佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強
【問１】
ｔａｎα，ｔａｎβが方程式ｘ２－４ｘ＋３＝０の２つの解であるとき、ｔａｎ（α＋β）の値を求めよ。
（注意）
佐藤の数学教科書では、「加法定理」に直接かかわる練習問題は、この（１節）「三角関数とは」に掲載されています。
（２節）「等式の証明問題」になると、
「加法定理」を学んだ人は、初めて三角関数に関する知識が完全になったと判断され、一人前の基礎知識を持つに至った人と認定されたように見える。
つまり、それまでは、三角関数の正弦定理の問題にしろ、余弦定理の問題にしろ、問題が難しくならないように、かなりの手加減をして問題を出していたのを、
加法定理以降は、一人前扱いをし、手加減がなくなり、
三角関数を使った問題が一気に難しくなるように見える。
そのため、これからの三角関数の問題は、正弦定理や余弦定理の問題の難問が多くなり、
以前と比べ難しい問題が多くなる事を覚悟しておいた方が良いと思う。
【解答】
（求める答えを、より易しい答えにできないかを考える）
問題を解くときには、いつも、この発想から始めること。
この段階では、どう解答するかの見通しを立てます。
ｔａｎの加法定理を思い出して、次の式を考える。
この式１を見ると、（ｔａｎα＋ｔａｎβ）と、ｔａｎαｔａｎβが求められれば、ｔａｎ（α＋β）が求められることが見通せる。
ｔａｎα，ｔａｎβが
方程式 ｘ２－４ｘ＋３＝０ （式２）
の２つの解であるとき、
（ｘの係数）： －４＝－（ｔａｎα＋ｔａｎβ） （式３）
定数項： ３＝ｔａｎαｔａｎβ （式４）
となる関係を使う。
式３と式４を式１に代入する。
（解答おわり）
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佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強
【問１】難問
三角形ＡＢＣにおいて
∠Ａ≠０であり、
２ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ＝２ （式１）
が成り立っていれば、
２ｓｉｎＡ＝ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ （式２）
が成り立つことを証明せよ。
（注意）この問題は、「加法定理」の例題として出されていましたが、
必ずしも加法定理を使って解くものとは限らない。
以下に説明する証明の計算でも加法定理は使わないで証明する。
そして、三角形の正弦定理ｓｉｎＡ／ａ＝１／（２Ｒ）・・・を使うことが、解答のために本質的に重要。
【重要な注意】
式１のｃｏｓの式を、加法定理その他の三角関数の変換定理で変換しても、式２に至りません。そのように、三角関数の計算の自由度は低いです（加法定理などで変換できる式も少しはありますが）。
そのため、三角関数（特に三角形の角度の三角関数）の問題を自由に解くためには、三角関数の式を、なるべく、ベクトルの式やｘｙ座標の式に変えて計算する必要があります。
（予備知識）
受験問題のときは、三角形の角度のｓｉｎ、ｃｏｓ（三角関数）の式の証明問題は、三角関数の式をベクトルの式であらわして、図形で考えます。ベクトルを利用して図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。
（問題をより易しい問題に変換してから解くこと）
証明すべき対象の
２ｓｉｎＡ＝ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ （式２）
を直接証明しようとする前に、この式を、図形の問題として、わかる限り、問題をかみくだいて易しい問題に変換しておいてから問題を解きます。
三角形の正弦定理ｓｉｎＡ／ａ＝１／（２Ｒ）・・・を使うと、
２ｓｉｎＡ＝ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ （式２）
は、以下の式に書き直せます。
２（ａ／（２Ｒ））＝（ｂ／（２Ｒ））＋（ｃ／（２Ｒ））
２ａ－ｂ－ｃ＝０ （式３）
問題がここまで易しくなります。
三角形の辺の長さの関係の式３を証明すれば良いです。
（式１の変形の方針）
正弦定理を使って、証明するべき式２のｓｉｎを消去して易しくしたように、ベクトルの内積の式を使って、元の条件の、式１のｃｏｓを消去します。
（ｃｏｓを消去する場合に、余弦定理を使うよりは、計算の見通しの良いベクトルの内積の式を使います）
この式を使って、式１を以下のように書き直します。
