三角関数を勉強する意味と加法定理が速やかに学べる手順

三角関数は、単位ベクトルのｘ成分とｙ成分を表わす関数です。
　三角関数を勉強する意味は、単位ベクトルの成分の間の関係を学ぶという意味を持ちます。

もし、三角関数という表現を使わない単位ベクトルの成分の関係をあらわす公式があれば、それは三角関数の公式でもあるという意味を持ちます。

また、三角関数の公式をベクトルの成分の記号を使って表わすと分かり易く表現できることもあります。

　高校生は、大人として完成する時期にいます。そのため、高校生は、もう大人として、自らで学ぶべき適切な知識を自ら発見して学んでいくのが良いと考えます。
　ベクトルの概念を教えない風潮がありますが、高校生になった学生は、そういう風潮に押し流されず自ら学び、単位ベクトルの成分を表わす三角関数を学んでいくのが良いと考えます。

《加法定理を速やかに学べる手順》
　加法定理を最も速やかに学べる手順は、「急がば回れ」の考えで、先ずはベクトルの定義を学び、そして、ベクトルの分野でベクトルの内積だけを学ぶのが良いと考えます。その次に、余弦定理を復習した上で、加法定理を学ぶのが最も速く加法定理を修得できる道だと考えます。

《ベクトルの定義》

点ＡからＢまでの点の座標の複数の成分の移動量の集合をベクトルＡＢと呼ぶ。
また、もっと一般的には、複数の数の集合をベクトルと呼ぶ。

《ベクトルａに垂直なベクトル》
ベクトルa=(a1,a2)
に垂直なベクトルa_vは
a_v=(-a2,a1)
で求めることができる。


《三角関数の項の増加の公式》


《ベクトルＰと単位ベクトルの内積はベクトルＰの単位ベクトルへの正射影》

ただし、AHの方向がABの方向と反対の方向を向く場合は、上の式の左辺の項にマイナスが付きます。

〔【基本】ベクトルの内積の性質（ここをクリック）〕

《ベクトルによる三角形の余弦定理のやさしい覚え方》

上図の式のように、ベクトルの内積の使い方は、ベクトルの内積の分配法則を利用して使うのが最も一般的な使い方になります。

《加法定理の覚え方の注意》
　公式をごろ合わせで覚えるのは公式の間違った覚え方です。毎回、紙とペンとで、紙に式を書いて、目で見やすい途中式をしっかり紙に書いて、紙とペンと手と目で必要な公式を導き出して使うのが、正しい公式の覚え方だと思います。

　式を紙に書く毎に、解に到達する式の変形手順を無意識に覚えているのです。そういうふうに公式を覚えるのが、 高校生になった後でも数学の学習から脱落しない公式の正しい覚え方だと思います。

加法定理も、計算用紙に図と式を書いて式を変形して速やかに加法定理を導き出すやりかたを覚えてください。

《三角関数の加法定理は、ベクトルの内積の式である》
　ベクトルの内積の概念を使うと、
三角関数の加法定理の公式が、
ベクトルの内積の計算の式であると理解できる。
（下図でベクトルＢ_vはベクトルＢに垂直なベクトルである）

このcosの式とsinの式が三角形の加法定理を表している。

《ベクトルの回転移動と三角関数の加法定理》
（三角関数の加法定理）
　ベクトル（Ｘ，Ｙ）がＸ座標軸から角度アルファで回転していた場合を考える。
その場合に、ベクトル（Ｘ’，Ｙ’）が、それよりも更にθ回転している場合は、ベクトルの回転移動の公式(1)(2)から、以下の式６と７が導き出せる。
この式６と７によって、三角関数の２つの加法定理が導けた。


（三角関数の加法定理の覚え方）
sin(α+β)=sc+cs=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)
cos(α-β)=cos(β-α)=cc+ss=cos(α)cos(β)+sin(α)sin(β)
cos(α+β)=cc-ss=cos(α)cos(β)-sin(α)sin(β)


