半角の公式を使った変形余弦定理

【問１】
　以下の変形余弦定理の公式(1)を導き出せ。


 【問２】
　以下の変形余弦定理の公式(2)を導き出せ。


この問題の解答はここをクリックした先のページにある。

リンク：
高校数学の目次

三角形の角の二等分線の長さと半角の公式に係わる問題

【問２】 

上図の三角形において、∠Ａの２等分線の線分ＡＤの長さｍが以下の式であらわせることを示せ。

 【問３】
　上記の式(1)から、線分ＡＤの長さｍを三角形の辺の長さａ，ｂ，ｃであらわす式を導き出せ。

 【問４】
　問３で得たｍの式から、問２の式(1)を導き出せ。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにある。

リンク：
高校数学の目次

２直線の交点の軌跡

【問１】
　実数ａがａ≧０の範囲で変化するとき、ｘｙ平面上での２直線

の交点の軌跡を求め、図示せよ。

この問題の解答はここをクリックした先にある。

リンク：
高校数学の目次

三角形の外接円の半径と内接円の半径の関係

【問１】
三角形ＤＥＦに外接する円の半径R2と、内接する円の半径Rの関係を求めよ。


この問題の解答はここをクリックした先にある。

リンク：  
三角形の三角関数の３重積と３項和の公式
三角形の三角関数の３重積と３項和の公式（２）
高校数学の目次

極限とは何か

やさしい微分積分
〔前のページ〕〔次のページ〕〔微分積分の目次〕
《実数とは》
　微分積分の命綱を握っているのが実数の概念です。以下の例を用いて実数について考える。

　下の図のようにｘ＝１から、ｘ＝２、次にｘ＝3/2 というように有理数の値を変えてくと、限りなく近づく先の数が有理数の中には無い。しかし、そのように限りなく近づく先の数が存在すると考えた。その数を実数と呼ぶ。

　このように、「限りなく近づける」操作（極限の操作）が、数の概念を拡張することを要請し、そうして拡張された新たな数が実数であった。この拡張された数である実数から成るとされる数直線には数の連続性があるとされた。このように極限の操作によって数の概念が実数にまで拡張され、それが数の連続性と微分積分の礎になった。

《数列の極限》
　項が限りなく続く数列ｘ1, ｘ2, ｘ3, ・・・, ｘn, ・・・を無限数列と言う。ｘnをその第ｎ項といい、この無限数列を{ｘn}であらわす。また、ａn を自然数ｎの式であらわしたものを数列{ｘn} の一般項という。
　「変数ｘが限りなく点ａに近づく」という極限の定義は、数の集合Ａにおいて、以下のことが成り立つこととして、極限を定義する。
【数列の極限の定義】
以下の図で、「数の集合Ａの要素で、点ａ以外の値の、変数ｘの無限数列{ｘn}を考える。

この数列{ｘn}では、自然数ｎが限りなく大きくなるとき、第ｎ項は限りなく値ａに近づく。
　一般に、数列{ｘn}において、ｎが限りなく大きくなるにつれて、ｘn が一定の値ａに限りなく近づくとき、数列{ｘn}はａに収束する、または、数列{ｘn}の極限はａであるという。その値ａを数列{ｘn}の極限値であるという。（点ａは数の集合Ａの要素で無くても良い）。
　数列{ｘn}の極限値がａであるとき、次のように書く。

（ここで、記号∞は”無限大”と読む。∞は数をあらわすものではない）
　すなわち、「変数ｘが限りなく点ａに近づく」という極限の概念を、点ａに収束する、数の集合Ａの要素のｘの無限数列を使って数学的に定義した。
　その結果、変数ｘが限りなく近づく先の数の点ａは、すなわち、変数ｘの極限の数の点ａは、
数の集合Ａの要素の点ｘの無限数列の集積点であるという結論が得られる。
--（集積点の定義）--
 　実数の集合Ｒの部分集合の数の集合Ａを考える。
（１）実数の点ａが数の集合Ａの集積点であるとは、
点ａの値以外の数の集合Ａの要素の点ｘn による、点ａに収束する無限数列 {ｘn}が存在すること（点ａは実数ではあるが、数の集合Ａの要素とは限らない）である。
（２）数の集合Ａの要素のある数の点ｙが集積点ではないとき、その点ｙを数の集合Ａの孤立点と呼ぶ。
--（集積点の定義おわり）---

