佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強
【問１】
座標原点を中心にする半径１の円（ｘ２＋ｙ２＝１）に対して、点Ａ（
ａ１，ａ２）から引いた２つの接線の円との接点ＢとＣの座標をもとめよ。
上の図で線分ＯＡの長さをａとする。
（予備知識）
受験問題のときは、円と直線の方程式の問題は、図形の方程式をベクトルの式であらわして、図形で考えます。方程式を解いて計算するのは、計算の見通しがあまり良くありません。それに対して、ベクトルを利用した図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。
（接点を結び直線ＢＣと直線ＯＡの交点Ｅを考える）
ここで、
ａ２＝ａ１２＋ａ２２
です。
△ＡＢＯは△ＢＥＯに相似だから、
△ＢＥＯの辺 ＯＥ＝ＢＯ・（ＯＢ／ＡＯ）＝１／ａ
一方、
ベクトルＯＡ（べクトルＡ）に平行な単位ベクトルは、
です。
ベクトルＡに垂直な単位ベクトル ｆ は、ベクトルの成分であらわすと以下の式であらわせ、
です。
線分ＢＥの長さは直角三角形ＢＥＯの斜辺ＢＯと底辺ＯＥから求められ、
です。
よって、求める接点ＢとＣは、以下のベクトルであらわせる。
位置ベクトル：
接点ＢとＣの座標（ｘ，ｙ）は、以下の式であらわせる。
接点Ｂ：
接点Ｃ：
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【問１】座標原点を中心にする半径１の円（ｘ２＋ｙ２＝１）に対して、点Ａ（ａ１，ａ２）から引いた２つの接線の円との接点ＢとＣを結ぶ直線の方程式をもとめよ。
（点Ａあるいはベクトルの座標値を記号であらわすときは、上図の様に、点の名前Ａを引き継いだ記号に添え字を付けた座標記号を使ってください。そうした方が、記号の意味の見通しが良くなるからです）
線分ＤＡの長さをａとする。
接点ＢとＣを結ぶ直線を、点Ａに対する円の極線と呼びます。
一方、線分ＢＣと円の交点ＢとＣから引いた円の接線の交点Ａを、直線ＢＣに対する円の極と呼びます。
（予備知識）
円と直線の方程式の問題は、図形の方程式をベクトルの式であらわして、図形で考えます。方程式を解いて計算するのは、計算の見通しがあまり良くありません。それに対して、ベクトルを利用した図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。
（接点を結び直線ＢＣと直線ＤＡの交点Ｅを考える）
△ＡＢＤは△ＢＥＤに相似だから、
△ＢＥＤの辺ＤＥの長さ＝ＢＤ・（ＤＢ／ＡＤ）＝１／ａ
一方、
ベクトルＤＡに平行な単位ベクトル
＝ベクトルＤＡ／ａ
単位ベクトル（＝ベクトルＤＡ／ａ）に垂直で原点からの距離が（１／ａ）の直線の式は、以下のベクトルの内積の式であらわせる。
よって求める直線（極線）の式は、
ａ１Ｘ＋ａ２Ｙ＝１ （式１）
極Ａ（ａ１，ａ２）が円上にある場合、式１で与えられる極線は、点Ａで円に接する接線の式になる。
なお、極Ａ（ａ１，ａ２）が円の中に入ってしまうと、点Ａから円に接線が引けないハズなので、極線が無いと思うかもしれませんが、式１は、点Ａ（ａ１，ａ２）が円の中であっても定義できる。
高校では教えないが、円の中の点も円と複素数の接点で接する。そのため、例えＡが円の中でも、式１であらわされる極線が存在する。極線というのは、そういう広い概念の中で定義される大事な概念の直線です。
リンク：
ベクトル方程式による極と極線
複素数平面での円の極と極線
高校数学の目次
曲線と直線が接する問題の簡単な解き方。
