円と放物線の接線（２）重解の判別式の意味

「微分・積分」の勉強

　なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。

【問１】ｈの値を変えたとき、
放物線　ｙ＝ｘ^２＋ｈ　（式１）
と、円　ｘ^２＋（ｙ－１）^２＝１　（式２）
とが接する場合に、その接点（ｘ，ｙ）の値を求めよ。


《以下で、この問題の第４番目の解答を解析する》
　それ以外の３つの解答については、以下をクリックした先を見てください。

【解答１】微分を使って解く解答
【解答２】微分を使わないで、方程式の変形のみで解く面倒くさい解答（重解の、特殊な判別式を使う）
【解答３】グラフの図形を使って簡単に解く解答（重解の判別式の意味を考える）

【解答４】方程式群を等価な方程式群に変換して解く解答
　以下の様に、方程式群を等価な方程式群に変換した上で、その方程式群で、図形の交点が接点となる場合に重解になる事に基づき、接点を求めることができます。

式１を以下の式３に変形した上で式２に代入して式４を求める。

この式４と式２を連立した式は、元の式１と式２を連立した式に等価な式である。

この式２と式４の１組の式を連立して得た共有点(x,y)の解が、ｈの値に応じて２重に得られる共有点の解が、式１と式２のグラフの接点の解になる。

式４のグラフは上図の、Ｘ軸に平行な２本の直線である。式２のグラフは上図の、赤線で表した円のグラフである。上図の青線で表したグラフは、式１の表すグラフである。

-------（視点を変えた式の解釈のはじめ）---------
　元の式１と式２に等価な式２と式４では、共有点(x,y)が同じになるという共通点はあるが、１つ、大きな違いを持っている。
　先ず、式２のグラフ（円のグラフ）と式４のグラフ（Ｘ軸に平行な２つの直線のうちの１本の（Ｘ軸に平行な）直線）とが接する場合は、その接点は、式１のグラフと式２のグラフの接点でもある。
　しかし、次に、式４の表す２つの直線が１本の直線になる条件（式４が重解を持つ条件）では、式４の表す２本の直線が１本の直線に収束する。その場合には、その（Ｘ軸に平行な）１本の直線と、式２のグラフ（円のグラフ）とには２つの交点がある。そのうちの１つの交点は、式２のグラフ（円のグラフ）と式４のグラフとの接点では無いが、式１のグラフと式２のグラフ（円のグラフ）の接点である。
　そのように、式１と式２に等価なこの式（式２と式４）は、元の式（式１と式２）の接点という性質を完全に受け継ぐ式では無いという違いがある。
-------（視点を変えた式の解釈おわり）--------

その共有点(x,y)の解が２重に得られる場合には、以下の２つの場合があります。
（場合Ａ）ｘ軸に平行な２本の直線と円のグラフとの４つの交点(x,y)のうちの２つの交点が、１つのｙの値に対して２つのｘの値の解のｘの値の重解に収束する場合。
（場合Ｂ）接線の方向ベクトルがY軸に射影され得る接線とグラフとの接点は、式(4)がｙの重解を持つことで発見できる。ただし、そのｙの値について、式(2)でｘの実数値が求められる必要がある。

場合Bでは、上図のように考える。
接線がグラフに接することで、接線とグラフの共有点が１つ（重解）になる接点では、以下の事が起きている。
その接線を微小量Δｔの幅で平行移動した直線とグラフの共有点については、接線の方向で隔たった２点になる。
その２点がY座標で区別できるためには、接線の方向ベクトルがY軸に射影される成分を持たなければならない。接線の方向ベクトルは、接線上のどの点でもYの値が一定になってしまうことになるX軸に平行な方向を向いていてはならない。
　X軸に平行な接線とグラフとの接点では場合Bの変数ｙを用いては接点の重解が判別できない。そのため、変数ｙの式(4)ではその接点では変数Yの値の重解を持たない。
X軸に平行な接線とグラフの接点を調べるためには、場合Aで、その接線の方向ベクトルが射影され得るX軸の変数ｘを用いて調べる必要がある。

以下で、この２つの場合の接点の解を求める。
（場合Ａ）ｘ軸に平行な直線とグラフの２つの交点(x,y)のｘ座標を求める方程式が重解を持つ場合。
すなわち、式(4)で与えられる一定のｙの値を定数と考えた変数ｘの方程式(2)の解を求める。それにより、ｘ軸に平行な直線と式(2)のグラフの２つの交点の変数ｘの値が重解になる場合を調べる事で接点を求める。

その２つの交点が重解になる場合に、式６のｘの解が重解（ｘ＝０）になる。重解になる場合の変数ｙの値は式(4)で与えられる。その場合は、以下の２つのｙの値の接線と式(2)のグラフが接する場合である。

（場合Ｂ）接線の方向ベクトルがY軸に射影され得る方向を向く場合は、式(4)がｙの重解を持つことで接点が発見できる。ただし、そのｙの値について、式(2)を解いてｘの実数解が求められる必要がある。