《数列の発散》
　数列{ｘn}が収束しないとき、数列{ｘn}は発散するという。
次の数列は発散する。

　なお、数列{ｘn} において、ｎを限りなく大きくすると、ｘn が限りなく大きくなるとき、数列ｘn は正の無限大に発散するといい、次のように書く。

このとき、数列{ｘn}の極限は正の無限大であるということがある。

　また、数列{ｘn} において、ｎを限りなく大きくすると、ｘn が限りなく小さくなるとき、数列ｘn は負の無限大に発散するといい、次のように書く。

このとき、数列{ｘn}の極限は負の無限大であるということがある。
　数列{ｘn}が発散するが、正の無限大にも発散せず不の無限大にも発散しない数列{ｘn}は振動するという。

《関数の極限》
　関数ｆ(x) の定義域Ａの集積点ａの極限を以下で定義する。点ａが集合Ａの集積点であるので、関数ｆ(x) の定義域Ａのｘの数の集合Ａから、ａと異なる数ｘ1, ｘ2, ｘ3, ・・・, ｘn, ・・・ を選んで、点ａに収束するｘの無限数列{ｘn}を作ることができる。その無限数列{ｘn}が点ａに収束するのにともなってｆ(x) が値Ｃに収束することが、ｘ→ａで関数ｆ(x)に極限値Ｃが存在するための基礎条件である。
　関数ｆ(x) において、変数ｘがａと異なる値をとりながら限りなくａに近づくとき、ｆ(x) の値が一定の値Ｃに限りなく近づくならば、
ｘ→ａのときｆ(x) の極限値がＣである。
といい、次のように書く。

また、この場合、”ｘ→ａのときｆ(x) はＣに収束する”という。

【関数の極限の定義】
　関数ｆ(x) の定義域Ａの変数ｘが集積点ａと異なる値をとりながら限りなくａに近づくとき、関数ｆ(x) の値が一定の値Ｃに限りなく近づくという関数の極限は、以下のように定義する。
　「関数ｆ(x) の定義域の変数ｘが限りなくａに近づくとき関数ｆ(x) に極限値Ｃが存在する」ことの数学的定義を：
「点ａで無い関数ｆ(x) の定義域Ａの点ｘの、点ａに収束する全ての無限数列{ｘn}で共通して、関数ｆ(x) が同じ値Ｃに収束する」ことと定義する。
　そう定義する理由は、関数ｆ(x) によっては、点ａに収束する各無限数列{ｘn}毎に、関数ｆ(x) が異なる値Ｃに収束したり、収束しなかったりすることがあるからである。

【区間の定義】
「区間」という数学用語は、変数ｘの数直線上の１つの範囲内の、実数のすき間がなく連結している１かたまりの数の集合をあらわす数学用語である。「隙間が無い」大前提のために、実数の集合でなければならない。
　a, b を実数とする. a≦ｘ≦ｂ の実数ｘをすべて集めた集合を [a, b] と書き, これを閉区間と呼ぶ.
　a＜ｘ＜ｂ の実数ｘをすべて集めた集合を (a, b) と書き, これを開区間と呼ぶ.
　変数ｘの「区間」の大切な特徴は、「区間」は、所定の１かたまりのｘの範囲内での隙間が無い全ての実数の集合が「区間」である。

【関数の右側極限と左側極限】
　関数ｆ(x) の定義域の数の集合Ａの、集積点ａよりも大きい点ｘn による、点ａに収束する無限数列 {ｘn}が存在するとき（点ａは数の集合Ａの要素とは限らない）、ｘn が、集合Ａの点ａの値よりも大きい値をとりながら限りなくａに近づくときｆ(x) の値が限りなくＣに近づくならば、Ｃを点ａでのｇ(x,a) の右側極限値といい、次のようにあらわす。

