《円順列を計算する上での基本的考え方》
人を円卓に配置する問題を解くための根本的な考え方は、以下の考え方です。
(1)円卓の１つ１つの席を固定して考えるべき。
(2)席に配置する人の順列は、円卓に対して回転した人の配置は異なる配置であるとして区別して考えるべきである。
(3)円順列では、人の配置を円卓の回りに回転させると重なる配置は同じ配置として配置の数を数える。
【問１】
両親と子供4人を６席の円卓に並べる。両親が正面に向き合う座り方の円順列は何通りあるか。
【問２】
大人３人と子供３人を６席の円卓に並べる。大人と大人の間に必ず子供が並ぶ座り方の円順列は何通りあるか。
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場合の数と確率
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【問１】
袋の中に、１と書かれたカードが４枚、２と書かれたカードが３枚、３と書かれたカードが２枚、計９枚のカードが入っている。この袋の中から同時に３枚のカードを取り出す。
(1)取り出した３枚のカードに書かれている数字がすべて異なる確率を求めよ。
(2)取り出した３枚のカードの中に同じ数字が書かれたカードが含まれていたとき、その同じ数字が１である条件付き確率を求めよ。
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【問１】
円卓の席が５個ある。３人の人が、２つの空席が隣り合わ無いように席に座る場合の、人の配置の数は全部で何通りあるか。
【問１ｂ】
円卓の席が５個ある。３人の人が、２つの空席が隣り合わ無いように席に座る場合の、人の配置の円順列の数は全部で何通りあるか。
（注意）円順列では、人の配置を円卓の回りに回転させると重なる配置は同じ配置として配置の数を数える。
【問２】
円卓の席が６個ある。３人の人が、３つの空席同士が互いに隣り合わ無いように席に座る場合の、人の配置の数は全部で何通りあるか。
【問２ｂ】
円卓の席が６個ある。３人の人が、３つの空席同士が互いに隣り合わ無いように席に座る場合の、人の配置の円順列の数は全部で何通りあるか。
（注意）円順列では、人の配置を円卓の回りに回転させると重なる配置は同じ配置として配置の数を数える。
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場合の数と確率
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三角関数の２倍角の公式の覚え方は、
以下のように複素数平面を利用すると覚えやすい。
複素数平面とは、
横軸に実数をあらわす実軸を持ち、
縦軸に虚数をあらわす虚軸を持つ平面であり、その平面上の点で複素数をあらわす平面です。
上図のように、例えば、ｉや、（１＋ｉ）／√２などの複素数を複素数平面上の点であらわします。
この複素平面で、実軸の右側にある数”１”が、全ての数の基準です。
この複素平面に置いてあらわした数と０をあらわす座標原点との距離を、”絶対値”と呼び、以下の式のように、複素数ｚを、|ｚ|というように、||で囲んであらわします。
絶対値の例 |ｉ|＝１
この図には、虚数ｉの平方根である（１＋ｉ）／√２があらわされていますが、（１＋ｉ）／√２の絶対値は１であって、（１＋ｉ）／√２は、０を中心とする半径１の円上にあります。
しかも、（１＋ｉ）／√２の実軸と成す角度は４５度で、０と１を結ぶ線（実軸）と、０とｉを結ぶ線（虚軸）が成す角９０度のちょうど半分です。
複素数ｚが、０と１を結ぶ線分から、０を中心に角度θ回転した位置にあるとき、ｓ＝ｗ・ｚ
