三角関数の単純化パターンの公式

以下の式のような複数の角度の三角関数の多項式１がある場合：

以下の式のように、１つの角度の三角関数の式２に変換する「三角関数の単純化パターンの公式」が成り立ちます。

　この公式は、三角関数の難問の問題を解きながら、得られた式をより答えに近づけるには、どういう形に式を変形すれば良いか、という式の変形技術を探究する中で見出した、式の変換すべき形です。

三角関数の値が分かっている角度Ｃを使う。

 （公式おわり）

この三角関数の単純化パターンの公式を適用する例を以下に示す。

【問１】 

上の三角関数の式１を単純化せよ。

【解１】
　以下の計算で式１を式２に単純化する。

（解答おわり）

【解２】
　以下の計算でも、式１を式２に単純化できる。

（解答おわり）

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複素数平面の問題を図形で解く（２）

【問題】
　下図のように半径１の円に内接する三角形ＡＢＣがある。この場合に、点Ａから辺ＢＣに下ろした垂線の足の点をＤとし、点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの複素数平面での位置の値をＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄとすると、以下の式１の関係が成り立つことを示せ。

【ベストな解答】
(1)式１は、三角形ＣＡＥと三角形ＤＡＢが相似であるという関係を示している。
(2)円周角の定理より、∠ＣＥＡ＝∠ＣＢＡ
(3)２つの頂角が等しいので、△ＣＡＥ∽△ＤＡＢ
(4)よって、式１が成り立つ。

【解答（その２）】
　式１を図形的に証明しないで複素数で計算しようとすると、以下のように苦労します。
　あまり推薦できませんが、複素数の計算による解答を以下に書きます。

（１）先ず、この図のままだと、複素数の計算が難しいので、この図形を以下の図に回転させて、それから計算する。
（この形に整えることが解答のポイントです）

式１は、式２の形に書き換えることができる。
（２）この式２を以下のように変形していく。 

この式３は確かに成り立っている。
（３）そのため、この式３から始めて、上の式２に至るまで、順番に式を変形して式２を導き出すことで、この問題の解答とする。
（解答おわり）

（補足）
　この問題を複素数の計算問題として解く場合に、上の図のように整えた配置に図形を回転させてから問題を解く必要があります。そうしないと、解くことが困難になるからです。
　そういう図形の操作もしなければ解けないことから考えると、この問題は、複素数の計算をするよりは、図形の証明問題として解く方が優れた解答であると考えます。

　複素数平面の問題は、なるべく図形で解くべし。

（補足２）
　式１は、以下の式４に変形できます。

(1)式１を、三角形ＣＡＥと三角形ＤＡＢが相似であることから導き出して、
(2)その式を式４に変形して使う。
これを覚えておくと何かの計算に役立ちそうです。 

三角形ABCの外心をGとして、
下図の様に、三角形ABCを平行移動して点Aを複素数平面の原点にすると、この式４は以下の式５で表せます。

ただし、複素数平面での各点の位置を表す複素数を、それぞれ、Ｃ，Ｂ，Ｇ，Ｄとする。
この式は、点Ａから辺ＢＣまで引いた垂線ＡＤのベクトルを複素数であらわす式であるとも解釈できます。
上図の様に点Ａを原点にした場合の垂線ＡＤのベクトルを表す公式は、以下の式６ですが、

外心の複素数を使うと式５から導いた単純な式で垂線の式が表せる。
また、外心の複素数の式も、垂線の複素数を使った以下の単純な式で表せます。

リンク：
ベクトルの難問の強力な解答手段
複素数計算の公式を覚える
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ベクトルの難問Ｂ２を複素数平面で解く問題（２／２）