《（３）複素数の掛け算で三角関数の加法定理を導く》
　以下で、複素数ｗとｚの掛け算を計算して、その結果を複素数ｓと比較します。
ここで、加法定理との関係を分かり易くするため、複素数ｗとｚの絶対値の
|ｗ|＝|ｚ|＝|ｓ|＝１
とする。

複素数(ｗ)(ｚ)と、それに等しい複素数ｓとは、その実数部分が等しいので、その関係をあらわす１つの式を導き、更に、その虚数部分が等しいので、その関係をあらわす１つの式を導きます。それにより、以下の２つの関係式が導き出せます。

角αについて（式１）の関係があるので、それを代入して上の２つの式を書き直します。
α＝β＋θ 　　（式１）

上の式６がｃｏｓの加法定理であり、式７がｓｉｎの加法定理です。
ｃｏｓの加法定理とｓｉｎの加法定理を、以上の手順で素早く導き出せるように、以上の導き方を覚えておきましょう。
そうすれば、覚えるのにとても苦労する三角関数の加法定理が、覚えやすくなります。

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連立方程式の計算をやさしくする

連立方程式は、以下の様にすると計算が易しくなります

【問題１】
以下の連立方程式を解け。

【通常の解き方】

以上の式３と式４でｘとｙが求められた。
（解答おわり）

【工夫した解き方】
先ず、式１と式２の連立方程式から、以下の式５を作ります。

この式５と式１の連立方程式を解きます。

以上の式６と式７でｘとｙが求められた。
特に、この式７の計算は、楽に計算できた。
（解答おわり）

このように、連立方程式の係数を小さくする式の変換をしてから解くことで、連立方程式の計算が楽になりました。

【変数xとyの比を先に求める解き方】

式８で、変数xとyの比が求まった。
この式８を式２に代入する。

式９と式１０が解である。
（解答おわり）

【問題２】
以下の連立方程式を解け。

【工夫した解き方】
 先ず、式１と式２の連立方程式から、以下の式３を作ります。

 この式３と式１の連立方程式を解きます。

以上の式４と式５でｘとｙが求められた。
特に、この式５の計算は、大きな分母を持つ分数の計算でしたが、楽に計算できました。
（解答おわり）

（補足）
　以上の計算において、最後のｙの計算が楽にできたのは、先に得たｘの値を代入する式（問題２の式３等）のｙの係数が１にしてあったからです。 

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裏正弦定理

正弦定理の裏の定理の、裏正弦定理があります

下図のように三角形の周りに、その外接円とその円の中心（外心）とを描きます。

上の図で、三角形の頂点の角度∠Ａ＝θが外接円の円周角であり、それは中心角∠ＢＯＣの２分の１であることに注目すると、
三角形の外接円の半径Ｒと、三角形の頂点の角度∠Ａ＝θとその頂点Ａへの対辺ＢＣに対する外接円の中心Ｏの高さｍ_Ａとの間に、以下の関係式が成り立つことがわかります。

すなわち、∠Ａ＝θであらわすと、

この式を変形すると、

です。

同様に、

が成り立ちます。
　 　　 　 

これらが裏正弦定理です。
裏正弦定理は、上の図の様に、円周角の定理と密接に結びついた定理です。
　なお、裏正弦定理は、下図の様に、三角形ＡＢＣの頂点から垂心Ｈ までの長さで表現すると、その式の下に書いた正弦定理の式と形がほとんど同じで、いかにも裏正弦定理だという形で表せます。


　円周角に関係が深い問題は正弦定理又は裏正弦定理を使って解きましょう。

（後に学ぶ余弦定理は円周角に関する問題を解くのが苦手で、高校２年で学ぶベクトル方程式も円周角に関する問題を解くのが苦手です。それらの問題に正弦定理を使って解いてください。）

