【問１】（ややこしい問題）
上図のように、１辺の長さが５の正方形を底面とし、高さが１０の直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨがある。点ＰをＢＰ＝３となるように辺ＢＦ上に、点ＱをＤＱ＝５となるように辺ＤＨ上にそれぞれとる。３点Ａ，Ｐ，Ｑを通る平面と辺ＣＧとの交点をＲとする。このとき、頂点Ｃから面ＡＰＲＱにひいた垂線の長さを求めよ。
（注意）
この問題は、良く整理して解かないと、計算の森に迷い込むややこしい問題です。以下の理由により、安易に解答を見ないよう注意してください。このややこしい問題を自力で解いてから解答を見てください。
（解けるまで解答を見ない理由）
出題高校の意図を推測すると、「単にいろいろな難問の解き方を覚えて知っている学生よりも、想像力豊かで知能が高く融通性に富んだ学生の方を合格させたい」
という意図がある考えます。
そのため、このややこしい問題を学ぶ目的は、
この問題を簡単に解こうとする努力により知能を高めるホルモンが分泌されて知能を高めること、
を第１の目的にするのが良いと考えます。
そのため、この問題を自力で解くまでは解答を見ずに、ベストな勉強方法としては、問題を解く努力をした後（解けないで寝て良い）寝ている間に知能ホルモンの分泌をさせる。それを何回か繰り返すのが良いと考えます。
（解答の方針）
（１）難問が解けずに寝るとき、寝ている間も何とか問題を解こうとして、そのために、問題を考え易い簡単な形にして、解こうとするだろうと思います。
そのように簡単な形に問題を変換して考えることが、あらゆる難問を解くコツです。
（２）立体図形は、平面図形の問題に変換して解く。
（３）第１の面への垂線を求める問題は、第１の面上の１本の直線に垂直な第２の面を考える。その第２の面上の直線で、第１の面に垂直な直線が求める垂線である。
この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。
リンク：
中学数学の目次
【問題１】（難問）
上図の線分の間に、
ＡＲ：ＲＢ＝１：３と
ＡＱ：ＱＣ＝２：１
の線分の長さの比の関係があるとき、
（１）ＢＰ：ＰＣを求めよ。
（２）ＡＯ：ＯＰを求めよ。
（重要な注意）
以下で、このページに問題の解き方、解答を書きます。
その理由は、この種の問題を解くために推薦する解答方法を教えたいためです。
この難問を、自力で解く努力をして知能ホルモンを分泌させたい人は、以下を読まないで、この問題を自力で解く努力をしてください。
それ以外の方には、この難問を解く方法で、自力では考え出すことが難しいと思われる究極の方法の使い方を説明するので、その方法を学んでください。
【解答はじめ】
以下の図のように、水平線の位置を仮定して、その水平線上の点の高さの比を考えます。その高さの比を線分の長さの比に反映させて解くのが「究極の方法」です。
上図のように水平線の位置を定めて点の高さの比をカッコ()の中に書いて行きます。
その高さの比から線分の長さの比を考えると、
ＲＯ：ＯＣ＝３：２
であることがわかります。
次に、視点を変えて、水平線を以下の図のように定めて点の高さの比を考えます。
上図のように水平線の位置を定めて点の高さの比を考えると、
ＰＯ：ＯＡ＝３：７
ＢＯ：ＯＱ＝９：１
であることがわかります。
次に、再度、視点を変えて、水平線を以下の図のように定めて点の高さの比を考えます。
上図のように水平線の位置を定めて点の高さの比を考えると、
ＢＰ：ＰＣ＝６：１
であることがわかります。
以上で、
（１） ＢＰ：ＰＣ＝６：１
（２） ＡＯ：ＯＰ＝７：３
が全て求められました。
（解答おわり）
リンク：
中学数学の目次
【問１】（難問）
上図のように、円周上に５点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅがあり、弧ＡＢ＝弧ＣＤである。
また、線分ＣＥと線分ＢＤの交点をＦ、線分ＣＥと線分ＡＤの交点をＧとし、線分ＤＥ上にＢＤ//ＧＨとなる点Ｈをとる。
ＥＧ＝ＧＦ，ＧＨ＝３のとき、線分ＥＧの長さを求めなさい。
（注意）
この問題は難問です。以下の理由により、安易に解答を見ないよう注意してください。この難問を自力で解いてから解答を見てください。
（解けるまで解答を見ない理由）
