ペル方程式で解ける不定方程式

【問】（高校生の難問）

以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。

（コメント）この問題は、ペル方程式で解けます。
大学入試問題に出題されることもあるようですが、
高校生には難問ですので、理系難関大学や医学部を受験しようとしている高校３年生以外は、この問題をやらなくても良いと思います。
該当する高校生であっても、参考に見ておくだけで十分と思います。

【解１】

解のいくつかを求める。

もう１つの解を計算する。

この場合はｘ，ｙは自然数解を持たない。
もう１つの解を計算する。

これは自然数解を持つ。 

次に、１つの解を得た場合に他の解を求める漸化式を作る。
作成する漸化式は、以下の式を満たす漸化式にします。

１つの解ｕが得られた場合に他の解Ｕを与える漸化式８を、行列Ｍを使った式で定義します。
式３を扱い易くするために、式３の係数を以下の行列の要素ａで定義します。

以下のようにして、行列Ｍの要素の満たす式を求める。

この式の左右の項の行列を計算する。

この式を満たす行列は以下の式で与えられる。ｃとｄは選択の自由度を与える未知数である。

この式を満足するｃとｄの整数解を１つ、以下の様に求め、それを使って、行列Ｍを定める。

これで、１つの漸化式の行列Ｍが得られた。
ペル方程式の場合は、この漸化式だけで全ての解を計算できることが分かっている。
　すなわち、ペル方程式では、ｃ＋ｄ√３の値を最小にする自然数解（ｃ，ｄ）＝（２，１）を使って上の漸化式を作れば、その漸化式で作った解が全ての自然数解をあらわす。

（漸化式の他の導出方法）
　以下のようにこの漸化式を導出する方が簡単なようです。

　この漸化式を使って、解を順次に計算できるが、以下では、その計算を先回りして解をあらわす式を求める。

この式を変形して、係数ｚとｍとを使った以下の形の式に変形する。

この式を解いてｚとｍを定める。

ｚとｍが２組あることで以下の式が成り立つことを利用して解を計算する。

以下のようにｋ番目の解を計算する。

（注意）この解のｘ，ｙには、整数解以外の解が混在しているので、
解を選別して整数解だけを抽出する必要がある。 

（（Ｕ_１，ｋ ，Ｕ_２，ｋ）の式を導き出す簡単な計算方法）
　以下の様にすると簡単に計算できます。
（漸化式の他の導出方法）の計算を続けて、以下の計算をします。

（注意）この解のｘ，ｙには、整数解以外の解が混在しているので、
解を選別して整数解だけを抽出する必要がある。
（解答おわり）

【解２】 
　解２では、解１によって計算するｘ，ｙの解には整数解以外の解が混在していたのを改善する。

 この式Ｂ１を式２に代入する。

 ここで、ｕ_１とｕ_２には正負の何れかであるかが決まっていない自由度がある。
６ｙ＋１＝１（ｍｏｄ３）であるので、ｕ_１＝１（ｍｏｄ３）であるｕ_１＝か、－ｕ_１＝１（ｍｏｄ３）である－ｕ_１を６ｙ＋１に等しいと計算する。
（後の計算で、 常に正のｕ_１＝１（ｍｏｄ３）であることが分かる）

この式から、以下の漸化式が得られる。

この漸化式に従うと、 
順次に計算する正のｕ_１は常に、ｕ_１＝１（ｍｏｄ３）となることが分かる。
そのためｙの整数解は、Ｂ３’のみで計算しなければならない。
一方でｘの整数解は、正負のｕ_２を使って、いずれの計算でも整数解が得られる。

この漸化式を使って、（ｘ，ｙ）の整数解をいくつか求めてみる。

 これらの計算において、計算した（ｘ，ｙ）は全て整数解になったので、整数解以外の解の混在を無くすことができたと考えられる。

　次に、漸化式の計算を繰り返す手順を飛び越えて、一般解をあらわす式を求める。

この一般解の式のｘ，ｙには、整数解以外の解が混在していないと考える。

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不定方程式の難問

【難問】以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。

（コメント）この問題は、ペル方程式で解くこともできない。
とても難問です。

【解答】（途中までの速報）

すなわち、この式が成り立つには、ｎが５の倍数５ｐである必要がある。

１つの解は見つけた。

この問題は、海外のインターネットで議論されていて、
それ以外の解も求められている。
（ｘ，ｙ）＝（１５４１，－１８２２）
も解であり、
それ以外にも解がありますが、
解の個数は有限のようです。

