円周角の定理に係る複素数平面の公式

自分で問題を解く中で発見した、計算の近道になるパターンを自分だけの公式として覚えましょう。

（第１優先事項）
　複素数平面のグラフをあらわす方程式を変換する問題は、複素数の計算をせずに、図形の考察で答えを求めるようにしましょう。すなわち、複素数平面のグラフを表わす複素数の方程式同士を計算でつながないで図形の考察でつなげば何とか問題が解けますのでそれを第１優先にしましょう。

（優先順位の２位以下のこと）
　それよりは優先順位が低いことですが、以下のような、複素数平面の計算の公式の導き出し方を身に付けると、少し計算が推進されますので、以下の公式も、簡単に導き出せるようになればとても良いと思います。 

　複素数平面でベクトルの内積を計算する問題を解いていると以下の様な、繰り返される計算のパターンを発見することがあります。その計算のパターンを、自分だけの公式として整理して覚えましょう。　これは、自分だけの公式ですので、それぞれの計算問題の式の展開を解答用紙に記載する際に、その公式を知らない人に計算過程の正当性が理解されるために、その公式が導き出される式の展開過程を記載して見せるようにしてください。

　そのように、覚えている自分だけの公式の式の展開（言わば、公式の証明）をスラスラと解答用紙の式の計算の中に書いて見せると、一見、式の展開の計算がとても速く見えます。
　しかし、それは、覚えているパターンを繰り返しているだけで、決して人間離れしたわざを持っているというわけではありません。

【円周角の定理に係る複素数平面の公式】
　複素数平面での複素数の計算で複素数の２乗に相当する項を１乗の形の簡単な項に変換できる、以下の公式を見出しましたので、その計算過程を含めて覚えておきましょう。

（注意）
　この公式を無理して覚えないでも、円周角の定理やその他の図形の定理を覚えていれば、この公式無しでも、それらの定理を使って問題を解く事ができます。
複素数の式の展開の参考にする程度の気持ちでこのページを読めれば良いと考えます。

【第１の証明】
　この公式は、以下の様に計算を進める形で使います。

（証明おわり）

【第２の証明】
「三角形の高さと外接円の半径の関係」から：

上式の関係があります。

そのため、

|ｚα｜＝ｂｃ＝２Rh

＝２R＊Im（ｚ）

となり、証明すべき公式の左辺の複素数と右辺の複素数は、絶対値が等しい。

公式の複素数の偏角に関しては、
ベクトルｚに対してベクトルαが成す角度は頂角Aであり、

その角度は、ベクトルｒに対して虚軸が成す角度に等しい。

よって、証明すべき公式の左辺の複素数と右辺の複素数は、偏角も等しい。
ゆえに、公式が成り立つ。

（証明おわり）

　この公式（０）は、自分だけの公式であって、第１の証明か第２の証明をしてから使うようにしましょう。
　公式（０）は、この図の様な円の中心の位置をあらわす複素数ｒが分かっているときに、複素数ｚの式を簡単化する役に立ちます。 

　この公式の第１の証明の中心核となっている部分は、以下の計算公式です。この式を覚えましょう。

　この公式（０）から、以下の、ベクトルの内積の展開の公式（１）と、絶対値の式の計算の展開の公式（２）との２つの公式が得られます。

　これらの式(1)(2)は、正弦定理と円周角の定理にかかわる式であって、
「ベクトル計算での挫折を回避する方法 」のページで説明したように、
三角形ＡＢＣの外接円の半径をＲとすると、円周角の定理が次の式１であらわされる。
ｃｏｓＡ＝ｍ／Ｒ，　（１）

この式１は、円周角の定理から素直に導き出した式であり、ベクトル計算で導こうとするととても苦労する式です。

また、ベクトル計算で導こうとすると更に苦労する式：
｜ＡＢ｜｜ＡＣ｜＝２Ｒｈ，　（３）

　この式１と３を円周角の定理を表現した有名な公式として覚えて使うことで、通常は挫折するベクトル計算の挫折を回避することができる。複素数平面での計算においても、この公式を覚えて使うことで計算をスムーズに進めることができます。