というように、複素数ｚを他の複素数ｗに掛け算した答えの複素数ｓは、０と複素数ｗを結ぶ直線を、０を中心にして角度θ回転した直線上にあります。
０と複素数ｚを結ぶ線分が０と１を結ぶ線分と成す角度θを偏角と呼び、ａｒｇ（ｚ）とあらわします（左回りを正の角度にします）。
ａｒｇ（ｓ）＝ａｒｇ（ｗ）＋ａｒｇ（ｚ）
なお、複素数ｓの絶対値は複素数ｗの絶対値と複素数ｚの絶対値を掛け算した値になります。
|ｓ|＝|ｗ|・|ｚ|これが成り立つということを覚えてください。
ｓ＝ｚ・ｚ
というように、複素数ｚを２乗して複素数ｓを計算する場合を考えます。
先ず、各複素数の偏角を以下のように名づけておきます。
ａｒｇ（ｓ）≡β
ａｒｇ（ｚ）≡θ
これらを使って各複素数が以下のようにあらわせます（複素数の極形式での表示）。
ｓ＝|ｓ|ｃｏｓ（β）＋|ｓ|ｓｉｎ（β）・ｉ
ｚ＝|ｚ|ｃｏｓ（θ）＋|ｚ|ｓｉｎ（θ）・ｉ
その複素数の掛け算ｓ＝ｚの２乗の場合には、以下の公式が成り立ちます。
β＝ａｒｇ（ｓ）＝２ａｒｇ（ｚ）＝２θ， （式１）
|ｓ|＝|ｚ|・|ｚ|， （式２）
以下で、複素数ｚの２乗を計算して、その結果を複素数ｓと比較する。
ここで、２倍角の定理との関係を分かり易くするため、複素数ｚの絶対値の|ｚ|＝|ｓ|＝１
とする。
複素数ｚの２乗と、それに等しい複素数ｓとは、その実数部分が等しいので、その関係をあらわす１つの式を導き、更に、その虚数部分が等しいので、その関係をあらわす１つの式を導きます。それにより、以下の２つの関係式が導き出せます。
上の式４がｃｏｓの２倍角の公式であり、式５がｓｉｎの２倍角の公式です。
三角関数の２倍角の公式を以上の手順で素早く導き出せるように、以上の導き出し方を覚えておきましょう。
そうすれば、覚えるのにとても苦労する三角関数の加法定理が、覚えやすくなります。
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【問２】
上図の三角形において、∠Ａの２等分線の線分ＡＤの長さｍが以下の式であらわせることを示せ。
やさしい微分積分
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《実数とは》
微分積分の命綱を握っているのが実数の概念です。以下の例を用いて実数について考える。
下の図のようにｘ＝１から、ｘ＝２、次にｘ＝3/2 というように有理数の値を変えてくと、限りなく近づく先の数が有理数の中には無い。しかし、そのように限りなく近づく先の数が存在すると考えた。その数を実数と呼ぶ。
このように、「限りなく近づける」操作（極限の操作）が、数の概念を拡張することを要請し、そうして拡張された新たな数が実数であった。この拡張された数である実数から成るとされる数直線には数の連続性があるとされた。このように極限の操作によって数の概念が実数にまで拡張され、それが数の連続性と微分積分の礎になった。
《数列の極限》
項が限りなく続く数列ｘ1, ｘ2, ｘ3, ・・・, ｘn, ・・・を無限数列と言う。ｘnをその第ｎ項といい、この無限数列を{ｘn}であらわす。また、ａn を自然数ｎの式であらわしたものを数列{ｘn} の一般項という。
「変数ｘが限りなく点ａに近づく」という極限の定義は、数の集合Ａにおいて、以下のことが成り立つこととして、極限を定義する。
【数列の極限の定義】
以下の図で、「数の集合Ａの要素で、点ａ以外の値の、変数ｘの無限数列{ｘn}を考える。
この数列{ｘn}では、自然数ｎが限りなく大きくなるとき、第ｎ項は限りなく値ａに近づく。
一般に、数列{ｘn}において、ｎが限りなく大きくなるにつれて、ｘn が一定の値ａに限りなく近づくとき、数列{ｘn}はａに収束する、または、数列{ｘn}の極限はａであるという。その値ａを数列{ｘn}の極限値であるという。（点ａは数の集合Ａの要素で無くても良い）。
