やさしい微分積分
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【チャレンジ問題２】難問です。時間をかけて解きましょう。
以下の２つの式であらわされる円のグラフと放物線のグラフが接するｋの条件を求めよ。
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【チャレンジ問題２】難問です。時間をかけて解きましょう。
以下の２つの式であらわされる円のグラフと放物線のグラフが接するｋの条件を求めよ。
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2024年11月9日土曜日
2024年11月8日金曜日
点Pから引いた放物線への接線の接点AとＢの中点のｘ座標は点Ｐと同じ
やさしい微分積分
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なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
【チャレンジ問題１】難問です。時間をかけて解きましょう。
以下の図のように、放物線の外側にある点Ｐから放物線に引いた２つの接線の放物線との接点を点Ａと点Ｂとする。
（１）点Ａと点Ｂの中点のｘ座標が点Ｐのｘ座標と一致することを示せ。
（２）式(1)の関係が成り立つことを示せ。
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やさしい微分積分
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なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
【チャレンジ問題１】難問です。時間をかけて解きましょう。
以下の図のように、放物線の外側にある点Ｐから放物線に引いた２つの接線の放物線との接点を点Ａと点Ｂとする。
（１）点Ａと点Ｂの中点のｘ座標が点Ｐのｘ座標と一致することを示せ。
（２）式(1)の関係が成り立つことを示せ。
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やさしい微分積分
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2024年11月7日木曜日
円と放物線の接点
やさしい微分積分
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なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
【問１】ｈの値を変えたとき、
放物線 ｙ＝ｘ２／４＋ｈ （式１）
と、円 ｘ２＋（ｙ－１）２＝１ （式２）
とが接する場合に、その接点（ｘ，ｙ）の値を求めよ。
（解答の方針）
なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できるので、微分により接線の式を計算する方程式を書く。
（解答）
（１）
接点（ｘ，ｙ）において、
式１から、
放物線 ｙ＝（ｘ２／４）＋ｈ （式１’）
式２から、
円 ｘ２＋（ｙ－１）２＝１ （式２’）
（２）
式１の放物線の接点（ｘ，ｙ）における接線の傾きｙ’は、式１の関数をｘで微分して計算し、
ｙ’＝２ｘ／４＝ｘ／２ （式３）
（３）
式２の円の接点（ｘ，ｙ）における接線の傾きは、
円のグラフの法線の傾き（ｙ－１）／ｘの逆数に（－１）を掛け算したものであって、
ｙ’＝－ｘ／（ｙ－１） （式４）
ただし、法線の傾きが無限大の場合には接線の傾きは０であり、その場合でも、式（４）によって接線の傾きが計算できる。
（４）
式３と式４の接線の傾きｙ’の値が等しいので、
この式５を解くと、
ｘ＝０ （式６）
ｏｒ
ｙ－１＝－２ （式７）
式２から －１≦ｙ－１≦１
であるので、式７は不適。
よって、式６のみが解である。
（５）
式６を式２に代入する。
（ｙ－１）２＝１