この式の解は：
２ａ－ｂ－ｃ＝０， （式４）
又は、
ベクトルMとNの内積＝ｂｃ， （式５）
です。
式５が成り立つ場合に、式４（式３）が成り立つとは限らない。
式５では、
ベクトルMとNの内積＝ｂｃ
になり、
その場合は
∠A＝０
である。
前提条件が
∠Ａ≠０
であるため、式５は不適であり、式４が成り立つ。
よって、
∠A＞０の場合に、式３と同じ式４が成り立つ。
（証明おわり）
【問２】
（問２が作られた背景）
問１を解く方法を発見した後で考えることは、
「発見したその解き方は、他の問題を解くのにも使える適用範囲の広い解き方なのだろうか？」
という疑問が湧くと思います。
しかし、そういう疑問に答えてくれる人はごくわずかしかいなく、高校の数学の先生や予備校の数学の先生が答えてくれ可能性は低く、ましてや、ネットでの質問サイトからまともな答えが得られるとは考えられない、と思います。
自分が分からない問題に素直に分からないと答えられる率直な先生、すなわち、大学の数学の先生からは、まともな答えが受け取れるだろうと思います。それ以外にあてに出来る人は、そのような疑問を抱く、数学が好きな友人か、また、そのような疑問を抱いた自分自身だと思います。
それで、この疑問を具体化した、以下の問２を考え、自分自身で、この問題を解くようにしましょう。
（問２の問題の記述）
三角形ＡＢＣにおいて
∠Ａ≠０,∠B≠０,∠C≠０,
であり、以下の式１が成り立つときに式２が成り立つように、
式１と式２の係数ｘ、ｙ、ｚ、ｓ、ｔ、ｕの値を定めよ。
（解答開始）
先ず、式２を、正弦定理を使って、上の式３に変換します。
次に、式１を以下のようにベクトルの内積であらわします。
この式４から、式３の形の解を得るための条件の１つは、
以下の式５と式６である。
この式５と式６が成り立つならば、以下のように、式４が式７に変形できる。
∠Ａ≠０であるので、
は０にはならない。
そのため、式７から、式８が得られる。
この式８が式２に等しくなる条件は、以下の式９～式１２で与えられる。
式５と式６と、これらの式９～式１２が、式１が成り立つときに式２が成り立つ、係数ｘ、ｙ、ｚ、ｓ、ｔ、ｕの値の１つである。
（式４から、式３の形の解を得るための条件の全てが式５と式６であるとまでは証明しなかったため、これ以外の解がある可能性が排除できていない。特に、式５と式６が成り立っていなくても、式３の係数を適切に選べば（ただし、その係数は角度Ａ，Ｂ，Ｃに応じて変わるだろうが）式３はいつでも成り立たせることができると言える。）
（解答おわり）
（補足）
この問題２を解いた結果、式１の形の条件から必ず式２の形の式が導けるわけでは無いことがわかった。式１から式２が得られる場合は、式５と式６と式９～式１２が成り立つ場合に限られることがわかった。
一般的な形の式１を式２の形に変換する公式は無い。
よって、問題１において、式１から式２が得られることの証明方法は、それぞれの式を単純化して比較する分析の結果、両式が偶然に一致していることを確認する、上記の解き方で良いことがわかった。
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別解
複素数平面を使った解答
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佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強
【問１】２つの線の交点を与える連立方程式として、
（直線１） ｘ＋ｙ＝５ （式１）
（曲線２） ｘｙ＝６ （式２）
がある。この２つの線の式の連立方程式の解は、２つの線の交点ＡとＢの座標（ｘ，ｙ）を与える。
この式１と式２と同じ解を与える以下の形の連立方程式を作れ。
（直線１） ｘ＋ｙ＝５ （式１）
（２直線３） （ｘ－ａ）（ｘ－ｂ）＝０ （式３）
（解答と解説）
この問題は、式１と式２の解を、別の方程式を使って求める問題です。
（計算方針）
（ｍｘ）（式１）＋ｎ（式２）を計算することで、（２直線３）の式を求める。
計算の見通しを良くするために、式にｍを掛け算してｍ倍になる項を全て左辺に集めた式に整えて計算する。
（直線１） ｘ＋ｙ－５＝０ （式１’）
（曲線２） ｘｙ－６＝０ （式２’）
（２直線３） ｘ２－（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝０ （式３’）
（２直線３の式の計算）
（ｍｘ）（式１’）＋ｎ（式２’）を計算することで、直線３の式を求める。
（ｍｘ）（ｘ＋ｙ－５）＋ｎ（ｘｙ－６）＝０ （式４）
