勉強しよう数学

2018年9月17日月曜日

２次方程式の解き方（解の公式を使わず以下の様に解く）

（解の公式は無理して覚える必要はありません）

ａＸ^２＋ｂＸ＋ｃ＝０
このような形をしている２次方程式を計算間違いをせずに速く解くには、
解の公式を使わずに以下のように直接計算します。
以下のように変形していけば速くミスが少なく解くことができます。

　また、以下のように変形して因数分解して行っても速くミスが少なく解くことができます。

　以下の式では、
「ｘの有無項の二乗の引き算の公式」

を使った平方完成の公式を適用しています。
（また、式全体を定数で割り算する変換を含む計算をしている事にも注意すること）

《公式Ｐ^２－Ｑ^２＝（Ｐ－Ｑ）（Ｐ＋Ｑ）も使う》

《２次方程式が解けるための基礎知識について》
　２次方程式が解けるための基礎知識として、
（ここをクリックした先の）「正しい分数の計算（計算のリズムをおぼえる）」
https://schoolhmath.blogspot.com/2022/09/blog-post_10.html
のサイトで説明されている数学の技能が先に修得されている必要があります。

　解の公式も、無理したうろ覚えで使うよりは、以下の様に計算して導き出すようにしましょう。

この解の公式には、分母に２が入っていません。そうなるように、元の２次方程式の係数を、以下の様に定めたからです。
ａＸ^２＋２ｂＸ＋ｃ＝０
解の公式は、前提条件の２次方程式を変えれば、この様に形が変わって来ます。
　固定した形の解の公式を暗記しても、方程式を解く作業には窮屈な公式になり、あまり役に立ちません。
　また、上の式のような新しい解の公式を覚えようとすると、それを覚える必要のために、旧い解の公式の記憶が消え、解の公式を忘れ去ります。
　そのため、無理して解の公式を覚えるよりは、毎回、上の様に式を展開して、その場合に必要な最適な解の公式を導き出して使って下さい。

（計算例１）

もう１つの計算例を示します。
（計算例２）

以上の計算例のように分数を使った平方完成の計算をしてください。
分数計算がしっかりできるようになってください。分数計算ができないから解の公式を使うという逃げ道に進まないで欲しい。
《正しい分数の計算》を参照。

（数学の公式の覚え方の注意）
　中学生のときは数学ができたのに、高校生になると数学ができなくなったと感じて数学をあきらめて脱落する学生が多いようです。そうなるのは、中学生のときから数学の公式の間違った覚え方を身につけ、それが現実の数学の公式群を覚えるのに通用しなくなるからだと考えます。
　解の公式をごろ合わせで覚えるのは公式の間違った覚え方です。上で説明した様に、毎回、式を展開して、必要な解の公式を導き出して使うのが、正しい、解の公式の覚え方です。
　式を展開するだけでは、何も覚えていない様に見えますが、実はそうでは無く、式を展開する毎に、その正しい式の展開の手順を無意識に覚えているのです。そういうふうに公式を覚えるのが、高校生になった後でも数学の学習から脱落しない公式の正しい覚え方だと思います。

（補足１）
高校２年生になると複素数での因数分解を学びます。その場合は、以下のように計算します。

（補足２）
方程式：

の解を求めよ、
という問題の場合は、以下の様に解きます。

（解答おわり）

この問題で、
ｘの解とともに、（１／ｘ）の解も求める必要がある場合、
ｘを求め、それから（１／ｘ）を求めれば良いのですが、
計算に慣れてくると、以下の様な解き方もできるようになります。

（解答おわり）

リンク：
因数分解のたすき掛けの方法
中学数学の目次
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2018年9月15日土曜日

余弦定理の式の値を具体的長さに関係付ける

余弦定理の式の値を具体的長さに関係付ける研究をした。
その結果を以下で報告する。

　上図の三角形ＡＢＣに対して、点Ｃを移動させて直角三角形を作る。すると、その直角三角形の辺の長さが、余弦定理の式にかかわる長さであることがわかった。

以上の計算の途中で、三角形の辺の二乗の引き算の公式を使いました。

　点Ｂを移動させて直角三角形を作ると以下の様になる。

この直角三角形の辺の長さも、余弦定理の式にかかわる長さである。

以上の２つの直角三角形の辺の長さを一緒にあらわすと、以下の図になる。

ここで、覚え易い形の以下の式が成り立っています。

これにより、余弦定理の式の値が具体的長さに関係付けられ、親しみ易くなりました。

（補足）
　また、これにより、ｂｃ・ｃｏｓＡのあらわす長さの積のバラエティが、以下の図の関係も含めて、とても多くなりましたので、それらの関係は皆成り立っている事を再認識しましょう。それにより、新しい事を覚える際に似ている関係を忘れる現象に抗って記憶をリフレッシュして、今までの記憶も維持できるようにしましょう。

