やさしい微分積分
〔前のページ〕〔次のページ〕〔微分積分の目次〕
《グラフの傾き》
以下では、区間で連続な関数のグラフの傾きを考える。例えば、ｘの実数全体の区間で連続な放物線の関数ｆ(x) を考える。下図の放物線のグラフy=ｆ(x) の各点での傾きを調べる。
ｙ＝ｆ(x) の放物線のグラフの曲線の点Ｃでの傾きは、点Ｃでグラフの曲線に接する直線ＤＥの傾きと同じである。直線ＤＥの傾きは、その直線に平行な直線ＡＢの傾きと等しい。
すなわち、放物線の点Ｃでの傾きは、点Ｃの近くの曲線上の２つの点ＡとＢを結ぶ直線の傾きと等しい。このように、放物線の点Ｃでの傾きは、点Ｃの近くの曲線上の２点を通る直線の傾きとして求めることができる。
２点を定めて点Ｃでの放物線の傾きを計算するときは、以下の図のように、２点のうちの１つを点Ｃとし、もう１つの点を点Ｃの近くの曲線上の点Ｐとする方が計算がし易いので、その２点で計算する。
上図のグラフで、点Ｃから点Ｐまで独立変数ｘが変化する幅をｘの増分と呼び、Δx とあらわす。
これに対応して点Ａから点Ｂまで従属変数ｙが変化する幅の、（点Ｐの高さ）－（点Ｃの高さ） をｙの増分と呼び、Δy とあらわす。
放物線の微小部分の傾きは、微小なｘの増分Δx に対する放物線の微小なｙの増分Δｙの比Δy／Δx としてあらわすことができる。
（注意： Δx やΔy は、これでまとまった記号で、Δ×(x)やΔ×(y) を意味するのではありません。そのため分母と分子のΔを約分してはいけません。）
上図のように、点Ｃと右の点Ｐ2（Δx＞０）との傾きと、点Ｃと左の点Ｐ1（Δx＜０）との傾きとはわずかに異なる。直線ＣＰ2の傾きと、直線Ｐ1Ｃの傾きとは、Δx を０に近くすればするほど、変化していく。そして、点Ｐが限りなく点Ｃに近づくと、直線ＣＰは点Ｃにおける接線ＤＥに近づいていく。このとき、直線ＣＰが接線ＤＥに収束する、と言う。
その直線ＣＰの傾きは、上図の式であらわすことができる。
《極限値》
増分Δx が０とは異なる値をとりながら限りなく０に近づくとき、Δy／Δx の値がある定数ｋに限りなく近づくならば、
Δx →０のとき、(Δy／Δx)→ｋ
とか、
とあらわす。
そして、その定数ｋを、
Δx →０のときのΔy／Δx の極限値、または、極限と呼ぶ。
（注意： 限りなく近づくとは「最終的には一致する」ことを意味しない。Δy／Δx が限りなくｋに近づくだけで永遠にｋに一致しないでも、「極限値がｋである」と言うのです。）
ここで、増分Δx をｈとあらわすことにする。そして、増分ｈを限りなく０に近づけた式は、以下の図の式であらわす。
点Ｃ(ｘ0，ｙ0) におけるこの式の極限値のことを、ｆ'(ｘ0)と表して、関数ｆ(x) の定義域Ａの点ｘ0における微分係数という。
《数列の極限》
項が限りなく続く数列ｘ1, ｘ2, ｘ3, ・・・, ｘn, ・・・を無限数列と言う。ｘnをその第ｎ項といい、この無限数列を{ｘn}であらわす。また、ａn を自然数ｎの式であらわしたものを数列{ｘn} の一般項という。
「変数ｘが限りなく点ａに近づく」という極限の定義は、数の集合Ａにおいて、以下のことが成り立つこととして、極限を定義する。
【数列の極限の定義】
以下の図で、「数の集合Ａの要素で、点ａ以外の値の、変数ｘの無限数列{ｘn}を考える。
この数列{ｘn}では、自然数ｎが限りなく大きくなるとき、第ｎ項は限りなく値ａに近づく。
一般に、数列{ｘn}において、ｎが限りなく大きくなるにつれて、ｘn が一定の値ａに限りなく近づくとき、数列{ｘn}はａに収束する、または、数列{ｘn}の極限はａであるという。その値ａを数列{ｘn}の極限値であるという。（点ａは数の集合Ａの要素で無くても良い）。
数列{ｘn}の極限値がａであるとき、次のように書く。