　数の集合Ａの、集積点ａよりも小さい点ｘn による、点ａに収束する無限数列 {ｘn}が存在するとき、ｘn が、集合Ａの点ａの値よりも小さい値をとりながら限りなくａに近づくときｆ(x) の値が限りなくＣに近づくならば、Ｃを点ａでのｆ(x) の左側極限値といい、次のようにあらわす。

〔極限が存在する条件〕
（１）関数ｆ(x) の点ａに係わる右側極限値か、又は、左側極限値かの一方のみが存在する場合は、その存在する極限値が点ａに係わる関数ｆ(x) の極限値である。
（２）関数ｆ(x) の点ａに係わる右側極限値が存在し、かつ、左側極限値も存在する場合は、両者の極限値Ｃが一致することが集積点ａで関数ｆ(x) の極限が存在するために必要十分な条件である。
　すなわち、右側極限も存在し左側極限も存在して両者の極限値Ｃが一致する場合は、関数ｆ(x) の定義域Ａでの、点ａより小さい値と大きい値のｘn が混ざった数列で点ａに収束する無限数列{ｘn}においても、関数ｆ(ｘ) が同じ極限値Ｃに収束する。そのため、関数ｆ(x) の点ａに係わる極限が存在する条件の、「関数ｆ(x) のａ以外の点ｘによる、点ａに収束するどの無限数列{ｘn}であっても関数ｆ(x) が同じ値Ｃに収束する」ことが成り立つからである。

〔関数ｆ(x) の、点ａより小さい値と大きい値のｘn が混ざった数列で点ａに収束する無限数列{ｘn}の関数値ｆ(ｘn) も同じ極限値Ｃに収束する〕ことを以下でを示す。
　関数ｆ(x) の集積点ａの右側極限値と左側極限値が同じ値Ｃであるとする。
その場合に、関数ｆ(x) の、点ａより大きい値と小さい値のｘn が混ざった数列で点ａに収束する無限数列{ｘn}を考える。
（１）無限数列{ｘn}から、ｘn の値がａより大きい数だけを抽出して、その他の数は工夫して、ａより大きい数ｙn でａに収束する無限数列{ｙn}を作ることができ、ｆ(ｙn) はＣに収束する。
（２）無限数列{ｘn}から、ｘn の値がａより小さい数だけを抽出して、その他の数は工夫して、ａより小さい数ｚn でａに収束する無限数列{ｚn}を作ることができ、ｆ(ｚn) はＣに収束する。
そして、ｚn ≦ｘn≦ｙn が成り立つようにこれらの数列を作ることができる。そうすると、無限数列{ｘn}の関数ｆ(ｘn)も同じ極限値Ｃに収束することが示せる。

《関数の連続性》
「連続関数とは何か」
https://schoolhmath.blogspot.com/2024/11/blog-post_93.html
のページが参考になる。
　関数の連続性の定義についても、極限の定義と同じで、
　関数ｆ(x) の定義域Ａの集積点ａでの関数の連続性は、点ａで極限値が存在した上で、極限値がf(a) と等しくなることが、点ａで関数が連続である条件になる。

《関数の微分可能性》
「微分とは何か」
https://schoolhmath.blogspot.com/2024/11/blog-post_6.html
のページが参考になる。
　関数の微分可能性の定義についても、極限の定義と同じで、
　関数ｆ(x) の定義域Ａの集積点ａでの微分可能性は、点ａで関数が連続であって、かつ、点ａでの微分係数の極限値が存在することが、点ａで関数が微分可能である条件になる。

