三角形の外接円の中心の位置ベクトルの公式を初めて学ぶ方法

【問１】 三角形の外心（外接円の中心）Ｏの位置ベクトルをもとめよ。

《重要な注意》
　三角形の外心の位置を求める問題は、数IIで習った図形と方程式を使ったほうが、ベクトルで計算するよりも楽に解けます。

　以下で、この解の探し方を書きますが、できれば、以下の説明を見ずにこの問題を解いて見てください。時間はいくらかけても良いですから・・・。その方が絶対に楽しいと思います。

この問題の解き方は、以下をクリックした先のページに書きます。 　この問題の解き方は、以下をクリックした先のページに書きます。
　ＸＹ座標系のグラフを使って三角形の外心を求めることが解き易いのに、それをベクトル方程式を使って解くと、解きにくいことがあることに気づきます。ベクトルの問題を解くときの基準ベクトルの組の選定が良くないと問題が解きにくくなります。適切な基準ベクトルを使って問題を解けば、問題が解き易くなります。
　このため、適切な基準ベクトルを選んで問題を解くことで問題が解き易くなる体験をして欲しいと思います。

（１）外心Ｏを原点にした基準ベクトルを使って解く証明
（２）解を探索する一番簡単な解き方。
　結論「三角形の外心を、直交した基準ベクトルを使って導く」
（３）少し込み入った解き方。
（４）もう少し込み入った解き方。「種々の式」

（５）垂直線の方程式を使う解き方が簡単。
（６）正弦定理を使う解き方 
（７）裏正弦定理 
（８）三角形の高さベクトルｈの公式

【問２】
　頂点Bが原点Oにある三角形ＡBCの外心Pの位置ベクトルPを、位置ベクトルAとCと、その位置ベクトルに垂直なベクトルであらわせ。

この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。

《重要ポイント》
　三角形の外心の位置ベクトルを表現するために、各ベクトルの存在に伴って、そのベクトルに垂直なベクトルが同時に存在するものと認識することが大切である（その垂直ベクトルは計算で導き出す以前に既に、簡単な式で定義されているものと認識する）。このベクトルとそれに垂直なベクトルとのベクトルの対は、以下の、【一番簡単な解き方の秘訣】の（１）での、互いに垂直な単位ベクトルｘとｙとのベクトル対に対応する。このようなベクトルとそれに垂直なベクトルとの対を使うと、ベクトル方程式を使ってスムーズに外心の位置ベクトルが計算できる。

【一番簡単な解き方の秘訣】
（１）各ベクトルを、互いに垂直な単位ベクトルｘとｙの合成であらわして（ただし、ベクトルｘは三角形の所定の辺の方向に平行。ベクトルｙはその辺に垂直な方向を向く）、
（２）そして、あるベクトルｍとｃが垂直である条件として内積が０であるというベクトル方程式を作って計算する。


【研究課題】
外接円から三角形の頂点までの距離が等しいという条件を使って外接円の中心の位置ベクトルを求めてみます。

式７と式８をベクトルであらわすため、以下の垂直ベクトルを定義する。

（解答おわり）

（この研究の結果の意味すること）
　三角形の外心の位置ベクトルを表現するために、各ベクトルの存在に伴って、そのベクトルに垂直なベクトルが同時に存在するものと認識することが大切である。「三角形の外心の高さ」のページの【問１】の（解答３）でも説明するように、この問２のように垂直なベクトルを使うと、ベクトル方程式を使ってスムーズに外心の位置ベクトルの解が求められる。

　複素数平面を使うと、ベクトル方程式によって外心の位置ベクトルが簡単に計算できる。

【研究その２】

この図を使って外心の位置ベクトルを表す方法は、複素数平面を使う事が効果的です。

【研究その３】

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三角形の高さベクトルｈの公式

三角形の面積を３辺から計算する公式を初めて学ぶ方法

【問】⊿ＡＢＣの面積Ｓを⊿ＡＢＣの３辺ａ，ｂ，ｃから計算する公式を求めよ。

　以下で、この公式の探し方を書きますが、できれば、以下の説明を見ずにこの問題を解いて見てください。時間はいくらかけても良いですから・・・。その方が絶対に楽しいと思います。

この問題の解き方は、
ここをクリックした先のページに書きます。

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三角形の面積（二辺侠角）
三角形の面積と外接円の半径
三角形の面積と内接円の半径
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
高校数学［三角比・平面図形］一覧
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三角形の面積を外接円の半径を使って求める公式を初めて学ぶ方法

【問】⊿ＡＢＣの面積Ｓを⊿ＡＢＣの３辺ａ，ｂ，ｃと⊿ＡＢＣの外接円の半径Ｒであらわす公式を求めよ。

　この問題の公式を初めて学ぶときは、その公式が見せられて、その公式を証明しなさいという問題に出会うという出会い方が多いと思います。しかし、公式という答えを見てしまったら、数学を自分で学ぶという面白さが半減してしまいます。
　そのため、この公式に出会った場合、その公式の最低限の条件の（⊿ＡＢＣの面積を３辺ａ，ｂ，ｃと外接円の半径Ｒであらわせる）というヒントだけを意識して、その公式を自力で探し出すようにしましょう。