（ここで、記号∞は”無限大”と読む。∞は数をあらわすものではない）
すなわち、「変数ｘが限りなく点ａに近づく」という極限の概念を、点ａに収束する、数の集合Ａの要素のｘの無限数列を使って数学的に定義した。
その結果、変数ｘが限りなく近づく先の数の点ａは、すなわち、変数ｘの極限の数の点ａは、
数の集合Ａの要素の点ｘの無限数列の集積点であるという結論が得られる。
--（集積点の定義）--
実数の集合Ｒの部分集合の数の集合Ａを考える。
（１）実数の点ａが数の集合Ａの集積点であるとは、
数の集合Ａの要素の点ａ以外の点ｘn による、点ａに収束する無限数列 {ｘn}が存在すること（点ａは数の集合Ａの要素とは限らない）である。
（２）数の集合Ａの要素の点ｙが集積点ではないとき、その点ｙを数の集合Ａの孤立点と呼ぶ。
--（集積点の定義おわり）---
《関数の極限》
関数ｆ(x) の定義域Ａの集積点ａに関して関数ｆ(x) の極限を考えることができる。また、集積点ａに関して以下の関数ｇ(x,a) の極限を考えることができる。
関数ｆ(x) の変数ｘの定義域Ａの数の集合から、集積点ａと異なる数ｘ1, ｘ2, ｘ3, ・・・, ｘn, ・・・ を選んで、集積点ａに収束するｘの無限数列{ｘn}を作り、同時に、ｈ＝ｘ－ａで定義した変数ｈの無限数列{ｈn}を作った場合に、その無限数列{ｘn}が点ａに収束する（{ｈn}が０に収束する）のにともなって関数ｇ(x,a)≡（ｆ(x)－ｆ(a))/(x-a) が値Ｃに収束することが、ｘ→ａで関数ｇ(x,a)＝(ｆ(x)－ｆ(a))/(x-a) に極限値Ｃが存在するための基礎条件である。（ここで、関数ｇ(x,a)の変数ｘの定義域Ｂは、関数ｆ(x) の定義域Ａから点ａを除去した数の集合Ｂであることに注意する）。
関数ｇ(x,a) において、その関数の定義域Ｂの数ｘが点ａと異なる値をとりながら限りなくａに近づくとき、関数ｇ(x,a)＝(ｆ(x) －ｆ(a))/(x-a) の値が一定の値Ｃに限りなく近づくならば、
ｘ→ａのときｇ(x,a)=(ｆ(x)－ｆ(a))/(x-a) の極限値がＣである。
といい、次のように書く。
また、この場合、”ｘ→ａのとき関数ｇ(x,a)＝(ｆ(x)－ｆ(a)) /(x-a)はＣに収束する”という。
【関数の極限の定義】
関数ｆ(x) の、定義域Ａの集積点ａに関して、関数ｆ(x) の独立変数ｘの定義域Ａの点ｘがａと異なる値をとりながら限りなくａに近づくとき、関数ｆ(x) の極限を考えることができる。また、点ａが定義域Ａに含まれるとき、関数ｇ(x,a)＝(ｆ(x)－ｆ(a)) /(x-a) の値が一定の値Ｃに限りなく近づくとき関数ｇ(x,a) の極限を考えることができる。その極限は以下のように定義する。関数ｇ(x,a) の定義域Ｂは、関数ｆ(x) の定義域Ａから点ａを除いた点ｘの数の集合である。ただし、点ａは定義域Ａの集積点であるので、定義域Ｂの集積点でもある。
「変数ｘが限りなくａに近づくとき関数ｇ(x,a)＝(ｆ(x) －ｆ(a))/(x-a) に極限値Ｃが存在する」ことの数学的定義を：
「関数ｇの変数ｘの定義域Ｂの集積点ａに関して、定義域Ｂの、点ａ以外の点ｘの、点ａに収束する全ての無限数列{ｘn}で共通して、関数ｇ(x,a)＝(ｆ(x)－ｆ(a))/(x-a) が同じ値Ｃに収束する」ことと定義する。
そう定義する理由は、関数ｇ(x,a) によっては、点ａに収束する各無限数列{ｘn}毎に、関数ｇ(x,a) が異なる値Ｃに収束したり、収束しなかったりすることがあるからである。
【関数の右側極限と左側極限】
