最短経路の数の問題

【問１】
以下の図のＡ点からＢ点まで図の格子上を縦横に進んで行く最短の経路の数を求めよ。

【問２】
　以下の図のＡ点からＢ点まで図の格子上を縦横に進んで行く最短の経路の数を求めよ。


【問３】
　 赤玉４個、白玉３個、青玉１個がある。この中から４個を取って作る組み合わせの総数を求めよ。

この問題の解答はここをクリックした先のページにあります。

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アポロニウスの円の証明

【問１】

線分ＯＮのＯ点とＮ点からの距離の比がつねに１：ｎ である下の図の点Ａ，Ｂ，Ｃは、線分ＯＢの長さｂが何であっても同一円（アポロニウスの円）の円周上にあることを証明せよ。

（コメント）アポロニウスの円の証明を教わらないでアポロニウスの円を覚えるというのは数学のセンスを持つ学生には耐えられないことだと思います。

　そのため、高校１年でも、アポロニウスの円も証明してからおぼえましょう。

この問題の解答はここをクリックした先のページに書きました。

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確率の問題の難問

【問１】
Ａ、Ｂ二人がコインを３枚ずつ持ち、じゃんけんして勝ったら相手からコイン一枚もらえ、先にどちらかのコインが無くなったらゲーム終了。
（ただし、あいこは回数には含まない。）
このとき、ちょうど９回で勝負が決まる確率を求めよ。

先ずは、この問題を地道に確実に解く方法を覚えましょう。

地道な解き方による解答をここをクリックした先に書きました。 

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三角形の垂心の座標の証明

【問１】 

 上の三角形ＡＢＣの外接円の中心Ｏ（外心）を原点にした座標系において、垂心Ｈの座標が、以下の式であらわされることを証明せよ。

この問題の解答はここをクリックした先のページにあります。

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三角形をとらえる想像の翼

以下のようにすることで三角形をとらえる想像力を広げることができるようになります。
三角形の重心の性質を考えるときは、
先ず、正三角形を考えます。
その正三角形で成り立つ特徴を見つけます。

例えば、正三角形の重心Ｏについては、ＢＯ：ＯＨ＝２：１です。

次に、その形をゆがめて、
それでも変わらない特徴を見つけるようにします。

ＢＯ：ＯＨは、 
Ａ点を左右に動かしても変わらず、
Ａ点を上下に動かしても変わりません。
そのため、
ＢＯ：ＯＨは、
全ての三角形で同じ比です。

このようにすれば、想像の翼を広げて三角形の多くの特徴をとらえることができるようになります。

《重要な注意》
　高校で「ベクトルの内積」を学ぶと、三角形の多くの定理が簡単に導き出せるようになります。ベクトルの内積の計算が三角形の性質の究極の導出方法になります。ベクトルの内積を学ぶと、三角形の多くの定理を暗記する必要が無くなります。

　ベクトルは、高校数学のかなめ石となっていますので、早めに学ぶ事をお勧めします。
　ベクトルにより、とても覚えにくかった三角形の余弦定理も覚え易くなります。
　ベクトルを学びましょう。

やさしい高校数学《数Ⅱ・Ｂ》
の９章「ベクトル」
が、やさしくベクトルを学べるので良いと思います。

「やさしい高校数学」でベクトルを学ぶことを助言するサイト：
「【期末対策】「ベクトル」を１週間でマスターしよう！玉名高校2年生必見！」
https://www.takeda.tv/tamana/blog/post-207400/
「まず使うのはこちらの参考書です。
《やさしい高校数学 〈数Ⅱ・Ｂ〉 - はじめての人も学び直しの人もイチからわかる》