すなわち、ｘの値が式１２の２つの場合には、式１０のｙの解が重解になる。
---（注意）-----------
この式１１を求めて、それを式２に代入してｘの値を求める場合に、
「円と放物線が接する場合」の問題の場合には、
式２を満足するｘの実数解が無い。
その場合には、場合Ｂの接点が存在しない。
----注意おわり-------

以上をまとめると、
接点の解は、場合Ａの、式６のＸ＝０と、式７と式８の場合と、
場合Ｂの、式１１と式１２の場合である。
（解答４おわり）

（補足１）
　解答４において、場合Aと場合Bとの２つの場合で重解を求める必要性があるのは、以下の理由からです。
　場合Bの重解を求めるため式４を使ってｙの重解を得ることで接点が発見できる場合は、接線の方向ベクトルがY軸に射影され得る場合に限られる。

接線とグラフの１つの接点がある場合に、下図のように接線を平行移動した直線とグラフの交点を求めると、接線上の異なる２点に分かれた交点が求められる。その分かれた２点のｙ座標の値が異なるのでなければ変数ｙの式を使っては接点の重解が判別できない。そのため、変数ｙの式４では、Ｘ軸に平行な接線（Y座標値が一定値なグラフ）との接点に関わるｙの重解を持たない。

場合Bでは、上図のように考える。
接線がグラフに接することで、接線とグラフの共有点が１つ（重解）になる接点では、以下の事が起きている。
接線で点の解が重解を持ち、接線に平行な直線とグラフとが共有する２つの共有点は接線の方向で隔たっている。そのため、共有点が２つある事を見分けるためには、接線の方向のベクトルが変数ｙのY座標軸の方向に０以外の値の成分を持つ必要がある。
接線の方向のベクトルがｙ座標値が一定になるようにX軸に平行な場合は、変数Yの式によっては共有点が２つある事が見分けられず、隔たった２つの共有点のY座標は１つのみになる。
そのため、隔たった２つの共有点が１つになって重解になるという接点の特徴を観察して接点を判別するためには、接線の方向は、X軸に平行であってはならない。

場合Ａについては、以下の様に考える。
放物線を部分部分に分解すると、各部分は直線に近似できる。
放物線と円の接点を求める問題は、その直線と円との接点を考える問題と解釈できる。

放物線のグラフの部分を表す直線の、ｘ座標を変数ｙの関数としてグラフを表そうとする場合、
その直線の式は、
x=ay+b
という関数でしか扱えない。 


y=-1, という直線の式は、下の図のように、x=f(y)と表すyの関数で表すことができない。
y=-1は、yの関数ではない。

x=ay+bというｙの関数によっては、ｘ軸に平行な放物線の部分に近似させた直線を表すことができない。
そのため、x軸に平行な放物線の部分の直線は、yの関数を使っては、決して表す事ができない。
ｙの関数で、放物線のその部分が表せないので、その部分での接点もｙの関数を使っては求める事ができない。

　そのような事情があるので、X軸に平行な接線とグラフの接点は、変数ｙによっては、接点が判別できない。そのため、変数ｙの式４はＸ軸に平行な接線との接点に関しては、変数ｙの重解を持つことも無い。

　ｘ軸に平行な接線とグラフの接点についての場合Aでは、その接線の方向ベクトルが射影し得るX軸の変数ｘを使って判別する。方程式2でｙの値を固定して定数とした場合の変数ｘの解を求めて、方程式２がｘの重解を持つ事を発見することで接点を発見する必要がある。

（補足２）
　解答２においては、解答２の式４によって求めた４つの共有点を使って接点を求めた。解答２でも接線にグラフが接する事で重解になる接点は、その接線の方向ベクトルがX軸に射影し得る場合にのみ、接点が発見できる。接線の方向ベクトルがY軸に平行である場合は接点が発見できない。

上図のように、接点は、その接線が、微小量Δｔの幅で平行移動した場合に接線の方向で距離を隔てた２点でグラフと交わる。変数ｘによって接点が判別できる接線の方向はY軸の方向に平行であってはならない。

Y軸に平行な接線とグラフの接点については、解答４と同様に、解答２の式４のｘ座標の重解によっては求める事ができません。
しかし、放物線の接線がY軸に平行になる事は無いため、
解答２では、Y軸に平行な接線とグラフの接点を求める必要性が無かった。そのため、問題が生じなかったのです。 

（微分との関係）
　グラフy=f(x)の接線との接点を、変数ｘの重解によって判別する際に、Y軸に平行な接線との接点については判別できない（重解が無い）事は、微分によって接点を求める方法では、以下の事と対応しています。

 
　変数ｘによるグラフy=f(x)の微分係数f'(x)を求めて接点を求める場合は、接点では、変数ｘによる関数の微分係数が同じになる事を利用します。

　しかし、上図のように、y=f(x)のグラフのY軸に平行な部分には変数ｘによる微分係数f'(x)が存在しないので変数ｘでのグラフy=f(x)の調査では接点が発見できない。（変数ｙでグラフを表して、変数ｙでの微分係数を調べればY軸に平行な接線x=-1とグラフとの接点(-1,0)が発見できる）