（１）数の集合Ａの要素の点ａよりも大きい点ｘn による、点ａに収束する無限数列 {ｘn}が存在するとき（点ａは数の集合Ａの要素とは限らない）、ｘが、集合Ａの点ａの値よりも大きい値をとりながら限りなくａに近づくときｇ(x,a) の値が限りなくＣに近づくならば、Ｃを点ａでのｇ(x,a) の右側極限値といい、次のようにあらわす。
（２）数の集合Ａの要素の点ａよりも小さい点ｘn による、点ａに収束する無限数列 {ｘn}が存在するとき、ｘが、集合Ａの点ａの値よりも小さい値をとりながら限りなくａに近づくときｇ(x,a) の値が限りなくＣに近づくならば、Ｃを点ａでのｇ(x,a) の左側極限値といい、次のようにあらわす。
〔極限が存在する条件〕
（３） ｇ(x,a) の点ａに係わる右側極限値か、又は、左側極限値かの一方のみが存在する場合は、その存在する極限値が点ａに係わる極限値である。
（４） ｇ(x,a) の点ａに係わる右側極限値が存在し、かつ、左側極限値も存在する場合は、両者の極限値Ｃが一致することが集積点ａで関数ｇ(x,a) に極限が存在するために必要十分な条件である。
その場合には、関数ｇ(x,a) の点ａに係わる極限が存在する条件の、「関数ｇ(x,a) のａ以外の点ｘによる、点ａに収束するどの無限数列{ｘn}であっても関数ｇ(x,a) が同じ値Ｃに収束する」ことが成り立つからである。
▷定義域Ｂ内の点ｘの、点ａより大きい数の無限数列{ｘn}による右側極限でも値Ｃに収束する。
▷また、定義域Ｂ内の点ｘの、点ａより小さい数の無限数列{ｘn}による左側極限でも同じ値Ｃに収束する。
このように右側極限も存在し左側極限も存在して両者の極限値Ｃが一致する場合は、関数ｇ(x,a) の定義域Ｂでの、点ａより小さい値と大きい値のｘn が混ざった数列で点ａに収束する無限数列{ｘn}においても、関数ｇ(ｘ,a) が同じ極限値Ｃに収束するからである。
ならば、
《閉区間を定義域Ａとする関数ｆ(x) は、その閉区間の端でも微分可能性が定義できる》
ある区間Ａを定義域とする関数f(x) において、その区間Ａの境界点（端点）以外の区間Ａの内点ａ（集積点）の左右にｘの点がある。その内点ａに対する関数ｙ＝f(x) の微分では、点ａの左右のｘの点を平等に考えて傾きを計算する。関数ｇ(x,a) のｘの点は、点ａより小さい点から点ａよりも大きい点までの全部のｘの点を見て内点ａでの傾きを計算する。
高校数学では、関数ｆ(x) の定義域Ａの区間の内点での微分だけが詳しく教えられている。高校数学は、内点での微分の条件があたかも全ての微分の条件であるかのように教えていて、閉区間の端点では微分の条件が満足されないかのように教えている。しかし、閉区間の端点でも（傾きが無限大でなければ）微分可能である。
大学数学では、ｆ(x) の微分係数を計算する点ａが、閉区間Ａを定義域とする関数ｆ(x) の区間Ａの端にある場合も詳しく学べる。
上図の関数ｆ(x) ＝ｘが０≦ｘ≦２の閉区間 [0,2] で定義されている場合は、
関数ｆ(x) ＝ｘ は、定義域Ａの閉区間の端点ｘ＝０やｘ＝２で微分することが可能である。この関数ｆ(x) の微分係数ｆ'(x) は、閉区間[0,2]の端点とその間の内点とで１である。
下図左の関数において：
f(x)=|x|の, 関数f(x)の定義域を[0,1]とするとき、
ｆ’(0)=1,
である。
上図右の関数において：
f(x)=|x|の, 関数f(x)の定義域を[－1,0]とするとき、
ｆ’(0)=－1,
である。
下図の関数において：
f(x)=|x|の, 関数f(x)の定義域を[－1,1]とするとき、
ｆ’(0)は存在しない。
【導関数とは何か】
上記のように、区間で連続な関数f(x) の定義域Ａの集積点ａにおける微分係数を１つ求めた。しかし、関数ｆ(x) の定義域Ａの各集積点における微分係数を毎回求めるのはかなり面倒なので、関数ｆ(x)の定義域Ａの任意の集積点ｘでの微分係数を全部求める。つまり、関数ｆ(x) の定義域Ａの集積点ｘでの微分係数ｆ’(x) を計算する。
