「置換積分法」
このページでは置換積分法の考え方のポイントを概説します。
（ページ内リンク）
▽置換積分の公式の定義
▽公式の第１の証明
▽公式の第２の証明
▽逆向きの置換積分の公式
▽(別ページ)被積分関数を０で割り算して良いのか？
▽(別ページ)広義積分
▽望ましい置換積分方法（積分区間を分割する）
▽媒介する関数g(t)の条件
〇ｘ＝g(t)の関数は単調で無くても良い
〇関数t(x)=t が単調な関数では無い置換積分
〇単調で無い関数 g(x)=g で置換積分する例
□定積分を節約
▽定積分する積分区間を間違えないコツ
▽(別ページ)広義積分を前提にしたtan(x/2)等の置換積分の計算事例
▽(別ページ)置換積分のややこしい話
高校生用の微分積分の教科書や参考書は不正確で、勉強用に不適切だと思います。高校２年生が微分積分を勉強するのに適切な参考書は、大学１年生向けの参考書：「やさしく学べる微分積分」（石村園子） ￥2000円 が良いと思います。
【置換積分法】
不定積分∫f(x)dx を求めるときに，積分変数を変換して積分する事を置換積分法といいます。
置換積分では、変数の変換に伴い、被積分関数が変更されます。その被積分関数の式の変形計算では、広義積分を用いる必要を生じるなどの、被積分関数の変形のルールを正しく把握する必要があります。また、変数の変換にともない、積分範囲が変更されます。そのため、積分の範囲のルールを正しく把握する必要があります。
そのように、置換積分にともなって、積分のルールが正しく把握されているかが問われます。以下では、そのルールの正確な情報を説明します。
しかしながら、ルールをあまり知らないでも、とにかく置換積分法に慣れて使い始めたい方もいると思います。その方には、ここをクリックした先で分かり易く説明しているサイト等を参考にしてください。そして置換積分法に慣れて心に余裕が出てきたら、このサイトに戻ってきて欲しいと思います。
例えば、以下のパターンの置換積分の第２の定理の適用に慣れてください。
《１つの例》
《もう１つの例》
《更にもう１つの例》
置換積分法は、以下の図の様に、
「積分する微小面積を、変数ｘでのグラフと変数ｔのグラフとで同じにして、積分した総面積を同じにする」
ように被積分関数f(x)を被積分関数h(t)に変換するものです。
(置換積分法の第１の定理)
関数f(x)が、変数ｘのある連結した区間内の全ての実数で定義された、１つながりに連続な関数である場合、
変数ｘを、微分可能な関数g(t)で、x=g(t)という式で変数ｔに変換すると、
が成り立つ。
（置換積分の第１の定理おわり）
(置換積分法の第２の定理＝逆向きの定理)
置換積分法には、以下の、逆向きの置換積分の定理があります。
「生き抜くための高校数学」（芳沢光雄） の４１７ページに逆向きの置換積分の使い方の説明があります。
ｘで微分可能な関数s(x)でｓ=s(x)とした変数ｓを使った置換積分によって、以下のように変数ｘを変数ｓに変換して積分できます。
この、置換積分の第２の定理では、dx部分をdsに置き換えるのと同時に、f(x)部分をp(x)に置き換える際にf(x)をs'(x)で割り算してp(x)にしている。
あるx=aの点でs'(a)=0となる場合、そのx=aの点で、式を0で割り算する計算をしているので、これは、式の同値変形では無い。
しかし、被積分関数の分母にs'(a)=0という関数があっても、広義積分によって、積分した結果の関数が、x=aで極限値を持てば、その極限値をx=aでの積分の値であると定義できる。
そのため、s'(a)=0となる関数が分母に来て、積分の定義域からx=aとなる点が除外されても、広義積分によって、x=aでの関数の極限値が存在すれば、x=aの点を定義域に復活できる。また、その極限値が存在しないならば、x=aとなる点で関数が定義され無いことがそのままで正しい。その場合は、x=aの点をまたいで積分してはいけない。積分の範囲がx=aの点までになるのです。そのため、s'(a)=0となる関数s'(x)が分母に来ても良いのです。
（置換積分の第２の定理おわり）
この置換積分の定理（置換積分の公式）は、以下の図の様に、
「積分する微小面積を、変数ｘでのグラフと変数ｔのグラフとで同じにすれば、積分した総面積も同じになる」
事を表した定理です。
（必要条件）ΔxもΔtも f(x)Δx=h(t)Δt も微小量であること。
