形が違う同じ式

【例１】２重根号の外し方の以下の式が成り立つ（ａ＞０のとき）。

【例２】以下の式が成り立つ。



【例３】以下の式が成り立つ。


【例４】以下の式が成り立つ。

無理関数の分数式の変換公式から：
【例５】以下の式が成り立ちます。

具体例としては、以下の式が成り立ちます。

この式の関係を利用すると、以下の式が成り立ちます。

なお、以下で計算した以下の式も成り立つ。


【例６】以下の式も成り立つ。

無理関数の式への因数分解の公式から：
【例７】以下の式も成り立つ。



【例８】
「６人をA,B,Cの３組に分ける組分けの数」のページにある、以下の式が成り立つ。


【例９】
「単位ベクトルの要素の２乗の差の公式」から：
ａ_１^２＋ａ_２^２＝ｂ_１^２＋ｂ_２^２＝１の場合に、以下の式が成り立つ。

ａ_１^２＋ａ_２^２＝ｂ_１^２＋ｂ_２^２＝Ａの場合は、
右辺がＡ倍になる。
この公式は、三角関数の２乗の差の公式：

と同じです。

《ひし形の対角線の直交の公式から》
ａ_１^２＋ａ_２^２＝ｂ_１^２＋ｂ_２^２の場合に、以下の式が成り立つ。

この式と同じ式と言える以下の式が成り立つ。

また、以下の式が成り立つ。


積分計算と相性が良い三角関数の積の分数の分解の公式から：

が成り立つ。

三角比の分数式の変換から：

〘注意〙この式(1)の左辺は、θ＝0 で定義されない関数であるが、式(1)の右辺は、θ＝0 で定義されている関数である点が異なる。式(1)' の左辺は、θ＝πで定義されない関数であるが、式(1)' の右辺は、θ＝πで定義されている関数である点が異なる。式(1) や式(1)' は、分母が0でない場合に限り等式が成り立つ。

〘サイン分の１の積分〙のページから

が成り立つ。
（分母が0で無い場合に限り等式が成り立つ）


〘注意〙この式(2)の左辺は、θ＝π/2 で定義されない関数であるが、式(2)の右辺は、θ＝π/2 で定義されている関数である点が異なる。式(2)' の左辺は、θ＝－π/2 で定義されない関数であるが、式(2)' の右辺は、θ＝－π/2 で定義されている関数である点が異なる。式(2) や式(2)' は、分母が0でない場合に限り等式が成り立つ。

以下の等式も、分母が０で無い場合に限り等式が成り立つ。

及び、

及び、

さらに、以下の公式もなりたつ。


また、以下の三角形の角度の公式がなりたつ。




また、以下の公式がなりたつ。


「９０度回転したベクトルをベクトルの分解の公式であらわす」から：
以下の恒等式が成り立つ。
（角度θを、ベクトルからａベクトルｂまで左回りにベクトルが回転する角度とする）

「複素数平面の公式を導き出す（１）」から：
複素数ｚについて：

「（複素数平面の）自分の計算を楽にする自分だけの公式を発見する」
のページから：
絶対値が等しい複素数αとβがある場合に、以下の複素数の式であらわす４つの式は、形が違う同じ式です。

上の式から、以下の４つ目の式が得られます。

ただし、上の式の根号は複素数をあらわしています。

「複素数平面が、円の２つの接線の交点問題を簡単にする」
の（補足３）から：
絶対値が１の２つの複素数ｚ_１とｚ_２がある場合。
以下の、ｚ_１とｚ_２であらわすｐの式（第０の式）は、
（第０の式）

分母の複素数を実数化した、
以下の、形が違う２つの式に変換できる。
（第１の式）

（第２の式）
　分母の実数化は、もう１つできる（こちらの方が考え易い）。

以上の第１の式と第２の式との、２つの式は、分母が実数化された式であり、形が違う同じ式です。

「３つの複素数の交代式を簡単化する公式」のページにある以下の交代式は、以下の式に簡単化できます。

（補足）
　３つの複素数の交代式は、最初の形の式や、途中で導いたIm（）の形で表した交代式よりも、上式のようにIm（）の中に積の形で表した式にした方が、式が簡単であり、扱いやすい利点があります。