ここで、ｚの関数ｇ(z,x)≡(f(z)-f(x))/(z-x)の変数ｚの定義域は、集積点ｘの値以外の定義域Ａの数の集合の点ｚである。変数ｚが点ｘを目指した関数ｇ(z,x) の極限は、その変数ｚの定義域の点ｚの、点ｘに収束する無限数列{ｚn} を使って求める。なお、変数ｚを収束させて関数ｇ(z,x) の極限を求める際には、極限を求める前段階で変数ｚ以外の変数ｘの値を止めて（変化させないで）、極限を求める。
区間Ａで連続な関数ｆ(x) の微分係数ｆ’(x) があらわす関数を、関数ｆ(x)の導関数と言う。
下図の式のように、変数ｈを使って関数ｆ(x)の導関数ｆ’(x) を定義することもできる。（ただし、変数ｈの値は、ｘ＋ｈが関数ｆ(x) の変数ｘの定義域Ａ内にある値（かつ、０以外の値）のみが許される。）なお、下図の関数ｇ(h,ｘ)は先に定義した同じ記号ｇで表した関数とは異なる関数であることに注意。
ここで、関数ｆ(x) の定義域の区間Ａ＝ [a, b] に対して、ｈの関数ｇ(h, x)≡(f(x+h)-f(x))/h の変数h の定義域は、上図のように、区間[a-x, b-x] からｈ＝０となる点を除いた点ｈの集合である。変数ｈが値０を目指した関数ｇ(h, x) の極限は、その点ｈの、値０に収束する無限数列{ｈn} を使って求める。なお、変数ｈを０に収束させて関数ｇ(h, x) の極限を求める際には、極限を求める前段階で変数ｘの値を止めて（変化させないで）、結局、変数ｈの定義域を固定した上で極限を求める。
以下の図の関数ｆ(x) の導関数ｆ’(x) は微分の公式により計算でき下図の式になる。
導関数ｆ’(x) を求めることを、関数ｆ(x) を微分すると言う。
また、関数ｆ(x) の導関数ｆ'(x) をｄｆ／ｄｘと書くこともある。更に、導関数ｆ’(x) をｄｙ/ｄx と書いたり、ｙ’ と書くこともある。
【関数ｆ(x) の微分係数が定まらない場合もある】
ここで、関数ｆ(x) によっては、定義域Ａの内点ａの左右の点を平等に考えて傾きを計算する場合に、内点ａの左側の微分係数と右側の微分係数との２つの微分係数の値が一致しない関数ｆ(x) もある。
以下の図の関数ｆ(x)＝|x| の定義域Ａの内点ａ ＝０の点Ｏで、左側微分係数が（－１）であるが右側微分係数が（１）であり、その２つの微分係数の値が異なる。
この場合には、その内点０では、微分係数が定まらず微分ができない。（ただし、関数ｆ(x) が閉区間[0,2]で定義された関数ｆ(x) ＝ｘであって、点０がその閉区間の端点の場合は、その端点０で片側微分係数が１つの値に定まるので微分できる）。
（注意）
独立変数ｘの実数全体の区間で連続な関数ｆ(x) ＝|x| の導関数ｆ’(x) は、以下のグラフであらわされる。
この導関数ｆ’(x) は、a＝０の点では定義されず、その点でグラフが千切れるため、実数全体の区間で連続な関数ではない。この導関数ｆ’(x) は、ｘ＜０の区間の連続関数とｘ＞０の区間の連続関数とを合わせた、複合区間を定義域とする関数である。
以下の図の関数の例で先に微分を説明した。
上図の関数ｆ(x) ＝ｘが０≦ｘ≦２の閉区間 [0,2] で定義されている。この関数ｆ(x) ＝ｘ を微分すると閉区間 [0,2] で定義されている導関数ｆ'(x) が得られた。この導関数ｆ'(x) を積分すると元の関数ｆ(x) が得られる。元の関数ｆ(x) を関数ｆ’(x) の原始関数と呼ぶ。原始関数は関数ｆ’(x) の不定積分の１つである。区間で連続な被積分関数の積分（不定積分）は、それを微分すると元の関数に戻る。
リンク：
やさしい微分積分
微分可能の定義