（ｙ－１）＝±１
ｙ＝２
ｏｒ
ｙ＝０
接点は、
（ｘ，ｙ）＝（０，０） （式８）
ｏｒ
（ｘ，ｙ）＝（０，２） （式９）
式８の場合に、式８を式１に代入する。
ｈ＝０
式９の場合に、式９を式１に代入する。
ｈ＝２
よって
接点＝（０，０）でｈ＝０
ｏｒ
接点＝（０，２）でｈ＝２
（解答おわり）
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やさしい微分積分
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なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
【問１】ｈの値を変えたとき、
放物線 ｙ＝ｘ２／４＋ｈ （式１）
と、円 ｘ２＋（ｙ－１）２＝１ （式２）
とが接する場合に、その接点（ｘ，ｙ）の値を求めよ。
（解答の方針）
なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できるので、微分により接線の式を計算する方程式を書く。
（解答）
（１）
接点（ｘ，ｙ）において、
式１から、
放物線 ｙ＝（ｘ２／４）＋ｈ （式１’）
式２から、
円 ｘ２＋（ｙ－１）２＝１ （式２’）
（２）
式１の放物線の接点（ｘ，ｙ）における接線の傾きｙ’は、式１の関数をｘで微分して計算し、
ｙ’＝２ｘ／４＝ｘ／２ （式３）
（３）
式２の円の接点（ｘ，ｙ）における接線の傾きは、
円のグラフの法線の傾き（ｙ－１）／ｘの逆数に（－１）を掛け算したものであって、
ｙ’＝－ｘ／（ｙ－１） （式４）
ただし、法線の傾きが無限大の場合には接線の傾きは０であり、その場合でも、式（４）によって接線の傾きが計算できる。
（４）
式３と式４の接線の傾きｙ’の値が等しいので、
ｘ＝０ （式６）
ｏｒ
ｙ－１＝－２ （式７）
式２から －１≦ｙ－１≦１
であるので、式７は不適。
よって、式６のみが解である。
（５）
式６を式２に代入する。
（ｙ－１）２＝１
（ｙ－１）＝±１
ｙ＝２
ｏｒ
ｙ＝０
接点は、
（ｘ，ｙ）＝（０，０） （式８）
ｏｒ
（ｘ，ｙ）＝（０，２） （式９）
式８の場合に、式８を式１に代入する。
ｈ＝０
式９の場合に、式９を式１に代入する。
ｈ＝２
よって
接点＝（０，０）でｈ＝０
ｏｒ
接点＝（０，２）でｈ＝２
（解答おわり）
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やさしい微分積分
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曲線の接線を微分で求める基本公式
やさしい微分積分
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《曲線の接線》
区間で連続な関数ｆ(x) のグラフｙ＝ｆ(x) を考え、その関数ｆ(x) が所定の区間で微分可能な場合を考える。
微分可能な区間の変数ｘの点 ｘ＝ａ におけるｙ＝ｆ(x) のグラフの曲線の接線の方程式を導出する。
グラフｙ＝ｆ(x) 上の点（a, f(a)) における接線の傾きは、関数ｆ(x) を微分した結果の導関数ｆ’(x) の変数ｘの点ｘ＝ａにおける微分係数ｆ’(a) に等しい。そのため、グラフ上の点における接線の方程式に関して以下のことが言える。
グラフｙ＝ｆ(x) 上の点（a,f(a)) における接線の方程式は、
ｙ＝(ｆ’(a))（ｘ－ａ）＋ｆ(a) ， (1)
とあらわされる。
【問１】ｙ＝ｘ２の曲線の変数ｘの点ｘ＝１でのグラフの接線を求めよ。
【解答】
ｆ(x) ＝ｘ２
微分の公式により
ｆ’(x) ＝２・ｘ
ｆ(1) ＝１２＝１
ｆ’(1) ＝２・１＝２
接線の方程式は、
ｙ＝２（ｘ－１）＋１
＝２ｘー１，
（解答おわり）
（接線の定義）
連続なグラフ上に２点Ａ，Ｂを取って、その２点をその間のグラフの点Ｃに無限に近づけた時に、その２点Ａ，Ｂを通る直線が１つの直線に収束する場合に、その直線を、そのグラフの、点Ｃにおける接線と呼び、点Cを接点と呼びます。