　以下で、その探し方を書きますが、できれば、以下の説明を見ずにこの問題を解いて見てください。時間はいくらかけても良いですから・・・。その方が絶対に楽しいと思います。

この問題の解き方は、
ここをクリックした先のページに書きます。

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三角形の面積（二辺侠角）
三角形の面積と内接円の半径
三角形の面積を三辺から求める公式
リンク：正弦定理
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
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二次方程式の解の公式を初めて解く方法

【問題０】
ａＸ^２＋ｂＸ＋ｃ＝０
この解の公式を解け。

【問題への取り組み方】
　初めて、こういう問題に出会った時、どのように勉強すれば良いか？教科書の例題の解き方を覚えて解けるようにするか？

　例題の解き方を見て覚えるというのでは、本当の数学の力がつきませんので、数学を勉強しているとは言えないと思います。
 この問題に対する取り組み方は、以下のように勉強したら良いと思います。

【数学的な問題の解き方の原則】
　先ず、この問題より易しい問題を作って、その問題を解きます。

【よりやさしい問題１】
Ｘ^２＋ｂＸ＋ｃ＝０
この解の公式を解け。

この問題１の式は、問題０をａで割り算した式ですので対応関係は簡単です。

です。 

【よりやさしい問題２】
Ｘ^２＋ｃ＝０
この解の公式を解け。

《公式 Ｐ^２ － Ｑ^２ ＝（Ｐ－Ｑ）（Ｐ＋Ｑ）を使う》

この問題２の式は、以下の式に因数分解できます。

これにより、以下の２つの解が得られました。

この問題２が解けたので、
次に、
問題１を解きましょう。

【よりやさしい問題１】
Ｘ^２＋ｂＸ＋ｃ＝０
この解の公式を解け。

　問題２が解けたので、この問題１を問題２の形であると解釈して、
以下の式の「ｘの有無項の二乗の引き算の公式」を使った

平方完成の公式を適用して
解きます。
Ｘ^２＋ｂＸ＋ｃ＝Ｙ^２＋ｄ
と考えます。右辺の式は問題２の式なので解けることが分かっています。
それで、左辺の式を、平方完成の公式を使って、右辺の式の形に変形します。 

 これで変形ができました。

です。 

ですから、

ここで、虚数 ｉ を√（－１）、－√（－１）のいずれに置き換えても答えが変わらない式に、
上の因数分解の式を書き換えます。

これにより、問題１が解けて、以下の２つの解が得られました。

この解が得られたので、問題０も解けます。

（注意）
　ここで、虚数 ｉ を√（－１）、－√（－１）のいずれに置き換えても答えが変わらない式に、上の式を書き換えた理由は、√（－１）には、虚数 ｉ と -ｉ との２つの解があるからです。

 そのため、その２つの解のどちらであっても答えが変わらないように式を変形しなければなりませんでした。
　このように虚数を使った式の計算で近道をするには細心の注意が必要です。この論理をハッキリ意識して式を計算しなければなりません。
　このように細心の注意をするのが面倒くさい人は、因数分解の１つ前の式に戻って、式の計算をキチンとやり直すと、面倒くさくなくて良いです。以下のようにすれば良いです。

【問題０】
ａＸ^２＋ｂＸ＋ｃ＝０
この解の公式を解け。

よって、平方完成の公式を使って、

これにより、問題０が解けて、以下の２つの解が得られました。

解の公式はいろいろな表わし方があります。
この式は、解の公式の１つのあらわし方です。 

このように、易しい問題から難しい問題まで、何度も問題を解くことにより、自力で難問を解くことができます。

　この解き方は、学校で教わる事は無いかもしれませんが、真剣に数学を勉強した人だけが知っている、問題の解き方の技術の１つです。

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数学の力とは

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▷ひらめき学習の大切さ

大人のための数学勉強法

「どんな問題も解ける10のアプローチ」

問題集の使い方
●「わかる」と「できる」は違う
●問題集の「解答」について
●問題集に載っている問題は試験に出ない
●なぜできなかったのか？
●問題ができたときは

　の内容が面白い。

　そして、数学ができるようになる大切なポイントを教えられました。

①問題が解けない。
②解き方を見る。
③再度問題を解く。
④問題が良く解けた。

　この①から④を繰り返して数学を学んでいるつもり、
という数学の勉強方法は、全然数学の勉強になっていない。

　たしかに、数学の解き方を１つ１つ覚えても、ある程度問題が解けるようになる。
しかし、それでは、本当の数学を学んだことにはならない。

　その問題の解き方を覚えるのは数学を学ぶ優先順位の第２番目です。
　数学では『解答を読んで理解すること』と『何も見ずに自力で論理を組み立てて解答を作成できること』には大き なギャップがあります。
解答を読んで納得しても，いざ解答を作成する立場になって初めて「なぜこう考えるのか？」という疑問を抱いたり，意味を勘違いしている概念や公式があったりと，自分が復習すべき箇所に気付くことも少なくありません。

