイピア数は、指数関数の微分よりも先に対数関数の微分を考えることで、以下のように無理無く導入できる。

こうして、対数関数の微分の公式が無理なく導き出せた。

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指数関数で一番大切なネイピア数ｅ

　高校２年で、指数関数において最も大切なネイピア数 ｅ を教えていない。
　ネイピア数 ｅ は、高校３年の理系学生に、数Ⅲの「微分法」でようやく教えているようです。
　しかし、指数関数を教える時に一番大切なことを教えないということは、数学教育の崩壊に近いのではないかと考えます。

　高校２年生が勉強するのにも適切な、関数と微分積分の参考書「やさしく学べる微分積分」（石村園子）の２８ページ、３４ページ、５４ページにネイピア数（ネピアの数）の知識が書かれています。 

　以下で、ネイピア数を簡単に紹介します。
ネイピア数 ｅ は、以下の式１のｎを無限に大きくした極限で得られる数です。
ｅ＝「船人、ヤツは一発梯子（ふなびと、やつはいっぱつはしご）」

　このネイピア数 ｅ を底にした式２であらわす指数関数は、最も大切な指数関数です。
　この指数関数には、以下の微分の関係が成り立ちます。
そして、この指数関数は、以下の式３であらわすマクローリン展開という無限級数であらわすことができます。

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マクローリン展開とオイラーの公式

　高校２年生が勉強するのにも適切な、関数と微分積分の参考書「やさしく学べる微分積分」（石村園子）の７０ページにマクローリン展開の知識が書かれています。

以下でオイラーの公式を導きます。
先ず、ネイピア数ｅを底にした指数関数 ｅ^ｘ をマクローリン展開します。

ここで、指数関数の虚数乗を以下の式２で定義します。

ｃｏｓ（ｘ）をマクローリン展開します。

ｓｉｎ（ｘ）をマクローリン展開します。

式３と式４を使って以下の式を作ります。

この式５は、オイラーの公式と呼ばれています。

（関連する話題）
　オイラーの公式によって、以下の問題が解決されました。
対数関数　ｌｏｇ（ｘ）を、ｘが負の場合にも対数関数を定義したい希望がありました。
ｌｏｇ（－１）＝ａ
とすると、
２a＝２ｌｏｇ（－１）＝ｌｏｇ（（－１）^２）＝ ｌｏｇ（１）＝０
∴　a＝０　？
という矛盾を生じました。
この矛盾は、以下のように解決できます。
ｌｏｇ（－１）＝（２ｎ＋１）πｉ
ａ＝（２ｎ＋１）πｉ
であって、
２ａ＝２（２ｎ＋１）πｉ＝２ｍπｉ
なので、
２ｌｏｇ（－１）＝２（２ｎ＋１）πｉ
になったのです。
この
２（２ｎ＋１）πｉ 
は２分の１にしても、
（２ｎ＋１）πｉ 
になるだけで、０や２ｍπｉ にはならないです。
また、 ｌｏｇ（１）についても、
ｌｏｇ（１）＝０＋２ｍπｉ
となり、その答えは０だけでは無い、
ということがわかります。

（対数関数とtanθの逆関数の関係）
オイラーの公式を使うと、 
対数関数とtanθの逆関数が、
以下の様に近い関係にある事が分かります。


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微分とマクローリン展開

　高校２年生が勉強するのにも適切な、関数と微分積分の参考書「やさしく学べる微分積分」（石村園子）の７０ページにマクローリン展開の知識が書かれています。

（マクローリン展開の説明開始）
　以下の微分の式が成り立ちます。
（１次式）

（２次式）

（３次式）

（４次式）

（５次式）

そのため、以下の式１が成り立つ。

この式１をマクローリン展開と呼ぶ。

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