それは、円への接線を求める問題の場合には、ベクトルを使って接線を表現して考える方が、連立方程式の交点が重解を持つことで接線を表現して解くよりも、問題が簡単に解けます。
【問１】座標原点を中心にする半径１の円（ｘ２＋ｙ２＝１）と、直線３ｘ＋２ｙ＝ｋとが接する場合のｋの値を求めよ。
（予備知識）
難しい形の図形は、その座標を単純な形の基本的な座標での図形に置きかえて考えます。
（難しい形の図形は、全て、単純な座標での図形に置き換えて考えるのが数学のコツです。）
【解答開始】
（まず、問題を単純化する）
円の式は以下の式１で与えられました。
ｘ２＋ｙ２＝１ （式１）
直線の式は以下の式２です。
３ｘ＋２ｙ＝ｋ （式２）
ここで、この直線の式（式２）は、もっと基本的な形をした単純な意味を持つ式に書きかえられます。
式２のｘとｙの係数はベクトル（３，２）を成します。
このベクトルを、長さが１の単位ベクトルに変換します。
その変換は、ベクトル（３，２）を
で割り算すれば、単位ベクトルに変わります。
検算してみると、
になるので、このベクトルが単位ベクトルであることがわかります。
直線をあらわす（式２）を
で割り算すれば、ｘとｙの係数が単位ベクトルであらわされた直線の式になります。
その直線の式において、（単位ベクトル）と（ベクトル（ｘ，ｙ））との内積は、その直線の座標原点からの距離をあらわします。
（その理由は単位ベクトルと直線上の点（ｘ，ｙ）の位置ベクトルの内積は、直線上の点のその単位ベクトル（直線に垂直）への正射影の長さになるからです。また、直線に垂直な単位ベクトルへの、座標原点と点（ｘ，ｙ）を結ぶベクトルの正射影の長さは、直線と座標原点との距離だからです。）
すなわち、単位ベクトルと直線上の点（ｘ，ｙ）の位置ベクトルの内積をあらわす左辺の式に等しい右辺の式の、
が、直線の座標原点からの距離です。
この距離が式１の円の半径１になれば、この直線が円に接します。
よって、もとめるｋの値は、
の場合に、直線が円に接します。上の式を変形すると、
これが直線が円に接する場合のｋの値です。
以上の解答方法によれば、求める解をもらさず網羅的に求めています。
（解答おわり）
---（接点Cを通る直線の公式）----
ｋを調整して直線を円に接するようにすると、例えば、
ｋ＝√(13)にすれば、
その直線の接点は上図のC点になります。
そのとき、式２は以下の式２’になります。
式２’を上の計算の様に式３に変形すると、
式３は、式３’の様に、接点Cの座標を使って表した式になります。
これはいつも成り立ち、
式１の円の接点Cを通る直線は、式３’で表されます。
===（その理由）==========
なぜなら、式３’の左辺は、円の中心を原点にした場合の、点Cの位置ベクトルと、
そのベクトルへ直線上の点（ｘ，ｙ）の位置ベクトルを正射影したベクトル、
との積をあらわします。
それにより以下の２つが成り立つからです。
（１）
点Ｃが接点の場合は正射影したベクトルの先端は点Ｃになります。
（２）
直線の係数が作るベクトルＣは、直線に垂直なベクトルです。そのため、ベクトルＣに直線上の点（ｘ，ｙ）を正射影したベクトルの先端の位置が円上にあれば、直線が円に接します。
====================
また、半径ｒ円の式が以下の式１ａで表される場合：
ｘ２＋ｙ２＝ｒ２ （式１ａ）
この円の接点Ｃを通る接線の式は：
であらわされます。
--（接点Cを通る直線の公式おわり）-----
（ベクトルで考えると計算が整理できる）
上の解答では、ベクトルの内積の知識を使って問題を解きました。