　ベクトルという分野は、全くゼロの状態から教科書を読み進めて問題を解いても、多分ちんぷんかんぷんだと思います。

　でも安心してください。それが普通です。そういう分野です。

　そんな方はまずこの参考書から始めましょう。こちらは解説・説明が非常に丁寧で、ベクトルの概念が分かりやすく解説されています。

　イメージとしては、分かりやすい先生の授業がそのまま参考書になったようなもので、ところどころ数学が苦手な生徒からの質問やツッコミが入ります。

まずはこれを読み進めましょう。

　ベクトルはこの参考書の9章で全部で32個のテーマ（約130ページ）に分かれています。

　なので、1日8テーマずつ読み進めてみてください。そうすれば4日ですべて読み終わる計算になります。」

　以上のように助言されていますが、
種々の定理を覚えるための「ベクトルの内積の計算」までを理解するためには、
そのうちの３５ページを読むだけで足りる。
７３７ページから７７２ページまで読めば良い。（１日で読めると思います）。

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正弦定理の確実な思い出し方

以下の図を書けば、正弦定理を確実に思い出すことができると思います。

　上図の円と直角二等辺三角形を思い浮かべ、上の正弦定理の式を連想して思い出すようにしましょう。
　以下のシンボルマークを計算用紙の片隅に書いて、連想して正弦定理を思い出しましょう。

（蛇足）
なお、蛇足ですが、正弦定理に類似した、外心の高さｍに関する以下の定理も覚えておくと、後で便利に使えると思います。

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余弦定理の確実な思い出し方

以下の様にすれば、余弦定理を確実に思い出すことができると思います。

　上図の直角三角形を思い浮かべ、上の余弦定理の式を連想して思い出すようにしましょう。
　直角三角形の２辺の二乗の差は、「三角形の辺の二乗の引き算の公式」により、下図の様に、関係する三角形の２辺の二乗の差と同じになることを、以下の式を連想して素早く証明できるようになりましょう。

（余弦定理の導出おわり）

（別の導出方法）
「三角形の辺の二乗の引き算の公式」の以下の式１を使う。

（余弦定理導出おわり）

【三角形の辺の二乗の引き算の公式から余弦定理を思い出す】
 （三角形の辺の二乗の引き算の公式は覚え易い）
　三角形の辺の二乗の引き算の公式は、以下の図の正方形①②③を心が思い描いて心が公式を導き出すので、覚え易い（導き出し易い）です。

【三角形の辺の二乗の引き算の公式】

 （以上が、三角形の辺の二乗の引き算の公式）

　上の式の三角形の辺の二乗の引き算の公式を思い出して、次に、その公式を変形して余弦定理を速やかに導き出したら良いと考えます。

（以上が、余弦定理）

　また、三角形の辺の二乗の引き算の公式を覚えて使うと余弦定理が楽に導けるので、余弦定理を使って解くべき問題は、三角形の辺の二乗の引き算の公式を使えば解けるのではないかと考えられます。
　実際、余弦定理を使って解いている問題は、ことごとく、三角形の辺の二乗に引き算の公式を使って解けます。三角形の辺の二乗の引き算の公式には、三角形の２辺の１辺への射影の長さの関係を表わす、射影の基本的特徴を利用できるようにする特徴があります。その特徴が、余弦定理と共通する、射影を利用して問題を解き易くする特徴だと考えています。（射影を利用するこの特徴は、ベクトルの内積の計算とも共通した特徴です。）
　むしろ、三角形の辺の二乗の引き算の公式の方が余弦定理よりも、問題を解くために使い易い公式だと思う。
　そのため、三角形の辺の二乗の引き算の公式を覚えていれば、余弦定理を覚えていなくても、問題を解くのに支障がありません。そういう意味で、三角形の辺の二乗の引き算の公式を覚えていれば、余弦定理を覚え無いでも良い事がわかりました。
　そもそも、三角形の辺の二乗の引き算の公式をあらわす式と、余弦定理をあらわす式は、式の１つの変形だけで結び付いている等価な式です。両者は、式を変形して形を変えただけの同じ式だと言って良いと思います。