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円と放物線の接線（１）

「微分・積分」の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。

【問１】ｈの値を変えたとき、
放物線　ｙ＝ｘ^２／４＋ｈ　（式１）
と、円　ｘ^２＋（ｙ－１）^２＝１　（式２）
とが接する場合に、その接点（ｘ，ｙ）の値を求めよ。

（解答の方針）
なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できるので、微分により接線の式を計算して方程式を書く。

（解答）
（１）
接点（ｘ，ｙ）において、 
式１から、
放物線　ｙ＝（ｘ^２／４）＋ｈ　　（式１’）
式２から、
円　ｘ^２＋（ｙ－１）^２＝１　（式２’） 

（２）
式１の放物線の接点（ｘ，ｙ）における接線の傾きｙ’は、式１の関数をｘで微分して計算し、
ｙ’＝２ｘ／４＝ｘ／２　（式３）
（３）
式２の円の接点（ｘ，ｙ）における接線の傾きは、
法線の傾き（ｙ－１）／ｘの逆数に（－１）を掛け算したものであって、
ｙ’＝－ｘ／（ｙ－１）　（式４）

（４）
式３と式４の接線の傾きｙ’の値が等しいので、

この式５を解くと、
ｘ＝０　（式６）
ｏｒ
ｙ－１＝－２　（式７）
 
式２から　－１≦ｙ－１≦１
であるので、式７は不適。
よって、式６のみが解である。
 
（５）
式６を式２に代入する。
（ｙ－１）^２＝１
（ｙ－１）＝±１
ｙ＝２
ｏｒ
ｙ＝０
 
接点は、
（ｘ，ｙ）＝（０，０）　（式８）
ｏｒ
（ｘ，ｙ）＝（０，２）　（式９）
 
式８の場合に、式８を式１に代入する。
ｈ＝０
式９の場合に、式９を式１に代入する。
ｈ＝２
よって
接点＝（０，０）でｈ＝０
ｏｒ
接点＝（０，２）でｈ＝２
（解答おわり）

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曲線の接線とは（接線は微分で定義される）

「微分・積分」の勉強

（１）なめらかな曲線の接線は、微分を使って見通し良く正しく定義できる。
（２）接点の座標の計算だけで２曲線の接触を判定する場合は、接点（ｘ，ｙ）が重解を持つか否かで判定する。接点（ｘ，ｙ）のｘ座標かｙ座標の一方の座標だけでの重解の有無で判定してはいけない。

【問１】放物線ｙ＝ｘ^２／４と円ｘ^２＋（ｙ－１）^２＝１は接するか？

【問２】円ｘ^２＋（ｙ＋１）^２＝１と円ｘ^２＋（ｙ－１）^２＝１は接するか？

以下で、この２つの問題を考えてみる。

【問１】放物線ｙ＝ｘ^２／４と円ｘ^２＋（ｙ－１）^２＝１は接するか？

（方程式が重根を持つかで解析する方法）
放物線　ｙ＝ｘ^２／４　　（式１）
円　ｘ^２＋（ｙ－１）^２＝１　（式２）
この２つの図形は、（０，０）で接することが図から明らかである。
そして、接線は、
接線　ｙ＝０　（式３）
であることが明らかである。
 
実際に、式１の放物線と式３の直線を連立させて、方程式からｙを消去すると、
０＝ｘ^２／４
ｘは０となる重根を持ち、式１の放物線は式３の接線と（０，０）で接する。
 
次に、式２の円と式３の直線を連立させて、方程式からｙを消去すると、
ｘ^２＋（０－１）^２＝１
ｘ^２＝０
ｘは０となる重根を持ち、式２の円は式３の接線と（０，０）で接する。
 
【この問題で注意する点】
　以下では、式３の接線の式が分からないで、この問題１を解こうとする場合に、接点（ｘ，ｙ）が重解を持つか否かで判定するべきであり、接点（ｘ，ｙ）のｘ座標かｙ座標の一方の座標だけで重解の有無を判定してはいけないことを示す。
 
式１の放物線と式２の円の方程式を連立させる。
放物線　ｙ＝ｘ^２／４　　（式１）
円　ｘ^２＋（ｙ－１）^２＝１　（式２）
式１から、
ｘ^２＝４ｙ　（式４）
式４を式２に代入してｘを消去する。
４ｙ＋（ｙ－１）^２＝１
ｙ^２＋２ｙ＝０
ｙ（ｙ＋２）＝０　（式５）