以下では、ベクトルを使って考えますが、以下のようにして、内積の知識の使い方を控え目にして問題を解けます。
直線の式は、ベクトルから考えると以下の意味を持ちます。
直線の式の直線上の座標ｘの微小変化量にｘの係数を掛け算した値と座標ｙの微小変化量にｙの係数を掛け算した値は０になります。
ベクトルの視点で見ると、そのように積の和（この積の和を内積と呼びます）が０になる場合は、ｘの係数とｙの係数で与えられる点Ｃと座標原点Ｏを通る直線は、その式で与えられた直線と直交することがわかっています。
このベクトルの視点から分かる知識だけを加えて考えるだけで、この問題を完全に解くことができます。
すなわち、連立方程式：
において、式２を以下の式３に変形して：
この式の未知数ｘ、ｙ、ｋを以下の値に当てはめる。
この式４、５、６で未知数ｘ、ｙ、ｋの値を定めると、
式３は以下の式７になる。
この式７は、式１の未知数ｘ、ｙを式４と式５の値に当てはめた式１になった。
すなわち、式６で未知数ｋを定めた直線３上の点の座標を与える式４と式５の座標点Ｃ（ｘ，ｙ）が式１を満足した。
ゆえに、点Ｃ（ｘ，ｙ）は、式１で与えられる円周にある。
式６で未知数ｋを定めた直線３と円１はこの座標点Ｃ（ｘ，ｙ）で交わる。
次に、考慮することは、ベクトルの視点で見た直線２の式は、直線ＯＣに垂直であることである。
このことを考えると、式６で未知数ｋを定めた直線３は、円と交わる点Ｃを通るだけでなく、円の半径ＯＣに垂直であり、点Ｃで円に交わることがわかる。
式６でｋの値を定めると、直線２は円１と点Ｃで接する。
最後に考慮すべきことは、以上の解き方では、問題の解を網羅的に求めてはいないので、以上の解がこの問題の解の全てであるかということを確認する必要があります。
実際、もう１組の解として、以下の式８、９、１０で未知数ｘ，ｙ，ｋを定めることができます。
（解答おわり）
このように、ベクトルの視点を加えて考えることで、直線の式２の持つ図形的意味を明瞭に把握しながら問題が解けるので、問題を解くために、とても助かります。
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以下で、点Ｄ（ｄ１，ｄ２）を中心とする半径Ｒの円の方程式を説明します。
（点Ｄの座標値を記号であらわすときは、上図のｄ１の様に添え字を付けて座標記号をあらわし、点の名前Ｄを引き継いだ記号ｄ１であらわしてください。そうした方が、記号の意味の見通しが良くなるからです）
（予備知識）
難しい形の図形は、その座標を単純な形の基本的な座標での図形に置きかえて考えます。
（難しい形の図形は、全て、単純な座標での図形に置き換えて考えるのが数学のコツです。）
（まず、問題を単純化する）
上の座標軸（ｘ，ｙ）を、平行移動して、円の中心Ｄを座標軸の原点とする座標（Ｘ，Ｙ）で考える。
ここで、単純化した問題の解答を得た後で、解答を元の問題の解答へ翻訳できるように、元の問題との対応関係を与える式を、以下のように書いて記録しておく。
（単純化した図形で問題を考える）
この座標系Ｘ，Ｙでは、上図のように、円の中心点Ｄが原点にあります。
この座標Ｘ，Ｙで考えると、上の図のように半径Ｒの円の方程式は、
Ｘ２＋Ｙ２＝Ｒ２ （式３）
であらわせます。
（参考のため、別の視点で円の方程式を導いてみる）
上図のように、円の直径ＢＣの両端と円の上の点Ａ（Ｘ，Ｙ）を結ぶ２つの、ベクトルＡＢとベクトルＡＣは直交します。
そのため、その２つのベクトルが直交するとしたベクトルの内積の式を展開します。
その展開の結果、やはり、式３と同じ円の方程式が得られました。
（以上で、単純化した図形で円の方程式が得られた）