また、微小面積が０になる場合までは考えていない。
それは当たり前で、無条件に成り立つ事のように思えるので、それが成り立つための条件を付ける事自体が余分でおかしな事の様に思えます。
しかし、無条件に成り立つわけではなく、
ΔxもΔtもf(x)Δx=h(t)Δt も微小量であることという必要条件が必ず成り立たなければなりません。
また、微小面積が０になる場合は、対象外です。
公式に付けた条件の、x=g(t)が微分可能であるという条件は、ΔxもΔtも微小量であるために必要な条件を数学的に記述したものです。
また、g(t)が微分可能であるという条件が満足できない場合には、変数ｘの区間を、公式の条件が完全に満たされる狭められた区間に分割し、その分割した区間毎に置換積分を行なう。それで得た複数の区間毎の不定積分を、分割した区間の端でつないで１つながりに連結した不定積分に拡張する。そうすれば、g(t)が微分可能で無い点で区間を分割して不定積分し、後で各区間の不定積分をつなげば良いので、公式の条件が満足できない場合にも対応できます。
【第１の定理の第１の証明】
（１）先ず、ｘを媒介変数 ｔ であらわす関数ｇ（ｔ）は、ｔが変化したときにどのくらい変化するか調べる。
そのため、ｘ＝ｇ（ｔ）をｔで微分する。
ｘ＝ｇ（ｔ）がｔで微分可能、すなわち、（Δｘ／Δｔ）が有限の値ならば、
Δｘが以下の式であらわされる。
（２）その場合に、以下の式が成り立つ。
以上の計算で、g'(t)の値が確定した有限の値でありさえすれば、たとえ、g'(t)が不連続な関数になってもかまわない。
（証明おわり）
【第１の定理の第２の証明】
置換積分法は、合成関数の微分の公式の同類です。
（証明開始）
先ず、
とすると，
である。
そこで
とおき，
を考えると，g(t)が微分可能であれば、
合成関数の微分の公式によって、
となる。
（合成関数の微分の公式はここをクリックした先を参照）
そして、その様にその関数 f(g(t))g'(t) の値が有限の範囲内にあれば、以下の式の左辺の積分が可能である。
（もしg'(t)が連続関数であれば、関数 f(g(t))g'(t) は連続関数になるので微分積分学の基本定理の条件が満足され、以下の式の左辺の積分が確実に可能である）
となります。
（証明おわり）
【第２の定理＝逆向きの置換積分の定理】
置換積分の公式の概念は：
（必要条件）ΔxもΔtも f(x)Δx=h(t)Δt も微小量であること。
また、微小面積が０になる場合までは考えていない。
という概念に基づく公式でした。
微小面積が０になる場合を全く考慮せずに、
という条件に限定すると、
dx/dt≠0,
dt/dx≠0,
となってしまうので、
公式の制約が大きいです。
（場合１）dx/dt=0の場合
しかし、先に証明できた置換積分の第１の定理は、
dx/dt=0
の場合に適用できます。
とすると：
dx/dt=0
の場合にも使える第１の定理：
すなわち、
の場合に：
となる場合に、
を積分範囲に含んで、
が成り立つという置換積分の第１の定理が使えます。
（場合２）dt/dx=0の場合
dt/dx=0
の場合には、
x=g(t)の逆関数の
を使う第２の定理を使います。
すなわち、
の場合に、
となる場合に、
を積分範囲に含んで、
が成り立つので、この式を逆さにした、
という形の式の第２の定理＝逆向きの置換積分の定理を使います。
しかし、このように式を逆向きにして使って良いとする論理には欠陥があります。
置換積分の第１の定理ならば、式h(t)が定義されていて、かつ、s'(x)が定義されているならば、変数ｔで積分する被積分関数h(t)を、変数xで積分する被積分関数f(x)に変換できます。この場合は、h(t)が定義されていれば、必ずf(x)が定義されます。しかし、第２の定理では、式f(x)が定義されているならば、必ず式h(t)が定義されるという保証は有りません。そのため、そのまま、第１の定理の式を逆にして、h(t)=f(x)/s'(x)=p(x)=h(t)を被積分関数にした積分を正当化する事には論理の欠陥があります。しかしながら、広義積分を適用することで、s'(x)=0の場合を無視して良くし、また、h(t)が定義されなくても積分を可能にしているのです。
（補足）---------
第２の定理の式は、置換積分する中間の式に、
dtとなる、dt=s'(x)dx
が出て来る式です。