リンク：
関数の極限の定義
連続性公理と実数を定義する3つの方法 （初学者向けの話）
実数はどう定義される？｜実数の連続性公理から理解する
高校数学の目次

３次方程式の問題

【問１】
以下の式を証明せよ。



【問２】
以下の式を証明せよ。

以下の式が成り立つことも証明せよ。



《実数の３乗根の解の求め方》

の解の式が簡単な場合は、その解の式は以下の手順で求められる。

上の式(4b)を満足する簡単な値のαがあれば、その値を求める。（たとえばα＝１で式(4b)が成り立つかを確認する）。
その値αが求められれば、以下の値Ｎに関して以下の式が成り立つ。


【問３】
以下の式を証明せよ。


《虚数の３乗根の解の求め方》

の解の式が簡単な場合は、その解の式は以下の手順で求められる。

上の式(5b)を満足する簡単な値のαがあれば、その値を求める。（例えばα＝1/4 で式(5b)が成り立つかを確認する）。
その値αが求められれば、以下の値Ｎに関して以下の式が成り立つ。


【適用例１】

に適用する。

【計算開始】


こうして、αが求まった。
そして、以下の式(6c)の値Ｎを、立方根の中の式に掛け算した式(6d)が成り立つ。


【適用例２】

に適用する。

【計算開始】



こうして、α＝９／４が求まった。
そして、以下の式(7c)の値Ｎを、立方根の中の式に掛け算した式(7d)が成り立つ。

（解答おわり）

【以下の公式を用いる解き方が本命である】

　以下で説明するように、ｘの３次方程式の解ｘが有理数である場合に限り、この３乗根が簡単な解になる。その事実とこの公式とが密接な関係がある。そのため、この公式を用いて３乗根を求めることが望ましい。

《実数の３乗根の解の求め方（その２）》

の解の式は以下の手順で求められる。

この方程式の解のｘの値を使って以下のようにｓとｔが計算できる。
ｓとｔを含む以下のｗの式からｓとｔを求める。


【適用例】

に適用する。

【計算開始】

この３次方程式のｘの解はｘ＝２である。

（解答おわり）

《虚数の３乗根の解の求め方（その２）》

の解の式は以下の手順で求められる。

この方程式の解のｘの値を使って以下のようにｓとｔが計算できる。
ｓとｔを含む以下のｗの式からｓとｔを求める。


【適用例】

に適用する。

【計算開始】

この３次方程式のｘの解はｘ＝８である。

（解答おわり）

リンク： 
カルダノの公式を使った三乗根号(立方根)外し問題の作成
３次方程式の一般解
高校数学の目次

ε-δ論法の論理式の意味

【問１】
数列 (a_n) の極限αを定義する式に関して：
∀ε>0, ∃N∈ℕ, ∀n∈ℕ[(n>N)⇒(|(a_n)−α|<ε)]… (1)
∀ε>0, ∃M∈ℕ, ∀n∈ℕ[(n≧M)⇒(|(a_n)−α|<ε)]… (2)
(1) ⇔ (2)を証明せよ。

【証明開始】
∀ε>0, ∃N∈ℕ, ∀n∈ℕ[(n>N)⇒(|(a_n)−α|<ε)]… (1)
⇔
∀ε>0, ∃N∈ℕ, ∀n∈ℕ[(n≦N)∪(|(a_n)−α|<ε)]… (1b)
である。
また、
∀ε>0, ∃M∈ℕ, ∀n∈ℕ[(n≧M)⇒(|(a_n)−α|<ε)]… (2)
⇔
∀ε>0, ∃M∈ℕ, ∀n∈ℕ[(n<M)∪(|(a_n)−α|<ε)]… (2b)
である。