（単純化した問題の解答を元の座標系ｘ，ｙでの解答へ翻訳する）
式３のＸとＹを、式１と２を使って、ｘ、ｙに置き換える。
これが、点Ｄ（ｄ１，ｄ２）を中心にする半径Ｒの円の方程式である。
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【問１】三角形ＡＢＣの外心（外接円の中心）の座標Ｄをもとめよ。ただし、頂点Ａ，Ｂ，Ｃの座標は、点Ａ（４，７）、点Ｂ（２，１）、点Ｃ（８，３）とする。
外接円の中心Ｄは、線分ＡＢの垂直二等分線ｍと線分ＢＣの垂直二等分線ｎとの交点を計算することで求める。
（予備知識）
複雑な図形の問題は、より単純な図形の問題に置きかえて考えます。
（難しい形の問題は、全て、単純な形に置き換えて考えるのが数学のコツです。）
（まず、問題を単純化する）
上の図形の座標軸（ｘ，ｙ）を、平行移動して、点Ｂを座標原点とする座標（Ｘ，Ｙ）で考える。
ここで、単純化した問題の解答を得た後で、解答を元の問題の解答へ翻訳できるように、元の問題との対応関係を与える式を、以下のように書いて記録しておく。
Ｘ＝ｘ－２ （式１）
Ｙ＝ｙ－１ （式２）
この座標系Ｘ，Ｙでは、上図のように、点Ｂが座標の原点にあります。
線分ＡＢの垂直二等分線ｍは線分ＡＢの中点Ｍを通る直線であり、
線分ＢＣの垂直二等分線ｎは線分ＢＣの中点Ｎを通る直線である。
線分ＡＢの垂直二等分線ｍの式は、ベクトルＭＤとそれに垂直なベクトルＢＭ（ベクトルＭと略記する）の内積が０であることをあらわす式である。
上の図のように、直線ＡＢの垂直二等分線の式は、式３であらわされる。
（Ｘ－１）＋３（Ｙ－３）＝０ （式３）
同様にして、直線ＢＣの垂直二等分線ｎの式は、式４であらわされる。
３（Ｘ－３）＋（Ｙ－１）＝０ （式４）
式３と式４を連立して解けば、垂直二等分線ｍとｎの交点の座標Ｄが求められる。
式３を展開して式５を得る。
Ｘ＋３Ｙ＝１０ （式５）
式４を展開して式６を得る。
３Ｘ＋Ｙ＝１０ （式６）
Ｙを消去するために、（式５）－（式６）・３を計算する。
Ｘ＋３Ｙ＝１０ （式５）
－９Ｘ－３Ｙ＝－３０ （式６’）
－８Ｘ＝－２０
Ｘ＝５／２ （式７）
式７を式６に代入する。
３・（５／２）＋Ｙ＝１０
Ｙ＝５／２ （式８）
式７と式８でＤ点の座標（５／２，５／２）が得られた。
こうして得た解答を元の複雑な問題の解答に翻訳する。
（計算方針）式７と式８それぞれに、式１と式２を代入して座標Ｘ，Ｙを元の座標ｘ，ｙに戻す。
式７に式１を代入する。
ｘ－２＝５／２
ｘ＝９／２ （式９）
式８に式２を代入する。
ｙ－１＝５／２
ｙ＝７／２ （式１０）
これで、点Ｄの座標系ｘ，ｙでの座標値（９／２，７／２）が得られた。
（解答おわり）
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以下で、点Ａ（ａ１，ａ２）と点Ｂ（ｂ１，ｂ２）を結ぶ線分ＡＢの垂直二等分線の方程式を導く方法を説明します。
（点あるいはベクトルの座標値を記号であらわすときは、上図の様に添え字を付けて座標記号をあらわし、点の名前ＡとＢを引き継いだ記号であらわしてください。そうした方が、記号の意味の見通しが良くなるからです）
（予備知識）
複雑な直線の方程式は、単純な形の基本的な直線の方程式に置きかえて考えます。
（難しい形の式は、全て、単純な形の式に置き換えて考えるのが数学のコツです。）
（まず、問題を単純化する）
上の概念図の座標軸（ｘ，ｙ）を、平行移動して、線分ＡＢの中点（その点を垂直二等分線が通る）を座標原点とする座標（Ｘ，Ｙ）で考える。