　数学を学ぶ第１の優先順位は、その問題に初めて直面したとき、なぜ解けなかったのかの原因を分析して、
その問題の解き方を自力で導き出す根源的方法を探ることにあります。

　その根源的方法を知っていれば、その問題に初めて出会ったときにもその問題が解けただろう、そういう方法を見つけ出す。数学の技（わざ）を磨くことです。
（それは、「ひらめき学習」をするということです）

　そして、その技で解けるかもしれない（解き方自体も）新しい問題を探して、その問題が解けるようになっていることを調べます。
　その、根源的方法を使って、解き方が新しい問題が解けてはじめて、最初に解けなかった問題が解けるようになったと考えるのです。
　解き方を教わって解けるようになった問題は、解けるようになったものとは見なさないのです。

　そういう技を磨くには、１つ１つの未知の問題が貴重で、なるべく解答を見ないで解きます。
解答を見てしまったら、その問題を解く数学の技を磨く材料にはならなくなってしまうからです。

　だから、そういう数学の勉強をしている人に、問題の解き方を見せてしまうというのは、とても悪い事をしているとも考えられます。

　このブログでは、
今までは、問題と、その解答とを併記して説明していましたが、
それは、数学の考える力、問題を解く力を養うのには悪い作用しか与えて来なかったのではないかと反省しています。

　これからは、このブログは、過去の記事にまでさかのぼって、
問題と、その解き方とは、分けて書いて、
読者が、先ずその問題を自力で解くことができるようにし、数学の技を磨くチャンスを読者から奪わないようにします。

　それと、その問題の解き方の説明においても、単に問題の解き方を提示するのでは無く、
その解き方が、どのような方法を用いることで導き出せるかを説明するようにしたいと思います。

（数学の問題を解く根源的方法）
　数学の問題が解ける根源的方法は、簡単に導き出せる公式をことごとく発見して、その公式を速やかに導き出せるようにしておくことです。
　その公式を導き出すほんの少しのヒントを覚えて、そのヒントに従ってその公式を直ちに導き出せるように訓練しておくことです。
　そうすれば、少しのヒントを覚えるだけで、とても多くの公式を覚えているのと同じ効果が得られます。とても多くの公式を覚えているのと同じなので、多くの問題が楽に解けます。

（問題の解説を見る前に、問題を簡単にして解くこと）
　数学の問題が解ける根源的方法はどうやって発見できるのでしょうか。
　それには、自力で解けない問題があった場合に、その問題を極力簡単な問題に変えてみて、その簡単な問題を解きます。
　その簡単な問題の解き方のパターンを参考にして、元の難しい問題を解く。
　その問題の解き方のパターンが、問題を解く根源的方法の１つになります。

（数学の公式の覚え方）
　数学の公式は覚えられません（覚えていてもすぐに忘れる）。特に、覚えていた公式に似ている公式を覚えようとする場合に、その新しい公式に似ている、旧くから覚えていた公式は、新しい公式を覚える必要のために忘れ去られます。
　そういうふうに、数学の公式は覚えられないものです。
　そのため、忘れかけている不確かな公式を思い出して使うのでは無く、以下のようにして公式を覚えます。
　公式を初めて学んだときに、自分には何が覚えられるのか、を自問します。
公式の導出過程を良く調べて、
公式の近くにある、自分が直ぐに覚えられる（一瞬で思い出せる）、”覚えやすい形の公式”を見つけて覚えます。
（覚えやすい形の公式を見つけて覚えるというのは、「ひらめき学習」をするということです）
　”覚えやすい形の公式”を一瞬で思い出して、
その、思い出した”覚えやすい形の公式”から、「公式」までを、紙とペンと手による計算で導き出してつなぎます。
その計算速度が、”公式を迷いながら思い出す”時間よりも速くなるように練習します。
　それが、正しい公式の覚え方です。一瞬で思い出せる”覚えやすい形の公式”から出来るだけ速やかに「公式」を導き出して仕上げることができるように、公式を導き出す道を洗練させておくのが、「公式を覚える」作業です。

　中学生の時は数学ができたのに、高校生になって、正弦定理や余弦定理が覚えられない（時が経つと忘れてしまう）ので数学の勉強で挫折する学生が多いらしい。
　「覚えられない（忘れてしまう）」で挫折するのは、数学を、公式を覚える学問だと認識していたから、急に数学が出来なくなったものと誤解するからだと思います。しかし、それは間違った認識だと思います。数学は公式を覚える学問では無く、公式を導き出す学問だと思います。
　中学生のときから、数学の公式は覚えられない（時が経つと忘れる）ものだと知っていた学生は、公式が覚えられない（忘れる）のは当たり前の事だと認識しています。そして、公式を覚えるというより、公式を導き出して使う練習をして来ていたと思います。
　そのため、高校生になって初めて「公式が覚えられない」という真実に気付いた学生は、挫折するのでは無く、公式を導き出すことを覚えて欲しいと思います。