高校数学の目次
〔前のページ〕〔次のページ〕〔微分積分の目次〕
《グラフの傾き》
以下では、区間で連続な関数のグラフの傾きを考える。例えば、ｘの実数全体の区間で連続な放物線の関数ｆ(x) を考える。下図の放物線のグラフy=ｆ(x) の各点での傾きを調べる。
ｙ＝ｆ(x) の放物線のグラフの曲線の点Ｃでの傾きは、点Ｃでグラフの曲線に接する直線ＤＥの傾きと同じである。直線ＤＥの傾きは、その直線に平行な直線ＡＢの傾きと等しい。
すなわち、放物線の点Ｃでの傾きは、点Ｃの近くの曲線上の２つの点ＡとＢを結ぶ直線の傾きと等しい。このように、放物線の点Ｃでの傾きは、点Ｃの近くの曲線上の２点を通る直線の傾きとして求めることができる。
２点を定めて点Ｃでの放物線の傾きを計算するときは、以下の図のように、２点のうちの１つを点Ｃとし、もう１つの点を点Ｃの近くの曲線上の点Ｐとする方が計算がし易いので、その２点で計算する。
上図のグラフで、点Ｃから点Ｐまで独立変数ｘが変化する幅をｘの増分と呼び、Δx とあらわす。
これに対応して点Ａから点Ｂまで従属変数ｙが変化する幅の、（点Ｐの高さ）－（点Ｃの高さ） をｙの増分と呼び、Δy とあらわす。
放物線の微小部分の傾きは、微小なｘの増分Δx に対する放物線の微小なｙの増分Δｙの比Δy／Δx としてあらわすことができる。
（注意： Δx やΔy は、これでまとまった記号で、Δ×(x)やΔ×(y) を意味するのではありません。そのため分母と分子のΔを約分してはいけません。）
上図のように、点Ｃと右の点Ｐ2（Δx＞０）との傾きと、点Ｃと左の点Ｐ1（Δx＜０）との傾きとはわずかに異なる。直線ＣＰ2の傾きと、直線Ｐ1Ｃの傾きとは、Δx を０に近くすればするほど、変化していく。そして、点Ｐが限りなく点Ｃに近づくと、直線ＣＰは点Ｃにおける接線ＤＥに近づいていく。このとき、直線ＣＰが接線ＤＥに収束する、と言う。
その直線ＣＰの傾きは、上図の式であらわすことができる。
《極限値》
増分Δx が０とは異なる値をとりながら限りなく０に近づくとき、Δy／Δx の値がある定数ｋに限りなく近づくならば、
Δx →０のとき、(Δy／Δx)→ｋ
とか、
とあらわす。
そして、その定数ｋを、
Δx →０のときのΔy／Δx の極限値、または、極限と呼ぶ。
（注意： 限りなく近づくとは「最終的には一致する」ことを意味しない。Δy／Δx が限りなくｋに近づくだけで永遠にｋに一致しないでも、「極限値がｋである」と言うのです。）
ここで、増分Δx をｈとあらわすことにする。そして、増分ｈを限りなく０に近づけた式は、以下の図の式であらわす。
点Ｃ(ｘ0，ｙ0) におけるこの式の極限値のことを、ｆ'(ｘ0)と表して、関数ｆ(x) の定義域Ａの点ｘ0における微分係数という。
《数列の極限》
項が限りなく続く数列ｘ1, ｘ2, ｘ3, ・・・, ｘn, ・・・を無限数列と言う。ｘnをその第ｎ項といい、この無限数列を{ｘn}であらわす。また、ａn を自然数ｎの式であらわしたものを数列{ｘn} の一般項という。
「変数ｘが限りなく点ａに近づく」という極限の定義は、数の集合Ａにおいて、以下のことが成り立つこととして、極限を定義する。
【数列の極限の定義】
以下の図で、「数の集合Ａの要素で、点ａ以外の値の、変数ｘの無限数列{ｘn}を考える。
この数列{ｘn}では、自然数ｎが限りなく大きくなるとき、第ｎ項は限りなく値ａに近づく。
一般に、数列{ｘn}において、ｎが限りなく大きくなるにつれて、ｘn が一定の値ａに限りなく近づくとき、数列{ｘn}はａに収束する、または、数列{ｘn}の極限はａであるという。その値ａを数列{ｘn}の極限値であるという。（点ａは数の集合Ａの要素で無くても良い）。
数列{ｘn}の極限値がａであるとき、次のように書く。
