佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強
【問１】
座標原点を中心にする半径１の円（ｘ２＋ｙ２＝１）と直線ａｘ＋ｂｙ＝１との交点の座標を求めよ。
（予備知識）
受験問題のときは、円と直線の方程式の問題は、図形の方程式をベクトルの式であらわして、図形で考えます。方程式を解いて計算するのは、計算の見通しがあまり良くありません。それに対して、ベクトルを利用した図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。
円の式は、ｘ２＋ｙ２＝１ （式１）
直線の式は、ａｘ＋ｂｙ＝１ （式２）
式１と式２を連立して交点Ｂ（ｘ，ｙ）とＣの座標を求める。
（ベクトルを利用した計算技術を使う）
式２は、下の図のベクトルＢとベクトルＡの内積です。
上図のように、ベクトルＡ（ａ，ｂ）に平行な単位ベクトルＨ（ａ，ｂ）／ｆ を考える。
単位ベクトルＨ
である。
式２をベクトルＢと単位ベクトルＨとの内積の式に書き直す。
単位ベクトルＨに垂直な単位ベクトル
を考える。
ベクトルＢをベクトルＨとベクトルＪの合成であらわす。
式１と式２を連立するのみでベクトルＢの方向を定める場合は、ベクトルＢの方向は、単位ベクトルＪとベクトルＢの内積が以下の式６のように負になる方向に向いている場合もありえる。
式４のｘ成分とｙ成分は以下の式になる。
よって、接点ＢとＣの座標（ｘ，ｙ）は、以下の式であらわせる。
（点Ｂの座標）
ｓとｔには、式３と式５を代入する。
（点Ｃの座標）
ｓとｔには、式３と式６を代入する。
（解答おわり）
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（５）複素数平面での円と直線の交点
佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強
【問１】
座標原点を中心にする半径１の円（ｘ２＋ｙ２＝１）に対して、点Ａ（
ａ１，ａ２）から引いた２つの接線の円との接点ＢとＣの座標をもとめよ。
上の図で線分ＯＡの長さをａとする。
（予備知識）
受験問題のときは、円と直線の方程式の問題は、図形の方程式をベクトルの式であらわして、図形で考えます。方程式を解いて計算するのは、計算の見通しがあまり良くありません。それに対して、ベクトルを利用した図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。
しかし、どうしても方程式を使って解くように求められた場合は、以下のようにして解きます。
ただし、以下の計算では、ベクトルを利用して計算を楽にする計算技術を使います。
（解答）
円の式は、
ｘ２＋ｙ２＝１ （式１）
また、ＯＡの長さａには、以下の式２が成り立つ。
（１）
円の接線の式を作る。
接点Ｂの座標をＢ（
ｂ１，ｂ２）とし、接点Ｃの座標をＣ（
ｃ１，ｃ２）する。
接点Ｂを通る、円の接線の式は、
この接線が点Ａを通るため、以下の式がなりたつ。
（２）
接点Ｂの座標を円の式（式１）に代入する。
（３）
式４と式５を連立して接点Ｂ（
ｂ１，ｂ２）の座標を求める。
（ベクトルを利用した計算技術を使う）
式４は、下の図のベクトルＢとベクトルＡの内積です。
上図のように、ベクトルＡに平行な単位ベクトルＨを考える。単位ベクトルＨ＝ベクトルＡ／ａである。
式４をベクトルＢと単位ベクトルＨとの内積の式に書き直す。
単位ベクトルＨに垂直な単位ベクトルＪを考える。すると単位ベクトルＪとベクトルＢの内積の式は以下の式になる。
式４と式５を連立するのみでベクトルＢの方向を定める場合は、ベクトルＢの方向は、単位ベクトルＪとベクトルＢの内積 ｔ が負になる場合もありえる。
よって、Ａを通る接線と円の接点ＢとＣの座標（ｘ，ｙ）は、以下の式であらわせる。
（点Ｂの座標）単位ベクトルＪとベクトルＢの内積 ｔ が正の場合：