出題高校の意図を推測すると、「単にいろいろな難問の解き方を覚えて知っている学生よりも、想像力豊かで知能が高く融通性に富んだ学生の方を合格させたい」
という意図がある考えます。
そのため、この難問を学ぶ目的は、
この難問を解こうとする努力により知能を高めるホルモンが分泌されて知能を高めること、
を第１の目的にするのが良いと考えます。
そのため、この難問を自力で解くまでは解答を見ずに、ベストな勉強方法としては、難問を解く努力をした後（解けないで寝て良い）寝ている間に知能ホルモンの分泌をさせる。それを何回か繰り返すのが良いと考えます。
（難問の解き方）
（１）難問が解けずに寝るとき、寝ている間も何とか問題を解こうとして、そのために、問題を考え易い簡単な形にして、解こうとするだろうと思います。
そのように簡単な形に問題を変換して考えることが、あらゆる難問を解くコツです。
（２）図形の難問は、図形を完成させてから解く。
（３）相似図形があったら、その相似図形の辺の関係式を全て書いて、その式を自分で見て考えられるようにする。
この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。
リンク：
中学数学の目次
【問１】（難問）
上図のように、円Ｏと円Ｏの周上にない２点Ａ，Ｂがある。
円Ｏの直径ＰＱをひいたとき、ＡＰ＝ＢＱとなる直径ＰＱを１つ、定規とコンパスを用いて作図し、点Ｐおよび点Ｑの位置を示す文字Ｐ，Ｑも書きなさい。
ただし、作図に用いた線は消さないでおくこと。
（注意）
この問題は難問です。以下の理由により、安易に解答を見ないよう注意してください。この難問を自力で解いてから解答を見てください。
（解けるまで解答を見ない理由）
出題高校の意図を推測すると、「単にいろいろな難問の解き方を覚えて知っている学生よりも、想像力豊かで知能が高く融通性に富んだ学生の方を合格させたい」
という意図があると考えます。
そのため、この難問を学ぶ目的は、
この難問を解こうとする努力により知能を高めるホルモンが分泌されて知能を高めること、
を第１の目的にするのが良いと考えます。
そのため、この難問を自力で解くまでは解答を見ずに、ベストな勉強方法としては、難問を解く努力をした後（解けないで寝て良い）寝ている間に知能ホルモンの分泌をさせる。それを何回か繰り返すのが良いと考えます。
（難問の解き方）
難問が解けずに寝るとき、寝ている間も何とか問題を解こうとして、そのために、問題を考え易い簡単な形にして、解こうとするだろうと思います。
そのように簡単な形に問題を変換して考えることが、あらゆる難問を解くコツです。
この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。
リンク：
中学数学の目次
新型コロナウイルス感染対策
【円の中の点に拡張した円周角の定理】
上図のように、円の中の点Ａにかかわる円周角の定理が成り立ちます。
この式を自力で証明して
よく覚えてください。
リンク：
中学数学の目次
【円の外の点に拡張した円周角の定理】
上図のように、円の外の点Ａにかかわる円周角の定理が成り立ちます。
この式を自力で証明して
よく覚えてください。
リンク：
中学数学の目次
【円の外の拡張円周角】
上図のように、円周角Ａと同じ角の、
円の外の角
∠ＢＤＥと
∠ＣＤＦ
が、拡張円周角です。
これらの拡張円周角を
すぐ想像できるように、
この「円の外の拡張円周角の定理」
をよく覚えてください。
リンク：
中学数学の目次
以下の問題は、「相似図形同士で辺の比が等しい公式」を適用する問題です。
【問１】 （難問）
上図のように、三角形ＡＢＣの頂角Ａの二等分線の長さｍに間して式１が成り立つことを証明しなさい。
（注意）
この問題は、「角の二等分線の長さの定理」であり、有名な定理ですが、その証明を見たことの無い学生にはかなりな難問です。以下の理由により、有名定理だからと言って安易に解答を見ないよう注意してください。この難問を自力で証明してから解答を見てください。
（解けるまで解答を見ない理由）
この定理よりも覚え易い定理に中線定理があります。
しかし、高校入試問題を見ると、
その中線定理を使うよう誘導している入試問題が、その誘導にもかかわらず、中線定理を使わないでも解けるようにした問題を出題しています。
その出題高校の意図を推測すると、