リンク：
変則正弦定理
三角形の垂心の図の全ての線分を三角関数の積で表す
三角形の外心の高さ
余弦定理
正弦定理の応用（三角形の面積）
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
三角形の重心
三角形の垂心
三角形の内心
高校数学（三角比・図形）一覧
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ベクトルの張る三角形の面積

　２つのベクトルａとｂの張る三角形の面積はベクトルの外積で計算できます。
　しかし、その三角形の面積をベクトルの内積であらわそうとする場合は、ベクトルａを反時計回りに９０度回転させたベクトルａ_ｖ又はベクトルｂを反時計回りに９０度回転させたベクトルｂ_ｖを考えて、内積
ａ_ｖ・ｂ＝－ｂ_ｖ ・ａ
の２分の１で三角形の面積をあらわす事が望ましいです。
各ベクトルの成分は以下の通りです。

　ベクトルの内積演算には、三角形の面積をあらわすことが不得意だという弱点があります。
　その弱点を補うために、与えられたベクトルａやｂに加えて、それらを９０度回転させたベクトルａ_ｖ又はベクトルｂ_ｖを追加して計算に用います。その新たに加えたベクトルを使った内積の計算によって三角形の面積があらわせるのです。
　 そうしないで、すなわち、ベクトルａ_ｖ又はベクトルｂ_ｖを追加しないで、無理やりにベクトルの内積で三角形の面積を表わそうとすると計算が難しくなります。

リンク：
ベクトルの直線と点との距離及びベクトルの張る三角形の面積
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三角形の３頂点のベクトルの張る三角形の面積比の公式

【問】
上図の三角形ＡＢＣ内の点Ｘから頂点Ａ，Ｂ，Ｃに引いたベクトルａ，ｂ，ｃの間に式１の関係が成り立つ場合に、
そのベクトルの張る三角形の面積の間に式２の関係が成り立つことを証明せよ。

この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。

リンク：
三角形内の点Pからのベクトルの式と三角形の面積比と点Pの位置
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ベクトルの概念の範囲

　ベクトルの概念により、先ずは、
座標（ｘ，ｙ）を２次元ベクトルであらわすことができます。
座標（ｘ，ｙ，ｚ）も３次元ベクトルであらわすことができます。

しかし、ベクトルの概念の適用範囲は、この種の座標の表現手段に留まりません。
（ベクトルの定義）
複数の成分の集合がベクトルです。

ベクトルことはじめ（数学）のサイト：「ベクトルが，いつも矢印だとは限らない．」
　例えば，ベクトルの加法やスカラー積の概念を抽象化したベクトル空間という集合では，関数，多項式，演算子，行列など，色々なものが元（ベクトルの単位要素を「元」と呼ぶ）になる可能性があります．とても，矢印のイメージで対応しきれるものではありません．

多項式：
１＋２ｘ＋３ｘ^２＋４ｘ^３
は、
（１，２，３，４，０，０，０，０，０，０，・・・・）
という無限次元のベクトルであらわすことができ、
多項式：
９＋８ｘ＋７ｘ^２＋６ｘ^３＋５ｘ^４＋４ｘ^５＋３ｘ^６＋２ｘ^７＋ｘ^８
は、
（９，８，７，６，５，４，３，２，１，０，０，・・・・）
という無限次元のベクトルであらわすことができます。

また、
三角関数群の多項式：
９＋８sinθ＋７sin(２θ)＋６sin(３θ)＋５sin(４θ)＋４sin(５θ)＋３sin(６θ)
も、
（９，８，７，６，５，４，３，０，０，０，・・・・）
という無限次元のベクトルであらわすことができます。

（補足）
　そもそも、三角関数も、以下の式であらわすことができます。

（マクローリン展開とオイラーの公式参照）

　また、複素数平面であらわした複素数は、実数成分と虚数成分との２つの要素をまとめて表した２次元ベクトルです。
（実際、ベクトルＰを複素数ｘ＋ｉｙと等号で結ぶ表現をすることもあります。)