　新しい問題が解けなかったら、その問題を解くために役立つ公式で、未だ知らなかった、速やかに導き出せる、隠れた公式を探します。
　あるいは、毎回導出する公式の導出に時間がかかる場合は、その公式を導出し易くする、速やかに導き出すために役立つ公式を探すのです。
　その新しい公式が見つかったら、その新しい公式を導き出すほんの少しのヒントを覚えて、そのヒントに従ってその公式を直ちに導き出して使えるように練習します。
　これが、数学の問題が解けるようになる根源的な方法だと思います。

　すなわち、新しい問題が解けなかったら、あるいは、毎回導出している公式の導出に時間がかかっている場合は、
その問題だけが解けるその問題の解き方だけの解答を覚えるのでは無く、
①できるだけ多くの問題を解くために使えて、その問題を解くためにも使える公式で、
②少しのヒントで速やかに導き出せる公式を発見する。
（すなわち、ひらめき学習をする）
③そして、その公式を速やかに導き出して問題を解くのに使えるように練習するのです。
　その練習をするのは、計算ミスを減らす練習をすることでもあります。

（補足）
　自力で数学の問題を解くときには、解こうとして、問題を解き得るあらゆる可能性を考えて、解く道を自分で探ります。どういうときにどの方向に進むと、自分が解ける問題になるか、という、解き方の可能性のネットワークを見通す力がついてきます。そのネットワークの認識が正しいか否かは、問題が解けるという実績によって確かめられていきます。

　そういう、実際の解答を作るときに考えた、「解き方の可能性のネットワーク」には、問題集の解答の解説にかかれている情報の数倍の情報量があります。

　そのように、自力で問題を解くときには、実際の解答の手順の情報の数倍の「思索された解き方の可能性」の情報が得られます。

　その自分が思索して生み出した「解き方の可能性の情報」は、次の問題を解くときにも思い出されて来て、増々、解き方のネットワークが広がっていきます。

　その情報量の違いが「数学の力」であり、大学入試で初見の問題を解くのに必要な力です。

（勉強の例１）
　例えば、数学の教科書の「例題」を、その解説を読まずに自力で「例題」を解く。 「例題」は解説を読まずに自力で解こうとすると、とても難しい問題になります。１日がかりで１つの「例題」を自力で解くと良い。１日かけても解けなかったら例題の解説を見ても良いです。

　授業でその例題が説明される前に、そのようにして１日がかりで自力で例題を解いておきます。

そうすれば、かなり数学の力がつくと思います。

　１日かけて「例題」を解こうとして思索する間に、かなりな量の「思索された解き方の可能性」の情報が考え出されます。
例題が解けなくても、その考えだされる多量の情報を得るために、１日かけてもがんばるのです。

  かなりな量の「思索された解き方の可能性」の情報を考え出し続けることができる魅力のある問題を自力で解き続けると良いと思います。

　数学の教科書の「例題」というのは、解説が短いので、なぜ自力で解けなかったのかと思ってしまう、（難しい問題なのですが）解けないハズが無い、と思うくやしさがある。そのため、１日中、解こうと考え続けることができる「魅力」のある問題です。

　そういう、飽きずに考え続けることができる、魅力のある問題を自力で解くのが良いと思います。

（勉強の例２）
　獲得した数学の「思索された解き方の可能性」の情報を忘れてしまわないように、毎日、１問は、数学の問題を解き続けることも大事な習慣です。
《まっつんのお役立ちチャンネル》
「勉強全般 1習得ステップ＆本返し縫い勉強の大切さ」
https://youtu.be/svd01YQOhBs

　また、毎日解く１問の何かの数学の問題を解いているときに、思い出されて来る情報こそが数学の「根源的な解き方の情報」です。問題集の問題の解説に書かれている情報は、数学の他の問題を解こうとしているときに思い出されて来ることが少なければ、「それは根源的な解き方の情報」では無かったことが分かります。

《高校数学の理不尽さ》
　高校数学では、不十分な知識しか教えられない事がある理不尽さがある。
　そういう理不尽さを乗り越えるためには、常に自分で考えるという、問題に向き合う態度が必要です。
　高校数学の最初のつまづき石は「因数分解」です。
因数分解でつまづいている学生は、ここをクリックした先のページを見て因数分解のやり方の十分な知識を得ることが望ましい。