この式４を、式３’と等しくなるように、ｍとｎの値を決める。
式４と式３’を比較し易いように、式４を変形する。
ｍｘ２＋（ｍ＋ｎ）ｘｙ－５ｍｘ－６ｎ＝０ （式４’）
一方式３’は以下の式である。
ｘ２－（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝０ （式３’）
式４’が式３’と等しいためには、
＜式４’＞＜式３’＞
ｘ２の項： ｍ＝１ （式５）
ｘｙの項： （ｍ＋ｎ）＝０ （式６）
ｘの項： －５ｍ＝－（ａ＋ｂ） （式７）
定数項： －６ｎ＝ａｂ （式８）
これらの式５から式８までの式のうち式７と式８は、値が定められていない数ａとｂを定める式であるので、ｍとｎの値を制限する式ではないので、無視して良い。
よって、以下の式でｍとｎを定める。
ｍ＝１ （式５）
（ｍ＋ｎ）＝０ （式６）
式５を式６に代入して、
ｎ＝－１
が得られる。
ｍ＝１と、ｎ＝－１とを式４’に代入する。
ｍｘ２＋（ｍ＋ｎ）ｘｙ－５ｍｘ－６ｎ＝０ （式４’）
ｘ２－５ｘ＋６＝０
これが式３’の形の式である。
因数分解して
（Ｘ－２）（Ｘ－３）＝０ （式３）
が得られる。
（注意）この式は、式１’と式２’を加えて得た式３であるので、式１と式２の線の交点ＡとＢを通る。
以上の計算で得た以下の式の連立方程式は（式１）と（式２）の連立方程式を変形して求めたので、元の式１と式２の連立方程式と同じ解を与える。
（直線１） ｘ＋ｙ＝５ （式１）
（２直線３） （Ｘ－２）（Ｘ－３）＝０ （式３）
すなわち、上の式の直線１と（２直線３）との交点は、直線１と曲線２の交点Ａ、Ｂと同じ点である。
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以下の加法定理を導く計算は覚えにくいかもしれません。
ベクトルの内積を学んだ人には、「加法定理はベクトルの内積の式」
の計算の方が、余弦定理を気にしないでも考えられる等で、分かり易いので、そちらを読んでみてください。
【ｃｏｓの加法定理】
上図のように、半径が１の単位円上の２つの点ＷとＳがあり、
点Ｗの偏角はαとし、点Ｓの偏角はβとする。
その２つの点の偏角の差β－α＝θの余弦ｃｏｓ（θ）を求める。
点Ｗの座標（ｗ１，ｗ２）と点Ｓの座標（ｓ１，ｓ２）とαとβとθの間には以下の関係があります。
（なお、上図の様に添え字を付けてあらわした座標記号を使い、点の名前ＷとＳを引き継いだ記号であらわしてください。そうした方が、記号の意味の見通しが良くなるからです）
先ず、余弦定理を、以下の図と式で思い出します。
余弦定理により以下の式が得られる。
各座標をαとβの三角関数で置き換えると、
（式２）は、ｃｏｓの加法定理です。
この形であらわしたｃｏｓの加法定理は、２項を足し算した公式なので覚え易いと思います。
（三角形の辺の二乗の引き算の公式を使った導出方法）
三角形ＯＳＷの辺ＯＳと辺ＳＷの二乗の引き算の公式：
各座標をαとβの三角関数で置き換えると、
（ｃｏｓの加法定理の導出おわり）
上のように、三角形の辺の二乗の引き算の公式を使ってｃｏｓの加法定理が導出できるのは、三角形の辺の二乗の引き算の公式と余弦定理が等価な公式であるからです。
等価な公式であるので、三角形の辺の二乗の引き算の公式を覚えていれば余弦定理を覚えないでも問題を解くのに支障がありません。
しかし、それでは寂しいので、以下のように、三角形の辺の二乗の引き算の公式から１行の式の変換で余弦定理を導出して余弦定理を思い出す習慣をつけましょう。
（これが余弦定理）
（ｃｏｓの加法定理のもう１つの導出方法）
三角形の垂心の関係線分の長さは、以下の図の様に、三角比で表す長さのデパートになっています。
この三角比であらわす長さのデパートから、
以下の公式が成り立っていることが分かります。
ｃｏｓＡ＝ｓｉｎＢｓｉｎＣ－ｃｏｓＢｃｏｓＣ，
ｃｏｓＡ＝ｃｏｓ（π－Ｂ－Ｃ)
＝－ｃｏｓ（Ｂ＋Ｃ），
∴ ｃｏｓ（Ｂ＋C)＝ｃｏｓＢｃｏｓＣ－ｓｉｎＢｓｉｎＣ，
（ｃｏｓの加法定理の導出おわり）
【ｓｉｎの加法定理】
また、ｓｉｎの加法定理は、上の式のｃｏｓをｓｉｎを用いた形に変えることで導けます。
ｓｉｎ（（π／２）－（β－α））
＝ｃｏｓβ・ｃｏｓα＋ｓｉｎβ・ｓｉｎα
ここで、
（π／２）－β＝γ
と置き換え、
β＝（π／２）－γで書き換えます。
ｓｉｎ（γ＋α）
＝ｃｏｓ（（π／２）－γ）・ｃｏｓα
＋ｓｉｎ（（π／２）－γ）・ｓｉｎα
ｓｉｎ（γ＋α）＝ｓｉｎ（γ）・ｃｏｓα＋ｃｏｓ（γ）・ｓｉｎα
ｓｉｎ（γ＋α）＝ｓｉｎγ・ｃｏｓα＋ｃｏｓγ・ｓｉｎα （式３）
（式３）は、ｓｉｎの加法定理です。