（三角形の頂点から外心までのベクトルの複素数の公式）
　先の式(0)は、三角形の底辺が実軸と平行とは限らない自由な方向を向いている場合の式に書き舞えることができる。底辺のベクトルをベクトルｗとする。


この式は、以下の、ひし形の対角線と辺の複素数の公式によって変換することができます。

この式を使って変換すると以下の式になります。


この式は、三角形の頂点から外心までのベクトル（ーｓ）の複素数の公式です。

リンク：
三角形の高さと外接円の半径の関係
複素数計算の公式を覚える
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自分で問題を解く中で発見した、計算の近道になるパターンを自分だけの公式として覚える

自分で問題を解く中で発見した、計算の近道になるパターンを自分だけの公式として覚えましょう。


（第１優先事項）
　複素数平面のグラフをあらわす方程式を変換する問題は、複素数の計算をせずに、図形の考察で答えを求めるようにしましょう。すなわち、複素数平面のグラフを表わす複素数の方程式同士を計算でつながないで図形の考察でつなげば何とか問題が解けますのでそれを第１優先にしましょう。

（優先順位の２位以下のこと）
　それよりは優先順位が低いことですが、以下のような、複素数平面の計算の公式の導き出し方を身に付けると、少し計算が推進されますので、以下の公式も、簡単に導き出せるようになればとても良いと思います。 

　複素数平面でベクトルの内積を計算する問題を解いていると以下の様な、繰り返す計算のパターンを発見することがあります。その計算のパターンの起点と終点を、自分だけの公式として覚えましょう。
　これは、自分だけの公式ですので、それぞれの計算問題の式の展開を解答用紙に記載する際に、その公式を知らない人に計算過程の正当性が理解されるために、その公式が導き出される式の展開過程を記載して見せるようにしてください。

　そのように、覚えている自分だけの公式の式の展開（言わば、公式の証明）をスラスラと解答用紙の式の計算の中に書いて見せると、一見、式の展開の計算がとても速く見えます。
　しかし、それは、覚えているパターンを繰り返しているだけで、決して人間離れしたわざを持っているというわけではありません。

【自分だけの公式の例】
　ベクトルの内積に関して、複素数平面を利用して表現した以下の公式があります。

（注意１）
　この証明には、円周角の定理を利用し、また、複素数の計算も利用しています。このように、図形の定理を使える限り使う事が、複素数の問題を解くために望ましい事です。
（注意２）
　この公式は、右辺は、ベクトルｚとベクトルβの内積の２倍をあらわしている。それは、ベクトルｚの虚軸に射影した長さ＝三角形の高さにベクトルβの長さを掛け算した値になる。
　そのため、この公式は、図形で証明できている、
「余弦定理に類似した外心の高さを含む式」
をあらわしている。
また、ベクトルで証明した
「三角形の辺のベクトルの内積の変換公式」
でもあります。

【余弦定理に類似した外心の高さを含む式】 

 上の三角形に関する上の式の定理を、複素数の式を展開して証明しただけである。そのため、このページは、その定理の証明の１つとしての参考にするだけで読めば良いと考えます。

　この公式（１）は、三角形の外接円の中心の高さＹを求める定理をあらわしています。

　公式（１）は、ベクトルの点を結ぶ（三角形の）外接円の高さが分かっているときに、複素数であらわしたベクトルの内積を簡単化するのに使えます。
　公式（１）は、外接円の高さが分かっているときに、複素数ｚとその共役複素数の積の項を無くして、式を簡単化する役に立ちます。 