ここで、『この式は重根を持たないので、式１の曲線と式２の曲線は接さない？』
と考えるのは、明らかに間違っている。

（問題を解くポイント）
　上の接線を求める計算においては、接線の式が多重根の解を持つという判定条件を、ｙ座標の値の解だけで判断したため間違ったのです。
　接点（ｘ，ｙ）が多重の解を持つかどうかはｘ座標も確認しないといけないのです。
　上の計算で得た式５に式４を代入して、ｘ座標であらわした以下の式６に書き直す。
（ｘ^２／４）（ｘ^２／４＋２）＝０　（式６）
（ｘ^２）（ｘ^２＋８）＝０　（式７）
（ｘ^２＋８）≠０　なので、
ｘ^２＝０　（式８）
が得られる。
式８から、ｘの値が重根の値０を持つことがわかり、
「多重根ができるから接する」と判定することができる。

　すなわち、接点（０，０） の ｘ 座標が重根になるのであって、重解の２点のｙ座標は同じになるため、 ｘ 座標が重根になる事を確認しなければならない。

（注意）
　ここで、この問題のグラフの ｘ 座標を、
ｔ ≡ ｘ^２
で定義されるｔ座標を使い、 ｔ，ｙ 座標系での曲線の接点を求める問題と考えたらどうなるか。
ｔ ≧ ０，
（式１）→　ｙ＝ｔ／４　　（式１ｂ）
（式２）→　ｔ＋（ｙ－１）^２＝１　（式２ｂ）
　この場合は、式２ｂに式１ｂを代入すると、
ｔ＋（（ｔ／４）－１）^２＝１，
１６ｔ＋（（ｔ－４）^２＝１６，
ｔ^２ ＋８ｔ＝０，
ｔ（ｔ＋８）＝０，
ｔ＝０
このように、ｔ座標の解も重根を持たない。
　それでは、２つのグラフが接しないという解になってしまう。
　一方、与えられた２つのグラフの ｔ，ｙ 座標系に写像した２つのグラフは、下図のようになり、この２つのグラフは接しない。

よって、 ｔ，ｙ 座標系では、この２つの曲線は接しないという結論は正しい。

　２つのグラフが接するという事は、 ｘ，ｙ 座標系でのみ成り立つ現象である。変数変換をしたら、グラフが接するかどうかは不明になる。

（結論）
　曲線の式と曲線の式を連立させて方程式を解く場合には、
曲線が接する判定条件は、（ｘ，ｙ）の座標点が重解になるかどうかで判定するべきである。

（補足）
　以上の計算における曲線の接触の判定の計算は、「この式８が得られることで正しく重解の存在を判定できるのか？」 という疑問が湧くという、接点の判定条件が怪しげで不明瞭であるという問題がある。
　この不明瞭さを解消するには、式の微分を用いることで明瞭な判定ができる。その判定方法は、このページの後のページの例題で例示する。 

（補足）
《交差している２つのグラフが、変数変換すると互いに接する２つのグラフに変わる例：変数変換をするときの注意点》

上図のように、変数ｔの関数ｆ（ｔ)とｇ（ｔ）との２つの関数値をＹ＝ｆ（ｔ）、及びＹ＝ｇ（ｔ）とする。
ｆ（ｔ）＝ｔ
ｇ（ｔ）＝ｔ／２
とする。 この場合に、上図のように、２つのグラフが、ｔＹ座標平面上では互いに交差しているだけで、接していない。
　このグラフの変数ｔを以下のグラフの関数であらわす媒介変数ｘを考える。

変数ｔをこのグラフの関数であらわす媒介変数Xを使うと、
XY平面上で先の２つのグラフをあらわすと以下の図の様になる。
ｘ≧０の場合に：
関数ｆ（ｔ）＝ｘ^２
関数ｇ（ｔ）＝ｘ^２／２
になる。

この様にXY座標平面上では、互いに接する２つのグラフに変換されてしまった。
　すなわち、接さずに単に交差しているだけの２つのグラフが、互い接するグラフに変わってしまった。

　ｔY座標平面上の２つのグラフがある変数値において接するか否かを調べている時に、そのように変わってしまわないようにするための、行なって良い変数ｔの媒介変数ｘへの変数変換は、その２つのグラフが交差する点の位置の変数値において：
ｄｔ／ｄｘ ≠ ０
となることが必要です。
また、その関数が”微分可能”であることも必要で、すなわち、その２つのグラフが交差する点の位置の変数値において：
ｄｔ／ｄｘ ≠ ±∞
も必要です。

【問２】円ｘ^２＋（ｙ＋１）^２＝１と円ｘ^２＋（ｙ－１）^２＝１は接するか？

（方程式が重根を持つかで解析する方法）
円　ｘ^２＋（ｙ＋１）^２＝１　（式１）
円　ｘ^２＋（ｙ－１）^２＝１　（式２）
式１の円と式２の円の方程式を連立させる。
式１から式２を引き算する。
４ｙ＝０
ｙ＝０　（式３）
この式３はまだ接線とは限らない。

この式３も重根を持っていないことに注意すること。

--（接点（ｘ，ｙ）が重解を持つ判定の注意）--
　座標ｘの解を求める式は、式３を式１又は式２に代入することで得られ、その式は以下の式になる。
ｘ^２＝０ 　（式４）