（ここで、記号∞は”無限大”と読む。∞は数をあらわすものではない）
すなわち、「変数ｘが限りなく点ａに近づく」という極限の概念を、点ａに収束する、数の集合Ａの要素のｘの無限数列を使って数学的に定義した。
その結果、変数ｘが限りなく近づく先の数の点ａは、すなわち、変数ｘの極限の数の点ａは、
数の集合Ａの要素の点ｘの無限数列の集積点であるという結論が得られる。
--（集積点の定義）--
実数の集合Ｒの部分集合の数の集合Ａを考える。
（１）実数の点ａが数の集合Ａの集積点であるとは、
数の集合Ａの要素の点ａ以外の点ｘn による、点ａに収束する無限数列 {ｘn}が存在すること（点ａは数の集合Ａの要素とは限らない）である。
（２）数の集合Ａの要素の点ｙが集積点ではないとき、その点ｙを数の集合Ａの孤立点と呼ぶ。
--（集積点の定義おわり）---
《関数の極限》
関数ｆ(x) の定義域Ａの集積点ａに関して関数ｆ(x) の極限を考えることができる。また、集積点ａに関して以下の関数ｇ(x,a) の極限を考えることができる。
関数ｆ(x) の変数ｘの定義域Ａの数の集合から、集積点ａと異なる数ｘ1, ｘ2, ｘ3, ・・・, ｘn, ・・・ を選んで、集積点ａに収束するｘの無限数列{ｘn}を作り、同時に、ｈ＝ｘ－ａで定義した変数ｈの無限数列{ｈn}を作った場合に、その無限数列{ｘn}が点ａに収束する（{ｈn}が０に収束する）のにともなって関数ｇ(x,a)≡（ｆ(x)－ｆ(a))/(x-a) が値Ｃに収束することが、ｘ→ａで関数ｇ(x,a)＝(ｆ(x)－ｆ(a))/(x-a) に極限値Ｃが存在するための基礎条件である。（ここで、関数ｇ(x,a)の変数ｘの定義域Ｂは、関数ｆ(x) の定義域Ａから点ａを除去した数の集合Ｂであることに注意する）。
関数ｇ(x,a) において、その関数の定義域Ｂの数ｘが点ａと異なる値をとりながら限りなくａに近づくとき、関数ｇ(x,a)＝(ｆ(x) －ｆ(a))/(x-a) の値が一定の値Ｃに限りなく近づくならば、
ｘ→ａのときｇ(x,a)=(ｆ(x)－ｆ(a))/(x-a) の極限値がＣである。
といい、次のように書く。
また、この場合、”ｘ→ａのとき関数ｇ(x,a)＝(ｆ(x)－ｆ(a)) /(x-a)はＣに収束する”という。
【関数の極限の定義】
関数ｆ(x) の、定義域Ａの集積点ａに関して、関数ｆ(x) の独立変数ｘの定義域Ａの点ｘがａと異なる値をとりながら限りなくａに近づくとき、関数ｆ(x) の極限を考えることができる。また、点ａが定義域Ａに含まれるとき、関数ｇ(x,a)＝(ｆ(x)－ｆ(a)) /(x-a) の値が一定の値Ｃに限りなく近づくとき関数ｇ(x,a) の極限を考えることができる。その極限は以下のように定義する。関数ｇ(x,a) の定義域Ｂは、関数ｆ(x) の定義域Ａから点ａを除いた点ｘの数の集合である。ただし、点ａは定義域Ａの集積点であるので、定義域Ｂの集積点でもある。
「変数ｘが限りなくａに近づくとき関数ｇ(x,a)＝(ｆ(x) －ｆ(a))/(x-a) に極限値Ｃが存在する」ことの数学的定義を：
「関数ｇの変数ｘの定義域Ｂの集積点ａに関して、定義域Ｂの、点ａ以外の点ｘの、点ａに収束する全ての無限数列{ｘn}で共通して、関数ｇ(x,a)＝(ｆ(x)－ｆ(a))/(x-a) が同じ値Ｃに収束する」ことと定義する。
そう定義する理由は、関数ｇ(x,a) によっては、点ａに収束する各無限数列{ｘn}毎に、関数ｇ(x,a) が異なる値Ｃに収束したり、収束しなかったりすることがあるからである。
【関数の右側極限と左側極限】