【問２】 

上の三角形において、図の角度の条件が成り立つＰ点の位置座標を求めよ。
ただし、点Ａ，Ｂ，Ｏの位置座標を、Ａ（０，２）と、Ｂ （√３，０）と、Ｏ（０，０）とする。

（解答方針）
この問題を複素数平面を利用して解いてください。

この問題の解答はここをクリックした先のページにあります。

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ベクトルの難問Ｂ１を複素数平面で解く問題（１／２）

【問１】 

上の三角形において、図の角度の条件が成り立つＰ点の位置座標を求めよ。
ただし、点Ａ，Ｂ，Ｏの位置座標を、Ａ（０，√３）と、Ｂ （１，０）と、Ｏ（０，０）とする。

（解答方針）
この問題を複素数平面を利用して解いてください。

この問題の解答はここをクリックした先のページにあります。

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２重平行四辺形の面積の公式

ベクトルＡ（ａ_１，ａ_２）とＢ（ｂ_１，ｂ_２）の張る平行四辺形の面積Ｓの公式は、
Ｓ＝ａ_１ｂ_２－ａ_２ｂ_１
で計算する公式が知られています。

　この平行四辺形に外接する図のような平行四辺形ＣＤＥFの面積は、ベクトルＡとＢの張る平行四辺形の面積の２倍です。
（２重平行四辺形の面積の公式）

この公式は上図から明らかですが、
以下で、この公式を、ベクトルの計算からも導き出してみます。

（２重平行四辺形の面積の公式の導出）
先ず、ベクトルＡ，Ｂを反時計回りに９０度回転したベクトルＡ_ｖ，Ｂ_ｖを考えます。

そして、ベクトルＡとＢの張る平行四辺形の面積ＳをベクトルＡとＢの外積であらわして、それをこれらのベクトルを使って内積であらわします。

ベクトルＣＤとＣＦとそれらのベクトルを反時計回りに９０度回転させたベクトルを以下の式であらわします。

次に、ベクトルＣＤとＣＦが張る平行四辺形の面積を以下の式で計算します。

ベクトルＣＤとＣＦが張る平行四辺形の面積が、ベクトルＡとＢが張る平行四辺形の面積の２倍である、以下の公式が得られました。 

（公式の導出おわり）

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ベクトルの切替の公式

以下の式のように大きさが等しいベクトルＡとＢがある場合：

以下の式のように、ベクトルの内積を切り替える「ベクトルの切替の公式」が成り立ちます。

 （公式おわり）

このベクトルの切替の公式を適用する例を以下に示す。
【問１】 

上の三角形において、上のベクトルの内積の式が成り立つことを証明せよ。

【解答】
　先ず、ベクトルｂとｃを、外心から引いたベクトルＡとＢとＣであらわす。

この式を、大きさＲが等しいベクトルＡとＢとＣの内積であらわし、式を変換する。

ここでベクトル（Ｂ＋Ｃ）は、上図の辺ＢＣに垂直であり、長さが２ｍである。
（証明おわり）

（補足１）
この式の変形は、ひし形の対角線の直交の公式を使って以下の様に計算する事もできる。
ひし形の対角線の直交の公式で以下の式が成り立つ。

この公式を使って以下の様に式を変形できる。

ここでベクトル（Ｂ＋Ｃ）は、上図の辺ＢＣに垂直であり、長さが２ｍである。
（証明おわり）

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外接円の中心の高さｍを三角形の２辺と高さから求める

【問１】 

三角形の外接円の半径Ｒに関するこの式が成り立つことを証明せよ。
【解答】

上の式のように正弦定理を使ってｈを計算した。
（証明おわり）

円周角の定理のみでの証明は、ここをクリックした先にある。

また、この関係から、三角形の高さｈが分かっている場合に、外接円の中心の高さｍが以下の式で計算できる。

（補足）
　上の式は、以下の式に変形できます。

この式に類似した以下の式が成り立つことは直ぐわかりますよね。

ただし、ａ＝線分ＢＣです。

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余弦定理に類似した頂点から垂心までの長さの式
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２次元ベクトルの合成の公式と分解の公式と２つのベクトルの大きさの積の三平方の定理

【ベクトルの合成の公式】
直交するベクトルａとａ_vに関して、任意のベクトルｚに対して、以下のベクトルの合成の公式が成り立ちます。


【課題】
ベクトルｚと、単位ベクトルａとｂと、それらを反時計回りに９０度回転した単位ベクトルａ_ｖと単位ベクトルｂ_ｖを考える。

ベクトルｚは、以下の、ベクトルの分解の公式によって、単位ベクトルａとｂであらわせる。

このベクトルの分解の公式を導き出すことを課題として、その解の中で、ベクトルの合成の公式を使う。

（補足１）
ベクトルａを反時計回りに９０度回転した単位ベクトルａ_ｖ＝ｆを、
更に反時計回りに９０度回転した単位ベクトルｆ_ｖは－ａになる。
そのため、ベクトルの内積ａ_ｖ・ｂを、
両ベクトルを一緒に反時計回りに９０度回転して内積した値は同じ値になるが、
その関係は、以下の式であらわされる。
ａ_ｖ・ｂ＝－ａ・ｂ_ｖ
 
（解答１）
　ここで、ベクトルｚを、互いに垂直なベクトルの要素に分解することは容易にできるので、以下でその作業を行う。
以下の式でベクトルａとｂであらわされる単位ベクトルｓと、それに垂直な単位ベクトルｔを考える。 