（注意）
グラフの不連続点や、グラフが滑らかでは無く折れ曲がっている点においては、その点における接線は考え無いことにする。その不連続点や折れ曲がり点で接する直線があるかもしれないが、その点Cの両側の点AとＢの一方の点が無かったり、直線の傾きが１つに収束し無かったりするので、その点における「接線」については考え無いことにする。
リンク：
やさしい微分積分
接線と接点の定義
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《曲線の接線》
区間で連続な関数ｆ(x) のグラフｙ＝ｆ(x) を考え、その関数ｆ(x) が所定の区間で微分可能な場合を考える。
微分可能な区間の変数ｘの点 ｘ＝ａ におけるｙ＝ｆ(x) のグラフの曲線の接線の方程式を導出する。
グラフｙ＝ｆ(x) 上の点（a, f(a)) における接線の傾きは、関数ｆ(x) を微分した結果の導関数ｆ’(x) の変数ｘの点ｘ＝ａにおける微分係数ｆ’(a) に等しい。そのため、グラフ上の点における接線の方程式に関して以下のことが言える。
グラフｙ＝ｆ(x) 上の点（a,f(a)) における接線の方程式は、
ｙ＝(ｆ’(a))（ｘ－ａ）＋ｆ(a) ， (1)
とあらわされる。
【問１】ｙ＝ｘ２の曲線の変数ｘの点ｘ＝１でのグラフの接線を求めよ。
【解答】
ｆ(x) ＝ｘ２
微分の公式により
ｆ’(x) ＝２・ｘ
ｆ(1) ＝１２＝１
ｆ’(1) ＝２・１＝２
接線の方程式は、
ｙ＝２（ｘ－１）＋１
＝２ｘー１，
（接線の定義）
連続なグラフ上に２点Ａ，Ｂを取って、その２点をその間のグラフの点Ｃに無限に近づけた時に、その２点Ａ，Ｂを通る直線が１つの直線に収束する場合に、その直線を、そのグラフの、点Ｃにおける接線と呼び、点Cを接点と呼びます。
（注意）
グラフの不連続点や、グラフが滑らかでは無く折れ曲がっている点においては、その点における接線は考え無いことにする。その不連続点や折れ曲がり点で接する直線があるかもしれないが、その点Cの両側の点AとＢの一方の点が無かったり、直線の傾きが１つに収束し無かったりするので、その点における「接線」については考え無いことにする。
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やさしい微分積分
接線と接点の定義
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2024年11月6日水曜日
合成関数の微分の公式を証明する
やさしい微分積分
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【問１】
区間で連続な関数ｇ(x) が変数の点ｘで微分可能であり、区間で連続な関数ｆ(g) が変数の点ｇ＝ｇ(x)で微分可能であるとき、独立変数の点ｘと従属変数の点ｇ=ｇ(x) で、以下の式であらわす合成関数の微分の公式が成り立つことを証明せよ。
【解答】
（証明開始）
合成関数ｆ(g(x))をｈ(x)とあらわす。
独立変数の点ｘで、区間で連続な関数ｇ(x) のｘによる微分が存在する（確定した有限値になる）ものとする。
また、従属変数の点ｇ=ｇ(x) で、区間で連続な関数ｆ(g) のｇによる微分が存在する（確定した有限値になる）ものとする。
その場合に、以下の式が成り立つ。
（証明おわり）
【問２】
以下の関数を微分せよ。
【解答】
（解答おわり）
【問３】
以下の関数を微分せよ。
【解１】
（解１おわり）
【解２】
関数の商の微分の公式を使う。
（解２おわり）
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やさしい微分積分
合成関数の微分の公式の分かり易い証明
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【問１】
区間で連続な関数ｇ(x) が変数の点ｘで微分可能であり、区間で連続な関数ｆ(g) が変数の点ｇ＝ｇ(x)で微分可能であるとき、独立変数の点ｘと従属変数の点ｇ=ｇ(x) で、以下の式であらわす合成関数の微分の公式が成り立つことを証明せよ。