ここで、単純化した問題の解答を得た後で、解答を元の問題の解答へ翻訳できるように、元の問題との対応関係を与える式を、以下のように書いて記録しておく。
この座標系Ｘ，Ｙでは、上図のように、点Ａと点Ｂが原点に対して対称な位置にあります。点ＡのＸ座標＝Ａ１とし、Ｙ座標＝Ａ２と書き直して単純化する。
ここで、単純化した問題の解答を得た後で、解答を元の問題の解答へ翻訳できるように、元の問題との対応関係を与える式を、以下のように書いて記録しておく。
です。
（単純化した問題を解く）
上の図を見ると、点Ａと原点を通る直線の式は、
であらわせることがわかる。そして、
この直線に垂直で原点を通る直線の式は、
（以上で、単純化した問題の解答が得られた）
（単純化した問題の解答を元の問題の解答へ翻訳する）
式５のＡ１とＡ２を、式３と４を使って、ａ１、ａ２、ｂ１、ｂ２に置き換える。
上の式のＸとＹを、式１と２を使って、ｘ、ｙに置き換える。
（解答おわり）
【第２の解答】
この答えは、以下の様に、垂直なベクトルの内積が０になる公式（式６）から速やかに導き出される。
（第２の解答おわり）
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以下で、ある直線に垂直な直線の方程式を導く方法を説明します。
（予備知識）
複雑な直線の方程式は、単純な形の基本的な直線の方程式に置きかえて考えます。
（難しい形の式は、全て、単純な形の式に置き換えて考えるのが数学のコツです。）
（説明開始）
基本的な直線の式は、以下の式です。
ａｘ＋ｂｙ＝０
これは、座標原点（０，０）を通る直線です。
この直線の式は、
位置ベクトル（ｘ，ｙ）と
法線ベクトル（ａ，ｂ）の内積が０であって、
直線の位置ベクトルに、直線の法線ベクトルが垂直であるという関係を表す式であると覚えてください。
この直線に垂直な直線の式は、
－ｂｘ＋ａｙ＝０
です。
ｘとｙにかかる係数を入れ替えて、１つ目の係数の符号を正負逆にした式です。
この式の関係を、以下の図に示します。
これが、垂直な直線の導き方の基本的考え方です。
ここで、点Ａの座標の記号は、下図のように、点Ａの記号を引き継いだ記号に添え字を付けてあらわしてください。そうした方が計算の見通しが良くなるからです。
（基本的考え方の応用）
もっと複雑な問題の場合への応用方法は、以下のようにします。
（例１）
直線 ２ｘ＋ｙ＋４＝０ に垂直な直線の式は、以下のように導きます。
上の直線の式は、以下の式に書き直すと基本的な直線の式になります。
２（ｘ＋２）＋ｙ＝０
ｘ＋２＝Ｘ と置き変えて見ると、上の式は、
２Ｘ＋ｙ＝０
になり、基本的な直線の式であらわせます。
この直線の式に垂直な直線の式は、
－Ｘ＋２ｙ＝０
－（ｘ＋２）＋２ｙ＝０
－ｘ＋２ｙ－２＝０
とあらわせます。
（例２）
直線 ２ｘ＋ｙ＋４＝０ に垂直で、かつ、点Ａ（３，５）を通る直線の式は、以下のように導きます。
直線 ２ｘ＋ｙ＋４＝０ を平行移動して、点Ａ（ｘ，ｙ）＝（３，５）を通る直線にする。
座標（ｘ，ｙ）を、平行移動して、点Ａ（３，５）を座標原点Ａ（Ｘ，Ｙ）＝（０，０）とする座標（Ｘ，Ｙ）で考える。
点Ａ（Ｘ，Ｙ）＝（０，０）
Ｘ＝ｘ－３
Ｙ＝ｙ－５
直線 ２ｘ＋ｙ＋４＝０ を平行移動して、点Ａ（３，５）を通る直線は、
２Ｘ＋Ｙ＝０
です。
この直線に垂直な直線は、
－Ｘ＋２Ｙ＝０
この座標（Ｘ，Ｙ）を（ｘ，ｙ）に置き換える。
－（ｘ－３）＋２（ｙ－５）＝０
－ｘ＋２ｙ＋３－１０＝０
－ｘ＋２ｙ－７＝０
（解答おわり）
リンク：
高校数学の目次
ここで、
です。
です。
です。 
接点Ｃ：