　余弦定理を思い出す毎に、以下のように、「２項の積の二乗の差への変換」の公式を使って、三角形の辺の二乗の引き算の公式に変換できる事を確認することで、思い出した記憶に間違いが無い事を確認してください。

（結論）
　余弦定理も、余弦定理を使って導き出すその他の定理も、等しく、三角形の辺の二乗の引き算の公式を使って導き出すようにしましょう。

リンク：
ベクトルによる三角形の余弦定理のやさしい覚え方
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余弦定理に類似した中線の式と方べきの定理

【問１】 

 上の三角形において、上の式が成り立つことを証明せよ。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。この問題を自力で解いた後で解答を見てください。解答以外にも、この問題に関連する大切な注意のポイントを書きましたので。

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トレミーの定理の証明

【問１】 

上の図で、
ＡＢ・ＣＤ＝ＢＥ・ＡＣ
を証明せよ。

【問２】
上の図で、
ＡＢ・ＣＤ＋ＡＤ・ＢＣ＝ＢＤ・ＡＣ
（トレミーの定理）
を証明せよ。

問１の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

問２の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

「トレミーの定理の証明を忘れられない解答」が、ここをクリックした先のページにあります。
（注意） この解答を自分で考えてみたかったと言って後悔する可能性のある人は、自分でベストな別解を考えてから、この解答を見てください。

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三角関数の難問

【問１】　
以下の図形のｔａｎθを求めよ。

（注意）この問題は、ラングレーの問題と呼ばれている有名な問題で、難問です。

当ブログでは、三角関数を使って問題を解きます。数Ⅱ以上を学んで、三角関数の加法定理等を学んだ後にこの問題を解いてください。

数Ⅱ以上を学んだ学生は、この問題は難問ですが、解けるかどうかチャレンジしてください。

当ブログでは、三角関数の問題として解きましたので、
読者も三角関数で解いてみてください。
（ただし、数学の心に従い解き方は自由です。三角関数を使わないで解いて、後で三角関数の答えを計算して答えを書いてもかまいません。） 

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

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二重根号を外す問題

【問１】　ａ≧０，　ｂ≧０の場合に、
以下の式の二重根号を外せ。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

【問２】　ａ≧ｂ，　ｂ≧０の場合に、
以下の式の二重根号を外せ。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。
答えが分かったら、解答の（補足）の説明も読んでおいてください。

リンク：
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二重根号の外し方

【問】　以下の式の二重根号を外せ。
 

【注意】
　二重根号の外し方は「嘘っぽい」方法が使われます。
そのため、その方法を覚えられない高校生が多いのではないかと思います。納得できないことは覚えないでかまいません。
　そのため、この問題は解けなくてかまいませんので、問題が解けないか、あるいは問題が解けるかで、この問題への対応がひと段落したら、
この行をクリックした先に、二重根号の外し方の４つの方法と、その方法の嘘っぽさの弁護を書きましたので、見ておいてください。

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受験生が苦労する因数分解

【問１】　以下の式を因数分解せよ。
ｘ^４－７ｘ^２＋１

【注意】　この問題は、大学入試問題に出題される因数分解ですので、高校１年では出題されないかもしれません。

しかし、この問題の解き方には、
（１）正しい解き方ではあっても、障害物を越える時間をかけなければならない解き方と、
（２）その障害物が出てこない平坦な計算の道を通る解き方と、
の２つの解き方があります。