「単にいろいろな定理を覚えて知っている学生よりも、想像力豊かで知能が高く融通性に富んだ学生の方を合格させたい」
という意図があるように考えられます。
そのため、この「角の二等分線の長さの定理」を学ぶ目的は、
この定理を証明しようとする努力により知能を高めるホルモンが分泌されて知能を高めること、
を第１の目的にするのが良いと考えます。
そのため、この定理を自力で証明するまでは解答を見ずに、知能ホルモンの分泌を続けるのが良いと考えます。
（解答の方針）
辺の長さの積の定理は、相似図形では辺の比が同じであることに由来します。結局、辺の長さの積の定理は、ある相似図形に由来する定理です。そのため、この問題は、相似図形を探す問題です。
この問題のように、辺の長さの積の定理の問題は、
（１）図の不足を埋めて図を完成させてから、
（２）相似図形を発見して、相似図形の辺の比が等しい式を書いて
問題を解くように心がけてください。
この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。
リンク：
余弦定理やベクトルを使った解答
中学数学の目次
【角度連動公式】
上図で、
∠ＡＭＢ＝∠ＥＯＦ
とすると、
∠ＯＡＭ＝∠ＦＭＢ
になることが、
以下の図を想像することで分かる。
先ず、
∠ＡＭＢ＝∠ＥＯＦ
である２つの角ＡＭＢと角ＥＯＢが
同じ位置に重なって
点Ｍ＝点Ｏ
となっている場合を想像する。
次に、
点Ｍが点Ｏからわずかにずれた場合の上図を想像する。
上図を想像すると、
わずかな角度の
∠ＯＡＭ
と
∠ＦＭＢ
が連動して生まれることが想像できます。
これらの、連動して生まれる角度は、以下の様に生まれる。
∠ＡＭＢの値を∠ＥＯＦに等しい一定の角度に維持するために、
線分ＡＭと線分ＭＢが連動して同じ角度だけ回転する。
その線分ＡＭとＭＢの連動した回転に由来して、
∠ＯＡＭ＝∠ＦＭＢ
になる。
（角度連動公式）
（補足）
このように、連動する角度を想像することで、
連動して生まれる角度が等しいことが素早く把握できます。
リンク：
中学数学の目次
【公式】
上式のように、Ｘ軸に原点Ｏと点Ａがある。
ＯＡ＝ｓ
である。
Ｘ軸から離れた位置の点ＢからＸ軸へ下ろした垂線のＸ軸上への足をＣとする。そして、
ＡＣ＝１，
ＢＣ＝ａ
とする。
線分ＡＢの延長線ＤＡを折り目線にして原点Ｏに頂点を持つ図形（三角形ＯＡＤ）を折り返すことでＯ点の位置の頂点をＦ点に移す。
線分ＯＦとＤＡの交点をＥとする。
点ＥのＸ軸へ下ろした垂線の足をＧとする。
そのとき、
となることを証明せよ。
（二重相似の公式）
（解説）
この二重相似の公式によって、
原点Ｏの位置の頂点を折り返した点Ｆの位置座標が、
で計算できる。
二重相似の公式によって、頂点Ｏを折り返した位置Ｆの座標を計算する式の分母がｃの二乗になっている。
これにより、ｃを計算するための根号が解消して、式が簡単になっている。
この公式の証明は、ここをクリックした先のページにあります。
リンク：
中学数学の目次
【問１】
上図のように、ＡＢ＝１０，ＡＤ＝６，∠ＡＢＣ＜９０°である平行四辺形ＡＢＣＤにおいて、∠ＤＡＢの二等分線と辺ＢＣのＣの方へ延長した直線との交点をＥとする。線分ＡＥと対角線ＢＤ，辺ＣＤとの交点をそれぞれＦ，Ｇとする。
ＧＥ＝３のとき、線分ＦＧの長さ ｘ を求めなさい。
（注意）
この問題はややこしそうですので、解答の優先順位が一番後回しになって、解答されない場合が多いようです。
そのややこしさは、
「水平線上の点の高さの比の公式」
を使って問題を解くと、大分解消されますので、
その方法を試みてください。
この問題の解答はここをクリックした先のページにあります。
リンク：
中学数学の目次
以下の問題の解答は、通算１４時間以上、この問題を解こうと試みた学生、又は自力で解答を得た学生が見てください。
【問】（超難問）
上図の四角形ＡＢＣＤにおいて、角ＡＣＤ＝θを求めなさい。
（注意）
図形問題では、
先ず、補助線を引いて足りない図形は埋め、
同じ角度に印を付けつつ、
図形を対称な形に完成させてから問題を解くように心がけてください。
特に、この図形問題では、対称性が特に高い正三角形を含む対称な形の図形を完成させてから問題を解くようにしてください。
この問題の解答は、通算１４時間以上、この問題を解こうと試みた学生、又は自力で解答を得た学生が見てください。