https://schoolhmath.blogspot.com/2017/10/blog-post_11.html

（問題作り）
この研究の結果、以下の問題を作ることができました。

研究の結果、上図の、Ｃを頂点とする二等辺三角形のｃ_０とｂ_０が等しいので、明らかに、ｃ_０＝ｃ/(√２)です。
　そのため、以下の問題が作れます。
【問１】
　上の左の図の、Ｃを頂点とする二等辺三角形ＣＡＢの、点Ｂから辺ＣＡに下ろした垂線ＢＤ上の点Ｅを、∠ＡＥＣが直角になるように置く、そのとき、辺ＡＥ＝ｃ_０について、
ＡＥ＝ｃ/(√２)
であることを示せ。

（解答）

（解答おわり）
　以上の解答の計算の途中で、三角形の辺の二乗の引き算の公式を使いました。

（別解）
　三角形の辺の二乗の引き算の公式により以下の式１を得る。

（解答おわり）

　上のように、三角形の辺の二乗の引き算の公式を使ってこの問題が解けるのは、三角形の辺の二乗の引き算の公式と余弦定理が等価な公式であるからです。
　等価な公式であるので、三角形の辺の二乗の引き算の公式を覚えていれば余弦定理を覚えないでも問題を解くのに支障がありません。
　しかし、それでは寂しいので、また、ここで、余弦定理の式の値が具体的長さに関係付けられ、余弦定理が親しみ易くなったので、以下のように、三角形の辺の二乗の引き算の公式から１行の式の変換で余弦定理を導出して余弦定理を思い出す習慣をつけましょう。

https://schoolhmath0.blogspot.com/2016/09/blog-post_96.html

（これが余弦定理）

リンク：
ベクトルによる三角形の余弦定理のやさしい覚え方
高校数学の目次

2018年9月7日金曜日

三角形の辺の二乗の引き算の公式

【三角形の辺の二乗の引き算の公式】

（以上が、三角形の辺の二乗の引き算の公式）
　この三角形の辺の二乗の引き算の公式は、三角形の２辺の１辺への射影の長さの関係を表す公式であり、かなり多くの問題を解くのに役立つ万能の公式です。種々の問題を解く際に、この公式を使うよう試してみてください。

　数学の問題を解くヒラメキが欲しいという話を聞きます。三角形の辺の二乗の引き算の公式を使って問題を解く解答を書く場合に、簡単にできるので三角形の辺の二乗の引き算の公式を導き出して使います。その解答を見た人には、ヒラメイた解き方に見えますが、実際は、三角形の辺の二乗の引き算の公式を覚えた知識から問題の解き方が分かるのです。

（応用例）
　この公式は、以下の図の三角形の部分の長さｘを、以下の式で計算するために使えます。

リンク：
中学数学の目次

2018年8月23日木曜日

拡張三平方の定理の２つの式がベクトルの内積により１つの余弦定理の式になる

【三平方の定理】

上図の直角三角形で、式０であらわされた三平方の定理が成り立ちます。

【拡張三平方の定理】

上図の三角形で、式１であらわされた拡張三平方の定理が成り立ちます。
ａ_１が小さくなって０になれば、この式１は式０に一致します。

（証明開始）
三角形ＡＢＣに関して、三角形の辺の二乗の引き算の公式を使うと、以下の式が成り立ちます。

（証明おわり）

　式の対称性から、以下の様に、この式は、他の式でも表現できる、複数の式があるというバラエティがあります。

すなわち：
(1)辺ＢＣの長さａと、辺ＢＣ上への辺ＢＡの射影の長さａ_１の積を使う表現。
(2)辺ＢＡの長さｃと、辺ＢＡ上への辺ＢＣの射影の長さｃ_１の積を使う表現。
との２つのバラエティがあります。
その式のバラエティは、ベクトルの内積を使った１つの式で表現できます。
　そして、その式は、余弦定理をあらわします。

（補足）
　拡張三平方の定理の式の２つの式のバラエティは、下図のように、三角形ＡＢＣの辺ＡＣの中点を中心にした円を使った方ベきの定理から理解できます。

しかし、２つの式のバラエティを含む定理は、方ベきの定理だけでは無く、以下の定理も、そのバラエティを含むので、頭を柔らかくしましょう。

リンク：
高校数学の目次

2018年8月19日日曜日

ベクトルＰと単位ベクトルの内積はベクトルＰの単位ベクトルへの正射影

（ベクトルの内積の定義）

単位ベクトルＡ＝ベクトルＯＡ＝（ａ_１，ａ_２）の長さの２乗は、
（ａ_１・ａ_１）＋（ａ_２・ａ_２）＝１　（式１）
であらわすことができる。
その値は、単位ベクトルＡがどの方向を向いていても１になる。