そのため、この問題を解いた後で、
この２つの解き方の解答（ここをクリックする）を見て、
確認しておいてください。

リンク：
高校数学の目次

直線の方程式はベクトルの内積の式／点と直線の距離

ページ内リンク：
▷直線の外の点Ｐと直線との距離
▷３次元空間の平面の方程式はベクトルの内積の式

【直線の方程式の持つ意味】
　直線の方程式の一般形は、
ａｘ＋ｂｙ－ｃ＝０　（式１）
である、
と教わります。

この一般形により、
ｘ＝１
という直線もあらわすことができるからです。

以下で、直線の式を（式１）で表すことで得する他のメリットを考えます。

（直線の方程式の一般形の持つ意味）
この式１を少し変形した式：
ａｘ＋ｂｙ＝ｄ^２　（式２）
を考えます。
ここで、右辺にｄの二乗を使ったのは、
この式２の全ての文字定数と変数（ａ，ｂ，ｘ，ｙ，ｄ）に長さの「次元」を持たせて、
式に、次元の色合いを付けるためです。

式に次元の色合いを付けると、式の中の各項の次元が全て同じになります。
その式を変形しても、その式の中の各項の次元が全て同じになります。次元が異なる項を持つ式は計算間違いです。
これにより、計算間違いを見つけやすいという得をします。

【直線の方程式はベクトルの内積の式です】
　下図のように、直線の式１の未知数ｘとｙの係数の作るベクトル（ａ，ｂ）は、直線に垂直である。

ベクトルＯＮ＝(a,b) は直線の法線ベクトルです。

ただし、ＯＨの方向がＯＮの方向と反対の方向を向く場合は、上の式の右辺の項にマイナスが付きます。

直線の方程式１は、直線ONに垂直な直線上の点Ｚの位置ベクトルＯＺの直線ＯＮ上への正射影の長さＯＨが一定である関係を表す上の式である。

【直線の方程式１は（ｘ，ｙ）位置ベクトルの単位ベクトルｖ（法線ベクトル）への正射影の長さが一定の関係をあらわす式である】
 　法線ベクトルＯＮは長さを変えて単位ベクトルｖにして考えると考えやすい。
　直線上の点Ｚ（ｘ，ｙ）と点Ｚ0（ｘ0，ｙ0）とを結ぶ直線に平行なベクトルは、直線の法線ベクトルｖに垂直である。そのため、以下の式が成り立つ。


【直線の外の点Ｐと直線との距離】
　直線上の点Ｚと直線の外の点Ｐとを結ぶベクトルと直線の法線の単位ベクトルｖとの内積は、ベクトルＺＰの法線ベクトルへの正射影の長さである。その長さは、点Ｐと直線との距離（正と負の符号の別がある）をあらわす。

上図のように、点Ｚ又は点Ｐの位置ベクトルの、単位ベクトルｖの方向への射影の長さがあらわされる。
　そのため、点Ｐの、式１の直線への距離は、以下の式５で計算でき、法線ベクトルｖへの点Pの位置ベクトルの射影の長さと直線の点Zの位置ベクトル(x,y)の射影の長さの差であらわされる。

　ただし、点と直線の距離は、射影の長さの絶対値であることに注意すること。すなわち、点Ｐの、直線への距離がｈである場合は、法線ベクトルｖへの位置ベクトルOＰと直線の点Zの位置ベクトルOZ=(x,y)の射影の長さの差は±ｈの２つあることに注意すること。

【３次元空間の平面の方程式はベクトルの内積の式】
　３次元空間で、下図の三角形ＡＢＣを含む平面を表す方程式：
ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝ｋ，
の意味を考える。この平面の方程式は、以下で示すように、平面上の点Ｐのｘ座標とｙ座標とｚ座標の係数の作るベクトル（ａ，ｂ，ｃ）に平面が垂直である関係をあらわす。
ベクトルＯＮ＝(a,b,c) は平面の法線ベクトルである。

（ただし、ＯＨの方向がＯＮの方向と反対の方向を向く場合は、上の式の右辺の項にマイナスが付きます。）

　上の式であらわした平面の方程式は、直線ＯＮに垂直な平面上の点Ｐの位置ベクトルＯＰ＝(x,y,z) の直線ＯＮ上への正射影の長さＯＨが一定という関係を表す。ベクトルOPの正射影が一定であるということは、点Pを含む平面が直線ONに垂直であることをあらわす。