くれぐれも、安易に解答を見ないように。
この問題を解こうとする努力によって得られる「知能向上」を受け損ねないように注意してください。
解答は、ここをクリックした先のページにあります。
リンク：
中学数学の目次
正しい数学の勉強のしかた。
（１）難問を解く努力（解けないけどあきらめない）
（２）力つきて（しかたなく）眠る
このような努力をすると、
その様に勉強した後、眠って、
朝起きると、知能や感受性を上げるホルモンが夜の間に分泌されて、
朝がとても気持ち良くなります。
この繰り返しが、学生の知能を上げます。
そのため、難問が簡単にとけてしまって、
難問という、とことん努力する課題を無くしてしまって、
知能を上げるホルモンの分泌をじゃましてはいけない
と考えます。
そのため、全ての難問の簡単な解き方を教えてしまって、
何もかも簡単にしてしまってはいけない
とも考えます。
難問は解けないですが、それを解く努力を続けること。
努力の後は十分眠って知能を高めること。
そして、その努力の過程で
（まだ問題が解けていない間に）
成果として得られた「知能」を、
他の課題の勉強のためにも使う知恵が大切です。
問題が解けていない矛盾をかかえ、
気分を変えて、その問題以外のことに取り組むことが、
成果として得られた「知能」を楽しむバランス感覚です。
（このことをよく自覚すること）
学生は自分で、何かをつかみ取る努力をすること。
そして、望んでも解答が得られない間
（すなわち、知能が高まる時）をよく自覚して、
それを省略しようとせず、
がまんして耐え、他のこともしっかり行う忍耐を養う。
それが、一番大切な勉強方法だと思います。
リンク：
勉強法がわからない人に取り入れてほしい5つの勉強法
中学数学の目次
【問１】（難問）
上の図において、円Ｏの半径は１２で、直径ＡＢをＢＤ＝４となるように延長した点がＤ、またＡＢ⊥ＣＯである。ＣＤと円Ｏの交点がＥである。
このとき、弦ＥＢの長さを求めなさい。
（注意）
図形問題では、先ず、補助線を引いて足りない図形を埋め、同じ角度に印を付け、特に、図形を対称な形に完成させてから問題を解くように心がけてください。
この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。
リンク：
中学数学の目次
以下で、三角形の頂点からの距離の積の公式（その２）と、三角形の中線の長さの公式との関係を整理します。
【中線の長さの公式（中線定理）】
上図のように、三角形ＡＢＣの辺ＢＣの中点Ｍと頂点Ａを結んだ中線ＡＭの長さｍに関して、上の式１が成り立つ。式１は式２の形に書き変えて使うことができる。
この公式の証明は、ここをクリックした先のページにあります。
この中線の長さの公式（中線定理）以外の以下の公式は、中線定理に比べて覚えにくいように思います。
そのため、以下の公式は高校入試問題にはほとんど出ないようにも考えられます。
しかし、図形の難問を解く受験の戦いで、使える道具は多い方が安心ですので、それらも覚えてみてください。
【頂点からの距離の積の公式】
上式のように、三角形ＡＢＣの頂点Ｃから辺ＡＢへ垂直に引いた線との交点Ｈに関する線分の積が以下の式であらわされる。
ＡＨ×ＡＢ＝ｍ２－ｓ２
この公式の証明は、ここをクリックした先のページにあります。
一方、中点の長さの公式は：
（ｂ２＋ｃ２）／２＝ｍ２＋ｓ２
である。
これらから、ＡＨが以下の通り計算できる。
三角形の頂点Ｃの辺ＡＢ上への足Ｈまでの長さＡＨ
がこの式であらわされることは、
以下の公式でもあった。
【三角形の頂点の足の位置の公式】
上図の三角形ＡＢＣの頂点Ａの左右へのずれを計算する上の式が成り立つ。
この公式の証明はここをクリックした先のページにあります。
この式を使うと頂点Ａの辺ＢＣ上への足Ｄと点Ｂの間の長さＢＤが計算できる。
この公式のポイントと、三角形の頂点からの距離の積の公式のポイントとの関係を、以下の図で整理して覚えてください。
上の図は、下の図をいっしょに覚えると覚え易いです。
この図から、以下の関係が成り立っている事も思い出せます。
リンク：
中学数学の目次
以下の公式は、
円からはみ出す△ＡＨＤ∽△ＡＥＢの公式
と覚えた方が良い。
【公式】
上式のように、三角形ＡＢＣの頂点Ｃから辺ＡＢへ垂直に引いた線との交点Ｈに関する線分の積：
ＡＨ×ＡＢ
が、
