《事物の対称性の把握》
確率の問題を解くために、事物の対称性の認識が不可欠です。
互いに平等・対等で対称な関係にある複数の対象物に対して、その各々が選ばれる可能性を、「同様に確からしい」としている。
互いに平等・対等で対称な関係にある複数の対象物とは、例えば、サイコロの６つの目がある。
【サイコロの目】
サイコロを振ると出て来る１から６までの６つの目について考える。
それらの目は、サイコロという正６面体の、互いに対称な６つの面を、番号付けして区別したものです。
その６つの面は、どの面も平等で、互いに対等で対称な関係がある。すなわち、それらの間には差別が無い。
それゆえ、その６つの面のどの面が選ばれるかの可能性を「同様に確からしい」と考える。そのように考えて定める確率を「数学的確率」と呼ぶ。
また、互いに対等で対称な関係があると認識された６つの目の選ばれる事象のバラエティが６つあると考える。
【袋の中の複数の玉】
袋の中の同じ形同じ重さの複数の玉で、色だけが異なる玉を取り出す問題について考える。
それらの複数の玉は、どの玉も平等であって対等である。すなわち、玉同士の関係は対称な対等な関係であって、玉を取り出す可能性が玉毎に（その色などの性質によっては）差別されない。
それゆえ、同じ色の玉も区別するように、全ての玉を区別して考える。そのように区別したどの玉も平等で対等であり、玉同士の間に対称な関係がある。そのように区別した複数の玉のどの玉が選ばれるかの可能性を「同様に確からしい」と考える。
また、互いに対称な対等な関係が認識された複数の玉は、そのどれかの玉が選ばれるかの事象のバラエティが玉の数だけあると考える。
【個々の対象物の全てを区別して考える】
事物の対称性を考えるときの、考えるべき個々の対象物については全てを異なる物と把握する。その理由は、人が見分けられないように見えても、１つ１つの対象物は全て異なって数えられる物なので、個々の対象物は全て区別して把握する。そのうえで、各々の対象物を平等・対等に扱う。
（区別して考えられない物同士は独立した物として互いに比較することもできない。互いに対等な物と比較・把握できるためには、互いを区別できることが重要）
更に、対象物を袋から取り出す時刻についても、設問が「同時に取り出す」という条件を設定している場合であっても、わずかに異なる時間のずれがあるとし、各々の対象物を袋から取り出す時刻も全て異なるものとみなす。
そういうふうに全ての対象物を、各々が区別される１つの対等な単位にまで区別して考える。
（そのように全てを区別して得た最小単位の１つの事象を根元事象と呼ぶ）
そういうふうに対象物を明確に区別したうえで、その対等な対象物のどれが選ばれることも「同様にたしからしい」と考える。「同様にたしからしい」と考えることは、対象物をすべてが区別された対等な物として平等化して考える。そして、それらの区別した上で平等化した１単位の対象物の間に対称な関係があると考える。すなわち、「同様に確からしい」と考えることは、事物の対称性をみつける作業です。
（ここをクリックした先のページの（補足）に、同様に確からしくない事例がある）
例えば、りんご2個と梨5個が入った袋から１個を取り出すとき、
りんご1,りんご2,
梨1,梨2,梨3,梨4,梨5,
の合計７個の物に区別して把握し、各物を平等化する。
そして、平等化したそれらの物のうちのどの１つを取り出すことも、
互いに、同様に確からしいと考える。
りんごのどれか１つを取り出す事象と、梨のどれかの１つを取り出す事象については、
両者が同様に確からしいとは考えない。
（両者は対等では無いからです）
《個々の対象物の全てを区別することは、詳しくは、確率樹形図を糸にまで分解することである》
「全ての対象物を、各々が区別される１つの対等な単位にまで区別して考える」ことを、以下の問題を例にして、確率樹形図によって説明する。
【問１】
数直線上の原点Ｏに点Ｐがある。1個のサイコロを投げて、偶数の目が出たらＰを正の向きに１だけ移動し、奇数の目が出たら負の向きに１だけ移動させる。サイコロを３回投げた後、Ｐが数直線上の１の位置にある確率を求めよ。