リンク：
ベクトルの視点で見える直線の式の意味
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因数分解の応用問題

【問１】
次の式を因数分解せよ。
ａ^４＋ｂ^４－２ａ^２ｂ^２－４ａ^２－４ｂ^２＋４

（注意）
　この問題の計算方法には、覚えておいた方が良い計算方法（別解）がありますので、この問題を解いた後で、以下の解答ページの別解の解き方を読んでおいて下さい。

解答は、ここをクリックした先のページにあります。

【問２】
次の式を因数分解せよ。
ａ^４＋ｂ^４＋ｃ^４－２ａ^２ｂ^２－２ｂ^２ｃ^２－２ｃ^２ａ^２

（注意）
　この問題の計算方法には、解に至る計算の２つの道がありますので、この問題を解いた後で、以下の解答ページの２つの計算の道を読んで心に留めておいて下さい。

解答は、ここをクリックした先のページにあります。

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整式の除法（２）

私が提案した、融通がきく整式の除法の計算において：

割る式が複雑になった場合は、以下の様に計算すれば良いと考えます。

上の方に書いたｓの定義の式（ｓ≡２ｘ^２－３ｘ＋１）を、計算の進行につれて、現在書いている式のなるべく近くに表示するために、時々は、ｓの定義の式を再度書いて見やすくした方が良いです。
こうして、元の式に少しずつ ｓ を注入して計算します。

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整式の除法

整式の除法は、以下の様に計算するように教わります。

 この様に計算するのは分かりやすいのですが、
以下の様に計算する方が、もっと計算に融通がきく優れた方法ではないでしょうか。

この式の様に計算を整理してみると、整式の除法の計算というものは、元の式に少しずつ ｓ＝ｘ－１ を注入する計算方法だと分かります。

以下の様な式の除法の場合には、十分融通性を利かせることが必要で、こちらの計算方法を用いた方が良いと考えます。

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数学で納得できない公式は覚えない方が良い

　数学の本質は好奇心を刺激するものだから、数学は好奇心の本能のままに勉強するのが良いと考えます。

（自分の納得できない数学の公式は覚えないようにして、好奇心の純潔を保ちましょう。
勉強して納得できてから公式を覚えれば十分間に合います。
　数学のテストの成績のためにといって納得できないことを無理に詰め込んでいると、いつか破綻すると思いますので、無理はしないようにしましょう。）

（反論への反論（１））
　上の考え方には、以下のような反論が考えられます。
（１）「公式を覚えなければ数学の学力が低下して授業についていけなくなり、結局落ちこぼれてしまうではないか。」
「先ず公式を覚えて使っているうちに公式の意味が分かってくる。だから、納得できなくても公式を覚えた方が良い。」
という反論が考えられます。
　その反論に対しては以下のように反論したいと思います。
（２）数学は勉強すれば学力が伸びる学問だと思います。公式が覚えられるまで納得できるまで数学を勉強することで授業についていくようにして欲しい。
　公式は、自分で問題を解く体験によってつかみ取った、自分で使える生きた公式を覚えてください。使えない死んだ公式は、問題を解く用に使えない（それが必要なタイミングでは思い出せない）無駄な雑音なので覚えない方が良い。
　問題を自分で解こうと努力する体験の中で、死んでいる公式が、使える生きた公式に変わります。（自分が分からなかった解き方の解説に自分が納得できた時（これが大事）は、そこで使われている公式の価値が分かる）そのときに、その公式を覚えてください。

（反論への反論（２））
　以下のような反論も考えられます。
（１）「公式はただでさえ覚えられないので、絶えず覚える努力を続け無いと覚えられない。『覚え無いで良い』という意見は、その努力を中断させる甘い言葉であって、勉強の緊張感を弱める戯言である。」
という反論が考えられます。
　その反論に対しては以下のように反論したいと思います。
（２）数学は公式を覚える学問では無く、公式を導き出す学問です。公式は自分で速やかに導き出せるように修練すべきです。公式を自分で導き出す努力もせず、ただ覚えるだけで良いという考えは、数学を学ぶ緊張感が無い甘い考えだと思います。