そのインターネットのサイトには、
簡単な構造の漸化式により、
１つの解から、他の解が得られると書いてありました。
ただし、そのサイトの漸化式は間違っていましたので、
正しい漸化式を計算して記録に残すことにします。

とりあえず、１つの解を得た場合に他の解を求める漸化式を作ってみます。

 この式の解の漸化式を１つ作ります。
この式と整数解を求めるｘ，ｙとの関係を以下に整理しておきます。

作成する漸化式は、以下の式を満たす漸化式にします。

 １つの解ｕが得られた場合に他の解Ｕを与える漸化式を、行列Ｍを使った式１１で定義します。
式５’を扱い易くするために、その係数を以下の行列の要素ａで定義します。

 この式に、先の式１１を代入して、以下のようにして、行列Ｍの要素の満たす式を求める。

この式の左右の項の行列を計算する。

この式を満たす行列は以下の式で与えられる。ｃとｄは選択の自由度を与える未知数である。

この式を満足するｃとｄの整数解を１つ、以下の様に求め、それを使って、行列Ｍを定める。

 これで、１つの漸化式の行列Ｍが得られた。
この漸化式を使って、以下のように問題を解析し、この漸化式の有効性を調べる。
先に求めた解
（ｓ，ｔ）＝（１６，５）
に、この漸化式を適用する。

上のように、この漸化式を使って（ｓ、ｔ）＝（ｕ_１，ｕ_２）の解を順次に計算したが、その解の（ｕ_１，ｕ_２）の組に対する（ｘ，ｙ）が整数になる解が直ぐにはみつからなかった。

次に、以下の（ｓ、ｔ）＝（ｕ_１，ｕ_２）の組を求めて、この漸化式を適用して他の解を得て（ｘ，ｙ）の整数解を探した。

以上のように１つの整数解（ｘ，ｙ）の組（１５４１，－１８２２）がみつかった。

更に、以下の（ｓ、ｔ）＝（ｕ_１，ｕ_２）の組を求めて、この漸化式を適用して他の解を得て（ｘ，ｙ）の整数解を探した。

以上のように１つの整数解（ｘ，ｙ）の組（－４０１１９，－６４３１２）がみつかった。

　以上の計算の結果、この漸化式は、解を探すのにある程度役に立った。

先のサイトに書いてあった解を見ると、以上の探索により得た解は、小さな値の解を漏らさず探索できていた。
そのため、この漸化式は結構役にたっていることがわかった。

　以上でいくつかの解が得られた。
　次に、全ての解を網羅する漸化式があるのかどうか、以上の解を使って調べてみる。
（解答途中）

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２重条件の条件付き確率

【問題】（難問）
　イベント１で、赤コイン１つと白コイン１つが入っている袋から１つのコインを机の上に取り出しコインの色とコインの面が表か裏かを記録してコインを袋に戻す。そしてイベント２で再度、同じことを繰り返してコインの色とコインの面が表か裏かを記録した。
　その２回のイベントで少なくとも１回は、白コインでコインの面が表であるコインが記録された。
　こうなる条件のもとで、この２回のイベントの２回とも、袋から取り出したコインが白コインであった条件付き確率を求めよ。

解答は、ここをクリックした先のページにあります。

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条件付き確率の入試問題９

【問題】 　５回に１回の割合で帽子を忘れるくせのあるK君が、正月にＡ，Ｂ，Ｃ３軒を順に年始まわりをして家に帰ったとき、帽子を忘れてきたことに気がついた。２番目の家Ｂに忘れてきた確率を求めよ。
(1976年　早稲田大）