先ず、式(1b)を同値変形する。
任意のN個の命題P1,P2,・・・PNに対して、
(∀n∊{1,2,・・・N},{Pn})⇔(P1∩P2∩・・・PN)
が成り立つ。すなわち、命題P1から命題PNが連立される。
そのため、
∀ε>0, ∃N∈ℕ, ∀n∈ℕ[(n≦N)∪(|(a_n)−α|<ε)]… (1b)
という論理式は、以下の連立論理式を意味する。
∀ε>0, ∃N∈ℕ, n=1[(1≦N)]
∀ε>0, ∃N∈ℕ, n=2[(2≦N)]
・・・
∀ε>0, ∃N∈ℕ, n=N[(N≦N)]
∀ε>0, ∃N∈ℕ, n=N+1[(N+1≦N)∪(|(a_n)−α|<ε)]
∀ε>0, ∃N∈ℕ, n=N+2[ |(a_n)−α|<ε]
∀ε>0, ∃N∈ℕ, n=N+3[ |(a_n)−α|<ε]
∀ε>0, ∃N∈ℕ, n=N+4[ |(a_n)−α|<ε]
・・・
という連立論理式全てが成り立つという意味である。
これは、以下の連立論理式と同値。

∀ε>0, ∃N∈ℕ, n=N+1[(|a_n−α|<ε)]
∀ε>0, ∃N∈ℕ, n=N+2[(|a_n−α|<ε)]
∀ε>0, ∃N∈ℕ, n=N+3[(|a_n−α|<ε)]
∀ε>0, ∃N∈ℕ, n=N+4[(|a_n−α|<ε)]
・・・

任意のN個の命題P1,P2,・・・PNに対して、
(∃n∊{1,2,・・・N},{Pn})⇔(P1∪P2∪・・・PN)
が成り立つ。すなわち、命題P1から命題PNの和集合になる。
そのため、
上の連立論理式は、以下の連立論理式の和集合と同値。
「∀ε>0, N=1, n=2[ |(a_2)−α|<ε]
∀ε>0, N=1, n=3[ |(a_3)−α|<ε]
∀ε>0, N=1, n=4[ |(a_4)−α|<ε]
・・・」
∪
「∀ε>0, N=2, n=3[(|(a_3)−α|<ε)]
∀ε>0, N=2, n=4[(|(a_4)−α|<ε)]
∀ε>0, N=2, n=5[(|(a_5)−α|<ε)]
・・・」
∪
「∀ε>0, N=3, n=4[(|(a_4)−α|<ε)]
∀ε>0, N=3, n=5[(|(a_5)−α|<ε)]
∀ε>0, N=3, n=6[(|(a_6)−α|<ε)]
・・・」
∪
・・・

この論理式は、以下の連立論理式の和集合と同値。
「∀ε>0, N=100, n=101[(|(a_101)−α|<ε)]
∀ε>0, N=100, n=102[(|(a_102)−α|<ε)]
∀ε>0, N=100, n=103[(|(a_103)−α|<ε)]
・・・」
∪
「∀ε>0, N=101, n=102[(|(a_102)−α|<ε)]
∀ε>0, N=101, n=103[(|(a_103)−α|<ε)]
∀ε>0, N=101, n=104[(|(a_104)−α|<ε)]
・・・」
∪
・・・

更に、この論理式は、以下の連立論理式の和集合と同値。
「∀ε>0, n=101[|(a_101)−α|<ε]
∀ε>0, n=102[|(a_102)−α|<ε]
∀ε>0, n=103[|(a_103)−α|<ε]
・・・」
∪
「∀ε>0, n=102[(|(a_102)−α|<ε)]
∀ε>0, n=103[(|(a_103)−α|<ε)]
∀ε>0, n=104[(|(a_104)−α|<ε)]
・・・」
∪
・・・