【解答の方針】
先ず、下図のような、左から右に描いた確率樹形図を作成して問題を整理する。
縦軸は数直線上の点Pの位置をあらわし、
横軸はサイコロを投げた回数の順をあらわす。
上図の確率樹形図は、根元⓪から枝先まで一定の太さの糸を根元側で束ねた、糸の集合でもある。１本の「糸」は、事象の連鎖の１つの場合を表す。
その確率樹形図の枝を事象の連鎖の糸にまで分解して考える。
点Ｐの、サイコロを投げた回数毎の位置をあらわす事象の連鎖、すなわち、
（1回目の位置,2回目の位置,3回目の位置）
という事象の連鎖が、上図の樹形図の１本１本の糸を表す。
上図の樹形図の糸は、
（１，２，３）
（１，２，１）
（１，０，１）
（１，０，－１）
（－１，０，１）
（－１，０，ー１）
（－１，－２，－１）
（－１，－２，－３）
の８本の糸がある。
そのうち、点⓪から出発して点⑤に至る３本の糸：
（１，２，１）
（１，０，１）
（－１，０，１）
の確率の総和が、
サイコロを３回投げた後、Ｐが数直線上の１の位置にある確率である。
（解答の方針おわり）
この問題で利用した確率樹形図の、各糸が、
「個々の対象物の全てを区別した事象の最小の単位」である。
このように、確率樹形図を縦割りして、最終的には１本１本の糸にまで分解することが、「個々の対象物の全てを区別する」ことの具体的な内容である。その各糸が、事象の連鎖が最小単位にまで分解された要素であり、根元事象である。
（備考）確率樹形図の作り方は、
▷ここをクリックした先の「樹形図の基本ルール」のサイトと、
▷ここをクリックした先の「樹形図の基本ルール（その２）」のサイトが参考になる。
また、そのうちの、（【例題２】反復試行の確率）が参考になる。
【確率の基本について】
「確率の問題を間違えてしまう5つの原因と求め方とは？」のサイト
に記載されている、確率についての基本的考え方が身についていますか？
「確率が苦手な人には、共通する5つの原因があります。
今回の記事では、その５つと正しい求め方を数学が苦手な人にも易しく解説します。この記事を読むと自分がどうして確率の問題を間違ってしまっているかの答えが出ると思います。
Q1. リンゴ2つとバナナ4つの入ったかごから３つの果物を同時に取り出すとき、リンゴ1つとバナナ2つを取り出す確率を求めてください。
《よくある間違い》
果物を取り出した時に考えられる組み合わせは・・
{リンゴ、リンゴ、バナナ}、{リンゴ、バナナ、バナナ}、{バナナ、バナナ、バナナ}の３通り。
だから、
{リンゴ、バナナ、バナナ}になる確率は１／３になります・・・
これは大きな間違えです。
もしこれが正解だとすると、リンゴが2個の場合で、バナナが4個の場合も100個の場合も200個の場合も、答えは１／３になってしまいます。」
《解答の基本》
玉を選ぶ確率の問題を解くための根本的な考え方は、以下の考え方である。
(1)全ての玉は１つ１つに名前が付いていて異なっていると考えるべき。その個性のある個々の玉に係わる計算によって問題を解くべき。
(2)計算は、必ず、それらの個性のある個々の玉に結び付けて行うべき。
(3) そして、「複数の玉を同時に取り出す確率の問題とコンビネーションを用いて良い定理」のサイトの結論により、「同時に」玉を取り出す問題であっても、その玉を、時間差をもうけた「順番に」取り出す問題と考えて問題をわかり易くして解くのが良い。
すなわち、玉を順番に取り出すときの確率の計算方法だけ覚えて、
全ての問題を、その解き方だけで解くことにしても良い。
【問２】
Ａの袋には白玉４個と赤玉５個、Ｂの袋には白玉６個と赤玉３個が入っている。 まず、Ａの袋から同時に２個の玉を取り出してＢの袋に入れ、よく混ぜた後、 Ｂの袋から同時に２個の玉を取り出してＡの袋に入れる。 このとき、Ａの袋の中の白玉の個数が増えている確率を求めよ。
この問題の解答は、ここをクリックした先にある。
リンク：
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高校数学の目次