　また、和田秀樹の「数学は暗記」という言葉が独り歩きをしていますが、和田は、「模範解答を見て理解できることが、”暗記数学”を実践していくための必須条件となる」と書いている。理解なしの暗記は無意味です。

－－引用開始－－－－－－－－－－－－－－－－
公式を暗記するのではなく、理解する

　数学では公式という道具を使いながら問題を解いていくことになります。数学の問題には、 確かに公式を知っていればすぐ解けてしまう問題があります。最初のうちなので、それで済んでしまうので、そういう人も多いはずです。しかし、公式は単に覚えているだけでは限界があります。応用問題からは、確実に公式を理解していなければ上手く公式を使うことも出来ないでしょう。
　なので、公式を確実に理解するためにも、公式は導出をしっかり自分で出来るようにしましょう。そして、公式の 『持つ意味』『いつ使えるか』『どう使えるか』を絶対理解しておきます。数学が得意な人ほど、そのような本質的な部分に強いです。なぜなら、そうでなければ応用問題なんて解けないからです。
－－－次の引用－－－－－－－－－－－－－－－－

公式を「覚える」のではなく「理解する」

　数学の勉強で大切なことは
公式を覚えるのではなく、理解することです。
　そしてその際、基礎的な内容は具体的に、高度な内容は実際に数学的に証明して理解することです。
　覚えても、理解しても同じではないかと思われる方がいらっしゃるかもしれませんが、ただ意味も理由も分からず覚えている内容というのは応用できないのです。
　全ての科目に言えることですが、理解した内容でなければ応用できません。
　公式は覚えるものという認識をまず捨て、時間がかかってもいいので、基礎的な内容は具体的に、高度な内容は数学的に証明して理解していきましょう。
－－－－引用おわり－－－－－－－－－

（３）自分で問題を解きながら、良い解き方のパターンをつかみ取って、そのパターンを覚えやすい自分の公式の形に表わして、その使える生きた公式を覚えるよう心がけてください。
（４） 実際、数学の実力が学年の平均を上回っているからといっても、使える生きた公式を学んでいない人が実に多いように思います。そういう状況なので、たとえ数学を一切勉強していなくて学年最下位の成績であっても、自分で使える生きた数学の公式をつかみ取り始めたら、通常の数倍の速度で実力が向上する、という特徴が数学という学問にはあります。
（５）数学を嫌いになると、そういう急速な学習を妨げることになりますので、数学を嫌いにならないでください。
（６） 高校３年間、数学の授業は一切聞かない最下位の学生で、しかし、数学にいやな思いを持たず数学が嫌いにならなかった学生は、１年間もあれば、３年間勉強して来て学年平均以上の数学の実力があるが数学をあまり好きでは無い学生を大きく引き離す数学の力をつけられるものです。
　そのため、数学を嫌いにならないようにする手段として、「数学を勉強しない」という手段を選んでも良いから、数学を嫌いにならないようにしてください。
「そうすれば、生きた数学を勉強し始めたら急速に成長できます。その芽を摘み取らないようにして、有意義な人生を送って行って欲しいと思います。」

（最後に注意）
　高校２年生の後期になると、「微分積分」を教えられます。残念ながら、高校で教えられる「微分積分」では納得できない公式を覚える事が強制させます。特に、合成関数の微分の公式の説明にごまかしがあります。そのとき、その筋の通らない公式を覚えない選択は数学のセンスがある学生の正しい選択だと考えます。
　しかし、
「それでは、微分積分の受験問題が解けないのではないか」
というもっともな意見があります。
　それを改善するには、受け身で学習するのでは無く、自らで、正しい説明をしている参考書を探して、正しい参考書から正しい学力を得るようにして欲しいと思います。