この公式（１）を使うと、以下のようにベクトルの内積の式の展開方針が立てられます。


しかし、この公式（１）は自分だけの公式ですので、このような式の展開は他の人には理解されません。そのため、他の人に理解されるように（また、自分もこの公式の確からしさを確認するために）、
以下のようにベクトルの内積の式を展開して示すか、又は、図形で証明した「余弦定理に類似した外心の高さを含む式」を示した上で使えば良いと考えます。

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複素数計算の公式を覚える
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複素数平面のグラフの方程式の変換は図形で解くこと

複素数平面のグラフの方程式を計算でつなぐ道はがけ崩れで崩壊している

　以下の複素数平面のグラフを表わす複素数の方程式同士を式の計算でつなぐのはほとんど不可能です。
　複素数平面のグラフをあらわす方程式を変換する問題は、複素数の式の計算をせずに、図形の考察で答えを求め、その答えを複素数の式で表す解き方をしましょう。

【問】以下の複素数平面のグラフの方程式を簡単な方程式に変換せよ。

《解答方針》
「（計算の定石）正弦定理や円周角の定理で解ける問題は、ベクトルの式や複素数平面の式の計算を使わないで、正弦定理や円周角の定理を使った図形問題として解く方がスムーズに解ける。そのため、この種の問題は図形問題として解き、その結果を、ベクトルの式や複素数平面の式で表す。」

【解答】
　このグラフの式（１）は、２つのベクトルの成す角度θのｃｏｓθが１／２である式であるので、２つのベクトルの成す角度θは６０°です。そのため、円周角の定理から、複素数ｚの描くグラフは、上図のような２つの円上になります。
　そのうち１つの円の中心は１＋ｉ／√３であり、円の半径は２／√３です。
よって、この円のグラフの方程式は、Ｉｍ（ｚ）≧０のときは、

であらわせる。
（解答おわり）

　この円のグラフの方程式（２）から、以下の式（３）を計算することができます。

　この式（３）は、Ｉｍ（ｚ）≧０の場合には、式（１）と同じグラフをあらわす式ですが、計算で式（１）を変換して式（３）を求めることはほとんど不可能です。
　そのように計算の障害が大きいので、複素数平面のグラフの式を計算でつなぐ道は、いわば、がけ崩れで崩壊していると言えます。
　そのため、そのグラフの式を変換した式は、上の解答のように図形で計算して求めてください。
　くれぐれも、がけ崩れで崩壊している「計算で式を変換する道」は通らないでください。

（参考）Ｉｍ（ｚ）≧０の場合には、式（３）の円上の点が式（１）を満足することの、計算による証明

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初めて複素数の式でグラフをあらわす問題に出会ったとき

紙に描いた記述に示唆されて次の記述を足すことで問題が解けます。紙に描いた記述からスラスラ連想し、とにかくどんどん紙に描きましょう。

【問】
　以下の式を満足する複素数ｚが複素数平面上で描くグラフを求めよ。

　初めてこの問題に出会ったら、先ずは自力で問題を解く努力をしましょう。

（問題を解くコツ）
　紙を沢山用意してください。
必要な情報は全て紙に描いて、計算に必要な情報の一部が自分の頭の中にだけにあるという事が無いようにしましょう。

（自分の頭の中には何も記憶しないで良い状態にして、何かを記憶する負担から頭を解放して、頭が計算に集中できるようにしてください。）

１つの解き方がダメだったら、その紙は捨てて、
新しい紙に再度、次の解き方に必要な情報を全て描いてください。
（ダメだった解き方を書いた紙はもう見ませんので、
次の解き方を導いてくれる紙に、再度、必要な情報を全て描いてください。） 

　そして、その新しい紙に描いた情報で、再度問題に挑戦してください。
　こうして、自分が紙に描いた情報から自分が答えに導かれる情報の流れを全て紙の上に描いて問題を解いてください。