確率の問題を解くために、事物の対称性の認識が不可欠です。
互いに平等・対等で対称な関係にある複数の対象物に対して、その各々が選ばれる可能性を、「同様に確からしい」としている。
互いに平等・対等で対称な関係にある複数の対象物とは、例えば、サイコロの６つの目がある。
【サイコロの目】
サイコロを振ると出て来る１から６までの６つの目について考える。
それらの目は、サイコロという正６面体の、互いに対称な６つの面を、番号付けして区別したものです。
その６つの面は、どの面も平等で、互いに対等で対称な関係がある。すなわち、それらの間には差別が無い。
それゆえ、その６つの面のどの面が選ばれるかの可能性を「同様に確からしい」と考える。そのように考えて定める確率を「数学的確率」と呼ぶ。
また、互いに対等で対称な関係があると認識された６つの目の選ばれる事象のバラエティが６つあると考える。
【袋の中の複数の玉】
袋の中の同じ形同じ重さの複数の玉で、色だけが異なる玉を取り出す問題について考える。
それらの複数の玉は、どの玉も平等であって対等である。すなわち、玉同士の関係は対称な対等な関係であって、玉を取り出す可能性が玉毎に（その色などの性質によっては）差別されない。
それゆえ、同じ色の玉も区別するように、全ての玉を区別して考える。そのように区別したどの玉も平等で対等であり、玉同士の間に対称な関係がある。そのように区別した複数の玉のどの玉が選ばれるかの可能性を「同様に確からしい」と考える。
また、互いに対称な対等な関係が認識された複数の玉は、そのどれかの玉が選ばれるかの事象のバラエティが玉の数だけあると考える。
【個々の対象物の全てを区別して考える】
事物の対称性を考えるときの、考えるべき個々の対象物については全てを異なる物と把握する。その理由は、人が見分けられないように見えても、１つ１つの対象物は全て異なって数えられる物なので、個々の対象物は全て区別して把握する。そのうえで、各々の対象物を平等・対等に扱う。
（区別して考えられない物同士は独立した物として互いに比較することもできない。互いに対等な物と比較・把握できるためには、互いを区別できることが重要）
更に、対象物を袋から取り出す時刻についても、設問が「同時に取り出す」という条件を設定している場合であっても、わずかに異なる時間のずれがあるとし、各々の対象物を袋から取り出す時刻も全て異なるものとみなす。
そういうふうに全ての対象物を、各々が区別される１つの対等な単位にまで区別して考える。
（そのように全てを区別して得た最小単位の１つの事象を根元事象と呼ぶ）
そういうふうに対象物を明確に区別したうえで、その対等な対象物のどれが選ばれることも「同様にたしからしい」と考える。「同様にたしからしい」と考えることは、対象物をすべてが区別された対等な物として平等化して考える。そして、それらの区別した上で平等化した１単位の対象物の間に対称な関係があると考える。すなわち、「同様に確からしい」と考えることは、事物の対称性をみつける作業です。
（ここをクリックした先のページの（補足）に、同様に確からしくない事例がある）
例えば、りんご2個と梨5個が入った袋から１個を取り出すとき、
りんご1,りんご2,
梨1,梨2,梨3,梨4,梨5,
の合計７個の物に区別して把握し、各物を平等化する。
そして、平等化したそれらの物のうちのどの１つを取り出すことも、
互いに、同様に確からしいと考える。
りんごのどれか１つを取り出す事象と、梨のどれかの１つを取り出す事象については、
両者が同様に確からしいとは考えない。
（両者は対等では無いからです）
《個々の対象物の全てを区別することは、詳しくは、確率樹形図を糸にまで分解することである》
「全ての対象物を、各々が区別される１つの対等な単位にまで区別して考える」ことを、以下の問題を例にして、確率樹形図によって説明する。
【問１】
数直線上の原点Ｏに点Ｐがある。1個のサイコロを投げて、偶数の目が出たらＰを正の向きに１だけ移動し、奇数の目が出たら負の向きに１だけ移動させる。サイコロを３回投げた後、Ｐが数直線上の１の位置にある確率を求めよ。