　それと、高校数学の公式を覚えるという数学センスから考えると、微分積分の教科書に入っている嘘とごまかしは、数学を覚えにくくするので禁物なのです。なぜかと言うと、数学の公式を覚えるというのは公式を導き出す小さなヒントだけ覚えて、そのヒントから公式全体を導き出せるようにすることだからです。
　小さなヒントだけ覚えれば良いので多くの公式を覚える量が本当に少なくて済み、覚えるのが楽になります。その様にして多くの公式を全て導き出して使うのです。そうすると、とても多くの公式を全て覚えているのと同じ結果になります。
　しかし、嘘とごまかしによっては、そこから正しい公式全体を導き出せ無くなります。そのような不純物（嘘、ごまかし）が心に入ると、もう数学の力は失われてしまい、何もわからなくなります。

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自分で問題を解いて、何が良いかを自分で考える

高校数学は、何でも疑って、
自分で問題を解いて、良い事であると確かめられた事だけを覚える心が大切だと思います。

その勉強の仕方の例として、
以下の問題を自分で解いてみます。
【問１】

を利用して、

を因数分解せよ。

【疑い】
この問題の、

という式は、問題の式

を因数分解する助けにはなるかもしれないが、その式は他の式を因数分解する役には立つのか？

【先ずは、この式を使わずに自分で問題を解く】 

を因数分解する問題は難しいので、先ず、ｃ＝０の場合を解く。

ｃ＝０の場合は解けた。
それでは、ｃ＝０で無い場合は、ｃは、ｃ＝０の場合に得られた式のどこに入ってくるだろうか。

は、ａとｂとｃを入れ替えても同じ式になるので、
それを因数分解した式もａとｂとｃを入れ替えても同じ式になるハズです。
それでは、ｃを以下の様に右辺の式に入れたらどうだろうか。

この様に因数分解の答えを予測しました。
　この右辺の式を展開したら、以下の様に左辺の式が得られた。

よって、この右辺の式が因数分解の解である。
（解答おわり）

（補足）
 　左辺の式の因数の１つが（ａ＋ｂ＋ｃ）であることを素早く確認する方法：
右辺の式のように（ａ＋ｂ＋ｃ）が掛った式は、
ｃ＝－（ａ＋ｂ）
の場合に０になる。そのため、
ｃ＝－（ａ＋ｂ）
を左辺に代入して、以下の計算をしたら０になるので、
左辺の式の因数の１つが（ａ＋ｂ＋ｃ）であることが素早く確認できます。

この様にして（ａ＋ｂ＋ｃ）が因数であることが分かったら、

を（ａ＋ｂ＋ｃ）で割り算することで、（ａ＋ｂ＋ｃ）にかかる項を、確実な計算で求めたいものです。
その確実な計算方法は、
（ａ＋ｂ＋ｃ） ≡ ｓ
とおいて、

の式の中にｓを注入する。
その注入方法は、 以下の計算の様に、
ｃ＝ｓ－（ａ＋ｂ）
という式を代入して、この式を、変数ａ，ｂ，ｃの式から変数ａ，ｂ，ｓの式に変換してｓを注入すれば良い。
そうしてから式を整えていけば、自ずから答えが得られます。