この形であらわしたｓｉｎの加法定理は、２項を足し算した公式なので覚え易いと思います。
【ｓｉｎの加法定理のその他の証明】
先ず、以下の三角形を考えて３辺の長さを各辺の正弦定理を使うと、加法定理が導き出されます。
この辺ＢＣの長さａについては：
ＢＣ＝２ＲｓｉｎＡ ,
でもある。
それによって、
ｓｉｎＡ＝ｓｉｎＣ・ｃｏｓＢ＋ｓｉｎＢ・ｃｏｓＣ ,
が得られる。
そして：
ｓｉｎ（π－Ｂ－Ｃ）＝ｓｉｎＣ・ｃｏｓＢ＋ｓｉｎＢ・ｃｏｓＣ ,
ｓｉｎ（Ｂ＋Ｃ）＝ｓｉｎＣ・ｃｏｓＢ＋ｓｉｎＢ・ｃｏｓＣ ,
（証明おわり）
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▷ベクトルの内積の定義
▷ベクトルの射影
▷三角関数の加法定理はベクトルの内積の式
先ず、ベクトルの内積によってベクトルの射影の長さが計算できることを説明する。
《ベクトルの内積の定義》
（このベクトルの内積の定義の説明を、もっと分かり易くした説明がここをクリックした先に有る）
単位ベクトルＡ＝ベクトルＯＡ＝（ａ１，ａ２）の長さの２乗は、ａ１・ａ１＋ａ２・ａ２＝１ （式１）
であらわすことができる。
その値は、単位ベクトルＡがどの方向を向いていても１になる。
この式１を拡張して、
ベクトルＰ＝ベクトルＯＰ＝（ｐ１，ｐ２）があり、単位ベクトルＡ＝ベクトルＯＡ＝（ａ１，ａ２）がある場合に、
ベクトルＰとベクトルＡの内積演算を、
ｐ１・ａ１＋ｐ２・ａ２ （式２）
で定義する。
-----ベクトルの内積の定義おわり----------------
《ベクトルの射影》
（１）式２で内積を定義すると、
互いに垂直なベクトル同士の内積＝０
になる。
実際、
単位ベクトルＡ（ａ１，ａ２）と
それに垂直なベクトルＡｖ（－ａ２，ａ１）
との内積＝－ａ１ａ２＋ａ２ａ１＝０ （式３）
になる。
（２）下図の様に、ベクトルＰを、ベクトルＡに平行なベクトルＰａと、ベクトルＡに垂直なベクトルＰｂに分解し、両ベクトルを合成したベクトルと考える。
すると、ベクトルＡに垂直なベクトルＰｂとベクトルＡの内積は０になる。
そのため、ベクトルＰとベクトルＡの内積は、ベクトルＰからベクトルＡに垂直なベクトルＰｂを除去して、残ったベクトルＡに平行なベクトルＰａとベクトルＡとの内積になる。
ベクトルＰａはベクトルＰのベクトルＡへの射影である。
単位ベクトルＡの大きさは１だから、ベクトルＰとベクトルＡの内積は、ベクトルＰにおけるベクトルＡに平行な部分のベクトルＰａの大きさ（長さ）になる。
（３）ベクトルＰと単位ベクトルＡの内積は、
ベクトルＰから単位ベクトルＡに垂直なベクトルＰｂを除去して、残ったベクトルＡに平行なベクトルＰａの長さに等しい。
すなわち、ベクトルＰとベクトルＡの内積は、
ベクトルＰの、ベクトルＡに平行な直線への射影の長さに等しい。
例えば、ベクトルＰがベクトルＡと成す角度がθの場合、
ベクトルＰの、ベクトルＡに平行な直線への射影の長さ＝|Ｐ|ｃｏｓθである。
よって、
ベクトルＰと単位ベクトルＡの内積＝|Ｐ|ｃｏｓθ （式４）
こうして、ベクトルＰと単位ベクトルＡとの内積によって、
ベクトルＰの、単位ベクトルＡに平行な直線上への射影の長さをあらわすことができます。
《三角関数の加法定理は、ベクトルの内積の式である》
このベクトルの内積の概念を使うと、
三角関数の加法定理の公式が、
ベクトルの内積の計算の式であると理解できる。
（下図でベクトルＢv はベクトルＢに垂直なベクトルである）
このcosの式とsinの式が三角形の加法定理を表している。
（なお、点あるいはベクトルの座標値を記号であらわすときは、上図の様に添え字を付けて座標記号をあらわし、点の名前ＷとＳを引き継いだ記号であらわしてください。そうした方が、記号の意味の見通しが良くなるからです）
（ｔａｎの加法定理）
ｔａｎの加法定理は、ｓｉｎの加法定理とｃｏｓの加法定理から、以下のようにｔａｎの加法定理が導ける。
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【問１】２つの円、
（円１） （ｘ－３）２＋（ｙ－２）２＝３ （式１）
（円２） （ｘ－１）２＋（ｙ－１）２＝４ （式２）
がある。この２つの円の２つの交点ＡとＢを通る（直線３）と、座標原点（０，０）を通る（円４）との式を求めよ。
この問題の円の（式１）と（式２）の連立方程式の解が交点ＡとＢの座標になる。
この連立方程式と同じ解の交点ＡとＢの座標を与える別の連立方程式（一方は直線の式で、もう一方は円の式）を求める問題です。
（解答と解説）
この問題は、式１と式２の解を、別の方程式を使って求める問題です。