置換積分の第１の定理では、
置換積分する中間の式に、
dxとなる、dx=g'(t)dt
が出て来ていました。
置換積分の第１の定理と第２の定理（＝逆向きの置換積分）は、
xの関数s'(x)とdxをまとめたs'(x)dxを、ds(x)=dtに置き換えて考える（第２の定理）か、
dx=dg(t)を、tの関数g'(t)を使ったg'(t)dtに置き換える（第１の定理）か、だけの違いです。
s'(x)=1/g'(t)
であり、（(dt/dx)=1/(dx/dt)とも表現できます）
g'(t)=1/s'(x)
です。（(dx/dt)=1/(dt/dx)とも表現できます）
dx/dt=g'(t)が無限大になった場合に第１の定理は使えないのですが、s'(x)=0は存在するので、s'(x)を使った第２の定理を使って計算をする事が多いですが、それはごまかしです。第２の定理でも、「被積分関数を割り算する関数s'(x)が0でない」という、第１の定理での、g'(x)が存在するべき制約条件に対応する制約条件が必要だからです。しかし、広義積分を適用することで、被積分関数を割り算する関数s'(x)が0になっても問題無く積分できるようにしています。
（補足おわり）------------
例えば、
以下の積分を考えます。
ここで、以下の様に変数ｘを関数g(t)を使って変数ｔに変換する事を考えます。
この場合に、関数x=g(t)のグラフは下図のようになります。
ｔ＝１のとき、
g'(t)が無限大になり、有限の微分係数g'(x)=dx/dtが存在しないので、第１の定理が使えません。
その場合には、関数x=g(t)の逆関数t=s(x)を考えて、その関数s(x)の微分s'(x)=dt/dxを考えて、
関数s(x)を使うのであれば、微分係数dt/dx=s'(x)の値が有限の値になるので第２の定理を使う事が多いです。cos(x)=dt/dx=s'(x)としてcos(x)を置き換える以下の計算が行われています。
このようにして、逆向きの置換積分により、g(t)の逆関数t=s(x)を使って変数ｘを変数ｔに置換積分する積分ができたように見えます。しかし、この逆向きの置換積分の計算には、厳密には、s'(x)≠0という制限条件が必要です。しかし、広義積分を適用することで、s'(x)≠0という制限条件を無視しても良いのです。
リンク(別ページ)被積分関数を０で割り算して良いのか？
リンク(別ページ)広義積分
【望ましい置換積分方法】《積分区間を分割する》
置換積分の関数の条件は、関数を積分する変数の連結区間[a,b]内での条件である。もし、その条件が満足されない場合には、連結区間を狭くした範囲内のみで考えれば、その条件が満足できるようになると認識するべき。
また、置換積分を考え易くするために、更に以下の関数の条件を加えても良い。
すなわち、連結区間(a,b)での関数f(x)の積分を媒介する関数ｘ＝g(t)は、単調増加関数か単調減少関数であるものとする。この条件の関数g(t)を用いて置換積分することが望ましいと考える。
そういう関数x=g(t)を用いる条件は、置換積分する関数y=f(x) の変数ｘの区間(a,b)を細分化するだけで実現できる。その各区間(a,b)毎に、関数y=f(x)の積分を媒介する関数x=g(t)を定義して使えば良い。そうすれば、その関数x=g(t)の逆関数が存在する。それにより置換積分が行ない易くなるので、それが望ましい。
単調な関数を使って変数 x を変数 t に変換するという事は、変数 x と変数 t を１対１対応させることを意味する。そのように、変数同士を１対１対応させている条件の下では、等式の左右の項を各々２乗した等式を作る式変形は同値変形である。出来上がった等式は元の等式と等価な式である。そのように、多くの式変形が同値変形になるという便利さがある。
置換積分の変数ｘを変数ｔに変換する関数x=g(t) に単調な関数を用いるという条件が大切です。その条件を緩めても置換積分が可能な場合がありますが、関数x=g(t)に単調で無い関数を用いる事は望ましく無い。
なぜならば、単調な関数には逆関数が存在するので、積分の計算の見通しが良くなる利点があるからです。
（積分区間を分割して、それぞれで積分する）