複素数平面で三角形の外心を表す式の形は、少なくとも３種類の形があります。

リンク：
無理関数の式への因数分解の公式
無理関数の分数式の変換公式
高校数学の目次

無理関数の分数式の変換公式

先ず、以下の式が成り立ちます。

具体例としては、以下の式が成り立ちます。

この式の関係を利用すると、以下の式が成り立ちます。

【問１】以下の、無理関数の分数式の変換公式を証明せよ。
ある定数Cで結ばれる、

という式の関係がある場合に、
その式に関係する以下の式（左辺の分数式）が、

右辺の分数式と等しい事を示せ。

【問２】以下の式が成り立つ事を示せ。

【問３】以下の式が成り立つ事を示せ。

【問４】以下の式が成り立つ事を示せ。

【問４ｂ】以下の式が成り立つ事を示せ。

【問４ｃ】以下の式が成り立つ事を示せ。


　計算結果が問５の左辺の式になったら、右辺の式を使って書き直した方が良いです。
【問５】以下の式が成り立つ事を示せ。
ただし、ｘ≧１とする。

【問６】以下の式が成り立つ事を示せ。
ただし、ｘ≧１とする。

【問７】以下の式が成り立つ事を示せ。

これらの問題の解答は、ここをクリックした先にあります。

リンク：
無理関数の式への因数分解の公式
形が違う同じ式
高校数学の目次

点Ｂから線分ＯＡに下した垂線の足Ｈを求める

【問】下図のように頂点の１つが原点Ｏにあり、他の２頂点が、Ａ（ａ_１，ａ_２）とＢ（ｂ_１，ｂ_２）である三角形ＯＡＢの点Ｂから辺ＯＡに下した垂線の足Ｈの座標を求めよ。

【解答１】
先ず、点Ｂを通り線分ＯＡに垂直な直線の方程式２を作る。
（上図に、その直線の方程式２の作り方のイメージを書きました）
以下の式のように、
その直線の方程式２と、点Ｏと点Ａを結ぶ直線の方程式１を連立した連立方程式を作る。
その連立方程式を解く事で交点Ｈの座標を求める。

式４と式５が垂線の足Ｈの座標をあらわす。
（解答おわり）

【解答２】

垂線の足Ｈの位置をあらわすベクトルＯＨを、ベクトルＯＡのｔ倍であるとして、
ベクトル方程式を作る。
そのベクトル方程式を解いて値ｔを求める事でベクトルＯＨを求める。

（解答おわり）

（補足１）
ベクトル方程式を使って問題を解く解答２の方が、解答１よりも計算のわずらわしさが減って、問題を解くのが楽になりました。

　しかも、このベクトルＯＨを求める公式は、空間ベクトルのベクトルＯＡとＯＢからベクトルＯＨを求める場合でも同じ公式が成り立ちます。

【底辺上の、垂線の足までのベクトルの公式】
式１２は、以下の図の、三角形の高さベクトル（垂線）の足ＤまでのベクトルBDをあらわす公式です。

（垂線の足までのベクトルの公式おわり）

リンク：
高校数学の目次

ベクトルで表す最短路の式

　ベクトルで、三角形の一辺の長さが、他の２辺を迂回した長さの和より小さいという関係をあらわす場合に、
以下の図の様に、
どの道を最短路と考えるかの視点が２通りある。
（１）最短路を、１つのベクトルであらわされた辺にするか、
（２）最短路を、２つのベクトルの和であらわされた辺にするか、
です。

その２つの視点の違いにより、
最短路と迂回路の長さの和の式が、
上図の様に２通リあるので要注意です。

リンク：
高校数学の目次

文字を円形に並べる確率の地道な解き方

　これから確率の問題を学んで行きますが、
確率の問題は順列・組み合わせを利用して解く問題だと言われてはいますが、確率の問題の解き方のバラエティは、順列・組み合わせの問題の解き方のバラエティよりも広い事がわかりました。
　確率の問題は、そのように登り道が多い問題ですので、その解き方は人それぞれで、解く人の解き方のパターンに合った解き方で解けば良いと思います。
　以下、このページの問題を含む各ページの問題は、自分で解いてみて、自分は、どの解き方を発案して解くか、自分を見つめて、自分の解き方に合った解き方を習得して欲しいと思います。

【問１】
Aと書かれたカード、Bと書かれたカード、Cと書かれたカードがそれぞれ2枚の計6枚を円形に並べたとき、1部分でも、時計回りにABCと続いて並ぶ確率を求めよ。

ここをクリックした先に、この問題の地道な解き方があります。

リンク：
高校数学の目次

6文字を円形に並べるパターンの確率

　確率の問題は、登り道が多い問題で、その解き方は人それぞれで、解く人の解き方のパターンに合った解き方で解けば良いと思います。　以下、各問題は、自分で解いてみて、自分は、どの解き方を発案して解くか、自分を見つめて、自分の解き方に合った解き方を習得して欲しいと思います。

【問１】
A,B,C,D,a,bを円形に並べるとき
(1)4個の大文字のうち3個だけが隣り合う確率
(2)Aとa,およびBとbがそれぞれ向かい合う確率
を求めよ。

この問題の解答はここをクリックした先にあります。

【問２】
文字A,B,C,D,E,Fを円形に並べるとき
(2-1)AとBが隣り合う確率
(2-2)AとBが向かい合う確率
を求めよ。

この問題の解答はここをクリックした先にあります。

リンク：
高校数学の目次

変数ｘの虚軸で見た関数

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
（接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。）