（点Ｃの座標）単位ベクトルＪとベクトルＢの内積 ｔ が負の場合：
（解答おわり）
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佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強
【問１】
座標原点を中心にする半径１の円（ｘ２＋ｙ２＝１）に対して、点Ａ（
ａ１，ａ２）から引いた２つの接線の円との接点ＢとＣの座標をもとめよ。
上の図で線分ＯＡの長さをａとする。
（予備知識）
受験問題のときは、円と直線の方程式の問題は、図形の方程式をベクトルの式であらわして、図形で考えます。方程式を解いて計算するのは、計算の見通しがあまり良くありません。それに対して、ベクトルを利用した図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。
しかし、どうしても方程式を使って解くように求められた場合は、以下のようにして解きます。
【解答１】先ず、座標軸を回転しない方法で解く。
円の式は、
ｘ２＋ｙ２＝１ （式１）
また、ＯＡの長さａについて以下の式２が成り立つ。
（１）
円の接線の式を作る。
接点Ｂの座標をＢ（
ｂ１，ｂ２）とし、接点Ｃの座標をＣ（
ｃ１，ｃ２）する。
接点Ｂを通る円の接線の式は、接線の公式を使って、
とあらわされる。
この接線が点Ａを通るため、以下の式がなりたつ。
（２）
接点Ｂの座標を円の式（式１）に代入する。
（３）
式４と式５を連立して接点Ｂ（
ｂ１，ｂ２）の座標を求める。
-----（注意）------
ここで、式４と式５を連立した式は、以下の式４’と式１を連立して接点Ｂの（ｘ，ｙ）座標を求める式である。
ｘ２＋ｙ２＝１ （１）
この連立方程式は、接点Ｂと一緒に接点Cの座標を求める式であるとも言える。そのため、式４’は、接点BとCとを通る直線の式（極線）をあらわしている。
-----注意おわり--------
先ず、式４から、
式６を式５に代入して未知数ｂ２を消去する。
その代入をしやすくするために、式５にａ２２を掛け算する。
これに式６を代入する。
未知数ｂ１に関して、上の式を整理する。
この式を未知数ｂ１に関して平方完成する。
（４）
この式を式６に代入して未知数ｂ２を計算する。
この解は、接点Ｂと接点Ｃとの両方の解をあらわしている。
よって、接点ＢとＣの座標（ｘ，ｙ）は、以下の式であらわせます。
接点Ｂは、
接点Ｃは、
（解答おわり）
【解答２】座標軸を回転して解く
ここで、円の式の次元をそろえるためにｒ＝１という定数ｒを使う。
すると、円の式は以下の式１になる。
ｘ２＋ｙ２＝r２ （式１）
また、ＯＡの長さａについて以下の式２が成り立つ。
（１）以下の図のように、ＸＹ座標軸を回転変換したｓｔ座標系を考える。
このｓｔ座標系への回転変換の式を単純化した。
その副作用で、ＸＹ座標系は、回転変換される上に、更に、拡大縮小変換もされる。
この場合に、以下の逆変換の式が成り立つ。
こうして回転変換したｓｔ座標系でグラフを観察すると、ＸＹ座標系で観察した円と直線のグラフは以下のグラフに変わる。
（確認した注意点）
座標を回転変換及び拡大縮小変換するだけならば、グラフ同士が接する関係は、変換の結果でも維持される。
そのため、変換されたｓｔ座標系で接点の座標を求め、その座標をXY座標系に逆変換すれば良い。
次に、上図のように、図から、接点の（ｓ，ｔ）座標を求める。
（方程式を解いて接点を計算するよりも、図形の考察により接点の座標を求める方が、計算の見通しが良いので優れた解き方である。）
得られた（ｓ，ｔ）座標を、以下の様にして（ｘ，ｙ）座標に逆変換する。
そして、最後にｒ＝１として、式を仕上げる。
以上で得た（ｘ，ｙ）座標が接点の座標である。
（最後にｒ＝１を代入する前までの式では、ｒを含む各定数が長さの次元を持つと考え、ｘとｙを与える式の各項の次元が長さの次元にそろっていることを確認する検算ができた）
（解答おわり）