解答は、ここをクリックした先のページにあります。

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条件付き確率の問題文の意味

以下の例題１から４を参考にして、「条件付き確率」の意味を説明する。

【例題１】
　２枚のコインを投げて裏が出ているコインが有ると判ったとき、両方のコインが裏である確率はいくらか？

【解答】
 下図の縦線は、○印で交差する横線の樹形図の枝を束ねた部分的枝をあらわします。

　この基本樹形図を使うことで、 
コインが２つとも裏である条件付き確率は、１／３である。
（解答おわり）

【例題２】
　２枚のコインを投げて、１つのコインＡに裏が出ていると判ったとき、両方のコインが裏である確率はいくらか？

【解答】
下図の縦線は、○印で交差する横線の樹形図の枝を束ねた部分的枝をあらわします。

　この基本樹形図を使うことで、 
コインが２つとも裏である確率は、１／２である。
（解答おわり）

【例題３】
　２枚のコインを投げて、１つのコインＢに裏が出ていると判ったとき、両方のコインが裏である確率はいくらか？

【解答】
下図の縦線は、○印で交差する横線の樹形図の枝を束ねた部分的枝をあらわします。

 問題の解き方の視点を変えたこの基本樹形図を使っても、 
コインが２つとも裏である確率は、１／２である。
（解答おわり）

（疑問１）
　コインＡが裏である場合のコインＢが裏の確率が１／２であり、コインＢが裏である場合のコインＡが裏の確率が１／２であるのに、なぜ、コインＡかコインＢのいずれかが裏である場合の、それ以外のコインが裏である確率が、それらと異なる値の１／３になるのか？
（理由）
　コインＡかコインＢのいずれかが裏である場合には、コインＡが裏である場合とコインＢが裏である事象が独立に有るわけでは無い。
　コインＡが裏である事象とコインＢが裏である事象は同時に生じることができる。
　そのため、コインＡが裏である事象とコインＢが裏である事象を合わせて、コインＡかコインＢのいずれかが裏である事象を構成するとき、事象同士が干渉して確率の値を変えるという現象が起きたと考える。

【例題４】
　２枚のコインを投げて、１つのコインに裏が出ていると判ったとき、両方のコインが裏である確率はいくらか？
（問題のあいまいさ）
　この例題４は、
(1)１つのコインを調べて、表であるか裏であるかを確認したら、裏が出ていると判った。このとき両方のコインが裏である確率はいくらか？
という意味の問題であると解釈したら、
例題２か例題３の問題であるので、
答えは１／２である。

　しかし、この例題４を、
(2)コインＡとコインＢを両方とも調べた結果、いずれか１つのコインに裏が出ていると判った。このとき両方のコインが裏である確率はいくらか？
という意味の問題であると解釈したら、
例題１の問題であるので、
答えは１／３である。

　また、例題４を、
(3)「２枚のコインを投げて、両方のコインをしらべたら、いずれか１つのコインのみに裏が出ていて他のコインには裏が出てない（表だった）ことが判ったとき、両方のコインが裏である確率はいくらか？」
という意味の問題であると解釈したら、
それは、両方のコインの片方は裏では無い場合だけを考えている問題であるので、
答え：両方のコインが裏になる確率は０である。

　例題４のように、どうにでも解釈できる意味不明な問題（愚問）もあり得るので、 問題文を良く読んで、愚門は解かないように注意しましょう。
(補足)
　例題４を以下の文に書き直したら、
「２枚のコインを投げて、いずれか１つのコインのみを調べたら、そのコインに裏が出ていると判ったとき、両方のコインが裏である確率はいくらか？」
という文にすれば、
例題２又は３の問題であることが明確になる。

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樹形図の基本ルール

以下の例題１と２を参考にして、樹形図の基本ルールを説明する。
《基本ルール》
(1)樹形図を横断する枝の総和（太さ）は常に一定。
(2)発生確率が同じ事象の樹形図の枝の太さは同じ。
(3)樹形図は、根元から枝先まで一定の太さの糸を根元側で束ねた、糸の集合でもある。１本の「糸」は、事象の連鎖の１つの場合を表す。
　その１本の糸は根元事象とも呼ばれる。
（場合の数における全体の事柄が全事象と対応し、事柄が事象に対応し、一つ一つの場合が根元事象に対応するという、対応関係がある。）

(4)樹形図の根から展開した複数の枝を書き、その先で、複数の枝をいったん節に束ねて糸の束を再編成して再度複数の枝（個々の枝は複数の糸の束で作る）に展開することもできる。
　この基本ルールに従って樹形図の糸を自由に束ねた以下の様な樹形図を作ることもできる。

　このように、樹形図の最小構成要素の糸の形を、根から展開し、節に収束させ、再び節から展開する、波状の形を持たせることもできる。 
　それにより、独立なイベント毎に、樹形図を節から複数の事象の枝に展開して、再び節に収束した上で次の独立なイベントの複数の事象の枝に展開する。
　例えば数回サイコロを振るといった複数のイベントを貫く樹形図の糸を考える。その糸を、１回目のサイコロの目という事象が同じであるが、２回目のサイコロの目は異なるという複数の糸を１回目のサイコロの目の事象を表す枝に束ねることができる。