この式１を拡張して、
ベクトルＰ＝ベクトルＯＰ＝（ｐ_１，ｐ_２）があり、単位ベクトルＡ＝ベクトルＯＡ＝（ａ_１，ａ_２）がある場合に、
ベクトルＰとベクトルＡの内積演算を、以下の式２で定義する。

その定義の結果、以下の式４が成り立つ。

この式のθは、ベクトルＰがベクトルＡと成す角度です。

ベクトルOＰと単位ベクトルOＡの内積は、ベクトルOＰの、直線ＯＢへの正射影の長さＯＢをあらわす。（ベクトルOＰを直径とする円と、ベクトルＯＡを含む直線との交点が点B）

（注意）
　大学や、おそらく世界中の数学者は、式２でベクトルの内積を定義しています。しかし、日本の高校では、式４によってベクトルの内積を定義しています。
日本の大学の教科書・参考書を見ると、日本の大学では、学生が高校で教わった式４の定義も認めた上で、式２の定義を示し式２の定義の適用の広さを教えることで、学生に式２の定義の方が優れている事を諭しています。

　この式２の内積の定義は、各ベクトルを
ｘ方向の単位ベクトル

と、
ｙ方向の単位ベクトル

を使って以下の式の様に表して、

以下の式の様に単位ベクトル同士の内積の演算を基礎にしてベクトルの内積を定義しています。

（補足）
上記のベクトルの計算では、以下のように計算するベクトルの内積の分配の法則を利用しています。

　式２で定義した内積を使うことで、余弦定理も証明できます。その証明において特に注意すべきことは、式４では内積を定義せず、式２で内積を定義することから証明を開始しなければなりません。その証明には、
「式２で内積を定義する」
と明記して、証明をしてください。
詳しくは：
「ベクトルｐとベクトルａの内積の演算を、
（ｐ_１，ｐ_２）・（ａ_１，ａ_２）＝ｐ_１・ａ_１＋ｐ_２・ａ_２
で定義する。
その定義の結果、ベクトルの内積が、ベクトルの長さの積と、ベクトル同士が成す角度θの余弦ｃｏｓθとの積であらわされる。」
と明記して、証明をしてください。

「式４で内積を定義しても、余弦定理を使って式２が導き出せるので問題無い」という誤った認識が流通しているので注意して下さい。
式２は余弦定理が無ければ成り立たない式では無く、逆に、式２を用いて余弦定理も証明でき、かつ、式４も導き出せるのです。
　式４で内積を定義してしまったら、式４の根拠付けに余弦定理が使われていますので、内積を使って余弦定理を導き出すのは、その定義の根拠になった公式を導き出すという循環論法になるので、内積で余弦定理を導き出してはいけない事になってしまいます。しかし、それは正しくはありません。
　そういう真実も、高校時代から学んで欲しいと考えます。

　なお、高校生になった学生は、心身ともに大人として完成する時期に入ったので、もう中学生時代のように受け身で勉強や生きる道を選択するのでは無く、自分から積極的に広く情報を集めて取捨選択して信頼できる情報を手に入れるようにして欲しいと思います。
　世間に流通している情報には、誤った情報の方が多く、正しい情報が少ないです。誤った情報しか手に入らないと、誤った情報は問題解決の役に立たないので自信が無くなり、どうしても受け身で勉強する姿勢になり易いです。
　正しい情報の貴重さを認識する経験を積んで欲しいと思います。そして、手に入れた正しい情報に基づいた確信と、生きる勇気を手に入れて、人生の永い道に乗り出して行って欲しいと思います。

（１）式２で内積を定義すると、
互いに垂直なベクトル同士の内積＝０
になる。
実際、
単位ベクトルＡ（ａ_１，ａ_２）と
それに垂直なベクトルＡ_ｖ（－ａ_２，ａ_１）
との内積の式３：

になる。

（２）下図の様に、ベクトルＰを、ベクトルＡに平行なベクトルＰ_ａと、ベクトルＡに垂直なベクトルＰ_ｂに分解し、両ベクトルを合成したベクトルと考える。

すると、ベクトルＡに垂直なベクトルＰ_ｂとベクトルＡの内積は０になる。

そのため、ベクトルＰとベクトルＡの内積は、ベクトルＰからベクトルＡに垂直なベクトルＰ_ｂを除去して、残ったベクトルＡに平行なベクトルＰ_ａとベクトルＡとの内積になる。
ベクトルＰ_ａはベクトルＰのベクトルＡへの正射影である。