数列{ｘn}の極限値がａであるとき、次のように書く。
（ここで、記号∞は”無限大”と読む。∞は数をあらわすものではない）
すなわち、「変数ｘが限りなく点ａに近づく」という極限の概念を、点ａに収束する、数の集合Ａの要素のｘの無限数列を使って数学的に定義した。
その結果、変数ｘが限りなく近づく先の数の点ａは、すなわち、変数ｘの極限の数の点ａは、
数の集合Ａの要素の点ｘの無限数列の集積点であるという結論が得られる。
--（集積点の定義）--
実数の集合Ｒの部分集合の数の集合Ａを考える。
（１）実数の点ａが数の集合Ａの集積点であるとは、
点ａの値以外の数の集合Ａの要素の点ｘn による、点ａに収束する無限数列 {ｘn}が存在すること（点ａは実数ではあるが、数の集合Ａの要素とは限らない）である。
（２）数の集合Ａの要素のある数の点ｙが集積点ではないとき、その点ｙを数の集合Ａの孤立点と呼ぶ。
--（集積点の定義おわり）---
《数列の発散》
数列{ｘn}が収束しないとき、数列{ｘn}は発散するという。
次の数列は発散する。
なお、数列{ｘn} において、ｎを限りなく大きくすると、ｘn が限りなく大きくなるとき、数列ｘn は正の無限大に発散するといい、次のように書く。
このとき、数列{ｘn}の極限は正の無限大であるということがある。
また、数列{ｘn} において、ｎを限りなく大きくすると、ｘn が限りなく小さくなるとき、数列ｘn は負の無限大に発散するといい、次のように書く。
このとき、数列{ｘn}の極限は負の無限大であるということがある。
数列{ｘn}が発散するが、正の無限大にも発散せず不の無限大にも発散しない数列{ｘn}は振動するという。
《関数の極限》
関数ｆ(x) の定義域Ａの集積点ａの極限を以下で定義する。点ａが集合Ａの集積点であるので、関数ｆ(x) の定義域Ａのｘの数の集合Ａから、ａと異なる数ｘ1, ｘ2, ｘ3, ・・・, ｘn, ・・・ を選んで、点ａに収束するｘの無限数列{ｘn}を作ることができる。その無限数列{ｘn}が点ａに収束するのにともなってｆ(x) が値Ｃに収束することが、ｘ→ａで関数ｆ(x)に極限値Ｃが存在するための基礎条件である。
関数ｆ(x) において、変数ｘがａと異なる値をとりながら限りなくａに近づくとき、ｆ(x) の値が一定の値Ｃに限りなく近づくならば、
ｘ→ａのときｆ(x) の極限値がＣである。
といい、次のように書く。
また、この場合、”ｘ→ａのときｆ(x) はＣに収束する”という。
【関数の極限の定義】
関数ｆ(x) の定義域Ａの変数ｘが集積点ａと異なる値をとりながら限りなくａに近づくとき、関数ｆ(x) の値が一定の値Ｃに限りなく近づくという関数の極限は、以下のように定義する。
「関数ｆ(x) の定義域の変数ｘが限りなくａに近づくとき関数ｆ(x) に極限値Ｃが存在する」ことの数学的定義を：
「点ａで無い関数ｆ(x) の定義域Ａの点ｘの、点ａに収束する全ての無限数列{ｘn}で共通して、関数ｆ(x) が同じ値Ｃに収束する」ことと定義する。
そう定義する理由は、関数ｆ(x) によっては、点ａに収束する各無限数列{ｘn}毎に、関数ｆ(x) が異なる値Ｃに収束したり、収束しなかったりすることがあるからである。
【区間の定義】
「区間」という数学用語は、変数ｘの数直線上の１つの範囲内の、実数のすき間がなく連結している１かたまりの数の集合をあらわす数学用語である。「隙間が無い」大前提のために、実数の集合でなければならない。
a, b を実数とする. a≦ｘ≦ｂ の実数ｘをすべて集めた集合を [a, b] と書き, これを閉区間と呼ぶ.
a＜ｘ＜ｂ の実数ｘをすべて集めた集合を (a, b) と書き, これを開区間と呼ぶ.