この式４は、ｘが重解の値０になることを示す。
そのため、接点（ｘ，ｙ）が重解を持つことが言える。
----------------------------------------------

この式３の直線と式１の円が接すれば、この式３の直線は式２の円とも接し、
式１の円と式２の円が同じ式３の直線との接点で接することになる。

式１の円と式３の直線を連立させて、方程式からｙを消去すると、
ｘ^２＋（０＋１）^２＝１
ｘ^２＝０　（式４）
ｘは０となる重根を持ち、式１の円は式３の直線と（０，０）で接する。

同様にして、式２の円も式３の直線と（０，０）で接する。
（解答おわり）

（補足）
　以上の計算における曲線の接触の判定の計算も、「この式４が得られることで正しく重解の存在を判定できるのか？」 という疑問が湧くという、接点の判定条件が怪しげで不明瞭であるという問題がある。
また、以下のグラフの接点Ａを求める場合：

このグラフの接線の傾きｋを求める方程式を、重解を利用して得る計算方法の見通しが悪いです。

　この不明瞭さを解消するには、式の微分を用いることで明瞭な判定ができる。その判定方法は、このページの後のページの例題で例示する。

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三次関数の曲線の接線の残りの交点

「微分・積分」の勉強

以下の問題は、微分の基礎知識を勉強した後で解いてください。

【問２】三次関数の曲線ｙ＝ｘ^３の（ｘ＝１）となる点の接線が再びその曲線に交わる残りの交点を求めよ。

（解答の方針）
ｆ（ｘ）を微分可能な関数として、曲線ｙ＝ｆ（ｘ）のｘ＝ａにおける接線の方程式は、
ｙ＝ｆ’（ａ）（ｘ－ａ）＋ｆ（ａ）
である。
この公式を用いて、接線の方程式を求めて、それから、その接線と曲線の交点を求める解答方法が、
最初に勉強すべき解答方法です。

（解答開始）
ｆ（ｘ）＝ｘ^３
微分の公式により
ｆ’（ｘ）＝３・ｘ^２
ｆ（１）＝１^３＝１
ｆ’（１）＝３・１^２＝３
接線の方程式は、
ｙ＝３（ｘ－１）＋１
この接線と曲線の方程式の交点のｘ座標を求める方程式は、以下の式になる。
ｘ^３＝３（ｘ－１）＋１
ｘ^３－３ｘ＋２＝０
（ｘ－１）^２（ｘ＋２）＝０
接線のｘ＝１に関する式（ｘ－１）が二乗になって重根になり、それ以外の交点に関する式（ｘ＋２）が１つできて、それらの積に方程式が因数分解できる。

接線が再び曲線に交差する残りの交点は、
ｘ＝－２
ｙ＝（－２）^３＝－８
よって、残りの交点の座標は、
（－２，－８）
（解答おわり）

【別解】
この問題を上の解き方で解いた結果、もう少し楽に解答を得る方法がわかってきます。

その楽な解答方法とは、以下のようにしてわかります。

接線の方程式をｙ＝ｍｘ＋ｎとだけ書いて、その接線と曲線の式ｙ＝ｘ^３との残りの交点（ａ，ｂ）を与える式を書くと、以下の式で与えられます。
ｘ^３＝ｍｘ＋ｎ
ｘ^３－ｍｘ－ｎ＝０
この式は、
（ｘ－１）^２（ｘ－ａ）＝０
になります。
すなわち、
ｘ^３－ｍｘ－ｎ＝（ｘ－１）^２（ｘ－ａ）
ｘ^２の係数だけを書くと、
０＝－２－ａ
∴　ａ＝－２
接線の式のｍとｎの値がわからなくても、交点のｘ座標ａ＝－２がわかりました。
ｂ＝（－２）^３＝－８
よって、残りの交点の座標は、
（－２，－８）
（解答おわり）

