三角関数の逆関数の不定積分

【問１】以下の不定積分を求めよ。

（注意）tan^-1という記号は逆関数を表し、−１乗という意味の記号では無いことに注意すること。

この問題の解答はここをクリックした先にあります。

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かろうじて初等関数で表される積分（その２）

以下の問題の問３の方が問２より易しい（問１よりも易しいと言えるかもしれない）ので、それを先に解いてください。

【問１】ｘ＞０の区間での以下の不定積分を求めよ。

【問２】ｘ＞０の区間での以下の不定積分を求めよ。

【問３】ｘ＞０の区間での以下の不定積分を求めよ。


この問題の解答はここをクリックした先にあります。この問題を自力で解いた後で、解答のページも見てください。問題を解く上での大切な注意事項を書きましたので、、

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不定積分の不思議な解き方

ページ内リンク：
▷問１と問２
▷問１（ｂ）の解のバラエティ

【問１】
ａとｂが実数のとき、変数ｘの、ｘ＞ａ、かつ、ｘ＞ｂの区間で、以下の不定積分を求めよ。

【解答】
以下の解答は、あまりに単純なので覚えておいて使った方が良いと思う。 

（解答おわり）

　この問題の場合は、根号の中のｘの二次関数のｘの二乗の項の係数が正であるので、積分結果が対数関数になった。
次に、根号の中のｘの二次関数のｘの二乗の項の係数が負の場合を求める。

【問２】
ｂ＞ａのとき、変数ｘのａ＜ｘ＜ｂの区間で以下の関数の不定積分を求めよ。

【解答１】

（解答１おわり）

【解答２】
この問題は、複素数の対数関数を使った以下の解き方で解く事もできます。

ここで、以下のオイラーの公式を使う。

（解答２おわり）

なお、この計算では、三角関数の逆関数の不思議な公式：

を使いました。
詳しくは、以下の公式が成り立つ。

（大学数学について）
　高校数学を十分に学んで高校数学を早く卒業して、大学数学を、基礎（これが大事）からしっかり学んで欲しいと思います。
　大学数学の概念を正しく使って、問題を誤りなく融通を利かせて解けるようになって欲しいと思います。
複素数の関数の概念を（しっかり理解して誤りなく）融通性を持たせて扱えるようになって欲しいと思います。
大学数学では、解答２の様に、オイラーの公式を使って、三角関数の逆関数も、複素数を扱った対数関数で表す事ができます。
解答２の様な解き方は、大学数学で、複素数を扱う関数の基礎をしっかり學んだ上で使うべきであって、基礎をおろそかにして使って良い手法では無いと考えます。早く、正規な大学数学を学べるレベルに到達するように、しっかり学んで行って欲しいと思います。

【問１（ｂ）】
ｘ＞０の区間で以下の積分を求めよ。

【解答】

（解答おわり）

この解答の対数関数の中の式は、以下のバラエティがある。その証明は、後でまとめて行う。





以下で、これらの式の関係をつなぐ計算をする。



式（１）から、以下の式（４）も導き出せる。


【問１（ｃ）】
ｘ＜－２の区間で以下の積分を求めよ。


【解答】



（解答おわり）

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かろうじて初等関数で表される積分

【問０】ｘ＞2のとき、以下の不定積分を求めよ。

【問１】

ｘ＞０のとき、以下の不定積分を求めよ。

【問２】
ｘ＞０のとき、以下の不定積分を求めよ。

【問３】
ｘ＞０のとき、以下の不定積分を求めよ。

この問題の解答はここをクリックした先にあります。
この問題を自力で解いた後で、解答も見てください。役に立ちそうな補足を記載しましたので。

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指数関数変換公式

以下の指数関数変換公式が便利です。

【問題】 
以下の関数 h(x)を微分せよ。
ただし、ｘ＞０とする。

この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。
この問題を自力で解いた後で、解答のページも見て下さい。
参考のために、合成関数の微分の公式を利用して解く解答も書きましたので、、、

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関数で表した恒等式とは何

【問１】
以下の関数ｆ（ｘ）が全ての実数ｘで恒等的に０になる事を証明せよ。

g(x)=0,  (x≠0)
g(x)=100,  (x=0)
とした場合の
f(x)=xg(x),
について：

f(x)=0,
この式は恒等式であるか。

【証明】
(A) x=0 の場合：
f(x)=(0・100)=0,

(B) x≠0 の場合：
f(x)=(x・0)=0,

(C)
ゆえに、全ての実数ｘで
f(x)=0,
f(x)=0は恒等的に成り立つ恒等式である。
（証明おわり）

【問２】
問１の恒等式 f(x)=0 をｘで割り算した式は恒等式になるか。

【解答】
f(x)=0,
f(x)=xg(x)=0,

(A) x≠0 の場合：
式 f(x)=0 をｘで割り算でき、
g(x)=0, 
になる。
この式は成り立つ。

(B) x=0 の場合：
式 f(x)=0 をｘで割り算した式はg(x)になり、g(x)はx=0でg(0)=100≠0である。よって、
恒等式 f(x)=0 をｘで割り算した式は、恒等式にならない。