単位ベクトルＡの大きさは１だから、ベクトルＰとベクトルＡの内積は、ベクトルＰにおけるベクトルＡに平行な部分のベクトルＰ_ａの大きさ（長さ）になる。

（３）ベクトルＰと単位ベクトルＡの内積は、
ベクトルＰから単位ベクトルＡに垂直なベクトルＰ_ｂを除去して、残ったベクトルＡに平行なベクトルＰ_ａの長さに等しい。

すなわち、ベクトルＰと単位ベクトルＡの内積は、
ベクトルＰの、ベクトルＡに平行な直線への正射影の長さＰ_ａに等しい。

例えば、ベクトルＰがベクトルＡと成す角度がθの場合、
ベクトルＰの、ベクトルＡに平行な直線への正射影の長さ＝|Ｐ|ｃｏｓθである。
よって、

こうして、ベクトルＰと単位ベクトルＡとの内積によって、
ベクトルＰの、単位ベクトルＡに平行な直線上への正射影の長さをあらわすことができます。

　このベクトルの内積の持つ性質（式４）は重要な性質なので、心に銘記して覚えるべき事と思います。
　高校の数学教育では、ベクトルの内積のこの重要な性質（式４）を学生が忘れないようにする配慮から、いっその事、ベクトルの内積のこの性質（式４）を、「ベクトルの内積の定義」として教えているのだろうと考えます。

（３次元空間のベクトルでも同じ）
　このベクトルの内積の持つ性質（式４）は、３次元空間のベクトルの間の内積の場合にも成り立ちます。そして、
３次元空間でも、ベクトルＰと単位ベクトルＡの内積は、
ベクトルＰの、ベクトルＡに平行な直線への正射影の長さＰ_ａに等しい。

《ベクトルＯＰのベクトルＯＡへの正射影》
　下図の関係も成り立ちます。（ベクトルＯＡは単位ベクトルとは限らないものとする）
下図のＯＰベクトルが、正射影ベクトルＯＨに変換されます。

ベクトルＯＨの方向がベクトルＯＡの方向か反対方向かによって内積の値の符号が異なる。

　ベクトルＯＰのベクトルＯＡ上への正射影ベクトルＯＨは、以下の計算で、ベクトルＯＡに平行な単位ベクトルｕを使った式や、ベクトルＯＡ＝ベクトルａを使った式であらわされる。

（４）もう１つ大切な事を付け加えておきます。それは、ベクトルの内積の値は、座標系を回転させても変わらないことです。
　これは、ベクトルＰと単位ベクトルＡとの内積の値は、ベクトルＰの、単位ベクトルＡに平行な直線上への正射影の長さを表わすので、その値が座標系を回転させても変わらないのは当たり前のことです。
　しかし、式２で定義した内積を計算するためのベクトルの成分は座標系によって定められるので座標系の回転変換によって変化します。それにもかかわらず、内積の値は変わらないという事は不思議で面白いことです。

（ベクトルの成す角度はベクトルの内積を使って定義される）
　また、４次元空間における２つのベクトルの成す角度θの余弦＝ｃｏｓθを、２つのベクトルの内積の値を使って定義することができます。
単位ベクトルＰ（ｐ_１，ｐ_２，ｐ_３，ｐ_４）があり、
単位ベクトルＡ（ａ_１，ａ_２，ａ_３，ａ_４）がある場合に、
４次元空間での単位ベクトルＰと単位ベクトルＡが成す角度θの余弦＝ｃｏｓθを、
ｃｏｓθ＝（ｐ_１・ａ_１）＋（ｐ_２・ａ_２）＋（ｐ_３・ａ_３）＋（ｐ_４・ａ_４）

で定義することができます。
　この例の様に、ベクトルの成す角度θというものは、ベクトルの成分を使って測られ、ベクトルの内積などで定義されるものであって、角度θはベクトルの成分に従属するものです。
　そのため、何かを定義するとき、それをベクトルの成す角度θを使って定義するよりは、そのθも定義する要素である、ベクトルの成分のｐ_１，ｐ_２，ｐ_３，ｐ_４等を使って定義する方が、より根源的なしっかりした定義であると言えます。

《複素数成分のベクトルの内積》
複素数成分を持つベクトルｚとベクトルｗの内積は、各成分毎の、ベクトルｚの成分と、ベクトルｗの成分の共役複素数の積、の和になります。

《角度とcosとsinの対応》角度βに１：１対応する量ａ