（第１のお勧めの解答方針）
（計算のヒント）
上の２つのヒントはセットで参照してください。

（解答１）第１のお勧めの解答方針で簡略化した第１問の解答
（解答）はここをクリックした先にあります。

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複素数平面の問題を図形で解く

複素数平面のグラフの方程式を計算でつなぐ道はがけ崩れで崩壊している。

使いどころを自分で確かめた知識を利用する

　円周角の定理を複素数平面で複素数の計算で導いた経験で、その計算では苦労することがわかった。
　円周角の定理に係わる問題は、複素数の計算をするよりは、図形の考察で答えを求める方が簡単だとわかった。

【問】以下の複素数平面の問題を解け。

【解答】
　円周角の定理にかかわる問題は複素数の計算よりは図形を考察して解く方が簡単に解けるということを知っている。
　そのため、この複素数平面の問題を解く方針は、図形を考察して、以下のようにして問題を解く。

これで問題が解けた。

　この結果を複素数の計算で求めると大変な計算になる事は、先に円周角の定理を複素数の計算で計算した過程を思い出してみれば明らかです。
　以上で行なって来たように、新しい数学の知識の効用は自分で問題を解いて確かめて、その効用を冷静に評価します。
　そして、効果が最大限に発揮できるツールを用いてそれぞれの問題の解決に利用するようにします。

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ベクトルの角度を複素数平面で扱えることを初めて知ったら円周角の定理を試してみよう

初めて知った新しい事はさっそく試してみよう

　数学の本質は好奇心を刺激するものだから、数学は好奇心の本能のままに勉強するのが良いと考えます。

（自分の納得できない数学の公式は覚えないようにして、好奇心の純潔を保ちましょう。
勉強して納得できてから公式を覚えれば十分間に合います。
　数学のテストの成績のためにといって納得できないことを無理に詰め込んでいると、いつか破綻すると思いますので、無理はしないようにしましょう。）

（反論への反論）
　上の考え方には、以下のような反論が考えられます。
（１）「公式を覚えなければ数学の学力が低下して授業についていけなくなり、結局落ちこぼれてしまうではないか。」
という反論が考えられます。
　その反論に対しては以下のように反論したいと思います。
（２）数学は勉強すれば学力が伸びる学問だと思います。公式が覚えられるまで納得できるまで数学を勉強することで授業についていくようにして欲しい。
　公式は、自分で問題を解く体験によってつかみ取った、自分で使える生きた公式を覚えてください。使えない死んだ公式は無駄な雑音なので覚えないでください。
　問題を自分で解く体験の中で、死んでいる公式が、使える生きた公式に変わります。そのときに、その公式を覚えてください。
（３）自分で問題を解きながら、良い解き方のパターンをつかみ取って、そのパターンを覚えやすい自分の公式の形に表わして、その使える生きた公式を覚えるよう心がけてください。
（４）実際、数学の実力が学年の平均を上回っているからといっても、使える生きた公式を学んでいない人が実に多いように思います。そういう状況なので、たとえ数学を一切勉強していなくて学年最下位の成績であっても、自分で使える生きた数学の公式をつかみ取り始めたら、通常の数倍の速度で実力が向上する、という特徴が数学という学問にはあります。
（５）数学を嫌いになると、そういう急速な学習を妨げることになりますので、数学を嫌いにならないでください。
（６）高校３年間、数学の授業は一切聞かない最下位の学生で、しかし、数学にいやな思いを持たず数学が嫌いにならなかった学生は、１年間もあれば、３年間勉強して来て学年平均以上の数学の実力があるが数学をあまり好きでは無い学生を大きく引き離す数学の力をつけられるものです。
　そのため、数学を嫌いにならないようにする手段として、「数学を勉強しない」という手段を選んでも良いから、数学を嫌いにならないようにしてください。
「そうすれば、生きた数学を勉強し始めたら急速に成長できます。その芽を摘み取らないようにして、有意義な人生を送って行って欲しいと思います。」