この連立論理式の和集合を、第１の論理式とする。


次に、式(2b)を同値変形する。
任意のN個の命題P1,P2,・・・PNに対して、
(∀n∊{1,2,・・・N},{Pn})⇔(P1∩P2∩・・・PN)
が成り立つ。すなわち、命題P1から命題PNが連立される。
そのため、
∀ε>0, ∃M∈ℕ, ∀n∈ℕ[(n<M)∪(|(a_n)−α|<ε)]… (2b)
という論理式は、以下の連立論理式を意味する。
∀ε>0, ∃M∈ℕ, n=1[(1<M)]
∀ε>0, ∃M∈ℕ, n=2[(2<M)]
・・・
∀ε>0, ∃M∈ℕ, n=M[(n<M)∪(|a_n−α|<ε)]
∀ε>0, ∃M∈ℕ, n=M+1[(M+1<M)∪(|a_n−α|<ε)]
∀ε>0, ∃M∈ℕ, n=M+2[(|a_n−α|<ε)]
∀ε>0, ∃M∈ℕ, n=M+3[(|a_n−α|<ε)]
∀ε>0, ∃M∈ℕ, n=M+4[(|a_n−α|<ε)]
・・・
という連立論理式全てが成り立つという意味である。
これは、以下の連立論理式と同値。

∀ε>0, ∃M∈ℕ, n=M[(|a_n−α|<ε)]
∀ε>0, ∃M∈ℕ, n=M+1[(|a_n−α|<ε)]
∀ε>0, ∃M∈ℕ, n=M+2[(|a_n−α|<ε)]
∀ε>0, ∃M∈ℕ, n=M+3[(|a_n−α|<ε)]
∀ε>0, ∃M∈ℕ, n=M+4[(|a_n−α|<ε)]
・・・

任意のN個の命題P1,P2,・・・PNに対して、
(∃n∊{1,2,・・・N},{Pn})⇔(P1∪P2∪・・・PN)
が成り立つ。すなわち、命題P1から命題PNの和集合になる。
そのため、
上の連立論理式は、以下の連立論理式の和集合と同値。
「∀ε>0, M=1, n=1[|(a_1)−α|<ε]
∀ε>0, M=1, n=2[|(a_2)−α|<ε]
∀ε>0, M=1, n=3[|(a_3)−α|<ε]
・・・」
∪
「∀ε>0, M=2, n=2[|(a_2)−α|<ε]
∀ε>0, M=2, n=3[|(a_3)−α|<ε]
∀ε>0, M=2, n=4[|(a_4)−α|<ε]
・・・」
∪
「∀ε>0, M=3, n=3[|(a_3)−α|<ε]
∀ε>0, M=3, n=4[|(a_4)−α|<ε]
∀ε>0, M=3, n=5[|(a_5)−α|<ε]
・・・」
∪
・・・

この論理式は、以下の連立論理式の和集合と同値。
「∀ε>0, M=101, n=101[(|(a_101)−α|<ε)]
∀ε>0, M=101, n=102[(|(a_102)−α|<ε)]
∀ε>0, M=101, n=103[(|(a_103)−α|<ε)]
・・・」
∪
「∀ε>0, M=102, n=102[(|(a_102)−α|<ε)]
∀ε>0, M=102, n=103[(|(a_103)−α|<ε)]
∀ε>0, M=102, n=104[(|(a_104)−α|<ε)]
・・・」
∪
・・・

更に、この論理式は、以下の連立論理式の和集合と同値。
「∀ε>0, n=101[(|(a_101)−α|<ε)]
∀ε>0, n=102[(|(a_102)−α|<ε)]
∀ε>0, n=103[(|(a_103)−α|<ε)]
・・・」
∪
「∀ε>0, n=102[(|(a_102)−α|<ε)]
∀ε>0, n=103[(|(a_103)−α|<ε)]
∀ε>0, n=104[(|(a_104)−α|<ε)]
・・・」
∪
・・・

この連立論理式の和集合は、第１の論理式と同値である。
よって、
(1) ⇔ (2)が証明された。
（証明おわり）

（補足）
　以上で考察したε-N論法で極限を定義する論理式を展開して得た「連立論理式の和集合」の持つ意味は、ある点αのまわりの”開区間”に、ｎ≧Ｎなる点列ａ_nが収納されていることを「連立論理式の和集合」によってあらわしていると捉えることができる。

リンク： 
１９世紀の解析学における「厳密化革命」とは何か
ε-δ論法の誕生
【ε論法】関数の連続性とδのテクニック
連続関数の定義
高校数学の目次