　また、以下の図の様に網目状の節を持つ樹形図を書くこともできる。

　以下でこの基本ルールに従って樹形図を書いて問題を解く例を説明する。

【例題１】
　２枚の硬貨を同時に投げる時２枚とも表が出る確率は二分の一の2乗で４分の1ですが、表と裏が一枚ずつでる確率は２をかけて二分の一にするのはなぜか。

【解答】
　下図の樹形図が書けます。

　表、裏が一枚ずつでる確率は、樹形図の糸が２本あるので２を掛けます。
　表が２枚でる確率は、樹形図の糸が１本しかないので２は掛けません。
（解答おわり）

【例題２】
　箱の中には，両面表のコイン，両面裏のコインそして普通のコインの計３枚が入っ ている。
ここからコインを１枚取り出してフリップしたら表が出た。
このコインが両面表の コインである確率はいくらか？

【解答】

　この基本樹形図を使うことで、 
コインが両面表コインである条件付き確率は、２／３である。
（解答おわり）

【例題３】
　箱の中には，表表示コイン，裏表示コインそして普通のコインの計３枚が入っ ている。
ここからコインを１枚取り出す。
(1）そのコインが普通のコインの場合はフリップして出た面を観察する。
(2)そのコインが表表示コインの場合は表面を表示して置く。
(3)そのコインが裏表示コインの場合は裏面を表示して置く。
(4)こうしてコインの面を観察したら”表”であった。
このコインが表表示 コインである確率はいくらか？

【解答】

　この基本樹形図において：
　表表示コインが選ばれる確率は通常コインが選ばれる確率と同じなので、通常コインが選ばれる枝の太さ２ｓと、表表示コインが選ばれる枝の太さ２ｓが同じである。
　通常コインは、太さ２ｓの枝が「表面」が開く太さ１ｓの枝と、「裏面」が開く太さ１ｓの枝に分岐するが、表表示コインが選ばれた場合は、事象を分岐させるイベントを何も行なわないので、その枝の太さは２ｓのままである。
　この樹形図を使って計算する。コインが表表示コインである条件付き確率は、２／３である。
（解答おわり）

（補足）
　樹形図は、同じ確率で生じる事象に分離させると枝が分割されて各々の枝が細くなる。しかし、特にイベントが無ければ枝は太いままである。
　 この例題１と例題２は同じ問題であると言える。例題１でも例題２と同じように、両面表のコインをフリップしないでも問題の結論は変わらない。

【例題４】
１つのさいころを投げ続けて、同じ目が２回連続して出たら終了するものとする。
４回目以内（４回目も含む）に終了する確率を求めよ。

【解答用に作る樹形図】
（ここでは、この問題を解くための樹形図を作って終わりにします）
以下の樹形図を作ります。

樹形図の枝の太さは、その枝の事象の確率を表します。

《樹形図の編集の自由さ》
　上の図の樹形図は、事象を、「（前回と）同じ目」と「（前回と）違う目」という概念で分けた樹形図です。
こういう樹形図が作れる理由は、
樹形図は、最細の糸という基本単位の糸を束ねて構成されていることに起因します。
　「糸」の１つは、樹形図の根元から枝までひとつながりである糸です。その糸は、出る目の数で示した数字の連鎖（３３５５）であらわすことができます。
　１つの樹形図の例として上図のように、各糸を束ねて、 樹形図の左から右に、（３の目・同じ目・違う目・同じ目）といった枝を構成するように束ねた樹形図が作れます。
　この様に、事象の連鎖を表す「糸」を自由に再編成することで種々の樹形図を書くことができます。
　この糸を再編成して束ねて作る樹形図は、樹形図の根元から枝先までの枝の順を、さいころの目が出る順に対応させねばならないという制約もありません。例えば、（１番目の目・４番目の目・３番目の目・２番目の目）という枝順の樹形図も作ることができます。

【樹形図を編集する例１】
　赤玉５個、白玉３個ある袋から一つの玉を取り出し、その玉を戻さずに２回目に他の玉を引く問題の場合。
この問題の樹形図は、少なくとも以下の２つの樹形図１と樹形図２に編集できる。
《樹形図１》

《樹形図２》

（これらの樹形図では、事象の連鎖の糸の総数は、８×７＝５６本あり、１本の糸の太さは、１ｓです）
（１）樹形図１は１回目の試行の結果の事象と２回目の試行の結果の事象との、試行の順に分岐させた樹形図です。
（２）樹形図２は、２回目の試行の結果の事象と１回目の試行の結果の事象との、最後の試行から最初の試行の順に分岐させた樹形図です。樹形図２のような樹形図に編集しても良いのです。
　この２つの図の樹形図は、その枝を構成する事象の連鎖の糸の束が下図の樹形図３のように再構成されている。
《樹形図３》