その解を与える以下の形の連立方程式を作る問題です。
（直線３） ａｘ＋ｂｙ＝ｃ （式３）
（円４） ｘ２＋ｙ２＋ｄｘ＋ｅｙ＝ｆ （式４）
ただし、式４は座標原点（ｘ，ｙ）＝（０，０）を通るので、それを代入して、
０＋０＋０＋０＝ｆ の式を満足しなければならない。
そのため、ｆ＝０である。よって、式４は以下の式になる。
（円４） ｘ２＋ｙ２＋ｄｘ＋ｅｙ＝０ （式５）
よって、求める連立方程式は、以下の形の式です。
（直線３） ａｘ＋ｂｙ＝ｃ （式３）
（円４） ｘ２＋ｙ２＋ｄｘ＋ｅｙ＝０ （式５）
（計算方針）
ｍ（式１）＋ｎ（式２）を計算することで、直線３の式を求め、同様にして円４の式を求める。
計算の見通しを良くするために、式にｍを掛け算してｍ倍になる項を全て左辺に集めた式に整えて計算する。
（円１） （ｘ－３）２＋（ｙ－２）２－３＝０ （式１’）
ｘ２－６ｘ＋９＋ｙ２－４ｙ＋４－３＝０
ｘ２＋ｙ２－６ｘ－４ｙ＋１０＝０ （式６）
（円２） （ｘ－１）２＋（ｙ－１）２－４＝０ （式２’）
ｘ２－２ｘ＋１＋ｙ２－２ｙ＋１－４＝０
ｘ２＋ｙ２－２ｘ－２ｙ－２＝０ （式７）
（直線３の式の計算）
先ず、ｍ（式６）＋ｎ（式７）を計算することで、直線３の式を求める。
ｍ（ｘ２＋ｙ２－６ｘ－４ｙ＋１０）
＋ｎ（ｘ２＋ｙ２－２ｘ－２ｙ－２）＝０ （式８）
この式８を、式３と等しくなるように、ｍとｎの値を決める。
式８と式３を比較し易いように、式８を変形する。
（ｍ＋ｎ）ｘ２＋（ｍ＋ｎ）ｙ２
＋（－６ｍ－２ｎ）ｘ＋（－４ｍ－２ｎ）ｙ＋（１０ｍ－２ｎ）
＝０ （式９）
一方の直線の式３には、ｘ２の項やｙ２の項が無いので、上の式もそれらの項の係数が０でなければならない。
（詳しくは、以下のように考える）
式９が式３と等しいためには、両式の各係数が等しくなければならない。
＜式９＞ ＜式３＞
ｘ２の係数： （ｍ＋ｎ） ＝０ （式１０）
ｙ２の係数： （ｍ＋ｎ） ＝０ （式１０と同じ）
ｘの係数： （－６ｍ－２ｎ）＝ａ
ｙの係数： （－４ｍ－２ｎ）＝ｂ
定数項： （１０ｍ－２ｎ）＝－ｃ
式１０以外の式は未知数ａ，ｂ，ｃを定める式であって、ｍとｎを限定する式ではないので、ｍとｎを限定するのは式１０のみ。
よって、
ｍ＋ｎ＝０ （式１０）
この式１０の条件を満たすｍとｎのどの組合せでも良い。
とりあえず、ｍ＝１、ｎ＝－１に決める。
その場合は、式９は、以下の式になる。
（－６＋２）ｘ＋（－４＋２）ｙ＋（１０＋２）＝０
－４ｘ－２ｙ＋１２＝０
（－２）で式全体を割り算する。
２ｘ＋ｙ－６＝０ （式１１）
この式１１が求める式３の形（を変形した形）の具体的式である。
（注意）この式は、式６と式７を加えて得た式９であるので、式１と式２の円の２つの交点ＡとＢを通る。
（円４の式の計算）
（ｍ＋ｎ）ｘ２＋（ｍ＋ｎ）ｙ２
＋（－６ｍ－２ｎ）ｘ＋（－４ｍ－２ｎ）ｙ＋（１０ｍ－２ｎ）
＝０ （式９）
以下の計算では、式９のｍとｎを、円４を求めるために定め、先に直線３を求めるときに定めた値とは別の値のｍとｎを定める。
円４の式５は以下の式である。
（円４） ｘ２＋ｙ２＋ｄｘ＋ｅｙ＝０ （式５）
式９が式５と等しいためには、両式の各係数が等しくなければならない。
ｘ２の係数： （ｍ＋ｎ）＝１ （式１２）
ｙ２の係数： （ｍ＋ｎ）＝１ （式１３）
ｘの係数： （－６ｍ－２ｎ）＝ｄ （式１４）
ｙの係数： （－４ｍ－２ｎ）＝ｅ （式１５）
定数項の係数： （１０ｍ－２ｎ）＝０ （式１６）
式１４と式１５は未知数ｄとｅを定める式なので、ｍとｎを限定する式では無いので無視して良い。
それ以外の式は、式１２（式１３と同じ）と式１６だけである。
（ｍ＋ｎ）＝１ （式１２）
（１０ｍ－２ｎ）＝０ （式１６）
この式１２と式１６を連立してｍとｎを定める。
２（式１２）＋（式１６）を計算することでｎを消去した式を作る。
２ｍ＋１０ｍ＝２
ｍ＝２／１２＝１／６ （式１７）
１０（式１２）－（式１６）を計算することでｍを消去した式を作る。
１０ｎ＋２ｎ＝１０
ｎ＝１０／１２＝５／６ （式１８）
式１７と式１８を式９に代入する。
この式１９が、求める円４の式５である。
（注意）この式１９は、式６と式７を加えて得た式なので、式１と式２の円の２つの交点ＡとＢを通る。
以上の計算で得た以下の式の連立方程式は（式１）と（式２）の連立方程式を変形して求めたので、元の式１と式２の連立方程式と同じ解を与える。
（直線３） ２ｘ＋ｙ－６＝０ （式１１）
（円４） ｘ２＋ｙ２－（８／３）ｘ－（７／３）ｙ＝０ （式１９）
すなわち、上の式の直線３と円４の２つの交点は、円１と円２の交点ＡとＢである。
【重要な注意】