【解答】
（証明開始）
合成関数ｆ(g(x))をｈ(x)とあらわす。
独立変数の点ｘで、区間で連続な関数ｇ(x) のｘによる微分が存在する（確定した有限値になる）ものとする。
また、従属変数の点ｇ=ｇ(x) で、区間で連続な関数ｆ(g) のｇによる微分が存在する（確定した有限値になる）ものとする。
その場合に、以下の式が成り立つ。
（証明おわり）
【問２】
以下の関数を微分せよ。
【解答】
（解答おわり）
【問３】
以下の関数を微分せよ。
【解１】
（解１おわり）
【解２】
関数の商の微分の公式を使う。
（解２おわり）
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やさしい微分積分
合成関数の微分の公式の分かり易い証明
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微分の基本公式を導き出す
やさしい微分積分
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【問１】区間で微分可能な関数ｆ(x) とｇ(x) に関する以下の公式を導け。
《関数の積の微分の公式》
（ｆ・ｇ）’＝ｆ’・ｇ＋ｆ・ｇ’
【解答】
（証明開始）
（証明おわり）
《関数の積の微分の公式の適用例》
（ｆ・ｇ）’＝ｆ’・ｇ＋ｆ・ｇ’
この関数の積の微分の公式を使って、以下の公式を導き出す。
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【問１】区間で微分可能な関数ｆ(x) とｇ(x) に関する以下の公式を導け。
《関数の積の微分の公式》
（ｆ・ｇ）’＝ｆ’・ｇ＋ｆ・ｇ’
【解答】
（証明開始）
《関数の積の微分の公式の適用例》
（ｆ・ｇ）’＝ｆ’・ｇ＋ｆ・ｇ’
この関数の積の微分の公式を使って、以下の公式を導き出す。
ｘ’＝ｄx/dx＝１となることを利用して以下の計算をする。
同様にして
以上で、微分の公式がいくつか求まった。
（解答おわり）
【問２】
以下の式ｐ(x) を微分せよ。
【解１】
（解１おわり）
【解２】
この問題は、単に微分する問題と考えると、以下のように解く方が楽です。
先ず、ｐ(x) を変形する。
そして、微分する。
（解２おわり）
《補足》
問２の解き方では、微分の基本公式（関数の積の微分）を使う解１よりも解２の解き方の方が楽に解けた。解１の解き方が有効に生きる関数の商の微分の問題は、問３の、分数式の分母がもっと複雑な関数の商の場合である。
《関数の商の微分の公式》
関数の積の微分の公式の同類の、関数の商の微分の公式を導出する。
（関数の商の微分の公式）
以上の計算で得られた関数の商の微分の公式を使って、以下の問３の、分数式の分母が問２よりも複雑な関数の商の微分を求める。
【問３】
以下の式ｐ(x) を微分せよ。
【解答】
（解答おわり）
【問４】
以下の関数を微分せよ。
【解答】
（解答おわり）
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やさしい微分積分
微分の基本公式
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微分とは何か
やさしい微分積分
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《グラフの傾き》
以下では、区間で連続な関数のグラフの傾きを考える。例えば、ｘの実数全体の区間で連続な放物線の関数ｆ(x) を考える。下図の放物線のグラフy=ｆ(x) の各点での傾きを調べる。
ｙ＝ｆ(x) の放物線のグラフの曲線の点Ｃでの傾きは、点Ｃでグラフの曲線に接する直線ＤＥの傾きと同じである。直線ＤＥの傾きは、その直線に平行な直線ＡＢの傾きと等しい。
すなわち、放物線の点Ｃでの傾きは、点Ｃの近くの曲線上の２つの点ＡとＢを結ぶ直線の傾きと等しい。このように、放物線の点Ｃでの傾きは、点Ｃの近くの曲線上の２点を通る直線の傾きとして求めることができる。