媒介関数x=g(t)を単調な関数にするには、変数ｘの定義域を、関数x=g(t)が単調になる区間毎に分割する。その区間毎にx=g(t)が単調な関数になるので、各区間で、x=g(t)の逆関数が存在する。その区間毎に不定積分を求め、それらの不定積分を連結して１つながりに連続な不定積分を求める広義積分を行なえば良い。それにより、関数x=g(t)を単調で無い関数（逆関数が存在しない）にした場合と同じ積分ができる。そのため、変数xの定義域を、関数x=g(t)が単調な関数になる区間に分割して、見通しの良い計算をする事が望ましいのです。
（１）
考え易い関数を使って置換積分の条件を単純化するために、以下の関数を使うことが望ましい。
すなわち、積分を媒介する関数ｘ＝g(t)は、１つながりに連続であって、単調増加関数か単調減少関数であるものとする。
単調増加関数か単調減少関数には必ず逆関数が存在するので、逆関数の概念も使って積分の計算が進められ計算の自由度がとても大きくなる効果があります。
（２）
もし、媒介関数x=g(t)がある積分区間で単調な関数で無ければ、x=g(t)が単調である区間に積分区間を分割する。そうすれば、その分割された積分区間でx=g(t)が単調な関数になる。その各区間毎に置換積分すれば良いのです。
x=g(t)は、すなわち、媒介変数ｔによる関数x=g(t)の値は、変数ｘの全部の範囲をカバーしないで良いのです。被積分関数f(x) が変数ｘによって定められる変数ｘの全区間の一部の区間をカバーするだけで良いのです。
（３）
変数ｘの区間(a,b)に限って置換積分して不定積分F(x) を求める。そのｘの区間(a,b)に隣接するｘの区間(b,c)で置換積分して不定積分F(x) を求める。それらの不定積分の関数F(x) 同士が、 区間(a,b)と区間(b,c)が隣接する境界点ｂに近づく極限で、不定積分の関数の有限な値の極限値があるか確認する。不定積分の極限値が存在すれば、その極限値を点ｂでの不定積分の値F(b) と定義する（広義積分をする）。そして、不定積分の関数の区間を連結して(a,c)にし、その区間で定義された不定積分の関数F(x) を得る。
すなわち、不定積分F(x) の変数ｘの区間の部分の、確実に置換積分可能に範囲を狭めた変数ｘの連結区間(a,b)やｘの連結区間(b,c)で定義される不定積分の関数F(x) を複数求め、その不定積分の関数F(x) の定義域を広義積分でつなぎ、そうして連結した区間で定義される１つながりに連続した不定積分の関数F(x)を作れば良い。
（「積分可能の定義」のページで説明した、部分部分の関数の接続方法と同じです。）
その１つながりに連続した不定積分の関数F(x) は、置換積分可能な媒介関数x=g(t)の制限を可能な限り緩めて置換積分して得た解の不定積分の関数F(x) と同じになる。
（４）
その様に、後で不定積分の関数F(x) の定義域を連結する事を前提にして、以下の様に、置換積分する被積分関数f(x)を、その変数ｘを適切に媒介変数ｔに置換できる関数x=g(t) が有効に使える（分割された）変数ｘの区間(a,b)を求める。
（Ａ）被積分関数f(x)の変数ｘのある区間(a,b)で定義される関数f(x) の部分を考え、
（Ｂ）また、その変数ｘの区間(a,b)内の全てのｘの値をx=g(t)と表す、a=g(ta), b=g(tb)となる１つながりに連続な関数x=g(t) で、
ｔの区間の端を除いた連結区間(ta,tb)又は連結区間(tb,ta)の点でｔで微分可能な関数x=g(t)を考える。
（Ｃ）また、関数x=g(t)の値が、変数ｔの区間(ta,tb)又は区間(tb,ta)で、単調増加か単調減少であるように、変数ｔの区間(ta,tb)又は変数ｔの区間(tb,ta)とｘの区間(a,b)を定める。
（Ｄ）x=ｇ(t) をｔで微分した導関数g'(t)も連続な関数となる（連続微分可能）関数x=g(t)を使う。
（Ｅ）それらの条件が成り立つｘの区間(a,b)とｔの連結区間内で定義される不定積分：
を求める。
（５）
そうして、ｘの区間(a,b)毎に別々にf(x)の不定積分F(x) を計算する。そして、それらのf(x)の不定積分F(x) の変数ｘの区間(a,b)と(b,c)の境界点ｂでの不定積分F(x)の有限な極限値が存在すれば、その極限値を点ｂでの不定積分の値F(b)と定義する（広義積分）。そして、不定積分F(x) の定義域(a,b)と(b,c)を連結して、(a,c)を定義域にする不定積分の関数F(x) を求める。
このようにして、見通しの良い関数x=g(t) を使って置換積分する事が望ましい。