以上の方法で２つの円を通る直線や円の式を求める場合に、元の２つの円が交わらない場合にも、答えが出て来ます。その場合の答えは間違った答えですので、必ず、元の２つの円が交差して交点を持つ事を確かめておかなければなりません。また、解答にも、元の２つの円が交差して交点を持つ事を確かめた事を書いておいた方が良いと思います。
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【問１】２つの直線の交点を与える連立方程式として、
（直線１） ３ｘ－２ｙ＝３ （式１）
（直線２） ｘ－４ｙ＝－４ （式２）
がある。この２つの直線の式の連立方程式の解は、直線の交点の座標Ｋ（ｘ，ｙ）を与える。
この式１と式２と同じ解を与える以下の形の連立方程式を作れ。
（直線３） ｘ－ｙ＝ａ （式３）
（直線４） ｘ＋ｙ＝ｂ （式４）
（解答と解説）
この問題は、式１と式２の解を、別の方程式を使って求める問題です。
（計算方針）
ｍ（式１）＋ｎ（式２）を計算することで、直線３と直線４の式を求める。
計算の見通しを良くするために、式にｍを掛け算してｍ倍になる項を全て左辺に集めた式に整えて計算する。
（直線１） ３ｘ－２ｙ－３＝０ （式１’）
（直線２） ｘ－４ｙ＋４＝０ （式２’）
（直線３） ｘ－ｙ－ａ＝０ （式３’）
（直線４） ｘ＋ｙ－ｂ＝０ （式４’）
（直線３の式の計算）
先ず、ｍ（式１’）＋ｎ（式２’）を計算することで、直線３の式を求める。
ｍ（３ｘ－２ｙ－３）＋ｎ（ｘ－４ｙ＋４）＝０ （式５）
この式５を、式３’と等しくなるように、ｍとｎの値を決める。
式５と式３’を比較し易いように、式５を変形する。
（３ｍ＋ｎ）ｘ＋（－２ｍ－４ｎ）ｙ＋（－３ｍ＋４ｎ）＝０ （式５’）
一方式３’は以下の式である。
ｘ－ｙ－ａ＝０ （式３’）
式５’が式３’と等しいためには、
３ｍ＋ｎ＝１ （式６）
－２ｍ－４ｎ＝－１ （式７）
４（式６）＋（式７）を計算してｎを消去する。
１２ｍ－２ｍ＝４－１
１０ｍ＝３
ｍ＝３／１０ （式８）
２（式６）＋３（式７）を計算してｍを消去する。
２ｎ－１２ｎ＝２－３
－１０ｎ＝－１
ｎ＝１／１０ （式９）
式８と式９を式５’に代入する。
ｘ－ｙ＋（－９＋４）／１０＝０
ｘ－ｙ－５／１０＝０
ｘ－ｙ－１／２＝０
この式が、求める直線３の式３’である。
（注意）この式は、式１’と式２’を加えて得た式５’であるので、式１と式２の直線の交点Ｋを通る。
（直線４の式の計算）
（３ｍ＋ｎ）ｘ＋（－２ｍ－４ｎ）ｙ＋（－３ｍ＋４ｎ）＝０ （式５’）
以下の計算では、式５’のｍとｎを直線４を求めるために定め、先に直線３を求めるときに定めた値とは別の値のｍとｎを定める。
一方式４’は以下の式である。
ｘ＋ｙ－ｂ＝０ （式４’）
式５’が式４’と等しいためには、
３ｍ＋ｎ＝１ （式１０）
－２ｍ－４ｎ＝１ （式１１）
４（式１０）＋（式１１）を計算してｎを消去する。
１２ｍ－２ｍ＝４＋１
１０ｍ＝５
ｍ＝５／１０＝１／２ （式１２）
２（式１０）＋３（式１１）を計算してｍを消去する。
２ｎ－１２ｎ＝２＋３
－１０ｎ＝５
ｎ＝－５／１０＝－１／２ （式１３）
式１２と式１３を式５’に代入する。
ｘ＋ｙ＋（－３－４）／２＝０
ｘ＋ｙ－７／２＝０
この式が、求める直線４の式４’である。
（注意）この式は、式１’と式２’を加えて得た式５’であるので、式１と式２の直線の交点Ｋを通る。
以上の計算で得た以下の式の連立方程式は（式１）と（式２）の連立方程式を変形して求めたので、元の式１と式２の連立方程式と同じ解を与える。
（直線３） ｘ－ｙ－１／２＝０ （式３’）
（直線４） ｘ＋ｙ－７／２＝０ （式４’）
すなわち、上の式の直線３と直線４の交点は、直線１と直線２の交点Ｋと同じ点である。
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ベクトルの合成の公式と分解の公式と連立方程式の解
連立方程式をベクトルの内積を使って解釈する
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佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強
【問１】座標原点を中心にする半径ｒの円（ｘ２＋ｙ２＝ｒ２）と直線ａｘ＋ｂｙ＝ｃとの交点の座標を求めよ。
（予備知識）
受験問題のときは、円と直線の方程式の問題は、図形の方程式をベクトルの式であらわして、図形で考えます。方程式を解いて計算するのは、計算の見通しがあまり良くありません。それに対して、ベクトルを利用した図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。