すなわち：
xg(x)=0,
は恒等式であるが、
g(x)=0,
は、ｘ＝０の場合には成り立たたず、恒等式ではない。
（解答おわり）

【恒等式を因数ｘで割り算した式が恒等式になる場合】
　恒等式：
ｘｇ(ｘ)＝０,
がある場合に、
その恒等式を共通因数ｘで割り算すると、
ｇ（ｘ）＝０，
が得られる。
もし、この式ｇ（ｘ）がｘ＝０の点で連続であるならば、この式は恒等式になる。
（証明開始）
ｘ≠０の場合、
ｘｇ(ｘ)＝０,
の両辺をｘで割り算して、
ｇ（ｘ）＝０，
が得られる。
一方ｇ（ｘ）がｘ＝０の点で連続であれば、
ｘ→０のｇ（ｘ）の極限値がｇ（０）に等しい。
また、ｘｇ（ｘ）が恒等式であるので、ｘ≠０でｇ（ｘ）＝０。
そのため、ｘ→０でのｇ（ｘ）の値は、いつもｇ（ｘ）＝０である。
ゆえに、ｘ→０でのｇ（ｘ）の極限値は０である。
ｇ（ｘ）がｘ＝０で連続であるので、ｇ（０）＝０，
である。
ゆえに、
ｘの全ての値において、
ｇ（ｘ）＝０，
すなわち、この式は恒等式である。
（証明おわり）

（補足）
ｇ（ｘ）が整式（単項式や多項式）の場合には、ｇ（ｘ）は連続関数です。
ｓｉｎ(ｘ)やｃｏｓ(ｘ)も連続関数です。

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恒等式の定義
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積分方程式の問題

以下の問題で言う連続関数とは、１つながりに連続な関数の事を意味するものとする。

【問１】 
x≠0のときF(x)が微分可能であって、
F '(x)=0, (1)
が成り立つものとする。
x=0の点でF(x)が連続とは限らないとき、
F(x)を求めよ。

【問２】
f(x)が連続関数である場合で、
f(x)は微分可能とは限らないとき、

を満足するf(x)を求めよ。

【問３】
関数f(x)が、関数値が無限大には発散しない関数である場合で、
f(x)は連続関数とは限らないとき、

を満足するf(x)を求めよ。

【問４】 
f(x)が連続関数である場合で、
f(x)は微分可能であるとは限らないとき、

を満足する関数f(x)を求めよ。

【問５】
関数f(x)が連続関数である場合で、
f(x)は微分可能とは限らないとき、

を満足するf(x)を求めよ。

【問６】
関数f(x)が連続関数であり、かつ、微分可能なとき、

を満足するf(x)を求めよ。

この問題の解答はここをクリックした先にある。

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立体をずれ変形させて体積を求める

三角形をずれ変形させて面積を求めた様に、立体もずれ変形させて体積を求めることができる。

上図のように頂点の１つが原点Ｏにあり、他の３頂点が、Ａ，Ｂ，Cである三角錐OABCの体積Vを求める。

以下の図の様に、図形のX座標を、Y座標に比例させて変化させる「ずれ変形」をさせる。このずれ変形によって、図形は歪むが、各部分の体積は変わらない。

この変形により、以下の様に図形がX方向に歪んで：

以下の図形に変わる。

更に、以下の図の様に、図形のZ座標を、X座標に比例させて変化させる「ずれ変形」をさせる。

この変形により、立体がZ方向に歪んで、以下の図形に変わる。

この変形した三角錘OABCの体積Vは、以下の式で計算できる。

（計算おわり）

（補足）
　なお、以上の計算で、図形のずれ変形操作は、横にしたベクトルAとBとCを縦に並べて、それらのベクトルのｘ座標の列を定数数倍して、ｙ座標の列やｚ座標の列に加える操作であるとわかりました。
　そのずれ変形操作によっては、それらのベクトルの張る立体の体積が変わりません。
　また、一方で、ベクトルAを、定数倍にして他のベクトルBやベクトルCに加える操作も行えます。その操作は、立体図形OABCの点Bや点CをベクトルAに平行に移動させる操作になります。その操作でも、ベクトルの張る立体の体積が変わりません。
　結局、
（１） 横にしたベクトルAとBとCを縦に並べた数字の行列を作る。
（２）その行列の縦の列を定数倍して他の列に足し算しても、ベクトルの張る立体図形の体積が変わらない。
（３）また、行列の横の行を定数倍して他の行に足し算しても、ベクトルの張る立体図形の体積が変わらない。
（結論）
　これらの（２）や（３）の操作を繰り返して、ベクトルA，Ｂ，Ｃを計算に都合の良いベクトルに変形できます。そうして、立体の体積を計算する事ができます。
　この事は大学に入学した後で線形代数で学びます。

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三角形をずれ変形させて面積を求める
三角形の面積をベクトルで分解して計算する
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三角形をずれ変形させて面積を求める

上図のように頂点の１つが原点Ｏにあり、他の２頂点が、Ａ（ａ_１，ａ_２）とＢ（ｂ_１，ｂ_２）である三角形ＯＡＢの面積Sを求める。

以下の図の様に、図形のY座標をX座標に比例させて変化させる「ずれ変形」をさせる。このずれ変形によって、図形は歪むが、各部分の面積は変わらない。

この変形により、以下の図形に変形される。

この変形した三角形A’B'Oの面積Sは、以下の式で計算できる。

（補足）
　なお、以上の計算で、図形のずれ変形操作は、横にしたベクトルAとBを縦に並べて、それらのベクトルのｘ座標の列を定数数倍して、ｙ座標の列に加える操作であるとわかりました。
　そのずれ変形操作によっては、それらのベクトルの張る三角形の面積が変わりません。
　また、一方で、ベクトルAを、定数倍にしてベクトルBに加える操作も行えます。その操作は、三角形OABのベクトルBの点ＢをベクトルAに平行に移動させる操作になります。その操作でも、ベクトルの張る三角形の面積が変わりません。
　結局、
（１） 横にしたベクトルAとBを縦に並べた数字の行列を作る。
（２）その行列の縦の列を定数倍して他の列に足し算しても、ベクトルの張る三角形の面積が変わらない。
（３）また、行列の横の行を定数倍して他の行に足し算しても、ベクトルの張る三角形の面積が変わらない。

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三角形の面積をベクトルで分解して計算する
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