佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強
【難問】以下の式を簡単な式に変換せよ。
ｃｏｓθ・ｃｏｓ（２θ）・ｃｏｓ（４θ）・ｃｏｓ（８θ）
【解答の心構え】この問題は、いきなり出されても解答を思いつく人はまれだと思う。
（そもそも、以下の答えが「単純」であるかどうかについての異論もあると思う。）
以下の解答を見て、解き方を覚えておくこと。
（解答のコツ）
三角関数を分数に変換する公式を使うことが解答のポイントです。
（解答おわり）
なお、ｓｉｎ（１６θ）＝ｓｉｎθとなるような特別な角度の場合には、この答え＝（１／１６）になる。
例えば、θ＝π／１７の場合などに、そうなる。
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佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強
【問１】頂角に以下の関係がある△ＡＢＣはどのような三角形か。
ｓｉｎＡ＝２ｃｏｓＢｓｉｎＣ
【解答の心構え】先ず考えるべきことは、問題をもっとやさしい問題に変換できないかを考えること。
図形の問題は図を書いて考えること。
この問題は、上図のように問題を変換すると問題がやさしくなる。
変数Ａを消去することで問題をやさしくする。
ｓｉｎ（Ｃ＋Ｂ）＝２ｓｉｎＣｃｏｓＢ （式１）
三角関数の式を、式の２項を積の式同士に整合する（項の式の形を合わせる）。
そのために、式１の左辺を積の式に変換して右辺の式の形に合わせる。
ｓｉｎＣｃｏｓＢ＋ｓｉｎＢｃｏｓＣ＝２ｓｉｎＣｃｏｓＢ
ｓｉｎＢｃｏｓＣ＝ｓｉｎＣｃｏｓＢ
ｔａｎＢ＝ｔａｎＣ
よって、△ＡＢＣは、∠Ｂ＝∠Ｃの二等辺三角形である。
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強
三角関数の和と積の公式は、加法定理の一種です。
先ず、積を和に変える公式は以下の公式です。
これらの公式のうち１番目の公式は、以下の様にベクトルの内積の計算を利用して証明できます。
次の２番目の公式は、以下の様にベクトルの内積の計算を利用して証明できます。
３番目の公式は、以下の様にベクトルの内積の計算を利用して証明できます。
次は、和を積に変える公式です。
ｃｏｓの和を積に変える公式は以下の公式です。
この公式を使う際には、この証明の最初の１行目の式を書いてから、加法定理を暗算して積の式を導くと、簡単に使えるようになります。
ｓｉｎの和を積に変える公式は以下の公式です。
この公式を使う際にも、この証明の最初の１行目の式を書いてから、加法定理を暗算して積の式を導くと、簡単に使えるようになります。
教科書で教えている公式は以上ですが、
以下の公式も覚えておいた方が良いです。
三角関数を分数の和に変換する公式（積を和に変える公式の変形）です。
この公式は、角度Ｂ＝Ａの場合には、以下の式になる。
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【三角関数の合成の公式】
すなわち、以下の式：
の変形の公式は、加法定理の一種です。
この式の係数：
とあらわせます。
そして、式１は以下の式に変形できます。
この式はｓｉｎの加法定理であるので、以下の式になります。
このように、ａ・ｓｉｎθ＋ｂ・ｃｏｓθは、１つのｓｉｎにまとめることができます。
《（ａ・ｓｉｎθ＋ｂ・ｃｏｓθ）はベクトルの回転をあらわす式》
ベクトル（Ｘ，Ｙ）が既にＸ座標軸から角度アルファで回転していた場合に、それよりも更にθ回転したベクトル（Ｘ’，Ｙ’）を考える。そのベクトルの成分Ｘ’とＹ’は以下の式６と７であらわせます。
式７は、もともと角度α回転していたベクトル（Ｘ，Ｙ）が更に角度θ回転したベクトル（Ｘ’，Ｙ’）と単位ベクトル（０，１）との内積です。
そのため、式１は式７と（全体にかかる係数だけ違う）同じ式であり、式７のsin(α＋θ)と（全体にかかる係数だけ違う）同じ式です。
式１の各係数ａとｂは、
式７のcos(α)とsin(α)と式２と式３で対応させることができます。
式１は、式７のsin(α＋θ)に係数を掛け算した以下の式であらわせます。
【問１】
ｘの関数ｆ（ｘ）の０≦ｘ≦（２π）における最大値，最小値を求めよ。
【解答】
倍角の公式より
なお、
－π／４≦２ｘ－（π／４）≦８π－（π／４）
－π／４≦２ｘ－（π／４）≦７π＋（３π／４）
この角度の範囲で、この三角関数が単位円を１回転以上回転できる。
∴ －２√２－１≦ｆ（ｘ）≦２√２－１
（解答おわり）
【問２】（蛇足問題：大学レベルの問題）
複素数係数の三角関数の合成はどうしたら良いか。
以下の式：
は、どのように整理して表したら良いか。
【解答】
この問題は、大学レベルの問題であって、オイラーの定理を使って式を整理します。
オイラーの定理によって以下の関係が成り立ちます。
オイラーの定理を使うことで、問題の式が以下の式に変形・整理できます。
（解答おわり）
（補足）
以上の解答の様に、複素数係数の三角関数の和を整理した式は、上の解答のようなexp()関数による表現も必要です。この表現の式は、どのように変形しようとしてもsin又はcosの単独の関数では表す事ができません。
更に、以下の問題も解いてみます。
【問題３】（蛇足問題：大学レベルの問題）
以下の式：
は 、どの様に整理したら良いか。
【解答】
オイラーの定理を使うことで、問題の式が以下の式に変形・整理できます。
（解答おわり）
（補足）
以上の解答の様に、複素数係数の三角関数の和を整理した式は、上の解答のように、sin又はcosの関数と、exp()関数との和で表した式に整理できます。
そして、この式は、これ以上単純な形に整理することはできません。この式は、複素数係数の三角関数の和を整理するときの一般的な形の式です。
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ベクトルの回転変換と三角関数の加法定理
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【難問】三角形ＡＢＣにおいて、
ｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＣ≦（１／８） （式１）
を証明せよ。そして、△ＡＢＣが正三角形のときのみに等号が成り立つことを示せ。
（予備知識）
加法定理（２倍角と半角の公式）を学んだ後の問題解答のポイントは、加法定理そのものではありません。加法定理は、いわば空気のような定理であって、無くてはならない当たり前の定理として使ってください。
そして、その当たり前の定理を使って、それ以外の発案が解答のポイントの問題を解きます。
この問題は、一部に半角の定理を使いますが、それ以外の発案がポイントです。
（この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります）
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（解答おわり）