（補足）
座標の回転変換を利用して解くと、計算がずいぶん楽になった。
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佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強
【問１】
座標原点を中心にする半径１の円（ｘ２＋ｙ２＝１）に対して、点Ａ（
ａ１，ａ２）から引いた２つの接線の円との接点ＢとＣの座標をもとめよ。
上の図で線分ＯＡの長さをａとする。
（予備知識）
受験問題のときは、円と直線の方程式の問題は、図形の方程式をベクトルの式であらわして、図形で考えます。方程式を解いて計算するのは、計算の見通しがあまり良くありません。それに対して、ベクトルを利用した図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。
（接点を結び直線ＢＣと直線ＯＡの交点Ｅを考える）
ここで、
ａ２＝ａ１２＋ａ２２
です。
△ＡＢＯは△ＢＥＯに相似だから、
△ＢＥＯの辺 ＯＥ＝ＢＯ・（ＯＢ／ＡＯ）＝１／ａ
一方、
ベクトルＯＡ（べクトルＡ）に平行な単位ベクトルは、
です。
ベクトルＡに垂直な単位ベクトル ｆ は、ベクトルの成分であらわすと以下の式であらわせ、
です。
線分ＢＥの長さは直角三角形ＢＥＯの斜辺ＢＯと底辺ＯＥから求められ、
です。
よって、求める接点ＢとＣは、以下のベクトルであらわせる。
位置ベクトル：
接点ＢとＣの座標（ｘ，ｙ）は、以下の式であらわせる。
接点Ｂ：
接点Ｃ：
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【問１】座標原点を中心にする半径１の円（ｘ２＋ｙ２＝１）に対して、点Ａ（ａ１，ａ２）から引いた２つの接線の円との接点ＢとＣを結ぶ直線の方程式をもとめよ。
（点Ａあるいはベクトルの座標値を記号であらわすときは、上図の様に、点の名前Ａを引き継いだ記号に添え字を付けた座標記号を使ってください。そうした方が、記号の意味の見通しが良くなるからです）
線分ＤＡの長さをａとする。
接点ＢとＣを結ぶ直線を、点Ａに対する円の極線と呼びます。
一方、線分ＢＣと円の交点ＢとＣから引いた円の接線の交点Ａを、直線ＢＣに対する円の極と呼びます。
（予備知識）
円と直線の方程式の問題は、図形の方程式をベクトルの式であらわして、図形で考えます。方程式を解いて計算するのは、計算の見通しがあまり良くありません。それに対して、ベクトルを利用した図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。
（接点を結び直線ＢＣと直線ＤＡの交点Ｅを考える）
△ＡＢＤは△ＢＥＤに相似だから、
△ＢＥＤの辺ＤＥの長さ＝ＢＤ・（ＤＢ／ＡＤ）＝１／ａ
一方、
ベクトルＤＡに平行な単位ベクトル
＝ベクトルＤＡ／ａ
単位ベクトル（＝ベクトルＤＡ／ａ）に垂直で原点からの距離が（１／ａ）の直線の式は、以下のベクトルの内積の式であらわせる。
よって求める直線（極線）の式は、
ａ１Ｘ＋ａ２Ｙ＝１ （式１）
極Ａ（ａ１，ａ２）が円上にある場合、式１で与えられる極線は、点Ａで円に接する接線の式になる。
なお、極Ａ（ａ１，ａ２）が円の中に入ってしまうと、点Ａから円に接線が引けないハズなので、極線が無いと思うかもしれませんが、式１は、点Ａ（ａ１，ａ２）が円の中であっても定義できる。
高校では教えないが、円の中の点も円と複素数の接点で接する。そのため、例えＡが円の中でも、式１であらわされる極線が存在する。極線というのは、そういう広い概念の中で定義される大事な概念の直線です。
リンク：
ベクトル方程式による極と極線
複素数平面での円の極と極線
高校数学の目次
である。
単位ベクトルＨに垂直な単位ベクトル
を考える。
式４のｘ成分とｙ成分は以下の式になる。
よって、接点ＢとＣの座標（ｘ，ｙ）は、以下の式であらわせる。
（点Ｃの座標）
（解答おわり）