《「ひらめき脳」（脳科学者の茂木健一郎）》
https://tinyurl.com/ykny8jby
からの引用：
　「現代の脳科学に、「一発学習」と呼ばれる概念があります。
「一発学習」 というのは、一度それを理解すると絶対忘れないような脳内回路のつなぎかえです。
なぞなぞやパズルの答えが一度わかってしまえば、もうそれを忘れることはありません。
そのようなものが「一発学習」なのです。
　「認知的学習」、つまり言葉で表わすことのできる学習は、特にひらめき（一発学習）を必要とします。
それに対して、スポーツなどの運動学習は、別の脳のはたらきを必要とします。体をどうやって動かせばいいか学ぶのは、小脳が関与する「手続き記憶」です。
それと「認知的学習」のメカニズムは違います。
「認知的学習」には、基本的に小さいひらめきが不可欠なのです。
　「学習」というと、知識をいかに頭に詰め込むかが勝負と勘違いする人も多いのですが、
学習とは、外の情報をそのまま取り入れることではありません。どんな学習でも能動的に気づく、つまりひらめく（一発学習）というプロセスを経ないと定着しません。
詰め込み教育がダメな理由はそこです。
自分で「気づく」「ひらめく」というプロセスを通した方が、効率も良く創造性の高いものになるのです。」

「共テの数学の点数が取れなくて困っています」
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14330330884
のページの質問者のコメントが参考になります。
「
よく青チャートをやれば解けるようになると聞いていたので、二次関数だけ2周したのですが、いざ共テ模試に挑んだら、二次関数の問題は何一つ分かりませんでした。

青チャートの問題はスラスラ解けるのに、共テになると何も解けません。青チャートを解いて本当に意味あるのでしょうか？
-------------------------------------------------

-----------コメント-----------------------------
ありがとうございます！！今まで解法暗記ばかりして、覚えた気になっていただけだったと改めて認識できました！！なぜ間違えたかを復習することで考え方がわかってきました。

共テの過去問の二次関数をやってみたら全問正解出来ました！！点数も40点くらい上がりました。
」

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計算ミス対策：計算ミスの改善方法

数学が得意になる考え方

ここが違う　数学が苦手な人、得意な人の「考え方」 

日経おとなのＯＦＦ

　数学が苦手な人の多くは、自分には才能がないと思い込みがち。でも、それは間違い。「アプローチ法さえ知っていれば、問題は解ける」と、おとなにも人気の数学塾塾長・永野裕之さんは説く。ポ イントは「考え方」。数学が得意な人が実践する、問題を解くための「６つのアプローチ」を紹介。日常生活にも役立つものばかりだ。

　「数学が得意な人と苦手な人との大きな違いは、才能ではなく、問題を俯瞰（ふかん）して捉えられるか否かです」。こう話すのは、永野数学塾の塾長・永野裕之さん。

　 なぜなら、どんなに難解に見える数学の応用問題も、基本問題の組み合わせから成り立っているからだ。つまり難解な問題も、俯瞰して見れば、いくつかの容易 な基本問題に分解できるのだ。複雑に絡み合った基本問題を解きほぐすには、問題へのアプローチ法（考え方）を知っておくことが有効な手段となる。「数学が 得意な人ほど、問題を解きほぐし『そもそも』の部分に立ち返るのがうまい」と永野さんは指摘する。

　ここでは日常生活にも役立つ６つの問題に対するアプローチを紹介する。このアプローチを覚えておけば、未知の問題を前にひるむことがなくなるはずだ。その上で問題を俯瞰して考えることが、難解な問題を解く第一歩となる。
　

・数学が得意な人→問題を俯瞰できる
・数学が苦手な人→問題の壁の前で立ち止まっている

【数学が得意になるということ】
　「スタンフォード：本当の答えを見抜く力」（キース・デブリン）
に、スタンフォード大学に入学した大学生に教える「数学移行講座」の教育内容が書かれています。
　数学移行講座が必要な理由は、学生が大学の数学教育についていけるようにする基本的考え方を教える必要があるからです。
「数学的能力は２つのタイプに分類できます。
最も必要とされている能力は、２つ目のタイプの能力で、
製造業などで新しい問題に取り組んで、その鍵となる特徴を認識して数学的に記述し、その数学的記述を使って問題を正確に分析することができる能力です。
　数学教育では主に１つ目のタイプの人間（公式を覚えて当てはめて定型的な問題の答えを出すことができる）を育てることに力点が置かれてきましたが、結果的に２つ目のタイプの人間も育ちました。
２１世紀は、タイプ２の能力に対する需要の方が大きくなっています。
このタイプ２の人材は、
数学の箱の中ではなく、外で考えられる人材です。
「斬新な数学的思考家」と呼ぶのが良さそうです。

　「数学が得意な人と苦手な人との大きな違いは、才能ではなく、問題を俯瞰（ふかん）して捉えられるか否かです」。
という能力は、
数学の新しい概念を学ぶ毎に、
（１）その概念が「問題を簡単に解ける役にたつのか」。
（２）「公式を忘れても良い役に立つ（その公式を導き出せる）のか。」
を納得しながら学ぶという習慣の積み上げの結果のように思います。