円の式は、
ｘ２＋ｙ２＝ｒ２ （式１）
直線の式は、
ａｘ＋ｂｙ＝ｃ （式２）
（ベクトルで計算する）
上図のように、線分ＡＢの中点をＣとして、
点Ａの座標は、ベクトルＯＣとベクトルＣＡの和で求める。
点Ｂの座標は、ベクトルＯＣとベクトルＣＢ（＝－ベクトルＣＡ）の和で求める。
ベクトルＯＣは、単位ベクトルＨに長さＯＣ＝ｓを掛け算して求める。
ベクトルＣＡは、ベクトルＨに垂直な単位ベクトルＪに長さＣＡ＝ｔを掛け算して求める。
先ず、上図のようにして、ベクトルＯＣを求める。
先ず、直線の（式２）ａｘ＋ｂｙ＝ｃを、式のｘとｙの係数を単位ベクトルＨの値に整える。
式２’の左辺の式は、ベクトル（ｘ，ｙ）と単位ベクトルＨの内積であらわした式である。
その式は、ベクトル（ｘ，ｙ）の単位ベクトルＨの方向への正射影ＯＣの長さをあらわす。
よって、式２’から、
線分ＯＣの長さｓは、
である。
よって、ベクトルＯＣは、
である。
次に、下図のようにして、ベクトルＣＡを求める。
線分ＣＡの長さｔは、
こうして、ｓとｔが求められ、
ベクトルＯＡ＝ｓ（ベクトルＨ）＋ｔ（ベクトルＪ）
ベクトルＯＢ＝ｓ（ベクトルＨ）－ｔ（ベクトルＪ）
の形で求められ、点Ａと点Ｂの座標が求められた。
この解は、以下の式で、更に具体的に書く。
（なお、複雑な式を新たな記号の式に置き換えるときは、用いる新たな記号は、その値の単位を最小単位にする方が良い。
例えば、記号ａやｂやｒの単位である[長さ]は最小単位であり、一方、記号ｃの単位である[面積]は、[長さ]の２乗であり、最小単位ではない。
以下の式で、新たに使う記号は、Ｒ[長さ]を使うことが望ましい。）
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【問１】座標原点を中心とする円（ｘ２＋ｙ２＝５）と点Ａ（３，１）を通る傾きｍの直線ｍ（ｘ－３）－（ｙ－１）＝０との交点をＢとＣとすると、ＡＢ・ＡＣの値を求めよ。
（予備知識）
受験問題のときは、円と直線の方程式の問題は、図形の方程式をベクトルの式であらわして、図形で考えます。方程式を解いて計算するのは、計算の見通しがあまり良くありません。それに対して、ベクトルを利用した図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。
（問題をより易しい問題に変換してから解くこと）
ＡＢ・ＡＣの計算をする前に、図形からわかる限り、問題をかみくだいて易しい問題に変換しておいてから問題を解きます。
図形の各長さを、とりあえず、ｒ、ｓ、ｔ、ｕ、ｅと記号化しておき、後でそれらの値を代入するつもりで、
先ずは、ＡＢ・ＡＣをそれらの長さであらわして、問題を簡単にしておく。
すると、
ＡＢ・ＡＣ＝（ｕ－ｔ）（ｕ＋ｔ）＝ｕ２－ｔ２
＝（ｅ２－ｓ２）－（ｒ２－ｓ２）
＝ｅ２－ｒ２
問題がここまで易しくなります。
次に、この問題のパラメータｅとｒを代入します。
それらはすぐ分かって、
ＡＢ・ＡＣ＝ｅ２－ｒ２＝３２＋１２－５＝５
（注意）
もし、この問題を単純にしてから解こうとしなければ、ｒ、ｓ、ｔ、ｕ、ｅの値を１つ１つ具体的に解いて計算をするので、計算の手間がかかります。
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【問１】２つの円
ｘ２＋ｙ２－２ａｘ－２ｙ＋１＝０ （式１）
ｘ２＋ｙ２－２ｘ－２ａｙ＋１＝０ （式２）
の２つの円が交差する条件をもとめよ。
（予備知識）
受験問題のときは、２円の交差の条件の問題は、２円の２つの交点を通る直線の式を求めた後で、それを図形（図形の位置関係はベクトルで数値化）で考えて、２円の交差の条件を考えます。方程式を解いて計算するのは、計算の見通しがあまり良くありません。それに対して、図形（ベクトル）を利用して考えることは、計算の見通しを良くするからです。
（式１）－（式２）を計算する。
－２ａｘ－２ｙ＋１＋２ｘ＋２ａｙ－１＝０
２（１－ａ）（ｘ－ｙ）＝０ （式３）
この直線３と円が交差する条件が、２つの円が交差する条件である。
（図形をより明確に把握するため、円の式を変形する）
式１と式２を変形して、以下の式１’と式２’を得る。
（ｘ－ａ）２＋（ｙ－１）２＝ａ２ （式１’）
（ｘ－１）２＋（ｙ－ａ）２＝ａ２ （式２’）
（想像力を働かせること）
この図形の中心と半径の長さを元に、上のように図形を想像する。
更に、パラメータａが変化するとどうなるかの想像力を働かせて、下図のようなイメージを想像する。
このように、図形を想像して計算の見通しを良くしてから計算する。