このように、楽に答えが解けました。

この楽な解き方は、どの三次関数の曲線の接線の残りの交点を求めるときでも、使えます。

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曲線の接線（基本公式）

「微分・積分」の勉強

以下の問題は、微分の基礎知識を勉強した後で解いてください。

【問１】ｙ＝ｘ^２の曲線の（ｘ＝１）となる点の接線を求めよ。

（解答の方針）
ｆ（ｘ）を微分可能な関数として、曲線ｙ＝ｆ（ｘ）のｘ＝ａにおける接線の方程式は、
ｙ＝ｆ’（ａ）（ｘ－ａ）＋ｆ（ａ）
である。

この式で、ｆ’（ａ）とは、関数ｆ（ｘ）を微分した結果の関数ｆ’（ｘ）のｘ＝ａにおける値である。

この公式が成り立つ理由は、関数ｆ（ｘ）を微分した結果の関数ｆ’（ｘ）は曲線の傾きをあらわすからです。

また、接線は、曲線を局所的に近似した直線として定義されます。そのため、接線は、曲線の接点における傾きと同じ傾きを持ちます。

（解答開始）
ｆ（ｘ）＝ｘ^２
微分の公式により
ｆ’（ｘ）＝２・ｘ

ｆ（１）＝１^２＝１
ｆ’（１）＝２・１＝２

接線の方程式は、
ｙ＝２（ｘ－１）＋１

（解答おわり）

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対数の大小の公式２

佐藤の数学教科書「指数関数・対数関数」編の勉強

【問２】ｌｏｇ_３４とｌｏｇ_４６の大小関係を求めよ。

（解答の方針）
底の変換公式を使う。


対数関数の大小は、以下の対数の大小の公式を（以下の数の範囲で）利用することで必ず解くことができる。

《対数の大小の公式》

底について　　１＜m＜ｕ
真数について　ｓ≧ｐ
である場合は、上の公式が成り立つ。
（対数の大小の公式おわり）

　この公式を、以下のように利用することで、大小関係を必ず解くことができる。
（１）底を１より大きくし、真数も１より大きくした式に変換した上で、
（２）小さい方（と思われる）対数関数の底を、他の対数関数の底よりも大きくする。
（３）大きい方（と思われる）の対数関数がｌｏｇ_mＣ≡Ｈであり、
小さい方（と思われる）の対数関数がｌｏｇ_uＤ≡Ｌである場合、
対数関数Ｈの真数Ｃと底mを使って、１より大きい真数であって、なるべく１に近い真数のＣⁿ／m^tを作る。
それを、対数関数Ｌの真数Ｄと底Ａを使って同じ形に作った真数Ｄⁿ／ｕ^t と比べる。
このように真数を変換することは、元の対数関数をｎ倍にした値からｔを引き算することを意味する。
nＨ－t＝ｌｏｇ_m（Ｃⁿ／ｍ^t）
nＬ－t＝ｌｏｇ_u（Ｄⁿ／ｕ^t）

対数関数ＨがＬより大きければ、
nとtを十分大きくして、１より大きな真数で、なるべく１に近い真数を作れば、
対数関数Ｈから作った真数は必ず、対数関数Ｌから（同様にして）作った真数よりも大きくなり、先の公式にあてはまるようになる。

（その理由は、大きなnで対数関数の大小関係が拡大されているので、対数関数ＨとＬの真数の値は、対数の底の違い以上に大きさが異なるようになるためである。
なお、tを引き算する理由は、対数関数の値が同じなら、底が異なっても真数を同じにするためである。）

　この方法を使えば、必ず、対数関数の大小関係を求めることができる。

【解答はじめ】
Ｌ≡ｌｏｇ_３４
Ｈ≡ｌｏｇ_４６
（１）この２つの対数関数の大小関係は、多分Ｈ＞Ｌである。
そのため、対数関数Ｈの底を、Ｌの底＝３より小さくする。

２Ｈ＝ｌｏｇ_２６
２Ｌ＝２ｌｏｇ_３４＝ｌｏｇ_３１６

（２）真数を１に近づける（ただし１より大きくする）ために、対数関数から２を引き算する。
２Ｈ－２＝ｌｏｇ_２（６／４）＝ｌｏｇ_２（３／２）
２Ｌ－２＝ｌｏｇ_３（１６／９）

（３－１）対数関数を更に２倍にする。
４Ｈ－４＝ｌｏｇ_２（９／４）
４Ｌ－４＝ｌｏｇ_３（２５６／８１）

（３－２）
真数９／４＝２＋（１／４）
　　　　　＝底｛１＋（１／４）／２｝
真数２５６／８１＝３＋（１３／８１）
　　　　　＝底｛１＋（１３／８１）／３｝
ここで、（１／４）／２＞（１３／８１）／３
よって、対数の大小の公式によって、
４Ｈ－４＞４Ｌ－４
∴　Ｈ＞Ｌ
ｌｏｇ_４６＞ｌｏｇ_３４
（解答おわり）

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高校数学の目次

対数の大小の公式

佐藤の数学教科書「指数関数・対数関数」編の勉強

【問１】ｌｏｇ_３４とｌｏｇ_４５の大小関係を求めよ。

（解答の方針）
底の変換公式を使う。


《対数の大小の公式》

底について　　１＜m＜ｕ
真数について　ｓ≧ｐ
である場合は、上の公式が成り立つ。
（対数の大小の公式おわり）

（１）対数の真数を、｛（対数の真数）／（対数の底）｝の計算により、比較する。
（２）また、対数の底をそろえて比較する。

Ｌ≡ｌｏｇ_３４
Ｈ≡ｌｏｇ_４５
先ず、対数の真数を、｛（対数の真数）／（対数の底）｝の計算により、比較する。
Ｌ－１＝ｌｏｇ_３４／３＝ｌｏｇ_３（１＋１／３）
Ｈ－１＝ｌｏｇ_４５／４＝ｌｏｇ_４（１＋１／４）
対数の底を比較すると、
３＜４，
対数の真数を比較すると、
（１＋１／３）＞（１＋１／４）
よって、対数の大小の公式により、
Ｌ－１＞Ｈ－１
Ｌ＞Ｈ
∴　ｌｏｇ_３４＞ｌｏｇ_４５
（解答おわり）