 ここで、ｓを因数とすることができたので、ｓに掛る項を整えることで求める解が得られます。
 
こうして、因数分解の解を得ることができました。



（補足（その２））
この自分の解き方は、ずいぶんいいかげんな解き方のように見える。
なぜなら、この解き方ならば、
以下の様な解の予測もできるからです。

しかし、事実は、

であるので、

は、この左辺の式

の因数にはならないです。
それで、この左辺の式

は、この方法では因数分解の解が見つけられません。
しかし、以下の式の関係もあるので、

この左辺の式

の因数には、

もなることができません。
結局、この左辺の式

は因数分解が不可能でした。

因数分解が不可能な式は、もともと解くことができないのですから、「もし解けるなら解はこうなる」という示唆の価値は損なわれていません。

そのため、この自分の解き方は、それほどいいかげんな解き方ではありませんでした。


　一方で、最初の、問題の解の求め方の示唆はどうでしょうか。
この、

の式を因数分解しようとしてみます。
その因数分解のためには、
 
が役にたつかもしれないという示唆しかありません。
そして、それを使ってもこの式は因数分解ができないのです。
なぜなら、この式

は因数分解が不可能だからです。


そうなると、
 
を使う解き方の価値は、
自分が使った、簡単な問題の解を使って、難しい因数分解の問題の答えを推測して、その答えを展開して元の式になることを確認して、因数分解の答えを得る解き方と比べると、
問題の解答の見通しが悪いので、
劣った方法である
と判定せざるを得ません。

そのため、その価値に納得できませんので、

を使う解き方は覚える必要が無い
と判定します。

（３）「安易に、納得していない疑わしい公式を覚えないこと」

の原則に従って、この方法は覚えないようにします。

この方法を覚えずに問題を解く方法は、
自分の方法で問題を解く方法であって、
答案の解答の書き方は：
「問題の式を、（～～～）で因数分解したら、
因数分解できたから、これが答えです。」
と答えれば良い、と考えます。

ただし、後に教わる、以下の解き方は覚える価値があると考えます。

この式の因数分解の計算の最初の段階では、この式がｘ，ｙ，ｚを入れ替えても同じ式になる対称な形の式であることを利用して解きます。
　その方針で解く理由は、先に、この式の因数が（ｘ＋ｙ＋ｚ）であると予測した（これが大切！）ことにあります。そして、その因数（ｘ＋ｙ＋ｚ）が、ｘ，ｙ，ｚを入れ替えても変わらない対称な式の基本要素の式ｓだからです。
　ｘ，ｙ，ｚの対称な形の式は、以下の要素ｓ，ｔ，ｕを使ってあらわすことができます。

つまり、以下のように、ｓ，ｔ，ｕの関数ｆであらわせます。

そうできるので、以下で、この変数ｘ，ｙ，ｚであらわされた式を、変数ｓ，ｔ，ｕの式に変換します。 

こうして、ｓで因数分解ができました。

（考察）　この計算方法は、
先に行なった、
（ａ＋ｂ＋ｃ） ≡ ｓ　と定義した変数ｓを、

の式の中に注入して、式を整える方法と同じ種類の、式の変換方法と考えます。
　こちらの式の変換方法では、先に行なった、変数ａ，ｂ，ｃの式を変数ａ，ｂ，ｓの式に変換して式を整えた方法とは違って、ｓの注入を少しづつ行なう。こちらの式の変換方法では、変数ｘ，ｙ，ｚの式を変数ｓ，ｔ，ｕの式に変換する明確な指針に従って式を少しづつ整えた。 
　こちらの変数ｘ，ｙ，ｚの式の変換方法を参考にして、先に行なった、変数ａ，ｂ，ｃの式を変数ａ，ｂ，ｓの式に変換して式を整える方法を改良できる。改良した方法では、こちらの式の変換方法とほとんど同じになる。
　上の式の、変数ｘ，ｙ，ｚの式を変数ｓ，ｔ，ｕの式に変換する式の１行目から６行目の式（ｓで因数分解をした式）は、変数ｘ，ｙ，ｚの式のｘを少しづつｓの式に置き換えて変数ｓ，ｙ，ｚの式に変換する式と同じです。 

ただし、変数ｘ，ｙ，ｚの式を変数ｓ，ｔ，ｕの式に変換する式の変形において、式の対称性を維持しつつ変形すると、以下のようになり、より優れた解答が得られます。

更に進んだ内容は、ここ「因数分解の難問」をクリックした先にあります。

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