（１）数の集合Ａの要素の点ａよりも大きい点ｘn による、点ａに収束する無限数列 {ｘn}が存在するとき（点ａは数の集合Ａの要素とは限らない）、ｘが、集合Ａの点ａの値よりも大きい値をとりながら限りなくａに近づくときｇ(x,a) の値が限りなくＣに近づくならば、Ｃを点ａでのｇ(x,a) の右側極限値といい、次のようにあらわす。
（２）数の集合Ａの要素の点ａよりも小さい点ｘn による、点ａに収束する無限数列 {ｘn}が存在するとき、ｘが、集合Ａの点ａの値よりも小さい値をとりながら限りなくａに近づくときｇ(x,a) の値が限りなくＣに近づくならば、Ｃを点ａでのｇ(x,a) の左側極限値といい、次のようにあらわす。
〔極限が存在する条件〕
（３） ｇ(x,a) の点ａに係わる右側極限値か、又は、左側極限値かの一方のみが存在する場合は、その存在する極限値が点ａに係わる極限値である。
（４） ｇ(x,a) の点ａに係わる右側極限値が存在し、かつ、左側極限値も存在する場合は、両者の極限値Ｃが一致することが集積点ａで関数ｇ(x,a) に極限が存在するために必要十分な条件である。
その場合には、関数ｇ(x,a) の点ａに係わる極限が存在する条件の、「関数ｇ(x,a) のａ以外の点ｘによる、点ａに収束するどの無限数列{ｘn}であっても関数ｇ(x,a) が同じ値Ｃに収束する」ことが成り立つからである。
▷定義域Ｂ内の点ｘの、点ａより大きい数の無限数列{ｘn}による右側極限でも値Ｃに収束する。
▷また、定義域Ｂ内の点ｘの、点ａより小さい数の無限数列{ｘn}による左側極限でも同じ値Ｃに収束する。
このように右側極限も存在し左側極限も存在して両者の極限値Ｃが一致する場合は、関数ｇ(x,a) の定義域Ｂでの、点ａより小さい値と大きい値のｘn が混ざった数列で点ａに収束する無限数列{ｘn}においても、関数ｇ(ｘ,a) が同じ極限値Ｃに収束するからである。
ならば、
《閉区間を定義域Ａとする関数ｆ(x) は、その閉区間の端でも微分可能性が定義できる》
ある区間Ａを定義域とする関数f(x) において、その区間Ａの境界点（端点）以外の区間Ａの内点ａ（集積点）の左右にｘの点がある。その内点ａに対する関数ｙ＝f(x) の微分では、点ａの左右のｘの点を平等に考えて傾きを計算する。関数ｇ(x,a) のｘの点は、点ａより小さい点から点ａよりも大きい点までの全部のｘの点を見て内点ａでの傾きを計算する。
高校数学では、関数ｆ(x) の定義域Ａの区間の内点での微分だけが詳しく教えられている。高校数学は、内点での微分の条件があたかも全ての微分の条件であるかのように教えていて、閉区間の端点では微分の条件が満足されないかのように教えている。しかし、閉区間の端点でも（傾きが無限大でなければ）微分可能である。
大学数学では、ｆ(x) の微分係数を計算する点ａが、閉区間Ａを定義域とする関数ｆ(x) の区間Ａの端にある場合も詳しく学べる。
上図の関数ｆ(x) ＝ｘが０≦ｘ≦２の閉区間 [0,2] で定義されている場合は、
関数ｆ(x) ＝ｘ は、定義域Ａの閉区間の端点ｘ＝０やｘ＝２で微分することが可能である。この関数ｆ(x) の微分係数ｆ'(x) は、閉区間[0,2]の端点とその間の内点とで１である。
下図左の関数において：
f(x)=|x|の, 関数f(x)の定義域を[0,1]とするとき、
ｆ’(0)=1,
である。
上図右の関数において：
f(x)=|x|の, 関数f(x)の定義域を[－1,0]とするとき、
ｆ’(0)=－1,
である。
下図の関数において：
f(x)=|x|の, 関数f(x)の定義域を[－1,1]とするとき、
ｆ’(0)は存在しない。
【導関数とは何か】
上記のように、区間で連続な関数f(x) の定義域Ａの集積点ａにおける微分係数を１つ求めた。しかし、関数ｆ(x) の定義域Ａの各集積点における微分係数を毎回求めるのはかなり面倒なので、関数ｆ(x)の定義域Ａの任意の集積点ｘでの微分係数を全部求める。つまり、関数ｆ(x) の定義域Ａの集積点ｘでの微分係数ｆ’(x) を計算する。