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相加平均と相乗平均の不等式
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第２講４節 相加平均と相乗平均の不等式

《積が和にかわる対数関数は、相加平均（和）と相乗平均（積）の不等式と相性が良い》

佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強

ａ≧０，　ｂ≧０のとき
 （ａ＋ｂ）／２≧√（ａ・ｂ）
ただし、ａ≠ｂのときは
（ａ＋ｂ）／２＞√（ａ・ｂ）

【問１】

と

の大小関係を求めよ。
（問題おわり）

（解答の方針）
対数関数の問題を考える場合は、対数の底をそろえる。

また、積が和に変わる対数関数の性質は、
相加平均（和）と相乗平均（積）の比較をする相加平均と相乗平均の不等式と似ていることに注目すること。

（相乗平均（積）＜相加平均（和）の関係を使う）

（相乗平均（積）＜相加平均（和）の関係を使う）

 （解答おわり）

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指数関数と対数関数　ｌｏｇ(3)４とｌｏｇ(4)５
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第３講１節 いろいろな数列の和（４）ｓｉｎの和は－ｃｏｓ

佐藤の数学教科書「数列」編の勉強

三角関数を分数の和に変換する公式（積を和に変える公式の変形）の応用問題です。

【問１】以下の三角関数の式の数列の和を与える式を求めよ。

（解答）
三角関数を分数の和に変換する公式を使う。

（解答おわり）

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第３講１節 いろいろな数列の和（３）ｃｏｓの和はｓｉｎ

佐藤の数学教科書「数列」編の勉強

三角関数を分数の和に変換する公式（積を和に変える公式の変形）の応用問題です。

【問１】以下の三角関数の式の数列の和を与える式を求めよ。

（解答）
三角関数を分数の和に変換する公式を使う。

（解答おわり）

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第３講１節 いろいろな数列の和（２－２）

佐藤の数学教科書「数列」編の勉強

【問２】
１^２＋２^２＋３^２＋・・・＋ｎ^２＝Ｇ（ｎ）とする公式を求めよ。

ａ_ｋ＝ｋ^２の和（ｋ＝１～ｎ）を求める問題です。
こういう和の問題を求める場合は、
ａ_ｋ＝ｂ_ｋ－ｂ_{（ｋ＋１）}
とあらわせるｂ_ｋの式を考えて解きます。
ａ_１＋ａ_２＋ａ_３＋ａ_４
＝（ｂ_１－ｂ_２）＋（ｂ_２－ｂ_３）＋（ｂ_３－ｂ_４）＋（ｂ_４－ｂ_５）
＝ｂ_１－ｂ_５
となり、問題が簡単に解けるようになるからです。
ａ_ｋ＝ｂ_ｋ－ｂ_{（ｋ＋１）}＋ｆ（ｋ）
となって、ｆ（ｋ）という項が余っても、その項の和の公式がわかっていれば、それでも問題が解けます。

－（ｋ－１）ｋ^２＋ｋ（ｋ＋１）^２
を考える。

－（ｋ－１）ｋ^２＋ｋ（ｋ＋１）^２
＝ｋ｛－（ｋ－１）ｋ＋（ｋ＋１）^２｝
＝ｋ｛３ｋ＋１｝
となるから、
ｋ^２＝（１／３）｛－（ｋ－１）ｋ^２＋ｋ（ｋ＋１）^２－ｋ｝
である。

つまり、
ａ_ｋ＝ｋ^２の場合において、
ａ_ｋ＝ｂ_ｋ－ｂ_{（ｋ＋１）}－（ｋ／３）
とあらわせる
ｂ_ｋ＝－（１／３）（ｋ－１）ｋ^２
という式が得られた。
－（ｋ／３）という項が余っているが、この余った項の和を求める公式は既に知っている（ｋの和はｎ（ｎ＋１）／２）ので問題が解ける。

これを使って、以下の答えが得られる。
ａ_ｋ＝ｋ^２の和（ｋ＝１～ｎ）は、
ｂ_１－ｂ_{（ｎ＋１）}－（ｋ／３）の和
＝（１／３）｛－０×１^２｝＋（１／３）｛ｎ（ｎ＋１）^２｝
－｛ｎ（ｎ＋１）／２｝／３
＝（１／３）｛ｎ（ｎ＋１）^２－ｎ（ｎ＋１）／２｝
＝（１／３）ｎ（ｎ＋１）｛（ｎ＋１）－（１／２）｝
＝（１／３）ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋（１／２））
（解答おわり）