２点を定めて点Ｃでの放物線の傾きを計算するときは、以下の図のように、２点のうちの１つを点Ｃとし、もう１つの点を点Ｃの近くの曲線上の点Ｐとする方が計算がし易いので、その２点で計算する。
上図のグラフで、点Ｃから点Ｐまで独立変数ｘが変化する幅をｘの増分と呼び、Δx とあらわす。
これに対応して点Ａから点Ｂまで従属変数ｙが変化する幅の、（点Ｐの高さ）－（点Ｃの高さ） をｙの増分と呼び、Δy とあらわす。
放物線の微小部分の傾きは、微小なｘの増分Δx に対する放物線の微小なｙの増分Δｙの比Δy／Δx としてあらわすことができる。
（注意： Δx やΔy は、これでまとまった記号で、Δ×(x)やΔ×(y) を意味するのではありません。そのため分母と分子のΔを約分してはいけません。）
上図のように、点Ｃと右の点Ｐ2（Δx＞０）との傾きと、点Ｃと左の点Ｐ1（Δx＜０）との傾きとはわずかに異なる。直線ＣＰ2の傾きと、直線Ｐ1Ｃの傾きとは、Δx を０に近くすればするほど、変化していく。そして、点Ｐが限りなく点Ｃに近づくと、直線ＣＰは点Ｃにおける接線ＤＥに近づいていく。このとき、直線ＣＰが接線ＤＥに収束する、と言う。
その直線ＣＰの傾きは、上図の式であらわすことができる。
《極限値》
増分Δx が０とは異なる値をとりながら限りなく０に近づくとき、Δy／Δx の値がある定数ｋに限りなく近づくならば、
Δx →０のとき、(Δy／Δx)→ｋ
とか、
とあらわす。
そして、その定数ｋを、
Δx →０のときのΔy／Δx の極限値、または、極限と呼ぶ。
（注意： 限りなく近づくとは「最終的には一致する」ことを意味しない。Δy／Δx が限りなくｋに近づくだけで永遠にｋに一致しないでも、「極限値がｋである」と言うのです。）
ここで、増分Δx をｈとあらわすことにする。そして、増分ｈを限りなく０に近づけた式は、以下の図の式であらわす。
点Ｃ(ｘ0，ｙ0) におけるこの式の極限値のことを、ｆ'(ｘ0)と表して、独立変数の数直線上のｘ＝ｘ0の点における微分係数という。
《関数ｆ(x) は、定義域の閉区間の端では微分できない》
ここで、点Ｃ(ｘ0, ｙ0) の左右の点を平等に考えて傾きを計算する。点Ｃ以外のもう１つの点のｘ座標は、ｘ0 より小さい値からｘ0 よりも大きい値までで傾きを計算する。
その計算ができるようにするために、微分係数を計算するｘ座標の値ｘ0 は関数ｆ(x) の区間の内部になければならない。つまり、値ｘ0 は関数ｆ(x)の変数ｘの区間の端にあってはいけない。値ｘ0 は変数ｘの区間の内部（開区間）になければならない。
上図の関数ｆ(x) が０≦ｘ≦２の閉区間 [0,2] で定義されている場合を考える。
この関数ｆ(x) を定義域である閉区間の端点ｘ＝０やｘ＝２で微分することは無意味である。定義域の外側ではどのようなグラフにつながっているか、または、つながっていないか、が決められていないからである。
関数ｆ(x) の定義域が閉区間[a,b]である場合に、区間の端ではｆ(x) が微分できない。
【導関数とは何か】
上記のように、区間で連続な関数f(x) の独立変数ｘの数直線上のｘ＝ｘ0の点における微分係数を１つ求めた。しかし、独立変数ｘの数直線上の各点における微分係数を毎回求めるのはかなり面倒なので、関数ｆ(x)の独立変数ｘの区間の内部の任意のｘの点での微分係数を全部求める。つまり、関数ｆ(x) のｘの区間の内部（開区間）の点での微分係数ｆ’(x) を計算する。
ここで、区間で連続な関数ｆ(x) の微分係数ｆ’(x) があらわす（開区間での）関数を、関数ｆ(x)の導関数と言う。以下の図の関数ｆ(x) の導関数ｆ’(x) は微分の公式により計算でき下図の式になる。
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《グラフの傾き》
以下では、区間で連続な関数のグラフの傾きを考える。例えば、ｘの実数全体の区間で連続な放物線の関数ｆ(x) を考える。下図の放物線のグラフy=ｆ(x) の各点での傾きを調べる。