【媒介する関数x=g(t)の条件】
《x=g(t)が微分可能という公式の条件の意味》
置換積分の公式の前提条件にある、x=g(t)が微分可能であるという条件の意味は、第１の証明で使ったΔｘを以下の式であらわすため。
そのために導関数g'(t)が存在する事が必要でした。
導関数g'(t)が存在しない点がある場合は、媒介関数g(t)の逆関数s(x)を考えて、
という変換を考える逆向きの置換積分の公式（第２の公式）を使って、
s'(x)dx=dt
という置き換えをしてｘによる積分の式をｔによる積分の式に変換してg'(t)が存在しない問題を回避します。それにより問題が回避できる根拠は広義積分によります。
積分区間の点で、導関数g'(t)が存在しない場合に、その点を除いて分割した積分区間で積分が可能です。そして、広義積分を用いて、g'(t)が存在しない点での積分の値を定め、その点で、分割した積分区間をつなぐことで、g'(t)が存在しなかった点を含む領域にわたる置換積分が可能です。
分割した積分区間の端点（境界点）でg(t)が微分可能で無くg'(ta)やg'(tb)が存在し無くても、分割した積分区間の中でg(t)が微分可能であれば積分が可能です。
（広義積分の解答を書く場合には、良く説明する必要があります。ただし、高校数学では広義積分は扱わない。）
《変数ｘを変数gで表す関数x=s(g)の一部を切り出して使う事例》 以下の様に、被積分関数f(x)の変数ｘでの積分を、変数ｘの定義域のうち、x≧0の変数ｘの区間を、関数x=s(g) の変数ｇのg≧0の区間に対応させて、変数ｘを、x=s(g) の式を使って変数ｇに置き換えて置換積分する場合を考えます。
定義域がg≧0である関数x=s(g)の変数ｇを媒介変数にして置換積分する場合は、先ずは、被積分関数f(x) の変数ｘのｘ≧０の区間内でのみ、被積分関数f(x)の変数ｘによる積分を変数ｇによる積分に置換積分できる。
（事例おわり）
この置換積分では、x≧０の区間内でのみ定義された不定積分の解が得られた。
（置換積分の条件が合っているか）
置換積分の条件は、
（１）ある連結区間[a,b]でf(x)が連続な関数である。
（２）その区間[a,b]内の全てのｘの値をx=g(t)と表し、
g(ta)=a, g(tb)=bとなる関数g(t)が、
変数ｔの連結区間[ta,tb]又は連結区間[tb,ta]で微分可能である。
（３）その変数ｔの連結区間[ta,tb]又は連結区間[tb,ta]で、関数x=g(t)の値が、連結区間[a,b]から、はみ出さないものとする。
この事例では、ｘ≧０の区間という狭められた区間[a,b]で、上記の置換積分の条件が成り立っている。上記の置換積分の条件の意味する事は、そういう条件を満足する区間に、関数f(x)及びh(g)の定義域を狭めて置換積分を行うという事を意味する。
（事例の続き）
この事例の置換積分では、関数f(x)のｘ＜０の区間での不定積分はできていない。x<0の区間の不定積分は、以下の様に行なうことができる。すなわち、定義域がu<0である変数uを、ｕでｘを表す関数x=s(u) を使って、x<0の変数ｘに対応させる置換積分をすることができる。
そして、定義域がu<0である変数ｕを媒介変数にして、被積分関数f(x) のｘ＜０の区間内での変数ｘでの積分を、変数ｕによる積分に置換積分できる。
（事例の続きのおわり）
この置換積分では、x＜０の区間内で被積分関数f(x) の不定積分の解が得られた。
以上の媒介変数ｕによる式と媒介変数ｇによる式を合わせると、変数ｘの全領域での被積分関数f(x) の変数ｘによる不定積分の解を表す式が得られた。
《ｘ＝g(t)の関数は単調で無くても良い》
第１（及び第２）の証明において、例えば、下の図の様に、x=g(t) という関数が、a=g(ta)となるｔ＝taから始めて、ｔとともに増加するが、g(tb)=bに達する前に、一旦減少して、再び増加して、g(tb)=bに達する関数x=g(t) であっても、この証明が成り立っている事に注意する事。
そういう関数x=g(t)を使って置換積分しても良いのです。
また、置換積分する被積分関数f(x)の積分変数ｘの定義域を、ある連結区間[a,b]に狭くできれば、変数ｘを変数ｔに置換するための関数x=g(t)は、その区間内のｘを表す事ができるだけでも良い。その関数x=g(t)が、その連結区間の外のｘの値を表す事ができなくても良いのです。