　このように、ベクトルを表わす場合、そのベクトルの要素が何を表わしているかという前提条件が必須な条件として存在します。

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円の面積を積分で求める

「微分・積分」の勉強

（１）積分：
　以下の問題を考えます。
【問題】 
　半径 １ の円の全周を２πと定義する。
（半径１の円の面積Ｓ＝πになる）
この面積Sを求めよ。

【解１】
　この円の面積Sは、円を以下のような微小な扇型に分解する。微小な扇型は三角形に近似できる。（半径１の円周が２πであることを使うと）微小の扇型の総和で円の面積Sを求めることができる。

（解１おわり）

【解２】
　この問題は、以下の様に計算すれば、円周が２πになることを用いずに解くことができます。

　円を、以下の図の様な短冊に分割し、その１つの短冊の面積Δｓを計算します。 
短冊の幅をΔｘとします。

円を分割する間隔のΔｘあたりの短冊で、その中心の位置のX座標がｘの短冊の面積Δｓが以下の式１で求められます。

この短冊の面積の総和が円の面積です。

 この円の面積を求めるための、円の短冊への分割数を１０から８０まで変えて短冊の面積の総和をエクセル計算表を使って計算した結果、以下の表１の値が得られました。

【表１　円の面積の近似】

円の短冊への分割数を８０まで増やしたら、円の面積が近似的に３．１４になりました。
（解２おわり）

　この様に、要素に分割して総和を計算することが「積分」をするということです。
　積分という概念は、人間の思考視野を広げる思考パターンとして受け止められて初めて、身に付いた数学思想となります。その積分の概念を、身に付き易いよう、わかりやすく書いてある本：
『「超」入門　微分積分』（神永　正博）
を読むことをお勧めします。読めば、積分が面白くなると思います。

　なお、この積分を、（円の全周が２πであることを前提にした）積分の計算技術（後に学ぶ）を駆使して行うと、以下のように計算できます。（置換積分法という計算技術を使います）


円の面積はこの値の４倍になります。そのため、半径１の円の面積は π になります。

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ベクトル計算での挫折を回避する方法

　ベクトル計算は本質的に、余弦定理に関連する計算に向いています。正弦定理や円周角の定理で解ける問題は、ベクトル計算を使わないで、正弦定理や円周角の定理を使った図形問題として解く方がスムーズに解けます。正弦定理や円周角の定理を使った図形問題として解くべき問題をベクトル計算だけで解こうとすると挫折します。

　しかし、以下の様な、円周角の定理の公式１を使うことで、挫折を回避して問題を解くことができます。

　上図で、三角形ＡＢＣの外接円の半径をＲとすると、円周角の定理が次の式１であらわされる。
ｃｏｓＡ＝ｍ／Ｒ，　（１）

この式１は、円周角の定理から素直に導き出した式であり、ベクトル計算で導こうとするととても苦労する式です。

また、ベクトル計算で導こうとすると更に苦労する式：
｜ＡＢ｜｜ＡＣ｜＝２Ｒｈ，　（３）

この式１と３を円周角の定理を表現した式として覚えて使うことで、通常は挫折するベクトル計算の挫折を回避することができます。

【問題１】
　以下の図の三角形において、
｜ＢＡ｜・｜ＣＡ｜＝２Ｒ・ｈ　（式３）
 が成り立つことを証明せよ。

【解答】
　上の式を使った以下の計算で、ベクトルＢＡとベクトルＣＡの内積を変形します。
・・（式２）
以上で、ベクトルの内積の式を変形した結果、外接円の中心の高さｍをベクトルの内積で計算する定理（式２）が得られました。