《樹形図４》
　樹形図１は、確率を枝の太さであらわした以下の樹形図４の形で表現しても良い。

幹と枝の確率を、①②③④⑤の順に求めていくことができる。

【袋から玉を同時に２個取り出す問題】
袋から玉を順番に２個取り出す問題で、取り出す順番に関係付けられていない結果の確率を求める問題は、「コンビネーションを用いて良い定理」によって、袋から玉を同時に２個取り出す問題と等価な問題になる。袋から玉を同時に２個取り出す問題の樹形図は、以下のように考えて作れる。すなわち、同時に取り出した２個の玉が何であったかを順に確認する、第１に確認する玉と、第２に確認する玉と、の確認結果の事象を使ってあらわした以下の樹形図５が書ける。
《樹形図５》

第１の玉と第２の玉の区別は、袋から取り出した２つの玉が何であったかを確認する順番、すなわち、玉を見る順番である。
　その第１の玉と第２の玉は、玉を順番に取り出す問題での先後に取り出した玉に対応付けることができる。その逆に、第１の玉を後に取り出した玉に対応付け、第２の玉を先に取り出した玉に対応付けることもできる。そのため、先に取り出した玉と後に取り出した玉は、互いに対等である。先後が対等であるので、先の２つの樹形図１と樹形図２（玉を取り出す順番を入れ替えた樹形図）が同じ形になった。
　また、樹形図の事象の連鎖の糸の束で構成する枝を再構成した樹形図３について考察する。樹形図３で、左側から見た樹形図の形と右側から見た樹形図の形に変わりが無い。すなわち、先に取り出した玉と後で取り出される玉の関係は、その先後の順を逆に置き換えても変わらない。先後の玉の間には、両方の玉に対等な関係である、互いの玉が異なるという関係だけがある。
　これらのことから、「袋からの玉の取り出し問題において、玉の取り出し順を変えて問題を変更しても、問題の答えが変わらない定理」 が成り立つ。

【樹形図を編集する例２】
　赤玉３個、白玉３個、黒玉３個ある袋から、同時に３つの玉を取り出す問題の場合。
この問題の樹形図は、同時に取り出した３つの玉が何であるかを確認する１つ目の玉と、２つ目に確認する玉と、３つ目に確認する玉が、それぞれ何であるかを表す事象の連鎖の糸を考える。その玉の確認順を並び替えたあらゆる確認のバラエティの数３！＝６つの事象の連鎖の糸を束ね、その束の太さを１ｓとする。
そして、全ての事象の連鎖を、赤ｍ個、白ｎ個、黒ｔ個という形で表した玉の色分けの事象の連鎖の枝に分類する。すなわち、その玉の色分けの事象の連鎖の枝毎に区別して事象の連鎖の糸を編集した以下の樹形図を作成する。


《事象AとBの確率》
　事象Aが起こってから事象Bが起こる確率(P(A∩B)とする)とBが起こってからAが起こる確率(P(B∩A)とする)は必ず一致するか？
すなわちP(A∩B)＝P(B∩A),
がいつも成り立つか？

これが成り立たない場合がある。
以下に、その事例を示す。

事例：
袋に赤玉２つと白玉１つがある。
（第１回目の施行）
　袋から１つ玉を取り出し、その玉が赤の場合を事象Aとする。事象Aで無い場合は、玉が白の場合である。
赤玉を取り出した場合に、袋の玉の数を維持するために、袋に白玉を足す。
白玉を取り出した場合に、袋の玉の数を維持するために、袋に赤玉を足す。
（第２回目の施行）
　袋から１つ玉を取り出し、その玉が白の場合を事象Bとする。事象Bで無い場合は、玉が赤の場合である。
赤玉を取り出した場合に、袋の玉の数を維持するために、袋に白玉を足す。
白玉を取り出した場合に、袋の玉の数を維持するために、袋に赤玉を足す。

この事象Aと事象Bをあらわす樹形図を以下に示す。

この場合には、
P(第１回目が赤(事象A)∩第２回目が白(事象B))＝
＝P(第１回目が白(Aで無い)∩第２回目が赤(Bで無い)),
が成り立たない。

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樹形図の基本ルール（その２）
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条件付き確率の入試問題１０

【問題】
　奇数の目の面が青色で、偶数の目の面が赤色であるさいころが２個ある。
この２個のさいころを同時に投げたとき、
出た目の数の和が９以上であるという条件のもとで出た目の面が同じ色である確率を求めよ。
(2004年　東京電機大)

解答は、ここをクリックした先のページにあります。

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