変数ｘの「区間」の大切な特徴は、「区間」は、所定の１かたまりのｘの範囲内での隙間が無い全ての実数の集合が「区間」である。
【関数の右側極限と左側極限】
関数ｆ(x) の定義域の数の集合Ａの、集積点ａよりも大きい点ｘn による、点ａに収束する無限数列 {ｘn}が存在するとき（点ａは数の集合Ａの要素とは限らない）、ｘn が、集合Ａの点ａの値よりも大きい値をとりながら限りなくａに近づくときｆ(x) の値が限りなくＣに近づくならば、Ｃを点ａでのｇ(x,a) の右側極限値といい、次のようにあらわす。
数の集合Ａの、集積点ａよりも小さい点ｘn による、点ａに収束する無限数列 {ｘn}が存在するとき、ｘn が、集合Ａの点ａの値よりも小さい値をとりながら限りなくａに近づくときｆ(x) の値が限りなくＣに近づくならば、Ｃを点ａでのｆ(x) の左側極限値といい、次のようにあらわす。
〔極限が存在する条件〕
（１）関数ｆ(x) の点ａに係わる右側極限値か、又は、左側極限値かの一方のみが存在する場合は、その存在する極限値が点ａに係わる関数ｆ(x) の極限値である。
（２）関数ｆ(x) の点ａに係わる右側極限値が存在し、かつ、左側極限値も存在する場合は、両者の極限値Ｃが一致することが集積点ａで関数ｆ(x) の極限が存在するために必要十分な条件である。
すなわち、右側極限も存在し左側極限も存在して両者の極限値Ｃが一致する場合は、関数ｆ(x) の定義域Ａでの、点ａより小さい値と大きい値のｘn が混ざった数列で点ａに収束する無限数列{ｘn}においても、関数ｆ(ｘ) が同じ極限値Ｃに収束する。そのため、関数ｆ(x) の点ａに係わる極限が存在する条件の、「関数ｆ(x) のａ以外の点ｘによる、点ａに収束するどの無限数列{ｘn}であっても関数ｆ(x) が同じ値Ｃに収束する」ことが成り立つからである。
〔関数ｆ(x) の、点ａより小さい値と大きい値のｘn が混ざった数列で点ａに収束する無限数列{ｘn}の関数値ｆ(ｘn) も同じ極限値Ｃに収束する〕ことを以下でを示す。
関数ｆ(x) の集積点ａの右側極限値と左側極限値が同じ値Ｃであるとする。
その場合に、関数ｆ(x) の、点ａより大きい値と小さい値のｘn が混ざった数列で点ａに収束する無限数列{ｘn}を考える。
（１）無限数列{ｘn}から、ｘn の値がａより大きい数だけを抽出して、その他の数は工夫して、ａより大きい数ｙn でａに収束する無限数列{ｙn}を作ることができ、ｆ(ｙn) はＣに収束する。
（２）無限数列{ｘn}から、ｘn の値がａより小さい数だけを抽出して、その他の数は工夫して、ａより小さい数ｚn でａに収束する無限数列{ｚn}を作ることができ、ｆ(ｚn) はＣに収束する。
そして、ｚn ≦ｘn≦ｙn が成り立つようにこれらの数列を作ることができる。そうすると、無限数列{ｘn}の関数ｆ(ｘn)も同じ極限値Ｃに収束することが示せる。
《関数の連続性》
「連続関数とは何か」
https://schoolhmath.blogspot.com/2024/11/blog-post_93.html
のページが参考になる。
関数の連続性の定義についても、極限の定義と同じで、
関数ｆ(x) の定義域Ａの集積点ａでの関数の連続性は、点ａで極限値が存在した上で、極限値がf(a) と等しくなることが、点ａで関数が連続である条件になる。
《関数の微分可能性》
「微分とは何か」
https://schoolhmath.blogspot.com/2024/11/blog-post_6.html
のページが参考になる。
関数の微分可能性の定義についても、極限の定義と同じで、
関数ｆ(x) の定義域Ａの集積点ａでの微分可能性は、点ａで関数が連続であって、かつ、点ａでの微分係数の極限値が存在することが、点ａで関数が微分可能である条件になる。
リンク：
関数の極限の定義
連続性公理と実数を定義する3つの方法 （初学者向けの話）
実数はどう定義される？｜実数の連続性公理から理解する
高校数学の目次