　言い換えると、新しい数学の概念を学ぶ毎に、
「それによって何がうれしいのか」を、
納得しながら学ぶ習慣があるということです。
　数学の公式の定義などの数学の概念を正しく理解することで、その公式がほとんど自明に見えて、公式を覚えないでも良くする「うれしさ」がある数学概念を理解することです。
　「何がうれしいのか」が自分だけでは分からない場合は、「数学の歴史」を学ぶことで、最初にその数学の概念を考えた人が、その概念の「何がうれしい」と思っていたかを学ぶことでわかります。

　「何がうれしいのか」を納得しながら学ぶという態度の根底には、数学を学ぶ時間を楽しもうとする心（これが一番大切）があります。同じ時間をかけて数学を学んで同じ数学力を身につけても、その学ぶ時間を「楽しい」と思うか思わないかで、天と地の差があります。
　楽しくなければ、数学を学び続ける事はできません。学びを楽しもうとする心が一番大切だと思います。

　数学の勉強で「非効率な学び方をしたく無い」と思っている人は、学びを楽しんではいないと思います。ただし、「非効率」というよりも、「無意味な」学び方があります。それは、理解不能な事をただ聞いて何かの断片的知識（公式など）を分からないながら覚える、という学び方が「無意味な」学び方です。数学の理解不能な授業を聞くよりは、その時間に英語の単語を覚える勉強をする方がましと思います。「無意味な」勉強をしてはいけません。
　自分の理解可能な数学を学ぶ確実な方法は、自分が解けそうな問題を自力で解いていく事です。

《「ひらめき脳」（脳科学者の茂木健一郎）》
https://tinyurl.com/ykny8jby
からの引用：
　「現代の脳科学に、「一発学習」と呼ばれる概念があります。
「一発学習」 というのは、一度それを理解すると絶対忘れないような脳内回路のつなぎかえです。
なぞなぞやパズルの答えが一度わかってしまえば、もうそれを忘れることはありません。
そのようなものが「一発学習」なのです。
　「認知的学習」、つまり言葉で表わすことのできる学習は、特にひらめき（一発学習）を必要とします。
それに対して、スポーツなどの運動学習は、別の脳のはたらきを必要とします。体をどうやって動かせばいいか学ぶのは、小脳が関与する「手続き記憶」です。
それと「認知的学習」のメカニズムは違います。
「認知的学習」には、基本的に小さいひらめきが不可欠なのです。
　「学習」というと、知識をいかに頭に詰め込むかが勝負と勘違いする人も多いのですが、
学習とは、外の情報をそのまま取り入れることではありません。どんな学習でも能動的に気づく、つまりひらめく（一発学習）というプロセスを経ないと定着しません。
詰め込み教育がダメな理由はそこです。
自分で「気づく」「ひらめく」というプロセスを通した方が、効率も良く創造性の高いものになるのです。」

　「納得しながら学ぶ習慣」というのは、新しい概念の持つ意味を能動的に気づいて（ひらめいて）記憶に定着させながら学ぶ習慣のことです。

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問題をやさしくする数学（２７）方べきの定理を思い出す視線

【覚えよう】共有線の辺を持つ２つの相似三角形の２辺の長さの定理

　以下の図を覚えておいて、相似な三角形を見出すように視線を運んで、方べきの定理を一瞬で想像できるようになりましょう。

　以下の図も覚えておいて、相似な三角形を見出すように視線を運んで、線の長さの関係を一瞬で想像できるようになりましょう。

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接弦定理を思い出す視線

問題を易しくする数学の学習の流れ


微分積分の学習の流れ



【覚えよう】
　以下の図を覚えておいて、Ｔ点の近くにＵ点が突出していると想像するように視線を運んで接弦定理を一瞬で想像できるようになりましょう。

そうすれば、この図形に接弦定理の条件が成立している部分があることを認識するよりも速く、接弦定理の結果を先行して一瞬で想像できるようになります。

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計算ミス対策（６０）各項への視線オーラの結び付け

計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
　このサイトでは、計算ミスを少なくするための１つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
　的確なアドバイスと思います。

　それ以外にも、的確なアドバイスがありましたので、以下に抜き出しておきます。

計算間違いをするのが一番最悪のシナリオなわけやから、
（１）自分はこれくらいの暗算しか出来ないと低めに見積もって丁寧に計算する、
って言うように絶対に計算間違いをしないようにするのがコツです。

（２）計算式がややこしい文字式なら、文字の塊を一つの文字に置き換えて簡単にする。

（３）見間違いないように見やすい綺麗な字で書く。

（４）スペースに余裕を持って書く。

それと最後に一つ大切なのが
（５）解き終わると一回見直しておくと決める
（これは、もっと厳しく、式を１行１行、視線チェックして、誤りを波及させない方が良い）
です。
（計算ミスを無くす方法 ／スカイプ先生byイチロー（一橋進学塾）を参考にして）
（視線が見直しできるために、設問にある式でも、自分の手で書いておく）