ｙ＝ｆ(x) の放物線のグラフの曲線の点Ｃでの傾きは、点Ｃでグラフの曲線に接する直線ＤＥの傾きと同じである。直線ＤＥの傾きは、その直線に平行な直線ＡＢの傾きと等しい。
すなわち、放物線の点Ｃでの傾きは、点Ｃの近くの曲線上の２つの点ＡとＢを結ぶ直線の傾きと等しい。このように、放物線の点Ｃでの傾きは、点Ｃの近くの曲線上の２点を通る直線の傾きとして求めることができる。
２点を定めて点Ｃでの放物線の傾きを計算するときは、以下の図のように、２点のうちの１つを点Ｃとし、もう１つの点を点Ｃの近くの曲線上の点Ｐとする方が計算がし易いので、その２点で計算する。
上図のグラフで、点Ｃから点Ｐまで独立変数ｘが変化する幅をｘの増分と呼び、Δx とあらわす。
これに対応して点Ａから点Ｂまで従属変数ｙが変化する幅の、（点Ｐの高さ）－（点Ｃの高さ） をｙの増分と呼び、Δy とあらわす。
放物線の微小部分の傾きは、微小なｘの増分Δx に対する放物線の微小なｙの増分Δｙの比Δy／Δx としてあらわすことができる。
（注意： Δx やΔy は、これでまとまった記号で、Δ×(x)やΔ×(y) を意味するのではありません。そのため分母と分子のΔを約分してはいけません。）
上図のように、点Ｃと右の点Ｐ2（Δx＞０）との傾きと、点Ｃと左の点Ｐ1（Δx＜０）との傾きとはわずかに異なる。直線ＣＰ2の傾きと、直線Ｐ1Ｃの傾きとは、Δx を０に近くすればするほど、変化していく。そして、点Ｐが限りなく点Ｃに近づくと、直線ＣＰは点Ｃにおける接線ＤＥに近づいていく。このとき、直線ＣＰが接線ＤＥに収束する、と言う。
その直線ＣＰの傾きは、上図の式であらわすことができる。
《極限値》
増分Δx が０とは異なる値をとりながら限りなく０に近づくとき、Δy／Δx の値がある定数ｋに限りなく近づくならば、
Δx →０のとき、(Δy／Δx)→ｋ
とか、
とあらわす。
そして、その定数ｋを、
Δx →０のときのΔy／Δx の極限値、または、極限と呼ぶ。
（注意： 限りなく近づくとは「最終的には一致する」ことを意味しない。Δy／Δx が限りなくｋに近づくだけで永遠にｋに一致しないでも、「極限値がｋである」と言うのです。）
ここで、増分Δx をｈとあらわすことにする。そして、増分ｈを限りなく０に近づけた式は、以下の図の式であらわす。
点Ｃ(ｘ0，ｙ0) におけるこの式の極限値のことを、ｆ'(ｘ0)と表して、独立変数の数直線上のｘ＝ｘ0の点における微分係数という。
《関数ｆ(x) は、定義域の閉区間の端では微分できない》
ここで、点Ｃ(ｘ0, ｙ0) の左右の点を平等に考えて傾きを計算する。点Ｃ以外のもう１つの点のｘ座標は、ｘ0 より小さい値からｘ0 よりも大きい値までで傾きを計算する。
その計算ができるようにするために、微分係数を計算するｘ座標の値ｘ0 は関数ｆ(x) の区間の内部になければならない。つまり、値ｘ0 は関数ｆ(x)の変数ｘの区間の端にあってはいけない。値ｘ0 は変数ｘの区間の内部（開区間）になければならない。
この関数ｆ(x) を定義域である閉区間の端点ｘ＝０やｘ＝２で微分することは無意味である。定義域の外側ではどのようなグラフにつながっているか、または、つながっていないか、が決められていないからである。
関数ｆ(x) の定義域が閉区間[a,b]である場合に、区間の端ではｆ(x) が微分できない。
【導関数とは何か】
上記のように、区間で連続な関数f(x) の独立変数ｘの数直線上のｘ＝ｘ0の点における微分係数を１つ求めた。しかし、独立変数ｘの数直線上の各点における微分係数を毎回求めるのはかなり面倒なので、関数ｆ(x)の独立変数ｘの区間の内部の任意のｘの点での微分係数を全部求める。つまり、関数ｆ(x) のｘの区間の内部（開区間）の点での微分係数ｆ’(x) を計算する。
ここで、区間で連続な関数ｆ(x) の微分係数ｆ’(x) があらわす（開区間での）関数を、関数ｆ(x)の導関数と言う。以下の図の関数ｆ(x) の導関数ｆ’(x) は微分の公式により計算でき下図の式になる。