《関数t=t(x)が単調な関数では無い置換積分の例》
変数ｘでの関数f(x)の積分を、以下の様な、単調では無い関数t(x)であらわされる変数t=t(x)で置換積分することもできる。
この場合には、この関数t=t(x)を、図の点Mで２つの関数に分割して、それぞれの関数毎に置換積分する。
以下の積分を、以下のパターンの第２の置換積分の公式を使って置換積分する。
以下の積分を計算する：
先ずは、ｘ≧０を定義域とする関数t=t(x)で置換積分する。
次に、ｘ≦０を定義域とする関数t=t(x)で置換積分する。
この２つの置換積分を合成した置換積分にする。その際に式(3)と式(5)を省略して計算ができる。そして、その、省略できる式(3)と式(5)以外の式は同じ式なので、式(3)と式(5)以外の式だけを使って、２つの置換積分を１つにまとめた計算式で置換積分しても良い。
（事例おわり）
《関数g=g(x)が単調な関数では無い置換積分の例》
以下の様に、被積分関数f(x)の変数ｘでの積分を、媒介変数ｇ=g(x)を使って、第２の置換積分の公式で置換積分する事例を考える。
見通しの良い解答のためには、変数ｘの定義域を分割した区間毎に単調な変数変換の関数を用いて積分することが望ましい。そのため、以下の様に、変数ｘの区間毎に、変数変換の単調な関数h(g)=xとp(g)=xを定義して解く。
先ず、一旦は、以上の式２と式３で、変数ｘの定義域を分割した区間毎に、積分を媒介する単調な関数h(g)とp(g)を定義する。それらの関数は、逆関数が存在するので、積分の見通しが良くなるので嬉しい。
次に、式１を微分して式４を導き、以下の様に計算する。
（解答おわり）
この解は、式２と式３が計算に代入されず無駄にあるように見えますが、式２と式３は、変数ｘと変数ｇの対応関係を明確にしたという意味を持つので、必要な式です。
（単調で無い関数 g で置換積分し定積分の計算を節約）
ちなみに、この不定積分を使って、
x＝−１からx＝１まで、ｘの関数の定積分を求めると、
１の２乗−（−１）の２乗＝０
になります。
それに対応する、
（ｘ＝−１から０）ｇ＝１から０まで
（ｘ＝０から１）ｇ＝０から１まで
のｇの関数の定積分は、
それぞれの区間でｇの関数の定積分の和を求め、
総体の定積分の結果は０
になります。
この場合は、以下の様に、媒介変数ｇを用いた積分の被積分関数は、ｇ＝１から０までの積分区間でも、ｇ＝０から１までの積分区間でも、同じｇの関数になる。そのため、その被積分関数を積分の起点のｇ＝１から積分の終点のｇ＝１までの積分としても良い。
（解答開始）
（解答おわり）
しかし、媒介変数ｇによる積分区間が１～１のように見えるのはみせかけにすぎず、この積分の正しい区間は、
１→０→１
です。
この区間内に積分が不可能な点（例えば無限大に発散する点）が含まれている場合は、この積分はできません。
その正しい積分区間
１→０→１
で、関数が異常になる点が無いかどうかを点検した上で、積分区間を
１→１
に節約して積分ができるのです。
（定積分の計算の節約の説明おわり）
（補足）
この問題の置換積分を逆にして、変数ｇによる積分を、第１の置換積分の公式を使ってg=g(x)として、変数ｘによる積分に変換する置換積分を考える。すなわち、以下の計算を考えます。
第１の置換積分の公式の証明では、関数g=g(x)が単調増加な関数で無くても公式が成り立っています。そのため、以上の計算には全く問題がありません。このように、単調では無い関数g=g(x)を使って置換積分しても良いのです。
（補足おわり）
このように、置換積分の公式は、第１の置換積分の公式と合わせて、第２の置換積分の公式も使え、双方向の変数変換の置換積分の公式が使えます。単調な関数h(g)の逆関数s(x)を使って、式を逆向きに置換積分する第２の置換積分を考えると、積分の過程が明確になって理解し易くなります。媒介関数h(g)の微分可能性が妨げになっても、その逆関数の媒介関数s(x)の微分可能性は妨げにならなければ、妨げが少ない関数を使って第２の置換積分をします。（しかし、その妨げが避けられている本当の理由は、広義積分をしているからです）
《導関数dx/dt=g'(t)は連続で無くても良い》