これを意識的にやるように繰り返すことで、確実に計算ミスは減ります。

　上の計算のように、１行の式を書き始めたら、１項書く毎に、視線で「書いた項から元の項まで視線を戻して視線が戻ってくる視線ブーメランチェック」を高速に行う。
　この視線ブーメランチェックは極めて高速であり、考えるよりも速い。そのため、式の計算の際の「思い込み」が発現するよりも速いので、「思い込み」によるミスも発見できるので、必ず行うようにしてください。
　この視線ブーメランチェックは、計算式で関連する式の項同士を結ぶ見えない糸＝視線オーラを項に結び付けることと考え、式の項を書く毎に、常に、その視線オーラで関係する式と結ぶ作業を行ってください。また、結んだ視線オーラを生かすために、式を１行書いた後でも再度視線チェックをして、視線を何度でも他の式との間で往復させることを苦にしないようにしましょう。

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計算ミス対策（５９）平方完成で書く式（その２）

計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
　このサイトでは、計算ミスを少なくするための１つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
　的確なアドバイスと思います。

　それ以外にも、的確なアドバイスがありましたので、以下に抜き出しておきます。

計算間違いをするのが一番最悪のシナリオなわけやから、
（１）自分はこれくらいの暗算しか出来ないと低めに見積もって丁寧に計算する、
って言うように絶対に計算間違いをしないようにするのがコツです。

（２）計算式がややこしい文字式なら、文字の塊を一つの文字に置き換えて簡単にする。

（３）見間違いないように見やすい綺麗な字で書く。

（４）スペースに余裕を持って書く。

それと最後に一つ大切なのが
（５）解き終わると一回見直しておくと決める
（これは、もっと厳しく、式を１行１行、視線チェックして、誤りを波及させない方が良い）
です。
（計算ミスを無くす方法 ／スカイプ先生byイチロー（一橋進学塾）を参考にして）
（視線が見直しできるために、設問にある式でも、自分の手で書いておく）

これを意識的にやるように繰り返すことで、確実に計算ミスは減ります。

　先のページで、平方完成の計算の２行目の式を書くように言いました。その式は複雑なので空想できないので手で書かなければならないとも言いました。
　しかし、以下のように工夫すれば、式をより単純化でき、また、空想できるようになり、式を空想するだけで、手で書かなくても良くなります。
　そのことを、以下の式の平方完成を例にして示します。

　上の計算では、視線が積のペアを生成した式を２行目に書きます。３行目の式を書く際に、同じ値のプラスとマイナスの合計０のペアの項を生成して式を書きます。
　２つのペア生成を、２行目の式と３行目の式に分けることで、２行目の式が単純になりました。

　この式の展開では、２行目の式が単純化されたので手で書く手間が少なくなり、また、２行目の式の全体を正確に空想することができるようになったので、この２行目の式は空想するだけでも良くなりました。

　以下の式も同様にして計算できます。

この式では、まだｃについて約分する必要があります。その約分は、以降で式を展開する際に行ないます。

　以上の例のように、単純化された２行目の式が正確に、しかも素早く、空想できる人は空想だけで紙に書く式を省略しても良いです。
　また、この２行目の式を自分の手で書いてもそれほど手間がかかりません。

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高校数学の目次

平方完成の公式

計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
　このサイトでは、計算ミスを少なくするための１つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
　的確なアドバイスと思います。

　それ以外にも、的確なアドバイスがありましたので、以下に抜き出しておきます。

計算間違いをするのが一番最悪のシナリオなわけやから、
（１）自分はこれくらいの暗算しか出来ないと低めに見積もって丁寧に計算する、
って言うように絶対に計算間違いをしないようにするのがコツです。

（２）計算式がややこしい文字式なら、文字の塊を一つの文字に置き換えて簡単にする。

（３）見間違いないように見やすい綺麗な字で書く。

（４）スペースに余裕を持って書く。

それと最後に一つ大切なのが
（５）解き終わると一回見直しておくと決める
（これは、もっと厳しく、式を１行１行、視線チェックして、誤りを波及させない方が良い）
です。
（計算ミスを無くす方法 ／スカイプ先生byイチロー（一橋進学塾）を参考にして）
（視線が見直しできるために、設問にある式でも、自分の手で書いておく）

これを意識的にやるように繰り返すことで、確実に計算ミスは減ります。

平方完成の公式について、
「【3分で分かる！】平方完成を一瞬で！？　平方完成の簡単なやり方とコツをわかりやすく」のサイト
も参考になると思います。

YouTube「数学 今月の授業より① 平方の作り方2匹のエビ）」
も参考になると思います。

　以下の式の平方完成の計算を考えます。 

上の計算では、視線が積のペアを生成し、次に、ｘの係数の半分の２乗を足して引く、合計０のペアの項を書きます。
　そして、手が式を書いた後で、再度の視線チェックで、計画通りに、ペアの項が生成されていることをチェックします。