一方、ベクトルの内積から以下の式が得られます。

式２にこの式を代入し、更に、円周角の定理の式１を代入する。

これで式３が得られました。
（証明おわり）

　しかし、この式３は、正弦定理を使うことで速やかに導かれますが、式１を使わない通常のベクトル計算では、容易には解けずに挫折する問題です。

　この問題が式１を使うことで解けたのは、式１は正弦定理の同類の円周角の定理を表現した式であり、式１を使うことで円周角の定理を使って問題を解いたからです。

　このように、正弦定理や円周角の定理を使わないと挫折する問題は、式１のように円周角の定理をベクトル計算の中に組み込んで使うことで、挫折を回避して解くことができるようになります。

　以上の式を覚え易い形にまとめて整理すると以下の式になる。


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未知ベクトルとそれに垂直なベクトルを使うベクトル方程式

【問１】

上の三角形において、点Ｂ，Ｃの位置ベクトルを、Ｂ （１，０）と、Ｃ（０，√３）とする。

 ベクトルＯＺに関して図の角度の条件が成り立つ場合、すなわち、
∠ＯＺＣ＝∠ＯＺＢ＝１２０°
となる場合の、

位置ベクトルＺを求めよ。

（解答の方針）
　この問題は、余弦定理等を使って解くことは困難ですが、複素数平面を使うと解けます。
複素数平面を使う解き方は、ここをクリックした先のページにあります。

　以下では、複素数平面を使う解き方の有効性をベクトル方程式にも持たせた形のベクトル方程式の作り方を参考に示します。
この問題を解くために作るベクトル方程式は、未知ベクトルＺとそれに垂直なベクトルＺ_Ｖを使ったベクトル方程式を作ります。
　ただし、この解き方は、複素数平面を使う解き方に比べかなり複雑な解き方ですので、この解き方よりは複素数平面を使って解く解き方（未知数の１次式～２次式）の方がエレガントな解き方だと考えます。

【ベクトルの回転変換の公式を使った解答（参考用）】

この図で、ベクトルＺを左回りに９０度回転したベクトルＺ_Ｖを使います。
この問題を解くために、
ベクトルの回転変換の公式を使って、未知数ｓとｔを使った以下の方程式１１と式１２を作ります。

式１１と１２を式１５と式１６に変形した。
以下のように式１５と式１６から、ベクトルＺ_Ｖを消去した式を作りベクトルＺを求める。

この式は、未知数ｓとｔとｘ及びｙの３次の式である。
この式からベクトルＺを表わす式１７を作る。

この式１７でベクトルＺが得られたので、そのベクトルＺに垂直なベクトルＺ_Ｖが以下の式１８で得られる。

 この式１７と式１８をベクトル方程式１６に代入して、未知数ｓとｔだけを含む未知数の最大次数が２次のベクトル方程式１９を作る。
それにより、未知数ｓとｔを求めることができる。

式２０と２１を更に変形する。

ｔ＝０の場合は不適。
ｔ≠０の場合を計算する。

以上で得たｓとｔを式１７に代入して位置ベクトルＺの座標を計算する。

（解答おわり）

（補足１）
　この解き方は、未知数を、ベクトルＺの変数ｘ，ｙと、未知数ｓとｔとの４つの未知数を含む３次の方程式を解く解き方です。その３次の方程式を、変数ｘ，ｙと未知数ｓ、ｔを切り離して解を求めることで、問題を実質的には２次の方程式と同等な式として扱い、問題を解き易くしました。

（補足２）ベクトルを９０度回転したベクトルの法則
ベクトルａを反時計回りに９０度回転した単位ベクトルａ_ｖ＝ｆを、
更に反時計回りに９０度回転した単位ベクトルｆ_ｖは－ａになる。
そのため、ベクトルの内積ａ_ｖ・ｂを、
両ベクトルを一緒に反時計回りに９０度回転して内積した値は同じ値になるが、
その関係は、以下の式であらわされる。
ａ_ｖ・ｂ＝－ａ・ｂ_ｖ

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