上の図から、ａが正のある値以上大きくなると、２円は交差する。逆に、ａが負のある値以下になると、２円が交差することを想像する。
（計算の開始）
上の図で、円１と傾き１の直線３が交差する条件は、円１の中心と傾き１の直線との間の距離が円の半径｜ａ｜以下であることである。
座標原点を通る直線３と円１の中心の間の距離は、直線３に垂直な単位ベクトル（１，－１）／√２と、円１の中心の位置ベクトル（ａ，１）の内積を計算することで求められる。その値は（ａ－１）／√２になる。
【補足】
２つの円が交差する条件は以下の図の様に考えることができる。
点Ｂを中心とする半径ｃの円と、点Ｃを中心とする半径ｂの円があり、ＢＣ＝ａである。
この２つの円が交差する条件は、この２つの交点Ａが存在する事である。それは、長さａとｂとｃの辺を持つ三角形ＡＢＣが存在する事である。
それは、２辺の和が残りの辺の長さ以上である事であり、上の３つの式が成り立つ事である。
ここで、上の３つの式のうち２つを１つの式にまとめて、
以下の２つの式にまとめることもできる。
ａ≧|ｂ−ｃ|，
ｂ＋ｃ≧ａ，
この２つの式のパラメータａ，ｂ，ｃを入れ替えて作った他の２つの式も、条件式として使える。
また、３つのパラメータａ，ｂ，ｃのうちの２つのパラメータの大小関係が予め分かっている場合は、以下の事例の様に、上の３つの条件式の数を２つに減らせる。
（事例１）
ｂ≧ｃ
の場合は、
ａ＋ｃ≧ｂ
ならば、必ず
ａ＋ｂ≧ｃ
になるので、
上の３つの式は：
ａ＋ｃ≧ｂ， すなわち、 ａ≧ｂ−ｃ，
と、
ｂ＋ｃ≧ａ，
との２つの条件式だけで足りる。
あるいは、
ｃ≧|ａ−ｂ|，
の１つの条件だけで足りる。
（事例２）
ａ≧ｂ
の場合は、事例１と同様にして：
ｃ≧ａ−ｂ，
と、
ａ＋ｂ≧ｃ，
との２つの条件式だけで足りる。
（事例３）
ａ≧ｂ≧ｃ
の場合は、事例１と２を合わせて：
ｂ＋ｃ≧ａ, または、 ｃ≧ａ−ｂ， または、 ｂ≧ａ−ｃ，
だけで足りる。
（事例４）
ａ≧ｃ， かつ、 ｂ≧ｃ， の場合は：
ｃ≧|ａ−ｂ|，
だけで足りる。
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【問１】２つの円
ｘ２＋ｙ２＝１ （式１）
ｘ２－ａｘ＋ｙ２－ｂｙ＝ｃ （式２）
の２つの交点を通る直線ｍをもとめよ。
（予備知識）
受験問題のときは、２円の２つの交点を通る直線の問題は、直線の式を求めた後で、それをベクトルで解釈して、円の中心との距離を考えます。方程式を解いて計算するのは、計算の見通しがあまり良くありません。それに対して、ベクトルを利用した図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。
（式１）－（式２）を計算する。
ａｘ＋ｂｙ＝１－ｃ （式３）
この式が、２円の２つの交点を通る直線ｍの式です。
この直線ｍの式は２円が交わらないときも得られる式です。
この直線ｍが円と交わる場合に限り２円が交わります。
そのため、次には、この直線ｍが円と交わるかどうかを調べます。
（ベクトルを利用した計算技術を使う）
直線ｍの式３は、下の図のように考えます。
直線ｍの（式３）の左辺は、ベクトルＡと位置ベクトル（ｘ，ｙ）との内積です。
上図のように、この直線ｍの式を、ベクトルＡ（ａ，ｂ）に平行な単位ベクトル（ａ，ｂ）／√（ａ２＋ｂ２）との内積の式に変形する。
単位ベクトルと位置ベクトル（ｘ，ｙ）の内積は、その直線の座標原点からの距離をあらわすという特別な意味を持つ。
直線ｍの原点からの距離＝（１－ｃ）／√（ａ２＋ｂ２）
である。
この直線が式１の円と交わる条件は、
－１≦（１－ｃ）／√（ａ２＋ｂ２）≦１
である。この条件を変形すると、
－√（ａ２＋ｂ２）≦（１－ｃ）≦√（ａ２＋ｂ２）
これが、直線ｍが円と交わる条件、すなわち、２円が交点を持つ条件である。
《研究》
２つの円が（１，１）で接する場合はどうなるかを考える。
ｘ２＋ｙ２＝１ （式１）
ｘ２－４ｘ＋４＋ｙ２＝１ （式２）
（式１）－（式２）を計算する。
４ｘ－４＝０，
ｘ＝１，
この式は、２つの円が接する点（１，１）を通る直線である。
しかし、２つの円が接する点（１，１）を通る直線は、それだけでは無く、
点（１，１）を通る全ての傾きの直線も、２つの円が接する点（１，１）を通る直線である。
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この式１を見ると、（ｔａｎα＋ｔａｎβ）と、ｔａｎαｔａｎβが求められれば、ｔａｎ（α＋β）が求められることが見通せる。
（解答おわり）