参考書によっては、導関数dx/dt=g'(t)も連続な関数である（「連続微分可能」とも言う）場合を、置換積分の公式が成り立つ条件としている参考書もあります。しかし、その条件が無くても公式は成り立ちます。以下で、その理由を説明します。
「関数x=ｇ(t) を微分した導関数dx/dt=g'(t)も連続な関数である」
という条件が加えられる理由は、
導関数dx/dt=g'(t)が連続な関数であれば、それと何か連続な関数との積も連続関数になり、連続な関数は積分可能だから、置換積分の公式を証明し易くするために設定された条件でした。
しかし、連続な関数で無くても積分可能な関数はあります。F(x)のある点で微分が出来なくても、その点でF'(x)=f(x)が発散しない限り、F'(x)=f(x)は、その点も含んだ積分区間で積分が可能です。
また、第１の証明の中での前提条件は、F'(x)=f(x)が有限の値である事であって、F'(x)=f(x) が連続である事は証明には必要ありませんでした。
そのため、この条件は、本来は必要ない。（この条件は、置換積分を把握し易く考え易いようにするために加えられた条件です。この条件を守って置換積分するならば、計算の見通しが良くなり計算ミスを防ぐ事ができます。）
「本来は、y=F(x)が微分可能で、F'(x)=f(x)が存在する」という条件だけで充分と考えます。
「微分可能関数の導関数は、中間値の定理も満たすので連続関数に極めて近い関数ではないか」
（微分可能な関数F(x)の導関数dF/dx=F'(x)が不連続な例）
以下で定義する原始関数Ｆ(x) に対して、F'(x)＝ｆ(x) とすると、
ｆ（ｘ）=F'(x)は、
Ｆ(x) の微分で作られたので、積分可能です。
（Ｆ（ｘ）の定義）
ｘ≠０の場合：
ｘ＝０の場合： Ｆ（０）＝０，
（導関数ｆ（ｘ）=F'(x)）
原始関数Ｆ（ｘ）はｘ≠０の場合も、ｘ＝０の場合も、微分可能で、
その導関数ｆ（ｘ）=F'(x)は、以下の式であらわせます。
ｘ≠０の場合の微分：
になり、ｘが０に近づくと－１と１の間を振動します。
この導関数が含むｃｏｓ（１／ｘ）の関数が以下のグラフであらわす形の関数になるからです。
Ｘ＝０の場合にも、Ｆ（ｘ）は微分可能で：
というように、０になります。
このように、ｘ＝０の場合の導関数ｆ（ｘ）=F'(x)は、ｘ＝０で不連続ではありますが、ｆ（０）＝０という値を持ちます。
この導関数ｆ（ｘ）=F'(x)は、ｘ＝０で不連続ですが、ｘ＝０で関数値を持ち、積分すると原始関数Ｆ（ｘ）になる、積分可能な関数です。
しかも、その積分結果の原始関数Ｆ（ｘ）を微分すると、元の、ｘ＝０で不連続な関数ｆ（ｘ）＝F'(x)が得られます。
この様な関数F(x)を使って変数ｘ＝g(t)=F(t) という式で変数を変換する置換積分をした場合、関数g'(t)=F'(t) は細かく振動しますが、関数値g'(t) が無限大に発散する事が無く有限な値を持つ、変数ｔで積分可能な関数です。
g'(t)=F'(t) は変数ｔで積分可能なので、その関数g'(t) を含む、x=g(t) で変数ｘを変数ｔに変換する置換積分の公式も成り立ちます。
そのため、
そういう事からも、置換積分の公式の条件は、「x=g(t)が微分可能で、dx/dt=g'(t)が存在する」という条件だけで充分のように考えます。
《関数x=g(t)は完全に微分可能で無くても良い》
「関数x=g(t)が微分可能な関数である」条件は、広義積分においては、変数ｔの定義域内の疎らな点で関数g(t)が微分可能で無くても、それ以外の区間でg(t)が微分可能であれば置換積分が成り立ちます。
その事を以下で説明します。
合成関数の微分の公式が成り立つので、置換積分の公式が成り立ちました。
しかし、合成関数の微分の公式が成り立たない場合にも置換積分の公式が成り立つ事がある事に注意する必要があると考えます。
ある１点ｔにおいて、
例えば、g(t)が微分可能では無くて、合成関数の微分の公式：
が成り立たない点があった場合。
その点を除外した、その点の両側の連結区間で、各々積分ができます。
そして、その積分の後で、その１点ｔの両側の積分区間での積分結果の関数を１つながりに連結する事もできる。そういう操作（広義積分）で得た関数では、
が成り立ちます。
すなわち、被積分関数の積分変数ｘの連結区間[a,b]の中に、合成関数の微分の公式が成り立たない１点が含まれていても、広義積分の不定積分では、置換積分の公式が成り立つ事があります。