【解答の方針】
先ず、下図のような、左から右に描いた確率樹形図を作成して問題を整理する。
縦軸は数直線上の点Pの位置をあらわし、
横軸はサイコロを投げた回数の順をあらわす。
上図の確率樹形図は、根元⓪から枝先まで一定の太さの糸を根元側で束ねた、糸の集合でもある。１本の「糸」は、事象の連鎖の１つの場合を表す。
その確率樹形図の枝を事象の連鎖の糸にまで分解して考える。
点Ｐの、サイコロを投げた回数毎の位置をあらわす事象の連鎖、すなわち、
（1回目の位置,2回目の位置,3回目の位置）
という事象の連鎖が、上図の樹形図の１本１本の糸を表す。
上図の樹形図の糸は、
（１，２，３）
（１，２，１）
（１，０，１）
（１，０，－１）
（－１，０，１）
（－１，０，ー１）
（－１，－２，－１）
（－１，－２，－３）
の８本の糸がある。
そのうち、点⓪から出発して点⑤に至る３本の糸：
（１，２，１）
（１，０，１）
（－１，０，１）
の確率の総和が、
サイコロを３回投げた後、Ｐが数直線上の１の位置にある確率である。
（解答の方針おわり）
この問題で利用した確率樹形図の、各糸が、
「個々の対象物の全てを区別した事象の最小の単位」である。
このように、確率樹形図を縦割りして、最終的には１本１本の糸にまで分解することが、「個々の対象物の全てを区別する」ことの具体的な内容である。その各糸が、事象の連鎖が最小単位にまで分解された要素であり、根元事象である。
（備考）確率樹形図の作り方は、
▷ここをクリックした先の「樹形図の基本ルール」のサイトと、
▷ここをクリックした先の「樹形図の基本ルール（その２）」のサイトが参考になる。
また、そのうちの、（【例題２】反復試行の確率）が参考になる。
【確率の基本について】
「確率の問題を間違えてしまう5つの原因と求め方とは？」のサイト
に記載されている、確率についての基本的考え方が身についていますか？
「確率が苦手な人には、共通する5つの原因があります。
今回の記事では、その５つと正しい求め方を数学が苦手な人にも易しく解説します。この記事を読むと自分がどうして確率の問題を間違ってしまっているかの答えが出ると思います。
Q1. リンゴ2つとバナナ4つの入ったかごから３つの果物を同時に取り出すとき、リンゴ1つとバナナ2つを取り出す確率を求めてください。
《よくある間違い》
果物を取り出した時に考えられる組み合わせは・・
{リンゴ、リンゴ、バナナ}、{リンゴ、バナナ、バナナ}、{バナナ、バナナ、バナナ}の３通り。
だから、
{リンゴ、バナナ、バナナ}になる確率は１／３になります・・・
これは大きな間違えです。
もしこれが正解だとすると、リンゴが2個の場合で、バナナが4個の場合も100個の場合も200個の場合も、答えは１／３になってしまいます。」
《解答の基本》
玉を選ぶ確率の問題を解くための根本的な考え方は、以下の考え方である。
(1)全ての玉は１つ１つに名前が付いていて異なっていると考えるべき。その個性のある個々の玉に係わる計算によって問題を解くべき。
(2)計算は、必ず、それらの個性のある個々の玉に結び付けて行うべき。
(3) そして、「複数の玉を同時に取り出す確率の問題とコンビネーションを用いて良い定理」のサイトの結論により、「同時に」玉を取り出す問題であっても、その玉を、時間差をもうけた「順番に」取り出す問題と考えて問題をわかり易くして解くのが良い。
すなわち、玉を順番に取り出すときの確率の計算方法だけ覚えて、
全ての問題を、その解き方だけで解くことにしても良い。
【問２】
Ａの袋には白玉４個と赤玉５個、Ｂの袋には白玉６個と赤玉３個が入っている。 まず、Ａの袋から同時に２個の玉を取り出してＢの袋に入れ、よく混ぜた後、 Ｂの袋から同時に２個の玉を取り出してＡの袋に入れる。 このとき、Ａの袋の中の白玉の個数が増えている確率を求めよ。
この問題の解答は、ここをクリックした先にある。
リンク：
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