　この式の展開では、３行目のマイナス記号が複雑なので、３行目の式の全体を正確に空想することができないので、この３行目の式は目に見えるように書いてください。

　次に、以下の式の平方完成も練習してみましょう。 


この式の展開も、３行目のマイナス記号が複雑なので、３行目の式全体を正確に空想することができないので、この３行目の式は目に見えるように手で紙に書いてください。

　以上の２つの例のように、正確に空想できない式は、目に見えるように手で書きます。もっと単純な式で３行目の式が正確に、しかも素早く、空想できるならば空想だけで紙に書く式を省略しても良いです。
　正確に素早く空想できる式は空想だけで書く作業を省略しても良いですが、正確な空想が怪しい式は必ず自分の手で書くようにしてください。 
 
　平方完成の計算では、視線チェックの回数が多いので、平方完成の計算を間違え易い人は、視線チェックが完全に行なえるように、以上の計算における３行目の式を自分の手で書くよう心がけてください。

【平方完成の公式】
　平方完成の計算では、以上のように、視線チェックの回数が多いので、平方完成の計算を間違え易い人は、視線チェックが十分行なえていないのが計算ミスの原因かもしれません。

　平方完成になれてくると、上の説明の式の３行目の式を頭の中だけに描いて空想の式を視線チェックして、４行目の式に変換して、４行目の式を実際に記載する計算をするようになります。
　具体的には、下の式の計算のように計算します。

このやり方が「平方完成の公式」と呼ぶべきやり方です。
「平方完成の公式」を使った方が計算ミスが少なくなります。

平方完成の公式には、以下の式で表される：
ｘの有無項の二乗の引き算の公式を使います。


先の２つの計算例は、平方完成の公式を使って以下のように計算する。


２つ目の計算例は以下の通り。



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計算ミス対策（５７）視線ペア生成チェックと積の視線チェック

計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
　このサイトでは、計算ミスを少なくするための１つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
　的確なアドバイスと思います。

　それ以外にも、的確なアドバイスがありましたので、以下に抜き出しておきます。

計算間違いをするのが一番最悪のシナリオなわけやから、
（１）自分はこれくらいの暗算しか出来ないと低めに見積もって丁寧に計算する、
って言うように絶対に計算間違いをしないようにするのがコツです。

（２）計算式がややこしい文字式なら、文字の塊を一つの文字に置き換えて簡単にする。

（３）見間違いないように見やすい綺麗な字で書く。

（４）スペースに余裕を持って書く。

それと最後に一つ大切なのが
（５）解き終わると一回見直しておくと決める
（これは、もっと厳しく、式を１行１行、視線チェックして、誤りを波及させない方が良い）
です。
（計算ミスを無くす方法 ／スカイプ先生byイチロー（一橋進学塾）を参考にして）
（視線が見直しできるために、設問にある式でも、自分の手で書いておく）

これを意識的にやるように繰り返すことで、確実に計算ミスは減ります。

　以下の、平方完成の計算を考えます。 

　上の計算では、視線が同時に、同じ値のプラスとマイナスの項で、合計０の項を生成した式を描きます。
　そして、手が式を書いた後で、再度の視線チェックで、計画通りに、同じ値のプラスとマイナス０の項が生成された式が書けていることをチェックします。
　これを、視線ペア生成チェックと呼びます。

ここで、①では、式の値が２乗になっていることもチェックします。
すなわち、「視線が２乗の計算をする」のです。


　３行目の式の視線チェックが終わったら４行目の式を書き、以下の視線チェックをします。 

 　この視線チェックを行なう中で、⑤⑥の視線チェックでは、（－１）とａの積を計算します。すなわち、「視線が積の計算をする」のです。

　平方完成の計算では、以上のように、視線チェックの回数が多いので、平方完成の計算を間違え易い人は、視線チェックが十分行なえていないのが計算ミスの原因かもしれません。

　なお、平方完成になれてくると、以下の式の３行目の式を頭の中だけに描いて空想の式を視線チェックして、４行目の式に変換して、４行目の式を実際に記載する計算をするようになります。

　①のチェックでは、いつも必ず（－ａ）を掛け算し、②のチェックでは、必ず２乗にします。
　ここで、２行目の式を４行目の式に変換する式を公式として覚えて使う場合にも、必ず３行目の式を空想して空想の式に対して視線チェックを行ない、４行目の式に記号の間違い等が無い事を確認して使います。

　３行目の空想中の式は、積のペア生成視線チェックと、プラスとマイナスの項を生成する視線ペア生成チェックを同時に行ないますが、その方がハッキリ空想することができ覚え易いです。

　なお、視線チェックでは、目を自分の持っているコンピュータだと考え、紙に書く式は、そのコンピュータが読み取れるプログラム言語とみなすと良いと思います。
　視線コンピュータに、視線が式の上を動いて計算するルールを決めておいて、そのルールに従って書かれた式を視線が読み取って、次に書くべき式も視線コンピュータが決めるようにすれば良いです。

　自分の視線をコンピュータとして使えれば、計算は目にまかせられるので、自分の頭では細かい計算のことを一々考えないで良くなるので、計算がとても楽になります。

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