【課題】以下の４次曲線の関数を、変数ｘの虚軸で観察してみる。

この４次関数は、ｘ＝０の点のみで関数の傾きが０になる。

この関数を、変数ｘの虚軸で観察すると以下のグラフになる。

上のグラフのように、変数ｘの虚軸で見た関数の傾きは、
微分によって計算でき、
ｘ＝０とｘ＝ｉとｘ＝－ｉ
の３点で傾きが０になる。
また、この関数は、虚軸方向に伸びる直線
ｙ＝０
と、２点で接する。

この様に、見慣れた関数も、変数ｘの虚軸で観察すると異なった形に見えて来ます。
変数ｘを複素数にして関数を観察する方法は、大学で学びます。
大学の数学の勉強も面白いと思います。

リンク：
高校数学の目次

空間ベクトルの３つの公式

空間ベクトルの３つの公式
以下の３つの公式は、各自で証明してください。

【問１】
点Ｏから線分ＡＢ（点Oと点ＡとBとの各点の位置は異なる）の中の点Ｐ（線分ＡＢの端点ＡとＢも含む）まで引いたベクトルＯＰが以下の条件を満足する式であらわせる事を証明せよ。

（補足）この問１の公式は、２次元座標平面上の平面ベクトル同士の間でも成りたつ。

【問１（その２）】
　ただし、ベクトルOAとベクトルOBが平行で同じ直線上にある場合は、これらの各ベクトルは、他のベクトルに係数を掛けてあらわす事ができる。そのため、ベクトルＯＰは、上の条件を満足する式以外にも、（上の条件を満足しない）式でもあらわす事ができる。  

【問２】
　点Ｏから三角形ＡＢＣ（点Oと点AとBとCとの各点の位置は異なる）の中の点Ｐ（三角形ＡＢＣの辺上の点も含む）まで引いたベクトルＯＰが以下の条件を満足する式であらわせる事を証明せよ。

【問２（その２）】
　ただし、ベクトルOAとOBとOCが同一平面上にある場合は、これらの３つの各ベクトルは、他の２つのベクトルを合成してあらわす事ができる。そのため、ベクトルＯＰは、上の条件を満足する式以外にも、（上の条件を満足しない）式でもあらわすことができる。 

【問３】
　点Ｏから四面体ＡＢＣＤ（点Oと点AとBとCとDとの各点の位置は異なる）の中の点Ｐ（四面体ＡＢＣＤを囲む面上の点も含む）まで引いたベクトルＯＰが以下の条件を満足する式であらわせる事を証明せよ。

【問３（その２）】
　ただし、ベクトルOAとOBとOCとODが同じ三次元空間上にあるので、これら４つの各ベクトルが、他の３つのベクトルの合成であらわす事ができる。そのため、ベクトルＯＰは、上の条件を満足する式以外にも、（上の条件を満足しない）式でもあらわす事ができる。

　もし、ベクトルOAとOBとOCとODが４次元空間上のベクトルであって、各ベクトルが他の３つのベクトルの合成ではあらわす事ができない様に独立しているときは、
ベクトルOPは上の条件を満足する、ただ１つの式だけであらわされる。

リンク：
高校数学の目次

数列の和に関する難問

【問題】（早稲田大）
n は 2 よりも大きい整数とし, 
数列：　a₁, a₂, a₃, ⋯, a_n,
と、
数列：　b₁, b₂, b₃, ⋯, b_n,
は、全て正の数であって、
以下の式１と式２を満たすものとする。

このとき、
０＜ｍ＜ｎ
である全ての整数ｍに対して、

が成り立つことを証明せよ。
（問題おわり）

この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。

リンク：
高校数学の目次

sinとcosの方程式の確実な解き方

【問題】

上の式１の、角度θの範囲で、
式２のsinとcosの方程式を解いて角度θを求めなさい。

【解答１】

（解答おわり）

【解答２】
式２の左右を２乗して式３を得る。

この式３を以下の様に変形する。

 この式４を式２に代入する。

 （解答おわり）

【解答３】
式２の左右を２乗して式３を得る。

この式３を以下の様に変形する。

 この式４からθの解の候補を求める。

これらの４つの解のうち、式２を満足する解を選別する。

 （解答おわり）

【解答４】

先ず、この式２を満足する角度θの有り得る角度θを９０度刻みで求めておく。

式２の左右を２乗して式３を得る。

この式３を以下の様に変形する。

先に求めた、解が有り得る角度のうち、この式４を満足する角度を求める。

（解答おわり）

（補足）
この解答４の解き方は、
sinθとcosθの方程式から角度θを求める問題において、
解が有り得る角度を概算して先に求めておいて、
次に、その範囲の角度の詳細な解を求める解き方です。
この解き方は、
解を間違える事が少ない、
確実な解答方法だと思います。

リンク：
三角比の相互関係（応用問題）（１）
三角比の相互関係（応用問題）（２）
第２講「三角比の拡張と相互関係」（４）三角比の応用
三角比の拡張の応用
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
（高校）三平方の定理
高校数学（三角比・図形）一覧
高校数学の目次