辺ＢＣを直径２ｓとする円の中心Ｏと頂点Ａを結ぶ線と円との交点ＤとＥに関する線分の積：
ＡＤ×ＡＥ＝(ＡＯ)２－ｓ２
に等しいことを証明しなさい。
（解答の方針）
辺の長さの積の定理は、相似図形では辺の比が同じであることに由来します。結局、辺の長さの積の定理は、ある相似図形に由来する定理です。そのため、この問題は、相似図形を探す問題です。
この問題のように、辺の長さの積の定理の問題は、
（１）図の不足を埋めて図を完成させてから、
（２）相似図形を発見して、相似図形の辺の比が等しい式を書いて
問題を解くように心がけてください。
（補足）
この公式：
ＡＤ×ＡＥ＝(ＡＯ)２－ｓ２
を覚えたい人は、この式のままでは覚えにくいと思います。
式を覚えるための工夫：
(1)点ＡからＡＯを２倍して延長した点Ｆを頂点の１つにする平行四辺形ＡＢＦCを考えて、
(2)その平行四辺形の２つの対角線ＡＦとＢＣを考えて、
４ＡＤ×ＡＥ＝(ＡＦ)２－（ＢＣ）２
という式に変換して公式を覚える方が覚えやすいと思います。
この公式の証明は、ここをクリックした先のページにあります。
リンク：
中学数学の目次
【問題】
上図で、ＡＤ＝ＢＤ＝１２である。
ＤＣ＝４で、ＤＣの中点をＮとする。
ＡＢ＝１６で、ＡＢの中点をＭとする。
∠ＡＣＢ＝９０°
とする。
このとき、ＭＮの長さを求めよ。
（解答の方針）
この問題は、三角形ＭＣＢの辺ＣＤの中点Ｎと頂点Ｍを結んだ線分の長さを、「中線の長さの公式」を使って計算する問題です。
しかし、以下の解き方は、この公式を知らない場合に、その知識不足を想像力で補って解く場合の解答方法を書きます。
（高校入試問題では、想像力で知識を補える問題がけっこう有るように思います）
【解答】
以下のように、足りない図形を埋めて図形を完成させます。
直角三角形はその斜辺を直径とする円に内接しますので、円を書きます。
直角三角形ＡＭＤの辺の長さを計算するのを、相似な三角形を想像して、その辺を計算することで求めます。
三角形ＤＭＣについて、相似な三角形を想像します。
寸法が簡単な相似な三角形を見ると、三平方の定理により、この三角形が直角三角形であることがわかります。
∠Ｃが直角なので、線分ＭＮの長さは直角三角形ＮＭＣの斜辺を計算すれば良くなり、問題が簡単になりました。
（この問題は、想像力が知識を補えるように簡単にしてありました）
よって、
（解答おわり）
リンク：
中学数学の目次
【中線の長さの公式（中線定理）】
上図のように、三角形ＡＢＣの辺ＢＣの中点Ｍと頂点Ａを結んだ中線ＡＭの長さｍに関して、上の式１又は式２が成り立つことを証明しなさい。
中線定理は、上図の平行四辺形の、
対角線の二乗の和＝２（ｂ２＋ｃ２）
という公式だと覚えて下さい。
《重要な注意》
高校で「ベクトルの内積」を学ぶと、中線定理が簡単に導き出せるようになります。そのベクトルの内積を利用する計算方法が中線定理の究極の導出方法になります。ベクトルの内積を学ぶと、中線定理を暗記する必要が無くなります。
ベクトルは、高校数学のかなめ石となっていますので、早めに学ぶ事をお勧めします。
ベクトルにより、とても覚えにくかった三角形の余弦定理も覚え易くなります。
ベクトルを学びましょう。
距離の積の公式は、ある三角形同士の相似の公式です。
【公式】
上式のように、三角形ＡＢＣの垂心Ｈに関して、頂点Ａからの各点までの距離の積が等しいことを証明しなさい。
（解答の方針）
辺の長さの積の定理は、相似図形では辺の比が同じであることに由来します。結局、辺の長さの積の定理は、ある相似図形に由来する定理です。そのため、この問題は、相似図形を探す問題です。
この問題のように、辺の長さの積の定理の問題は、
（１）図の不足を埋めて図を完成させてから、
（２）相似図形を発見して、相似図形の辺の比が等しい式を書いて
問題を解くように心がけてください。
この公式の証明は、ここをクリックした先にあります。
リンク：
中学数学の目次
上図のように、１辺の長さが５の正方形を底面とし、高さが１０の直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨがある。点ＰをＢＰ＝３となるように辺ＢＦ上に、点ＱをＤＱ＝５となるように辺ＤＨ上にそれぞれとる。３点Ａ，Ｐ，Ｑを通る平面と辺ＣＧとの交点をＲとする。このとき、頂点Ｃから面ＡＰＲＱにひいた垂線の長さを求めよ。