この点で、広義積分における、置換積分の公式は、合成関数の微分の公式とは異なります。
g(x)が微分可能ということは、広義積分においては、積分区間の全域で完全に成り立っていなくても良いのです。
【不定積分の区間は開区間(a,b)にもできる】
不定積分の置換積分の公式は、積分範囲を、区間の端を含めない開区間(a,b)にしても成り立つ。
定理3.4 (置換積分法)
ある連結開区間(a,b)でf(x)が連続な関数である場合
（その場合は、その開区間の端ではf(x)及びその不定積分が無限大に発散する事があり得るが、(a,b)に含まれる閉区間での定積分は無限大にはならない）、
変数ｘ＝g(t)とおくと、g(t)が微分可能であれば、
が成り立つ．
（公式の定義おわり）
この様に、不定積分の区間を連結する開区間(a,b)にする場合は、g(t)の微分可能性の条件も、区間の端を考えないで良いので単純に開区間(ta,tb)又は(tb,ta)で微分可能であるだけで良くなり、分かり易くなる。
ここで、開区間(a,b)で関数f(x)の不定積分を求めた場合、その不定積分が定義される開区間(a,b)をはみ出した区間で定積分してはいけません。例えば、区間の端点を含めた閉区間[a,b]で定積分してはいけません。
また、媒介関数g(t)が微分可能で無く置換積分の条件が成り立たない場合に先ず行う事は、
逆向きの置換積分を行うと良いと考えます。
すなわち、媒介関数g(t)の逆関数s(x)を考えて、
という変換を使う逆向きの置換積分の公式を使って、以下の式の形の公式を使って積分変数を変換すれば良いのです。
この式で、
s'(x)dx=dt
という置き換えによって、
dxをdtに変換すれば良いのです。
このようにして、媒介関数g(t)=x がｔで微分可能でなかった問題を回避します。（ただし、先に説明したように、s(x)を使う逆向きの置換積分の計算によっても、g(t)が微分可能で無かった問題は解消していません。広義積分の概念によってこの問題が解消するのです。）
（定積分の置換積分の公式について）
また、定積分の積分区間は、必ず端がある閉区間[c,d]です。そのため、定積分の置換積分の公式は、積分区間が閉区間に限定された場合の公式になります。その点で、定積分の置換積分の公式は、不定積分の置換積分の公式と違ってきます。
【定積分する積分区間を間違えないコツ】
後で説明する、置換積分を媒介する関数g(t)の条件を緩められる事の説明の中の事例のように、被積分関数が不連続であっても積分できることがある。
そのため、被積分関数が連続であるか否かという、積分可能の判定条件は、広義積分においては、便宜的な十分条件であって、積分可能のための必要条件ではありません。
広義積分における置換積分の公式の必要十分条件（積分可能の条件）は、積分可能の定義のページで説明した様に、
不連続な関数ｆ（ｘ）に対しても、
その定義域を、関数ｆ（ｘ）の連続で無い点を除外した連結区間に分割し、
それら各連結区間毎に不定積分を計算し、
得られた各不定積分を連続につないで１つながりに連続な不定積分を構成します。
その不定積分を使って
Ｆ（ｂ）－Ｆ（ａ）
の式で定積分を計算して良いのです。
この、
「積分結果の不定積分の関数F(x)が積分区間[a,b]で１つながりに連続する」
という条件が、
拡張した置換積分の公式においても、公式が成立する区間[a,b]を定めるための必要十分条件であると考えます。
（もう１つの注意点）
不定積分する積分区間は、
f(x)を積分する積分変数ｘが積分区間内を動くとき、
被積分関数f(g(t))g'(t)を積分する積分変数ｔが、どの点からどの点まで動くかを調べる事が必要です。
その積分範囲は、
被積分関数f(g(t))g'(t)を変数ｔで不定積分して得た関数H(t)が連続で無い点をまたぐ範囲ではないハズです。
関数H(t)が連続で無い点をまたいだ範囲を積分範囲と考えてはいけません。
その積分の範囲が、例えば、
t=taからt=∞、
t=－∞から、t=tb
までというように、積分変数ｔの積分範囲が分断された区間になる場合もあります。
そのように区間が分断されている場合は、
H(∞)－H(ta)＝＝Aと、
H(tb) －H(－∞)＝B
とを分けて求めて、
A+Bを求めれば良いのです。
《置換積分法のややこしい話》
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