導関数ｆ’(x) を求めることを、関数ｆ(x) を微分すると言う。
また、関数ｆ(x) の導関数ｆ'(x) をｄｆ／ｄｘと書くこともある。更に、導関数ｆ’(x) をｄｙ/ｄx と書いたり、ｙ’ と書くこともある。
【関数ｆ(x) の微分係数が定まらない場合もある】
ここで、関数ｆ(x) によっては、所定の点Ｃの左右の点を平等に考えて傾きを計算する場合に、左側の点Ｐ1 と点Ｃとを結ぶ直線が限りなく近づく直線の傾きと、点Ｃと右側の点Ｐ2 とを結ぶ直線が限りなく近づく直線の傾きが一致しない関数ｆ(x) もある。
以下の図の関数ｆ(x)＝|x| のｘ＝０の点Ｏで、それがおきている。
この場合には、その点Ｏでは、微分係数が定まらず微分ができない。
（注意）
独立変数ｘの実数全体の区間で連続な関数ｆ(x) ＝|x| の導関数ｆ’(x) は、以下のグラフであらわされる。
この導関数ｆ’(x) は、ｘ＝０の点では定義されず、その点でグラフが千切れるため、実数全体の区間で連続な関数ではない。この導関数ｆ’(x) は、ｘ＜０の区間の連続関数とｘ＞０の区間の連続関数とを合わせた、複合区間を定義域とする関数である。
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やさしい微分積分
微分可能の定義
高校数学の目次
2024年11月4日月曜日
2024年11月3日日曜日
積分とは何か
やさしい微分積分
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【積分とは何か】
先のページでは積分の大まかな考え方：「分割した要素の総計を求めてグラフの面積を計算する手法が積分という」を示した。ここでは、積分という概念を、より具体的に定義する。
関数 y = f(x) は閉区間 [a, b] で連続とする．
この区間を図のように (n-1) 個の点
ｘ１, ｘ２, … , ｘｎ－１
で n 個の小区間
[a,ｘ１], [ｘ１,ｘ２], … , [ｘｎ－１, b]
に分ける．それら小区間内にそれぞれ任意の点
ｔ１, ｔ２, … , ｔｎ …①
をとって，和：
を作る．ただし、ａ＝ｘ0，ｂ＝ｘｎとする。
すべての小区間の長さが，いずれも 0 に近づくように n を限りなく大きくするとき， ①の点の位置のとり方にかかわらず， 和Ｓｎは一定の値Sに近づくことが知られている。この一定の値Sを極限値，または、極限と呼ぶ。また，このように和が一定値Sに近づくとき、和がSに収束する，と言う。この極限値Sを，関数 f(x) の区間 [a, b] における定積分といい
で表す．
リンク：
やさしい微分積分
積分可能の定義と原始関数と不定積分の求め方
高校数学の目次
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【積分とは何か】
先のページでは積分の大まかな考え方：「分割した要素の総計を求めてグラフの面積を計算する手法が積分という」を示した。ここでは、積分という概念を、より具体的に定義する。
関数 y = f(x) は閉区間 [a, b] で連続とする．
ｘ１, ｘ２, … , ｘｎ－１
で n 個の小区間
[a,ｘ１], [ｘ１,ｘ２], … , [ｘｎ－１, b]
に分ける．それら小区間内にそれぞれ任意の点
ｔ１, ｔ２, … , ｔｎ …①
をとって，和：
すべての小区間の長さが，いずれも 0 に近づくように n を限りなく大きくするとき， ①の点の位置のとり方にかかわらず， 和Ｓｎは一定の値Sに近づくことが知られている。この一定の値Sを極限値，または、極限と呼ぶ。また，このように和が一定値Sに近づくとき、和がSに収束する，と言う。この極限値Sを，関数 f(x) の区間 [a, b] における定積分といい
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やさしい微分積分
積分可能の定義と原始関数と不定積分の求め方
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