ここで、ｚの関数ｇ(z,x)≡(f(z)-f(x))/(z-x)の変数ｚの定義域は、集積点ｘの値以外の定義域Ａの数の集合の点ｚである。変数ｚが点ｘを目指した関数ｇ(z,x) の極限は、その変数ｚの定義域の点ｚの、点ｘに収束する無限数列{ｚn} を使って求める。なお、変数ｚを収束させて関数ｇ(z,x) の極限を求める際には、極限を求める前段階で変数ｚ以外の変数ｘの値を止めて（変化させないで）、極限を求める。
区間Ａで連続な関数ｆ(x) の微分係数ｆ’(x) があらわす関数を、関数ｆ(x)の導関数と言う。
下図の式のように、変数ｈを使って関数ｆ(x)の導関数ｆ’(x) を定義することもできる。（ただし、変数ｈの値は、ｘ＋ｈが関数ｆ(x) の変数ｘの定義域Ａ内にある値（かつ、０以外の値）のみが許される。）なお、下図の関数ｇ(h,ｘ)は先に定義した同じ記号ｇで表した関数とは異なる関数であることに注意。
ここで、関数ｆ(x) の定義域の区間Ａ＝ [a, b] に対して、ｈの関数ｇ(h, x)≡(f(x+h)-f(x))/h の変数h の定義域は、上図のように、区間[a-x, b-x] からｈ＝０となる点を除いた点ｈの集合である。変数ｈが値０を目指した関数ｇ(h, x) の極限は、その点ｈの、値０に収束する無限数列{ｈn} を使って求める。なお、変数ｈを０に収束させて関数ｇ(h, x) の極限を求める際には、極限を求める前段階で変数ｘの値を止めて（変化させないで）、結局、変数ｈの定義域を固定した上で極限を求める。
以下の図の関数ｆ(x) の導関数ｆ’(x) は微分の公式により計算でき下図の式になる。
導関数ｆ’(x) を求めることを、関数ｆ(x) を微分すると言う。
また、関数ｆ(x) の導関数ｆ'(x) をｄｆ／ｄｘと書くこともある。更に、導関数ｆ’(x) をｄｙ/ｄx と書いたり、ｙ’ と書くこともある。
【関数ｆ(x) の微分係数が定まらない場合もある】
ここで、関数ｆ(x) によっては、定義域Ａの内点ａの左右の点を平等に考えて傾きを計算する場合に、内点ａの左側の微分係数と右側の微分係数との２つの微分係数の値が一致しない関数ｆ(x) もある。
以下の図の関数ｆ(x)＝|x| の定義域Ａの内点ａ ＝０の点Ｏで、左側微分係数が（－１）であるが右側微分係数が（１）であり、その２つの微分係数の値が異なる。
この場合には、その内点０では、微分係数が定まらず微分ができない。（ただし、関数ｆ(x) が閉区間[0,2]で定義された関数ｆ(x) ＝ｘであって、点０がその閉区間の端点の場合は、その端点０で片側微分係数が１つの値に定まるので微分できる）。
（注意）
独立変数ｘの実数全体の区間で連続な関数ｆ(x) ＝|x| の導関数ｆ’(x) は、以下のグラフであらわされる。
この導関数ｆ’(x) は、a＝０の点では定義されず、その点でグラフが千切れるため、実数全体の区間で連続な関数ではない。この導関数ｆ’(x) は、ｘ＜０の区間の連続関数とｘ＞０の区間の連続関数とを合わせた、複合区間を定義域とする関数である。
以下の図の関数の例で先に微分を説明した。
上図の関数ｆ(x) ＝ｘが０≦ｘ≦２の閉区間 [0,2] で定義されている。この関数ｆ(x) ＝ｘ を微分すると閉区間 [0,2] で定義されている導関数ｆ'(x) が得られた。この導関数ｆ'(x) を積分すると元の関数ｆ(x) が得られる。元の関数ｆ(x) を関数ｆ’(x) の原始関数と呼ぶ。原始関数は関数ｆ’(x) の不定積分の１つである。区間で連続な被積分関数の積分（不定積分）は、それを微分すると元の関数に戻る。
リンク：
やさしい微分積分
微分可能の定義
高校数学の目次