　さて、ベクトルの角度は複素数平面で計算できることを初めて知ったら、好奇心の本能のままに導かれる以下の問題を自分で解いてみて、この方針による計算がどれだけ楽か、あるいは大変なのか、どちらであるかを、体験して試してみましょう。

【問】円周角の定理をあらわす以下の複素数平面の図を考えて、以下の式の形で円周角の定理があらわされることを計算して試してみましょう。

（注意）オイラーの定理「ｅｘｐ（ｉβ）＝（ｃｏｓβ＋ｉｓｉｎβ）」は、前提条件として使ってください。
この問題の目的はオイラーの定理を証明することでは無く、
（ｃｏｓβ＋ｉｓｉｎβ）をｅｘｐ（ｉβ）であらわした方が式が簡潔だからです。

（解答例）ここをクリックした先のページに解答例を書きました。
（解答例２）オイラーの公式を学んだ理系大学生の解答例
（解答例３）一番簡単な解き方：複素数平面の計算公式を使う

　先ずは、この解答を見ずに、この問題を自力で計算する努力をして欲しい。その方が数学の計算技術が磨かれ、数学が楽しくなると思いますので。

リンク：
複素数計算の公式を覚える
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座標を回転させる複素数のやさしい覚え方

【解説】座標を回転させる（絶対値が１の）複素数のやさしい覚え方。

上の式であらわした（絶対値が１の）複素数ｚを他の複素数に掛け算すると、複素数平面で複素数があらわすベクトルが、左回りに角度θ回転します。
ｚの共役複素数を掛け算すると、反対方向の右回りに角度θ回転します。
この複素数ｚは、
自然対数の底として使うネイピア数ｅの、角度θの虚数乗であらわせます。
（オイラーの公式です）
複素数ｚのこの表わし方がとても簡単なので、是非覚えて下さい。

　また、この表わし方は正規な数学的表現ですので、この表現を使って大学入試の問題を解いても減点されることは無いと思います。

　この表現を使って複素数の掛け算を以下の式のようにあらわすととても簡単です。
 
ここで、ネイピア数ｅの、角度θの虚数乗を書くと、虚数乗の項をあらわす字が小さくなって見にくくなるので、全く同じことをｅｘｐ（ｉθ）と表現して計算するのが便利です。

　この表わし方ｅｘｐ（ｉθ）は正規な数学的表現ですので、この表現を使って大学入試の問題を解いても減点されることは無いと思います。

リンク：
複素数平面での座標回転を応用した例
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複素数平面を利用して回転した楕円の方程式を得る

【問】複素数平面を利用して、座標原点の回りに回転させた楕円の方程式を求めよ。

【解答】
　先ず、回転する前の楕円の方程式は以下の図のようにあらわせます。

この楕円を、以下の図のように、原点の回りに角度θ回転させます。

　ここで、元の複素数ｚを左回りにθ回転させるには、以下の計算のように偏角θの複素数を掛け算しました。

　ここで、楕円の軸方向の単位ベクトルをあらわす複素数ｇとｈを考えます。
回転した楕円上の点を元のｚから回転した位置の新しい複素数ｚであらわします。
　新しいｚは、複素数ｇの、（実数）ｘ倍と、複素数ｈの、（実数）ｙ倍の複素数の合成でもあらわせます。
　この新しい複素数ｚの実数成分を（実数）ｘ’であらわし、虚数成分を（実数）ｙ’であらわします。

なお、ｘとｙのあらわす楕円の式は、回転していない元の楕円の式と同じです。
回転した楕円の式は、新しい複素数ｚの成分のｘ’とｙ’で表した式です。

この（ｘ’，ｙ’）を（ｘ，ｙ）であらわす式は、楕円の回転角度θを使って、上の式であらわせます。

ここで、
（ｘ，ｙ）を（ｘ’，ｙ’）であらわす式と、
（ｘ’，ｙ’）を（ｘ，ｙ）であらわす式とは、
以下の式の様に、θの正負を逆にしただけの式であらわされる、
回転変換式の間の対の関係がありますので、覚えておきましょう。