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第３講１節 いろいろな数列の和（２－１）

佐藤の数学教科書「数列」編の勉強

【問１】
１＋２＋３＋・・・＋ｎ＝ｎ（ｎ＋１）／２を証明せよ。

ａ_ｋ＝ｋの和（ｋ＝１～ｎ）を求める問題です。
こういう和の問題を求める場合は、
ａ_ｋ＝ｂ_ｋ－ｂ_{（ｋ＋１）}
とあらわせるｂ_ｋの式を考えて解きます。

ａ_１＋ａ_２＋ａ_３＋ａ_４
＝（ｂ_１－ｂ_２）＋（ｂ_２－ｂ_３）＋（ｂ_３－ｂ_４）＋（ｂ_４－ｂ_５）
＝ｂ_１－ｂ_５
となり、問題が簡単に解けるようになるからです。

－（ｋ－１）ｋ＋ｋ（ｋ＋１）
を考える。

－（ｋ－１）ｋ＋ｋ（ｋ＋１）
＝ｋ｛－（ｋ－１）＋（ｋ＋１）｝
＝２ｋ
となるから、
ｋ＝（１／２）｛－（ｋ－１）ｋ＋ｋ（ｋ＋１）｝
である。

つまり、
ａ_ｋ＝ｋの場合において、
ａ_ｋ＝ｂ_ｋ－ｂ_{（ｋ＋１）}
とあらわせる
ｂ_ｋ＝－（１／２）（ｋ－１）ｋ
という式が得られた。

これを使って、以下の答えが得られる。
ａ_ｋ＝ｋの和（ｋ＝１～ｎ）は、
ｂ_１－ｂ_{（ｎ＋１）}
＝（１／２）｛－０×１＋ｎ（ｎ＋１）｝
＝（１／２）ｎ（ｎ＋１）
（証明おわり）

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第３講１節 いろいろな数列の和（１）

佐藤の数学教科書「数列」編の勉強

【問１】
（１×２）＋（２×３）＋（３×４）＋・・・＋ｎ（ｎ＋１）＝（１／３）ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）を証明せよ。

【問２】
（１×２×３）＋（２×３×４）＋（３×４×５）＋・・・＋ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）＝（１／４）ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）を証明せよ。

【問３】
（１×２×３×４）＋（２×３×４×５）＋（３×４×５×６）＋・・・＋ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）＝（１／５）ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）（ｎ＋４）を証明せよ。

（解答）
【問１】
ａ_ｋ＝ｋ（ｋ＋１）の和（ｋ＝１～ｎ）を求める問題です。
こういう和の問題を求める場合は、
ａ_ｋ＝ｂ_ｋ－ｂ_{（ｋ＋１）}
とあらわせるｂ_ｋの式を考えて解きます。

ａ_１＋ａ_２＋ａ_３＋ａ_４
＝（ｂ_１－ｂ_２）＋（ｂ_２－ｂ_３）＋（ｂ_３－ｂ_４）＋（ｂ_４－ｂ_５）
＝ｂ_１－ｂ_５
となり、問題が簡単に解けるようになるからです。

－（ｋ－１）ｋ（ｋ＋１）＋ｋ（ｋ＋１）（ｋ＋２）
を考える。

－（ｋ－１）ｋ（ｋ＋１）＋ｋ（ｋ＋１）（ｋ＋２）
＝ｋ（ｋ＋１）｛－（ｋ－１）＋（ｋ＋２）｝
＝ｋ（ｋ＋１）｛３｝
となるから、
ｋ（ｋ＋１）＝（１／３）｛－（ｋ－１）ｋ（ｋ＋１）＋ｋ（ｋ＋１）（ｋ＋２）｝
である。

つまり、
ａ_ｋ＝ｋ（ｋ＋１）の場合において、
ａ_ｋ＝ｂ_ｋ－ｂ_{（ｋ＋１）}
とあらわせる
ｂ_ｋ＝－（ｋ－１）ｋ（ｋ＋１）
という式が得られた。

これを使って、以下の答えが得られる。
ａ_ｋ＝ｋ（ｋ＋１）の和（ｋ＝１～ｎ）は、
（１／３）｛ｂ_１－ｂ_{（ｎ＋１）}｝
＝（１／３）｛－０×１×２＋ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）｝
＝（１／３）ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）
（証明おわり）

問２以降も同様に証明できる。
 
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第３講１節 いろいろな数列の和（２）

佐藤の数学教科書「数列」編の勉強

【問１】
１＋２＋３＋・・・＋ｎ＝ｎ（ｎ＋１）／２を証明せよ。

【問２】
１^２＋２^２＋３^２＋・・・＋ｎ^２＝ｎ（ｎ＋（１／２））（ｎ＋１）／３を証明せよ。
（この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります）

【問３】１^３＋２^３＋３^３＋・・・＋ｎ^３＝ｎ^２（ｎ＋１）^２／４を証明せよ。

【問４】
１^４＋２^４＋３^４＋・・・＋ｎ^４ 
＝ｎ（ｎ＋（１／２））（ｎ＋１）（ｎ^２＋ｎ－（１／３））／５を証明せよ。

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