 この単位ベクトルｓとｔでベクトルｚを分解する。

ここで、単位ベクトルｓとｔの各要素は以下の式で与えられる。

式４の中のベクトルの要素をこの式５から８で置き換える。

この式にベクトルの合成の公式を適用する。

こうして得られた式は、当初の公式とはちがうが、この式のベクトルａとｂをベクトルａ_ｖとｂ_ｖに互いに入れ替えた式も成り立つ。

 よって、最初に記載したベクトルの分解の公式が得られた。
（解答１おわり）


（補足２）
　ここで、直交するベクトルｓとｔを単位ベクトルａ_ｖと単位ベクトルｂ_ｖであらわし、それらのベクトルでベクトルｚを分解して計算すれば、最初に記載したベクトルの分解の公式が直接に求められる。

（１）ベクトルａとｂであらわした単位ベクトルｓとｔで分解した式から求められる式が、
ベクトルｚとベクトルａの積の項とベクトルｚとベクトルｂの積の項に分けられ、ベクトルの合成の公式によってベクトルｓとベクトルｔの項が別のベクトルに集約する結果、
ベクトルａ_ｖとベクトルｂ_ｖであらわしたベクトルの分解の公式になり、
（２）ベクトルａ_ｖとベクトルｂ_ｖであらわした単位ベクトルｓとｔで分解した式から求められる式が、
ベクトルｚとベクトルａ_ｖの積の項とベクトルｚとベクトルｂ_ｖの積の項に分けられ、ベクトルの合成の公式によってベクトルｓとベクトルｔの項が別のベクトルに集約する結果、
ベクトルａとｂであらわしたベクトルの分解の公式になった。

（解答２）
　回答１で定義した単位ベクトルｓとｔで、回答１と同様にベクトルｚを分解し、次に、ベクトルａの項とベクトルｂの項に分ける。

式９の中のベクトルの要素を式５から８で置き換える。

この式の中のベクトルｓとｔの式にベクトルの合成の公式を適用して１つのベクトルｚの式に統合する。

よって、最初に記載したベクトルの分解の公式が得られた。
（解答２おわり）

【図形で説明】
ベクトルの分解の公式は、以下の図であらわせる。

この図での三角形OZBの面積の三角形OAB面積の比の大きさのベクトルOA成分を計算している。ベクトルOBを水平線として考える。それらの三角形の面積の比は、その水平線上の点Zの高さと点Aの高さの比である。

（補足３）
　ベクトルｚをベクトルａと、それに垂直なベクトルａ_ｖに分解する式は、以下の式（Ｋ３）になる。
なお、式（K4)の形で、三平方の定理があらわせる。

《２つのベクトルの大きさの積の三平方の定理》
　この式Ｋ４は、以下の式Ｋ５の形の、２つのベクトルの大きさの積の三平方の定理として覚えた方が良いかもしれない。

（補足４）
　この解答２の計算は、以下の計算をする場合には特に注意する必要がある。
（１）互いに直交する単位ベクトルｓとｔを以下の式で作る。

 （２）この単位ベクトルｓとｔでベクトルｚを分解する。

この式１０は以下の式１１に変換できるが、この計算では、ベクトルの要素が所属するベクトルに関する情報が失われている式であるので、次の式１１への変換を発想することが難しい。

式１０を式１１に変換できたら、以下の計算を進めることができる。

この式の中のベクトルｓとｔの式にベクトルの合成の公式を適用して１つのベクトルｚの式に統合する。

これにより最初に記載したベクトルの分解の公式が得られた。
（補足４おわり）

【連立方程式の解】
ベクトルの分解の公式を利用して連立方程式の解を求めることができる。

（解答はじめ）
この連立方程式は、以下の式で表すことができる。

式３では、ベクトル（ｘ，ｙ）とベクトルａとの内積の値が与えられ、式４では、ベクトルｂとの内積の値が与えられる。
ベクトルの分解の公式（２つ）：

のうちの公式Ｋ１に、式３と式４を代入すると、

この式５が連立方程式の解である。
（解答おわり）

（解答の式５の補足）
　この解答の式５は、以下の様に表現することもできる。

（解答の補足おわり）
　なお、式５を無理に覚えようとしないで、覚え易い式１１から１３だけを覚えるだけで十分ではないかと思います。
式１１から式１３の関係は以下の図であらわせます。

リンク：
２元連立方程式をベクトルの内積を使って解釈する
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