この変換の式は、ここをクリックした先にある「ベクトルの回転変換」として考える方が理解し易い。

 

この変換式を使って、
（ｘ，ｙ）であらわされた楕円の式を（ｘ’，ｙ’）で書き換えた式が、求める回転した楕円の式です。

これは、正確な計算で求めますが、
計算間違いを少なくするため、問題を単純化した場合を考えて、単純な場合の計算結果と食い違う計算ミスが無いかをチェックしながら、以下のように計算した方が良いです。

 

そのために、上の図のように、ｂが十分小さい扁平な楕円の場合を計算します。
ｂが十分小さいならば、ｙは限りなく０に近づきます。 
そして、（扁平な楕円なので） 以下の式のように、ｙ’がｘ’に比例します。

以下では、この扁平な楕円の場合の条件から外れた結果が出る誤りが混じる事がないかチェックしながら、式を注意深く変形していきます。

これで、回転した楕円の式が得られました。
以下で、この楕円の式が、ｂが限りなく０に近い扁平な楕円の場合も妥当な結果を与えるかチェックします。

以上で得られた楕円の方程式は、ｂが十分小さい扁平な楕円の場合と矛盾しない結果が得られた。
そのため、以上の計算には計算ミスが混入しなかったと安心できます。

　得られた楕円の式を以下に整理して書きます。

回転した楕円の式を整理すると、回転した楕円の式の係数を使うと、上の式のように、楕円の軸の回転角度θの２倍のタンジェントが得られる関係があることがわかりました。

（補足） 
　楕円の軸の回転角度θを与えるこの式は、何度おぼえても忘れます。その忘れ対策として、この式を以下の様にして素早く導き出しましょう。

先ず、上の図を思い描きます。
極座標で表した動径ｒが最大または最小になる角度α＝θです。
そのため、以下のようにして動径ｒの微分の式を作ります。 

この式２の微分をｆ（α）の式に行います。

この式４が求める回転角θを与える式です。

リンク：

座標の回転変換の公式を初めて学ぶ学び方

ベクトルの回転変換と三角関数の加法定理
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座標の回転変換の公式を初めて学ぶ学び方

【問】座標の回転変換の公式を複素数平面で導け。
　以下の図のように、ベクトル（Ｘ，Ｙ）を、左回りに角度θ回転させたベクトル（Ｘ’，Ｙ’）の各座標を、ＸとＹであらわす座標の回転変換の公式を導け。

　上の式で、ベクトル（Ｘ，Ｙ）を、左回りに角度θ回転させたベクト（Ｘ’，Ｙ’）の座標をあらわすベクトルの回転変換の公式が得られた。

ここで、
（ｘ，ｙ）を（ｘ’，ｙ’）であらわす式と、
（ｘ’，ｙ’）を（ｘ，ｙ）であらわす式とは、
以下の式の様に、θの正負を逆にしただけの式であらわされる、
回転変換式の間の対の関係がありますので、覚えておきましょう。

　この回転変換の公式は常識として、素早く導き出せるようにしましょう。

　この回転変換の公式は、図を目の視線でたどって、以下の様に場合分けした式の部分を素早く導き出せるようになりましょう。

すなわち、
上の図を思い描いて、図から、

Ｘ座標のみがある場合のＹ’座標が（ｓｉｎθ）・Ｘであること。
Ｙ座標のみがある場合のＸ’座標が（－ｓｉｎθ）・Ｙであること。

を想像します。

　次に、それ以外は、係数がｃｏｓθの項を加えることで、
下式の回転変換の式ができあがります。

また、計算式は、以下のように視線を動かして、速く計算できるようになりましょう。

リンク：
複素数平面での座標回転を応用した例

ベクトルの回転変換と三角関数の加法定理
ベクトルによる回転座標変換の公式
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